CÁLCULO IV 2ª PARTE EXE

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CÁLCULO IV---2ª PARTE
1a aula 
	1a Questão
	
	
	
	Calcule a integral dupla da função f(x,y) = -y e x onde R = [-1,1]x[0, pi/2]
		
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	 
	(-e + e -1) (pi2/8)
	
	zero
	
	8
	
	1
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Determine o valor da integral dupla definida por f(x,y) = 2x - y, sobre a região R, onde esta região é delimitada pela figura em vermelho (interior da figura)
. 
		
	
	zero
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	33
	 
	33∕2
	
	22
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Seja a função f(x,y) = 1. Podemos afirmar que a integral dupla da função f(x,y) definida no intervalor 2 ≤ x ≤ 4 e 2 ≤ y ≤ 6,  tem como solução e geometricamente define:
		
	
	Tem como solução o valor 8 e define geometricamente um volume.
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	Tem como solução o valor 5 e define geometricamente um volume.
	 
	Tem como solução o valor 8 e define geometricamente um área.
	
	Tem como solução o valor 8 e não tem definição geometricamente.
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Marque a alternativa que indica o resultado da integral dupla A = ∫42∫24 ∫62dydx∫26dydx
		
	
	12
	 
	8
	
	5
	
	6
	
	7
	 5a Questão
	
	
	
	
	Encontre o valor da integral dupla da função f(x,y) = x sen y3 definida na região 0 ≤ x ≤ 1 e x ≤ y ≤ 1 e classifique o tipo de região utilizado.
		
	
	(-1 ∕ 6 ) e tipo de região I
	
	(- 6 ) (cos 1 - 1) e tipo de região I I
	
	(-cos 1 - 1) e tipo de região I
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	 
	(-1 ∕ 6 ) (cos 1 - 1) e tipo de região I
	
	
Explicação:
∫10∫1x∫01∫x1 x sen y3 definida na região 0 ≤ x ≤ 1 e x ≤ y ≤ 1
∫10∫y0xseny3dxdy∫01∫0yxseny3dxdy  = ∫10x2seny32dy=12∫10y2seny3dy=−16(cos1−cos0)∫01x2seny32dy=12∫01y2seny3dy=−16(cos1−cos0)
−16(cos1−1)−16(cos1−1)
regiao do tipo I
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Se f(x,y) = 1 - x e a região de integração é definida por R = [0,1] x [0,1]. Defina a integral dupla e seu resultado.
		
	 
	∫10∫10(1−x)dxdy=1/2∫01∫01(1−x)dxdy=1/2
	
	​∫10∫10dxdy=1∫01∫01dxdy=1​
	
	​∫10∫10(1−x)dxdy=2∫01∫01(1−x)dxdy=2​
	
	​∫10∫10(1−x)dxdy=3∫01∫01(1−x)dxdy=3​
	
	​∫10∫10xdxdy=2∫01∫01xdxdy=2​
	
	
Explicação:
∫10∫10(1−x)dxdy=x−(x2/2)=1−1/2=1/2∫01∫01(1−x)dxdy=x−(x2/2)=1−1/2=1/2
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	A definição rigorosa da interpretação geometrica da integral dupla utiliza o método e Riemann. Este tem como idéia principal ?
		
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	Utilizar a partição nao regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. Forma-se a soma de Riemann de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito.
	
	Utilizar a partição nao regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. Forma-se a soma de Euler de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito.
	 
	Utilizar a partição regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. Forma-se a soma de Riemann de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito.
	
	Utilizar a partição regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. Forma-se a soma de Euler de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito.
 CÁLCULO IV
2a aula
	1a Questão
	
	
	
	Resolvendo a integral tripla a seguir encontramos:
int0 até 3int de -1 até 2 int_0 até 1(xyz²)dxdydz
		
	
	-7/4
	
	-27/4
	
	7/4
	 
	27/4
	
	4/27
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Calcular o volume do sólido:∫10∫01 ∫1−z0∫01-z ∫20∫02 dxdydz.
		
	
	3
	
	2
	
	1.5
	 
	1
	
	2.5
	Respondido em 26/03/2020 22:20:15
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Um engenheiro fez os cálculos do volume do sólido situado abaixo do parabolóide z = 4 - x2 - y2  e acima do plano z = 0. Qual foi o volume encontrado pelo engenheiro supondo que seus cálculos estão corretos.
		
	 
	8π8π
	
	​2π32π3​
	
	2 ππ
	
	​7π37π3​
	
	3π53π5
	Respondido em 26/03/2020 22:20:38
	
Explicação:
​O domínio D interior a interseção  de z = 4 - x2 - y2 com o plano z = 0​ entao temos 0 = 4 - x2 - y2  ou   x2 + y2 = 2, ou seja , D é o interior do disco de raio 2. OBS: Esse exercicio pode ser feito por integral tripla também.
V = ∫∫4−x2−y2dxdy=∫2π0∫20(4−r2)rdrdθ∫∫4−x2−y2dxdy=∫02π∫02(4−r2)rdrdθ
(4r22−r44)|20θ|2π0=8π(4r22−r44)|02θ|02π=8π
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 4] , y varia no intervalo [1 , 2] e z varia no intervalo [1 , 2].
		
