FUNDAMENTOS DE ANÁLISE Exercícios 1 ao 5

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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE
1a aula
	 
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Considerando o conjunto dos números naturais como  N = {1, 2, 3, 4, 5,...}., podemos deduzir a teoria dos números naturais dos quatro axiomas de Peano. Um dos axiomas de Peano P1 é enunciado da seguinte forma.
P1. Existe uma função s:N→N, que a cada numero n∈N associa a um numero s(n)∈N, dito sucessor de n.
Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que
		
	
	Todo número natural possui um único sucessor, que pode não ser um número natural.
	 
	Todo número natural possui um único sucessor, que também é um número natural.
	
	Todo número natural possui um sucessor, que pode não ser único, porém é um número natural.
	
	Todo número natural possui um sucessor que não é natural.
	
	Todo número natural é sucessor de algum numero natural.
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Todo subconjunto finito dos reais tem:
		
	
	o zero como elemento.
	
	pelo menos um intervalo (a,b) contido nele.
	
	uma dízima periódica.
	 
	um menor elemento.
	
	Os reais não tem subconjuntos finitos.
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Identificando cada propriedade formal da relação de ordem com seu nome, obtemos respectivamente,
(I) se m
(II) Dados m,n pertencentes a N, somente uma das três alternativas pode ocorrer: ou m=n ou mn
(III) se m<="" n+p
<="" m+p="" tem-se="" n*,="" a="" pertencente="" p="" todo="" para="" então,="">
<="" m+p="" tem-se="" a="" pertencente="" p="" todo="" para="" n*="">
		
	
	(I) Monotonicidade da Adição, (II) Tricotomia e (III) Transitividade.
	
	(I) Tricotomia, (II) Transitividade e (III) Associativa.
	
	(I) Monotonicidade da Adição, (II) Comutativa e (III) Tricotomia.
	 
	(I) Transitividade, (II) Tricotomia e (III) Monotonicidade da Adição.
	
	(I) Associativa, (II) Lei do Corte e (III) Tricotomia.
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Considerando o conjunto dos números naturais como  N = {1, 2, 3, 4, 5,...}., podemos deduzir a teoria dos números naturais dos quatro axiomas de Peano. Um dos axiomas de Peano P1 é enunciado da seguinte forma.
P1. Existe uma função s:N→N, que a cada numero n∈N associa a um numero s(n)∈N, dito sucessor de n.
Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que
		
	
	Todo número natural possui um sucessor que não é natural.
	
	Todo número natural possui um único sucessor, que pode não ser um número natural.
	
	Todo número natural é sucessor de algum numero natural.
	
	Todo número natural possui um sucessor, que pode não ser único, porém é um número natural.
	 
	Todo número natural possui um único sucessor, que também é um número natural.
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Considere o conjunto dos números naturais:  N = {1, 2, 3, 4, 5,...} Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos 4 axiomas de Peano.
O segundo dos axiomas de Peano é P2.
P2: s:N→N, é injetiva. Dados m,n∈N, temos que   s(m)=s(n)⟹m=n
Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que
(I) Dois números que têm o mesmo sucessor, são iguais.
(II) Números naturais diferentes possuem sucessores diferentes.
(II) Existe um número natural que não possui um sucessor.
		
	 
	(I) e (II)
	
	(III)
	
	(II) e (III)
	
	(I) e (III)
	
	(II)
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos axiomas de Peano.
Esta teoria estabelece a existência de uma função s:N→N, que a cada numero n∈N associa a um numero s(n)∈N, dito sucessor de n.
 
(I) Dois números que têm o mesmo sucessor, são iguais, ou ainda, números naturais diferentes possuem sucessores diferentes.
(II) Existe um único numero natural que não é sucessor de nenhum outro.
(III) Se um subconjunto de números naturais contém o número 1 e, além disso, contém o sucessor de cada um de seus elementos, então esse conjunto coincide com o conjunto dos Naturais N.
Sobre estes axiomas, sobre esta função e sobre estas afirmativas é correto
 
		
	
	I e II somente.
	
	I e III somente.
	 
	I, II e III.
	
	II e III somente.
	
	I somente.
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Seja a sequência {(3n3+1)/(2n2+n)}. Marque a alternativa que indica o limite da sequência quando n tende ao infinito.
		
	
	2
	 
	3/2
	
	2/3
	
	3
	
	4
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos axiomas de Peano.
Esta teoria estabelece a existência de uma função s:N→N, que a cada numero n∈N associa a um numero s(n)∈N, dito sucessor de n.
 
