Introdução à Análise

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL 
INSTITUTO UFC VIRTUAL 
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
INTRODUÇÃO À ANÁLISE 
PROF. FRANCISCO CLEUTON DE ARAÚJO 
JOSÉ TELMO ALVES JÚNIOR - 0426969 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PORTFÓLIO 
AULA 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ARACOIABA-CEARÁ 
2019 
pág. 2 
 
01. Um número natural p chama-se primo quando p ≠ 1 e não se pode escrever 𝑝 = 𝑚 ∙ 𝑛 
como m < p e n < p. Prove que o conjunto dos números primos é infinito. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Sendo, X= {P1, ... PK} um conjunto finito, não vazio, de números primos. O número n= 
(P1∙P2...Pk) +1 possui um divisor primo q ≠ (pois n > 1), pois pelo teorema fundamental 
da aritmética, todo número natural n pode ser decomposto em fatores primos. No entanto, 
𝑞 ∈ 𝑋, pois do contrário, q seria divisor de n e do produto. 
 
Provando por absurdo, que existe uma quantidade finita de números primos. Por esta 
hipótese, há apenas n números primos. Por esta hipótese, há apenas n números primos, 
onde n é inteiro. Podemos colocar os primos P1, P2... Pn em ordem, de tal forma que: 
 
P1 < P2 < ... Pn 
 
Assim, Pn é o maior primo de todos. Vendo que P1∙P2...Pn+1. Ele não é divisível por 
nenhum dos primos P1∙P2...Pn, portanto, ele também é primo; além disso é maior do que 
todos os demais números primos, incluindo Pn que é o maior primo de todos, o que é um 
absurdo. 
 
 
 
02. Dados f: X→Y, prove: 
 
a. Se X é infinito e f é injetiva, então Y é infinito. 
b. Se Y é infinito e f é sobrejetora, então X é infinito. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
a) Como X é infinito, sabemos que existe um subconjunto X de que X que é infinito 
enumerável. Seja X’= {𝑥1, 𝑥2 … 𝑥𝑛 … } ⊂ X. Como é injetiva, então para cada 𝑥1 ∈ 
X’, existe um e somente um 𝑦1 ∈ y tal que 𝑦1=f (𝑥1). Portanto, existe um 
subconjunto infinito enumerável de y, a saber, y1= {f (𝑥1), f (𝑥2)... f (𝑥𝑛)...} ⊂ y. 
Logo, y é infinito. 
 
b) Como y é infinito, sabemos que existe um subconjunto y’ de y que é infinito 
enumerável. Seja y’= {𝑦1, 𝑦1... 𝑦𝑛...} ∈ y. Como f é sobrejetora, então x ∈ X tal 
que f(x)=y. Defina os conjuntos não-vazios. 
 
𝑋1 = {𝑥 ∈ 𝑋|𝑓(𝑥) = 𝑦1}, i= 1,2,3 ... ou seja, f(x) = {y}, i ∈ N. Observe que existe 
uma coleção infinita enumerável de subconjuntos de X que são dois a dois 
disjuntas já que f é uma função. Logo 𝑢∞..., x, ⊂ x. Portanto, x é infinito. 
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03. Sejam X um conjunto finito e Y um conjunto infinito. Prove que existem uma função 
injetiva f: X→Y e uma sobrejetora g: X→Y. 
 
RESOLUÇÃO: 
Podemos definir f indutivamente, tomando inicialmente X1 ∈ y e definimos f(i)= X1 e 
para n ∈ x escolhemos yn + 1 ∈ y\ 
𝑛
𝑈
𝑘 = 1
{x} definido f(N+1} = xn+1 ⋅ y, nunca é vazio, pois 
é infinito, f é injetora pois tomando m > n tem-se f(n). E 
𝑚 − 1
𝑈
𝑘 = 1
 {x} e f(m) ∈ y \ 
𝑚 − 1
𝑈
𝑘 = 1
{xk}. 
Função sobrejetiva g: y→x 
Existe função injetiva f: x→ y, logo f: x → f(x) ⊂ y, é bijeção, possuindo inversão g-1: f(x) 
→ x. Vendo agora a função f:y → x definida como f(x) = g-1(x) se x ∈ f(x) e f(x) = x1 ∈ x 
se x ∉ f(x), então f é uma função sobrejetora. 
 
 
04. Seja Y enumerável e f: X→Y tal que, para cada y ∈ Y, f -1(y) é enumerável. Prove que 
X é enumerável. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Sendo que x é imensurável. 
Demonstração: 
Atribuindo por exemplo: B imensurável e f: A→B, temos que: A = ⋃ y ∈ B, f -1(y). Então 
A é união enumerável de conjunto enumeráveis, logo é enumerável. Podemos pensar da 
seguinte forma: Só é possível se o domínio de f for todo o X. Seja S= {S-1, S-2} uma 
família de conjuntos, em que cada elemento S- i é, ele mesmo, um conjunto inumerável: 
S – i = {S – i1, S – i2, ... } Disponha S em forma de tabela, de forma que cada S – i fique 
em uma linha. O que também possibilita dizer que é imensurável. 
 
 
05. Seja S o conjunto de todas as funções s: N → {0,1}. Dada uma função 𝜑: N → S 
indique com 𝜑, o valor de 𝜑 no ponto n ∈ N. Assim 𝜑, é uma função de N em {0,1}. 
Defina f: N→{0,1}, pondo f(n)= {
0; 𝜑𝑛(𝑛) = 1
1; 𝜑𝑛(𝑛) = 0
 . Mostre que f ∉ 𝜑(𝑁) e conclua que S 
não é enumerável.