	
	35/2
	
	35/3
	
	7
	
	35/6
	 
	35/4
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Pedro precisa resolver um problema de cálculo e para isso precisa utilizar mudança de variável utilizando coordenadas polares.  Para isto considerou o círculo de raio r e centro na origem. A equação de tal círculo é dada por x²+y²=r². Pedro encontrou em coordenadas polares, o mesmo círculo como sendo:
		
	
	x=r.cos⁡(θ),y= r.cos(θ) , onde θ∈[0,2π]
	 
	x=r.cos⁡(θ),y= r.sen(θ) , onde θ∈[0,2π]
	
	x=r.tan(θ),y= r.sen(θ) , onde θ∈[0,2π]
	
	x=r.sen(θ),y= r.sen(θ) , onde θ∈[0,2π]
	
	x=r.cos⁡(θ),y= r.tan(θ) , onde θ∈[0,2π]
	Respondido em 26/03/2020 22:21:09
	
Explicação:
Considere o círculo de raio r e centro na origem. A equação de tal círculo é dada por x²+y²=r². Em coordenadas polares, o mesmo círculo é dado por:
x=r.cos⁡(θ),y= r.sen(θ) , onde θ∈[0,2π]
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Aplicando a teoria de integral dupla na função f(x,y) = ∫ ∫ (1 - x)dxdy, definida em R= [0.1] x [0,1] podemos encontrar:
		
	 
	1/2
	
	4
	
	2
	
	1
	
	3
	Respondido em 26/03/2020 22:21:37
	
Explicação:
∫10∫101−xdxdy=∫10x−x22dy∫01∫011−xdxdy=∫01x−x22dy
∫1012dy=12y∫0112dy=12y
que aplicando o intervalo 0 a 1 temos como resultado 1/2
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima da região do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x 2.
		
	 
	216/35
	
	45
	
	23/35
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	1/3
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Se g(x) e h(y)  são contínuas em [a,b] e [c,d], respectivamente então podemos afirmar que: ∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫abg(x)dx∫cdh(y)dy
Usando a definição de integral dupla defina o volume do sólido acima da região D = [0,1]x[0,1] do plano xy e abaixo do plano x+y+z = 2.
		
	
	4 u.v
	
	5 u.v
	
	10 u.v
	
	9 u.v
	 
	1 u.v
	
	
Explicação:
Se g(x) e h(y)  são contínuas em [a,b] e [c,d], respectivamente então ∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫abg(x)dx∫cdh(y)dy
Usando a definição de integral dupla defina o volume do sólido acima da região D = [0,1]x[0,1] do plano xy e abaixo do plano x+y+z = 2.
Solução: Para encontrar o volume do sólido descrito devemos fazer a integral dupla dentro da região D.
∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫abg(x)dx∫cdh(y)dy Utilizando a definição dada temos ​∫10∫102−x−ydxdy∫01∫012−x−ydxdy​
∫102x−x2/2−xydy=∫10(3/2)−ydy=1
	
CÁLCULO IV
3a aula
	 1a Questão
	
	
	
	
	Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0.
		
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	Volume 2 u.v
	 
	Volume 1/3 u.v
	
	Volume 4 u.v
	
	Volume 3 u.v
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Determine o valor da integral tripla da função f(x,y,z) = xyz , definida sobre a regiçao
- 1 ≤ x ≤ 2,  0 ≤ y  ≤ 1 e 1 ≤  z ≤ 2.
		
	
	9
	
	4
	
	8
	 
	9/8
	
	Nenhuma das resposta anteriores
	Respondido em 26/03/2020 22:22:53
	
Explicação:
Determine o valor da integral tripla da função f(x,y,z) = xyz , definida sobre a regiçao
- 1 ≤ x ≤ 2,  0 ≤ 
∫21∫10∫2−1xyzdxdydz=∫21∫10x22yzdydz∫12∫01∫−12xyzdxdydz=∫12∫01x22yzdydz∫21∫10x22yzdydz=∫21∫102−32yzdydz=∫21∫1032yzdydz∫12∫01x22yzdydz=∫12∫012−32yzdydz=∫12∫0132yzdydz32∫21y22zdz=32∫2112zdz32∫12y22zdz=32∫1212zdz
34∫21zdz=34z22=34(2−12)=9834∫12zdz=34z22=34(2−12)=98
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Pedro precisa apresentar a integral tripla da função f(x,y,z)=2 em relação às variáveis x, y e z onde os limites de integração são definidos como 1≤x≤41≤x≤4,   1≤y≤21≤y≤2,  1≤z≤21≤z≤2 . Qual foi a solução encontrada por Pedro ?
		