(I) Dois números que têm o mesmo sucessor, são iguais, ou ainda, números naturais diferentes possuem sucessores diferentes.
(II) Existe um único numero natural que não é sucessor de nenhum outro.
(III) Se um subconjunto de números naturais contém o número 1 e, além disso, contém o sucessor de cada um de seus elementos, então esse conjunto coincide com o conjunto dos Naturais N.
Sobre estes axiomas, sobre esta função e sobre estas afirmativas é correto
 
		
	
	II e III somente.
	
	I e II somente.
	
	I somente.
	
	I e III somente.
	 
	I, II e III.
		FUNDAMENTOS DE ANÁLISE
2a aula
	 
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Assinale a opção onde o conjunto correspondente é infinito.
		
	
	Os meses do ano.
	
	{ x : x ∈ R e x2 -7x=0}
	 
	{x : x é par}
	
	As pessoas que habitam o planeta Terra.
	
	{ 1,2,3,.........,1999}
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Analise a convergência  da ∞∑n=1(1n3)∑n=1∞(1n3)   
e informe se ela  é convergente ou divergente,  e  o método utilizado para demonstrar.
		
	
	É uma p-série como p = -2 < 1  então afirmamos que a série é divergente.
	
	É uma p-série como p = 2 > 1  então afirmamos que a série converge.
	 
	É uma p-série como p = 3 > 1  então afirmamos que a série converge.
	
	É uma p-série como p = -3 < 1  então afirmamos que a série é divergente.
	
	É uma p-série como p = 1/2 < 1  então afirmamos que a série converge.
	
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	O conjunto dos números racionais é:
		
	
	não enumerável e infinito.
	
	não enumerável e finito.
	 
	enumerável e infinito.
	
	enumerável e finito.
	
	subconjunto dos naturais
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Marque a alternativa que apresenta corretamente a demonstração do Teorema:  
Se p é elemento mínimo de X, então esse elemento é único.
		
	
	 Dado X contido em N, suponhamos por absurdo que existirem dois elementos mínimos para X: p ∈∈X e q ∈∈X.  Como p ∈∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é maior do que qualquer elemento de X, e já que q ∈∈X, temos que p ≤ q. Da mesma forma, q ∈∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈∈X, temos que q ≤ p. Portanto, como temos p ≤ q  e  q ≤ p, ficamos com p = q.                  
	
	Como p ∈∈X  por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X. q ∈∈X é elemento máximo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈∈X, temos que q ≤ p. Portanto, como temos p ≤ q e q ≤ p, ficamos com p = q.                                    
	
	Dado X contido em N, suponha existirem dois elementos mínimos para X: p ∈∈X e q ∈∈X. Como p ∈∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que q ∈∈X, temos que p > q. Da mesma forma, q ∈∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈∈X, temos que q ≤ p. Portanto,  p = q.                  
	 
	Dado X contido em N, suponha existirem dois elementos mínimos para X: p ∈∈X  e q ∈∈X.  Como p ∈∈X   é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que q ∈∈X , temos que p ≤ q. Da mesma forma, q ∈∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈∈X  , temos que q ≤ p. Portanto, como temos p ≤ q e q ≤ p, ficamos com p = q.                                    
	
	Dado X contido em N, suponha existirem dois elementos mínimos para X: p ∈∈X e q ∈∈X . Como p ∈∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que  q ∈∈X temosque p = q. Da mesma forma, q ∈∈X  é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈∈X, temos então esse elemento é único.
 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Marque a alternativa que prova corretamente que  todo número é diferente do seu sucessor.
		
	 
	
	
	Dado o número natural n, seja P(n):  n ¹ s(n). P(1) é verdadeira.  De fato:  1 ¹ s(1), já que 1 não é sucessor de número algum; em particular, 1 não é sucessor de si próprio.
Hipótese de Indução.  Supor  P(n)   verdadeira,   ou seja, n ¹ s(n).
Assim,  a  verdade  de  P(n)  acarreta   a   verdade  de P(s(n)).  
	
	Dado o número natural n, seja P(n):  n ¹ s(n). Etapa Indutiva.  s(n) = s(s(n)), pois a função s : N ® N é injetiva. Mas a afirmação s(n) ¹ s(s(n) significa que P(s(n))  é  verdadeira.   Assim,  a  verdade  de  P(n)  acarreta   a   verdade  de P(s(n)).  Pelo Princípio da Indução, todos os números naturais gozam da propriedade P, ou seja, são diferentes de seus sucessores.
	