	
	2
	 
	6
	
	4
	
	3
	
	5
	Respondido em 26/03/2020 22:22:49
	
Explicação:
Pedro precisa apresentar a integral tripla da função f(x,y,z)=2 em relação às variáveis x, y e z onde os limites de integração são 1≤x≤41≤x≤4 ,   1≤y≤21≤y≤2,  1≤z≤21≤z≤2 . Qual foi a solução encontrada por Pedro ?
∫21∫21∫412dxdydz∫12∫12∫142dxdydz
2∫21∫21x|41dydz=2∫21∫213dydz=6∫21∫21dydz2∫12∫12x|14dydz=2∫12∫123dydz=6∫12∫12dydz
6∫21∫21dydz=6∫21y|21dz=6∫21(2−1)dz6∫12∫12dydz=6∫12y|12dz=6∫12(2−1)dz
6∫21(2−1)dz=6∫21dz=6z|21=6(2−1)=66∫12(2−1)dz=​6∫12dz=6z|12=6(2−1)=6
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Encontre o volume do sólido sob o gráfico da função f (x, y) = 5 e acima do domínio dado pelas inequações
y ≤ X ≤ 3y e 0 ≤ y ≤ 5
		
	
	105
	
	120
	 
	125
	
	115
	
	110
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	O ponto dado em coordenadas cartesianas (0,1,2) pode ser representado em coordenadas cilíndricas como:
		
	
	(2, pi/2; 2)
	
	(1, 3pi/2; 2)
	
	(2, pi/2; 1)
	
	(1, pi/2; -2)
	 
	(1, pi/2; 2)
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Calcule a integral tripla e marque a única resposta correta: `I = int_0^3int_(-1)^2int_0^1(xyz²)dxdydz
		
	
	4/27
	
	-7/4
	 
	27/4
	
	-27/4
	
	7/4
	
	
Explicação:
Integral tripla resolvida pelo Método de Fubini.
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Paulo precisa apresentar a integral multipla da função f(x,y) = ∫∫∫ (xy + x²)dxdydz, onde R= [0.1] x [0,1] x [0,1] aos colegas de classe. Qual o resultado encontrado por Paulo ao desenvolver a integral multipla ?
		
	
	9/12
	
	10/12
	 
	7/12
	
	8/12
	
	5/12
	Respondido em 26/03/2020 22:23:46
	
Explicação:
A integral dupla da função f(x,y) = ∫∫∫ (xy + x²)dxdydz, onde R= [0.1] x [0,1] x [0,1] é igual a :
A primeira integral ficaria (x2 / 2 ) y + (x3 / 3)  com os limites de x de 0 a 1 :  (1/2) y + 1/3
∫∫y2+13dydz=∫12y22+13ydz∫∫y2+13dydz=∫12y22+13ydz Passando o limite de y de 0 a 1 temos
∫∫1212+13dz=(14+13)z∫∫1212+13dz=(14+13)z Passando o limite de z de 0 a 1 temos
(14+13)=712(14+13)=712
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Determine o volume do sólido representado pela integral dupla, onde a função a ser integrada f(x,y) = x2+ y2  esta definida em R = [0,1] x[0,1].
		
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	2
	 
	2/3
	
	1/3
	
	3
CÁLCULO IV
4a aula
	1a Questão
	
	
	
	Calcule a integral de linha ʃ F.dr, onde F(x,y,z) = (x,y,z), e C é a curva parametrizada por (sen t, cos t , t), 0 ≤ t ≤ 2 ππ
		
	
	Será ππ
	
	Será 3 ππ + 1
	 
	Será 2 ππ 2
	
	Será 3 ππ
	
	Será 4
	
Explicação:
F é contínua em R3 e σ′(t)=(cost,−sent,1)σ′(t)=(cost,−sent,1)é continua em [0,2 π]π]
Usando a integral de linha ∫CFdr=∫2π0(sent,cost,t).(cost,−sent,1)dt=∫2π0(sentcost−sentcost+t)dt=2π2∫CFdr=∫02π(sent,cost,t).(cost,−sent,1)dt=∫02π(sentcost−sentcost+t)dt=2π2
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	A integral de linha ∫(2x + y) dx − (x − 4xy) dy no circulo x²+y²= 1, percorrido (uma vez) em sentido anti-horário satisfaz as condições do Teorema de Green. Portanto ao aplicar o teorema encontraremos:
		
	 
	-4π
	
	2π
	
	-2π
	
	0
	
	4π
	
Explicação:
P(x,y) = 2x + y e Q(x,y) = - x + 4xy sao funçoes diferenciáveis em R2 e C é o bordo positivamente orientado de S = { (x,y)| x2 +y2  < = 1} entao podemos aplicar o Teorema de Green (satisfaz as condições do Teorema de Green).
∫(2x+y)dx−(x−4xy)dy=∫∫(4y−2)dxdy∫(2x+y)dx−(x−4xy)dy=∫∫(4y−2)dxdy
aplicando as coordenadas polares  ∫2pi0∫10(4rsenθ−2)drdθ∫02pi∫01(4rsenθ−2)drdθ
= 4 int10r2dr∫2pi0senθdθ−2∫10rdr∫2pi0dθ=−4pi4 int01r2dr∫02pisenθdθ−2∫01rdr∫02pidθ=−4pi
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha da função diferencial y dx + 3x dy, onde a intergral é definida na interseção do cone z = (x2+ y2)1/2 com o plano z = 2.
		
	
	pi
	
	5 pi
	 
	8 pi
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	4 pi
	
Explicação:
Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha da função diferencial y dx + 3x dy, onde a intergral é definida na interseção do cone z = (x2+ y2)1/2 com o plano z = 2.
∫CPdx+Qdy=∫D∂Q∂x−∂P∂ydA∫CPdx+Qdy=∫D∂Q∂x−∂P∂ydA
P = y 
Q = 3x
∂Q∂x=3,∂P∂y=1∂Q∂x=3,∂P∂y=1
∫CPdx+Qdy=∫D∂Q∂x−∂P∂ydA=∫D3−1dA=∫D2dA=∫CPdx+Qdy=∫D∂Q∂x−∂P∂ydA=∫D3−1dA=∫D2dA=
2 Area D
z = (x2+ y2)1/2 com o plano z = 2.
2= (x2+ y2)1/2 
4= (x2+ y2) é uma circunferência de raio 2
A=πR2=4πA=πR2=4π mas como é 2 Area D a reposta será 8 ππ
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Calcule a integral de linha da forma diferencial x2y dx + z dy + xy dz, ao longo do arco da parábola y = x2, z = 1 do ponto A(-1,1,1) ao ponto B(1,1,1).
		
	
	3/5
	
	4/7
	
	7
	 
	2/5
	
	7/3
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Seja f:R3→Rf:R3→R definida por f(x,y,z)=x+3y2+zf(x,y,z)=x+3y2+z  e  ττ o segmento de reta que une (0,0,0)(0,0,0) e (1,1,1)(1,1,1). Calcule ∫τfds∫τfds
Sugestão: Utilize a parametrização deste segmento : r(t)=(t,t,t)r(t)=(t,t,t), t∈[0,1]t∈[0,1] .
		
	
	√55
	 
	2√323
	
	√33
	
	3√232
	
	4√343
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Determine a integral de linha sendo γγ o segmento de reta da origem A(1,1) a extremidade B(4,2).
∫γ(x+y)dx+(y−x)dy∫γ(x+y)dx+(y-x)dy
		
	
	5
	
	2/5
	 
	11
	
	5/4
	
	10
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Um  homem dirigi em um estrada γγ. Supondo que a estrada percorrida é definida pela integral abaixo sendo γγ o arco da parábola y=x2y=x2 da origem ao ponto A(2,4). Determine o valor da integral.
∫γxy2dx∫γxy2dx
		
	
	33
	
	34
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	24/5
	 
	32/3
CÁLCULO IV
5a aula
	1a Questão
	
	
	
	Calcule ∫CxzdS∫CxzdS , onde C é a interseção da esfera  x² + y² + z² = 4
com o plano x = y.
		
	
	10
	
	√88
	
	√66
	
	16
	 
	0
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Calcule a integral ∮Cx2ydx−y2xdy∮Cx2ydx-y2xdy em que C é a fronteira da região no primeiro quadrante compreendida pelos eixos coordenados e o círculo x2 + y2 = 16.
		
	
	18π18π
	 
	−32π-32π
	
	−16π-16π
	
	20π20π
	
	32π32π
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Determine a integral dupla da função f(x,y) = y2 sen x2  tendo com limites de integração  y3= x , y3 = -x , x = 0 e x = 8.
		
	
	cos 64
	
	(cos 64 + 1):3
	 
	(- cos 64 +1):3
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	- cos 64
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Supondo um campo F = xy i - xy2 j, ao longo do triângulo de vértices A (0,0), B(1,0) e C(1,1). Calcule a integral do campo vetorial ao longo do triângulo.
		
	
	3/5
	
	3
	
	2/3
	
	2
	 
	¼
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Usando à técnica de integração dupla, calcular o volume do sólido gerado pela equação  f(x,y) =  e(x+2y) dxdy, para os intervalosR= [0,1]x[0,3].
		
	
	(e-1)(e6e6-1)
	
	1/2(e-1)
	 
	1/2(e-1)(e6e6-1)
	
	-1/2(e-1)(e6e6-1)
	
	1/2(e6e6-1)
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Calcule a integral dupla:
∫42∫24 ∫21∫12 (x2x2 + y2y2) dydx
		
	
	70/15
	 
	70/3
	
	70/13
	
	70/11
	
	70/9
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do sólido gerado pela expressão ∫∫ ∫∫(x2 + y2) dxdy para os intervalos R=[-1,1] x[-2,1].
		
	
	21(u.v.)
	
	15(u.v.)
	
	2(u.v.)
	
	17(u.v.)
	 
	8(u.v.)
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo
→F(x,y)=−3y5→i+5y2x3→jF→(x,y)=-3y5i→+5y2x3j→   para mover uma partícula ao longo
 da circunferência x2 + y2 = 4, partindo do ponto (2; 0) e retornando a este
 ponto apenas uma vez.
		