	
	
	
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Marque a alternativa que enuncia corretamente o Teorema (Princípio da Boa Ordenação)
		
	
	Nenhum subconjunto não-vazio A contido em  N possui um menor elemento.
	
	Alguns conjuntos possuem um menor elemento.
	
	Todo conjunto possui um menor elemento.
	 
	Todo subconjunto não-vazio A contido em  N possui um menor elemento.
	
	Todo subconjunto não-vazio A contido em  N possui um maior elemento.
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Dentre os conjuntos abaixo relacionados , assinale o único que é finito :
		
	
	{ x ∈ R : 3 < x < 5}
	 
	{ x ∈ Z : 2 < x < 7}
	
	{ x ∈ Z : x > -3 }
	
	{ x ∈ N : x > 7}
	
	{ x∈ R : x > 3}
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Seja a sequência an=1−nn2an=1-nn2. Dentre as opções abaixo, assinale aquela que representa os quatro primeiros termos da sequência.
		
	
	0, 1/4, 2/9, 3/16
	
	-3/16, 0, -2/9, -1/4
	
	0, -3/16, -2/9, -1/4
	
	1, 2/3, 5/6, 3/16
	 
	0, -1/4, -2/9, -3/16
		FUNDAMENTOS DE ANÁLISE
3a aula
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Um conjunto será infinito quando não for finito. Dessa forma, é somente correto definir conjunto infinito como:
		
	
	A é infinito somente quando qualquer que seja n∈N, não existe uma bijeção φ:In→A.
	
	A é infinito quando não é vazio ou existir n∈N, tal que não existe uma bijeção φ:In→A.
	
	A é infinito quando não é vazio ou qualquer que seja n∈N, não existe uma bijeção φ:In→A.
	
	A é infinito quando qualquer que seja n∈N, não existe uma bijeção φ:In→A.
	 
	A é infinito quando não é vazio e, qualquer que seja n∈N, não existe uma bijeção φ:In→A.
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Considere a sequência infinita f : N*→Q onde f (n ) = 2n. Podemos afirmar que :
		
	
	O conjunto imagem da função é não enumerável.
	
	O menor valor que a função assume é igual a 1.
	
	Existe uma imagem que é negativa.
	
	O maior valor que a função assume é 1024.
	 
	O conjunto imagem da função é enumerável
	
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Um conjunto será infinito quando não for finito. Dessa forma, é somente correto definir conjunto infinito como:
		
	
	A é infinito somente quando qualquer que seja n∈N, não existe uma bijeção φ:In→A.
	
	A é infinito quando não é vazio ou qualquer que seja n∈N, não existe uma bijeção φ:In→A.
	
	A é infinito quando não é vazio ou existir n∈N, tal que não existe uma bijeção φ:In→A.
	 
	A é infinito quando não é vazio e, qualquer que seja n∈N, não existe uma bijeção φ:In→A.
	
	A é infinito quando qualquer que seja n∈N, não existe uma bijeção φ:In→A.
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Qual é a afirmação verdadeira?
		
	
	O produto de dois números irracionais distintos é um número irracional.
	
	A soma de dois números irracionais positivos é um número irracional.
	
	A raiz quadrada de um número racional é um número irracional.
	 
	A diferença entre um número racional e um número irracional é um número irracional.
	
	O quadrado de um número irracional é um número racional.
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Analise a convergência da série ∞∑n=1(1en)∑n=1∞(1en).
		
	
	Pelo teorema do confronto podemos afirmar que é convergente para 10.
	
	Pela Regra de L´Hospital podemos afirmar que diverge.
	 
	Pelo teste da integral podemos afirmar que a série é convergente.
	
	Pelo teste da integral podemos afirmar que a série é divergente.
	
	Pelo teorema do confronto podemos afirmar que a série é divergente.
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Se 0 < x < 1 , qual dos números abaixo é maior que x ?
		
	
	x . x
	 
	√x
	
	-x
	
	x . x . x
	
	0,9 x
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Considere a sequência infinita f:N*→ Q onde f (n) = 1/n . Podemos afirmar que:
		
	
	O conjunto imagem da função é não enumerável.
	 
	O conjunto imagem da função é enumerável.
	
	maior valor que a função assume é igual a 2.
	
	O menor valor que a função assume é igual a 0,001.
	
	f( n+1) ¿ f(n) pode ser positivo.
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Utilizando o teste da integral, determine se a série infinita
 ∞∑n=1(lnnn)∑n=1∞(lnnn)   é convergente ou divergente.
		
	
	Pelo teste da integral encontramos como resultado 3,  logo a série é convergente.
	