	
	70π70π
	
	90π90π
	 
	160π160π
	
	150π150π
	
	180π
CÁLCULO IV
6a aula
	1a Questão
	
	
	
	
		
	
	24/5 u.v
	 
	9/2 u.v
	
	16/3 u.v
	
	18 u.v
	
	10 u.v
	Respondido em 26/03/2020 22:26:29
	
Explicação: O aluno usará a integral dupla. Usará a integral dupla. Uma sugestão de limites de integração: 0=<="" td="">
	
	
	 
	
	 2aQuestão
	
	
	
	
	Seja uma superfície parametrizada por (u,v) = (vcos u, vsen u, 1 - v2 ) com  0 ≤  u ≤ 2 ππ e v Determine o vetor normal a S em 
		
	
	O vetor normal será (2,0,1)
	
	O vetor normal será (-2,3,-1)
	
	O vetor normal será (0,0,-1)
	
	O vetor normal será (0,0,0)
	 
	O vetor normal será (-2,0,-1)
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Determine a área da região limitada pelas curvas: x = y3 , x + y = 2 e y = 0.
		
	
	1/2
	
	2
	
	3
	 
	5/4
	
	3/5
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	O volume de uma esfera de raio igual a 6 vale:
		
	
	36π36π
	
	244π244π
	
	144π144π
	
	188π188π
	 
	288π288π
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Determine a integral `int_pi^(2pi) int_0^(pi) (senx+cosy)dxdy
		
	
	`pi
	 
	`2pi
	
	0
	
	`cos(2pi)-sen(pi)
	
	`pi+senx
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Calcule o volume do sólido no primeiro octante,limitado pelas superficie z = 1 - y2, x = y2+1 e x = - y2 +9
		
	 
	76∕15
	
	76
	
	45
	
	15
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Seja uma superfície parametrizada por (u,v) = (vcos u, vsen u, 1 - v2 ) com  0 ≤  u ≤ 2 ππ e v Determine  a equação do plano tangente a S em 
		
	
	3z + x = 1
	
	z = 2
	
	5x + 4 = 0
	
	3x + 5z = 1
	 
	2x + z - 2 = 0
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	A área da região limitada pelo círculo de raio r, positivamente orientada e parametrizada pelo caminho λ(t) = (r cost, r sin t) definida em λ: [0, 2π] ⊂ R → R², safisfaz as condições do Teorema de Green. Aplicando o Teorema podemos encontrar:
		
	
	πr
	
	2πr²
	 
	πr²
	
	π²r
	
	2πr
CÁLCULO IV
7a aula
	1a Questão
	
	
	
	Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t),
t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z).
		
	
	π2π2
	
	3π23π2
	
	2π2π
	 
	2π22π2
	
	2π32π3
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Calcule a integral dupla da função f(x,y) = exp ( (y-x) / (y+x) ) sobre a região D delimitada pelas retas x + y = 1, x + y = 2 ,  x = 0 e y = 0.
		
	 
	(3/4) ( e - 1/e)
	
	-1/e
	
	3 e - 1/e
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	e - 1/e
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Dado o ponto (1,1,1), em coordenadas cartesianas, a representação deste ponto em coordenadas cilíndricas é apresentada em:
		
	
	(sqrt(2);2pi/4 ; 1)
	
	(sqrt(3);pi/4 ; 1)
	 
	(sqrt(2);pi/4 ; 1)
	
	(sqrt(2);pi/4 ; -1)
	
	(sqrt(2);pi/4 ; 2)
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Uma industria possui um equipamento para armazenamento de substâncias para fabricação do produto X. Este equipamento possui um volume específico. O volume deste sólido é delimitado pelos cilindros x2 + y2= 4 e x2 + z2 = 4. Determine o volume deste sólido.
		
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	 
	128∕3
	
	128
	
	45
	
	28
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = -2t (i) + 3t (j) + t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1]
		
	
	4 * (2)^(1/2)
	 
	4 * (14)^(1/2)
	
	2 * (14)^(1/2)
	
	14 * (2)^(1/2)
	
	4
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Em uma indústria existe uma reservatório para armazenamento de um certo produto químico por algum período de tempo. O volume deste reservatório é definido pelo interior da esfera x2 + y2 + z2 = z e o cone z2 = 3 (x2 + y2). Determine o volume do reservatório.
		
	
	pi/96
	
	7/96
	 
	7 pi /96
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	7pi
CÁLCULO IV
8a aula
	1a Questão
	
	
	
	Calcule a circulação do campo F (x,y,z) = (y, xz, z2 ) ao redor da curva C fronteira do triânculo cortado do plano x + y + z = 1 pelo primeiro octante, no sentido horário quando vista da origem.
		
	
	5
	
	3
	 
	-1/2
	
	9
	
	24
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Calcule a massa da superfície S parte do plano z + x = 2 e dentro do cilindro x2 + y2 = 1 sendo a densidade dada por (x,y,z) = y2.
		
	 
	M = [ ( 2 ) 1/2 ππ]/4  u.m
	
	M = ππ u.m
	
	M = 3 ππ u.m.
	
	M = [ ( 2 ) 1/2 ππ] u.m
	
	M = [ ππ]/4 u.m
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Determine a integral `int_0^1 int_0^2 int_0^(1-z)dydxdz
		
	
	2-2z
	
	1-z
	
	2
	 
	1
	
	0
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Seja S a superfície parametrizada por ϕ(u,v)ϕ(u,v) = (vcos u, vsen u, 1 - v2) onde 0≤u≤2π,v≥00≤u≤2π,v≥0 . Identifique esta superfície.
		
	 
	A superfície S definida acima é um parabolóide circular.
	
	Não temos como definir quem é a superfície S.
	
	A superfície S definida acima é um cilindro.
	
	A superfície S definida acima é um plano.
	
	A superfície S definida acima é uma esfera
	 5a Questão
	
	
	
	
	Um corpo move-se ao longo da parábola y=x² do ponto (0,0) ao ponto (2,4). O trabalho total (w) realizado, se o movimento é causado pelo campo de forças F(x,y)=(x²+y²)i+x²yj, sabendo-se que o arco é medido em metros e a força é medida em Newtons, é:
		
	
	w=540/7N.m
	 
	w=456/15 N.m
	
	w=833/5N.m
	
	577/32N.m
	
	w=777/33N.m
	
	
Explicação:
Parametrizacao de y =x2  será (t, t2) portanto r(t) = (t,t2 ) com t variando de 0 a 2 e a derivada de r(t) = ( 1,2t)
Portanto F(t) ( t2 + t4, t2 .t2)
O trabalho será  aplique o limite de integracao de 0 a 2
∫Fdr=∫(t2+t4)i+t4j)(i+2tj)dt∫Fdr=∫(t2+t4)i+t4j)(i+2tj)dt
w = ∫Fdr=t33+t55+2t66=45615∫Fdr=t33+t55+2t66=45615
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Uma lâmina tem a forma da parte do plano z = x recortada pelo cilindro
( x - 1)2 + y2 = 1.  Determine a massa dessa lâmina se a densidade no
 ponto (x,y,z) é proporcional a distância desse ponto ao plano xy.
 
		
	
	k√3k3 u.m.
	
	2π u.m.
	 
	k√2k2ππu.m.
	
	√22 u.m.
	
	k u.m.
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Calcule o volume do sólido cuja base inferior é a região retangular no plano xy, com x variando de 0 a 3 e y variando de 0 a 2 e cujo topo está na superfície f(x,y) = 4 - y^2.
		
	
	10
	
	12
	
	20
	
	14
	 
	16
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Seja o campo vetorial F(x,y,z) = (x - y, x + y, z).
Calcule o fluxo de F através de S, orientada com o vetor n exterior a S.
S: x2 + y2 = a2 com a > 0 e 0 ≤ z ≤ h.
		
	
	8 a2h
	
	8  ah
	
	22h
	
	 a2h
	 
	2 a2h
CÁLCULO IV
9a aula
	1a Questão
	
	
	
	Calcule o trabalho realizado pelo campo de força F (x,y,z) = (xx + z2, yy + x2, zz + y2)
quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda da esfera de
raio 2 que esta no primeiro octante, na direção anti-horária quando vista por cima.
		
	
	10
	 
	16
	
	12
	
	8√585
	
	22
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Calculo o trabalho realizado pelo campo de força F(x,y,z) = ( xx + z2 , yy + x2 , zz + y2 ) quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que esta no primeiro octante, na direção anti-horária quando vista por cima,
		
	
	5/2
	
	5
	
	20
	 
	16
	
	3/2
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Ao calcular-se a área da região encerrada pela elípse 4x²+16y²=64, encontra-se o valor de:
		
	
	16pi
	
	64pi
	
	4pi
	
	9pi
	 
	8pi
	
Explicação: A área da elípse é dada por A=a.b.pi, neste caso a=2 e b=4, pois a eq. da elípse fica ( x²/2²) + (y²/4²)=1
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Calcule a integral dupla da função f(x,y) = x + 2y, onde D é a região limitada pelas parábolas  y = 2x2  e  y = 1 + x 2.
		
	
	1/3
	
	36
	 
	32/15
	
	32/25
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Determine o fluxo do rotacional do campo de vetores F(x,y,z)=(y3,x3,ez)F(x,y,z)=(y3,x3,ez) através da
superfície S={(x,y,z)∈R3S={(x,y,z)∈R3 tal que x2+y2+z2=2,x2+y2≤1,z≥0}x2+y2+z2=2,x2+y2≤1,z≥0}, com normal exterior.
Sugestão: Calcular ∫∫Srot(F)dS∫∫Srot(F)dS, aplicando o teorema de Stokes
∫∫Srot(F)dS=∮∂SF∫∫Srot(F)dS=∮∂SF
 
		
	
	−12-12
	
	-1
	
	1212
	
	1
	 
	0
	Respondido em 26/03/2020 22:37:24
	
Explicação:
rot F =( 0,0, 3x2 - 3y2 )
n = = (-fx , - fy , 1) 
Entao rot F . n = ( 0, 0, 3x2 - 3y2)
∫∫3x2−3y2dxdy∫∫3x2−3y2dxdy
usando a mudança de variável polar 
s=rcosθ;y=rsenθ;0≤θ≤2π;0≤r≤1s=rcosθ;y=rsenθ;0≤θ≤2π;0≤r≤1
Nao esquecendo do jacobiano na integral teremos:
∫∫3(r2cos2θ−r2sen2θ)rdrdθ=0∫∫3(r2cos2θ−r2sen2θ)rdrdθ=0Gabarito
Coment.
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Marque a alternativa que indica o resultado da integral dupla A = ∫20∫02 ∫06(4-x2)dydx
		
	
	24
	
	10
	
	18
	
	54
	 
	32
	 7a Questão
	
	
	
	
	Seja f(x,y) = 1 / (x2+ y2). Determine a integral dupla da função f(x,y) definida no intervalo
0 ≤ x ≤ y e 1 ≤ y ≤ e.
		
	
	pi / 5
	 
	pi/4
	
	pi
	
	2 pi
	
	Nenhuma das respostas anteriores
CÁLCULO IV
10a aula
	1a Questão
	
	
	
	Determine o fluxo do campo vetorial →F(x,y,z)=z→i+y→i+x→kF→(x,y,z)=zi→+yi→+xk→
 sobre a esfera unitária x2 + y2 + z2 = 1.
		
	
	3π3π
	
	23π23π
	 
	43π43π
	
	25π25π
	
	2π2π
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Seja S a parte do cilindro x2 + y2  = 1 limitado pelos planos z = 0 e z = x + 1. Determine a integral de superfície S dado por  ʃ  ʃ z dS
		
	
	5/2 ππ
	
	2ππ
	 
	3 ππ/2
	
	6 ππ
	
	ππ
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Seja o campo vetorial F(x,y,z) = (x - y, x + y, z).
Calcule o fluxo de F através de S, orientada com o vetor n exterior a S.
S: x2 + y2+z2 = a2 com a > 0.
		
	
	3 a3
	 
	4 a3
	
	2 a3
	
	5 a3
	
	3/5  a3
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Na cidade de Carmel existe um reservatório de água. Deseja-se calcular o volume deste reservatório. Sabendo que o reservatório tem o formato de um cilindro de raio R e altura h. Determine o volume do reservatório.
		
	
	pi R
	
	R h
	
	pi R h
	 
	pi R2 h
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Seja  F(x,y,z) = (z,y,x) podemos determinar o fluxo do compo vetorial F sobre a esfera unitaria como:
		
	
	pi/2
	
	pi
	 
	4pi/ 3
	
	5pi/4
	
	2 pi
	Explicação:
Para calcular o fluxo do campo vetorial sobre F sobre a esfera unitaria devemos utilizar o teorema de Gauss.
esfera unitaria : x2 + y2  + z2 = 1
divergente F = 1
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	 
Calcule , ∫∫σ→F.→ndS∫∫σF→.n→dS
onde →F(x,y,z)=xy→i+(y2+exz2)→j+sen(xy)→kF→(x,y,z)=xyi→+(y2+exz2)j→+sen(xy)k→
 e σσ  é a superfície do sólido Q limitado pelo cilindro parabólico z = 1 - x2  e pelos planos  z = 0 , y = 0 e y + z = 2.
		
	 
	1843518435
	
	1813518135
	
	1837018370
	
	435435
	
	14351435
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Seja S o cubo limitado pelos planos x = 0 , x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 , z = 1 e F(x,y,z) = ( 2x - z, x2 y , x z2). Determine o fluxo do campo vetorial F sobre o cubo. Dica: Use o teorema de Gauss (teorema da divergencia).
		
	
	0
	
	10
	
	1
	 
	17/6
	
	2
	Respondido em 26/03/2020 22:40:57
	
Explicação:
Aplicando o teorema de Gauss temos:∂/∂x(2x−z)+∂/∂y(x2y)+∂/∂z(xz2)=2+x2+2xz∂/∂x(2x−z)+∂/∂y(x2y)+∂/∂z(xz2)=2+x2+2xz
∬SFdS=∭BdivFdV=∭2+x2+2xzdxdydz=17/6∬SFdS=∭BdivFdV=∭2+x2+2xzdxdydz=17/6
Onde 0≤x≤1 ,0≤y≤1 ,0≤z≤1}Onde 0≤x≤1 ,0≤y≤1 ,0≤z≤1}
∬2x+x3/3+x2zdydz∬2x+x3/3+x2zdydz
aplicandoolimitedex∬7/3+zdydzaplicandoolimitedex∬7/3+zdydz
entaoaofazeremyficara∫107/3+zdz=17/6entaoaofazeremyficara∫017/3+zdz=17/6
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Encontrar as equações paramétricas da superfície s, que tem equação cartesiana
3y + 2z = 6, com 0 < x < 1, no 1º octante.
		
	 
	ϕ(u,v)ϕ(u,v) = (u, v, 2 - (3/2) v) , 0≤u≤10≤u≤1, 0≤v≤20≤v≤2 .
	
	ϕ(u,v)ϕ(u,v) = (u+1, v+2u, 2 - 3v) , 0≤u≤10≤u≤1, 0≤v≤20≤v≤2 .
	
	ϕ(u,v)ϕ(u,v) = (u, v+3 , v) , 0≤u≤10≤u≤1, 0≤v≤20≤v≤2 .
	
	ϕ(u,v)ϕ(u,v) = (u+v, v+u, 2 + (3/2) v) , 0≤u≤10≤u≤1, 0≤v≤20≤v≤2 .
	
	ϕ(u,v)ϕ(u,v) = (u+1, v, 2 - (3/2) v) , 0≤u≤10≤u≤1, 0≤v≤20≤v≤2 .
 
CÁLCULO IV 1ª Parte
3a aula
	1a Questão
	
	
	
	Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0.
		
	
	Volume 2 u.v
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	Volume 3 u.v
	
	Volume 4 u.v
	 
	Volume 1/3 u.v
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Determine o valor da integral tripla da função f(x,y,z) = xyz , definida sobre a regiçao
- 1 ≤ x ≤ 2,  0 ≤ y  ≤ 1 e 1 ≤  z ≤ 2.
		
	
	4
	 
	9/8
	
	Nenhuma das resposta anteriores
	
	8
	
	9
	Respondido em 16/03/2020 21:39:40
	
Explicação:
Determine o valor da integral tripla da função f(x,y,z) = xyz , definida sobre a regiçao
- 1 ≤ x ≤ 2,  0 ≤ 
∫21∫10∫2−1xyzdxdydz=∫21∫10x22yzdydz∫12∫01∫−12xyzdxdydz=∫12∫01x22yzdydz∫21∫10x22yzdydz=∫21∫102−32yzdydz=∫21∫1032yzdydz∫12∫01x22yzdydz=∫12∫012−32yzdydz=∫12∫0132yzdydz
32∫21y22zdz=32∫2112zdz32∫12y22zdz=32∫1212zdz
34∫21zdz=34z22=34(2−12)=9834∫12zdz=34z22=34(2−12)=98
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Pedro precisa apresentar a integral tripla da função f(x,y,z)=2 em relação às variáveis x, y e z onde os limites de integração são definidos como 1≤x≤41≤x≤4,   1≤y≤21≤y≤2,  1≤z≤21≤z≤2 . Qual foi a solução encontrada por Pedro ?
		
	
	2
	
	4
	
	5
	 
	6
	
	3
	Respondido em 16/03/2020 21:39:47
	
Explicação:
Pedro precisa apresentar a integral tripla da função f(x,y,z)=2 em relação às variáveis x, y e z onde os limites de integração são 1≤x≤41≤x≤4 ,   1≤y≤21≤y≤2,  1≤z≤21≤z≤2 . Qual foi a solução encontrada por Pedro ?
∫21∫21∫412dxdydz∫12∫12∫142dxdydz
2∫21∫21x|41dydz=2∫21∫213dydz=6∫21∫21dydz2∫12∫12x|14dydz=2∫12∫123dydz=6∫12∫12dydz
6∫21∫21dydz=6∫21y|21dz=6∫21(2−1)dz6∫12∫12dydz=6∫12y|12dz=6∫12(2−1)dz
6∫21(2−1)dz=6∫21dz=6z|21=6(2−1)=66∫12(2−1)dz=​6∫12dz=6z|12=6(2−1)=6
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Encontre o volume do sólido sob o gráfico da função f (x, y) = 5 e acima do domínio dado pelas inequações
y ≤ X ≤ 3y e 0 ≤ y ≤ 5
		
	
	120
	
	115
	
	110
	 
	125
	
	105
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	O ponto dado em coordenadas cartesianas (0,1,2) pode ser representado em coordenadas cilíndricas como:
		
	
	(1, 3pi/2; 2)
	
	(2, pi/2; 1)
	
	(2, pi/2; 2)
	 
	(1, pi/2; 2)
	
	(1, pi/2; -2)
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Calcule a integral tripla e marque a única resposta correta: `I = int_0^3int_(-1)^2int_0^1(xyz²)dxdydz
		
	
	-7/4
	 
	27/4
	
	7/4
	
	4/27
	
	-27/4
	Respondido em 16/03/2020 21:40:06
	
Explicação:
Integral tripla resolvida pelo Método de Fubini.
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Paulo precisa apresentar a integral multipla da função f(x,y) = ∫∫∫ (xy + x²)dxdydz, onde R= [0.1] x [0,1] x [0,1] aos colegas de classe. Qual o resultado encontrado por Paulo ao desenvolver a integral multipla ?
		
	
	5/12
	
	9/12
	 
	7/12
	
	10/12
	
	8/12
	Respondido em 16/03/2020 21:40:21
	
Explicação:
A integral dupla da função f(x,y) = ∫∫∫ (xy + x²)dxdydz, onde R= [0.1] x [0,1] x [0,1] é igual a :
A primeira integral ficaria (x2 / 2 ) y + (x3 / 3)  com os limites de x de 0 a 1 :  (1/2) y + 1/3
∫∫y2+13dydz=∫12y22+13ydz∫∫y2+13dydz=∫12y22+13ydz Passando o limite de y de 0 a 1 temos
∫∫1212+13dz=(14+13)z∫∫1212+13dz=(14+13)z Passando o limite de z de 0 a 1 temos
(14+13)=712(14+13)=712
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Determine o volume do sólido representado pela integral dupla, onde a função a ser integrada f(x,y) = x2+ y2  esta definida em R = [0,1] x[0,1].
		
	
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	Nenhuma das respostas anteriores
	
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