	Pelo teste da integral encontramos como resultado 0,  logo a série é convergente.
	
	Pelo teste da integral encontramos como resultado 1,  logo a série é convergente.
	 
	Pelo teste da integral encontramos como resultado ∞∞,  logo a série é divergente.
	
	Pelo teste da integral encontramos como resultado -3,  logo a série é divergente.
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4a aula
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Se |x| = |y| então é correto afirmar que
		
	
	x = y
	 
	x = y e x = -y
	
	y < 0
	
	x > 0
	
	x = -y
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Considere o resultado: Seja um elemento arbitrário a ∈ R , então a ∙ 0 = 0. Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do resultado.
		
	
	Suponhamos     1. 0 + 0 = 0
1, fech.                2. a . (0 + 0) = a . 0   
2, distrib.             3. (a . 0) + 0 = a
3, fech                  4. [(a . 0) + (a . 0)] +(a . 0) = (a . 0) + (a . 0)
4. assoc                5. (a . 0) + [(a . 0) +(a . 0)] = (a . 0) + (a . 0)
5, sim                    6. (a . 0) = 0
	 
	Suponhamos     1. 0 + 0 = 0
1, fech.                2. a . (0 + 0) = a . 0   
2, distrib.             3. (a . 0) + (a . 0) = a . 0
3, fech                  4. [(a . 0) + (a . 0)] - (a . 0) = (a . 0) - (a . 0)
4. assoc                5. (a . 0) + [(a . 0) - (a . 0)] = (a . 0) - (a . 0)
5, sim                    6. (a . 0) = 0
	
	Suponhamos     1. 0 + 0 = 0
1, fech.                2. a . (0 + 0) = a . 0   
2, fech                 3. [(a . 0) + (a . 0)] - (a . 0) = (a . 0) - (a . 0)
3. assoc               4. (a . 0) + [(a . 0) - (a . 0)] = (a . 0) - (a . 0)
4, sim                   5. (a . 0) = 0
	 
	Suponhamos     1. 0 + 0 = 0
1, fech.                2. a . (0 + 0) = a . 0   
2, distrib.             3. (a . 0) + (a . 0) = a . 0
3, fech                  4. [(a . 0) + (a . 0)] - (a . 0) = (a . 0) - (a . 0)
4, sim                   5. (a . 0) = 0
	
	 
 fech.                    1. a . (0 + 0) = a . 0   
1, distrib.             2. (a . 0) + (a . 0) = a . 0
fech                      3. [(a . 0) + (a . 0)] - (a . 0) = (a . 0) - (a . 0)
4. assoc                4. (a . 0) + [(a . 0) - (a . 0)] = (a . 0)
5, sim                   5. (a . 0) = 0
	
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	O ínfimo do conjunto A = { (3+2n)/(3-2n) : n ∈ N} , é igual a :
		
	
	-4
	
	-8
	 
	-7
	
	-6
	
	-5
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Considere o resultado:
Sejam elementos arbitrários a, b ∈ R , então −(a + b) = (−a) + (−b).
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do resultado.
		
	
	teo (a) = (1) . a              1. -(a + b) = (-1) . (a + b),
1, distr                             2. -(a + b) = [((-1) . a) + ((-1) . b)]
2, teo (-a) = (-1) . a        3. -(a + b) = (-a) + (-b)
	 
	teo (-a) = (-1) . a              1. -(a + b) = (-1) . (a + b),
1, distr2. -(a + b) = [((-1) . a) + ((-1) . b)]
2, teo (-a) = (-1) . a         3. -(a + b) = (-a) + (-b)
	
	teo (-a) = (-1) . a              1. -(a + b) =  (a + b),
1, distr                              2. -(a + b) = [((-1) . a) + ((-1) . b)]
2, teo (-a) = (-1) . a         3. -(a + b) = (a) + (-b)
	
	teo (-a) = (-1) . a              1. -(a + b) = (-1) . (a + b),
1, distr                              2. (a + b) = [((1) . a) + ((1) . b)]
2, teo (-a) = (-1) . a         3. -(a + b) = (-a) + (-b)
	
	teo (-a) = (-1) . a              1. -(a + b) = (-1) . (a + b),
1, distr                              2. -(a + b) = [((-1) . a) + ((-1) . -b)]
2, teo (-a) = (-1) . a         3. (a + b) = (a) + (b)
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Para quaisquer x,y,z ∈ R, vale:
		
	
	|x-z|≤|x-y|
	
	|x-z|≤|y-z|
	 
	|x-z|≤|x-y|+|y-z|
	
	|x-z|≥|x-y|+|y-z|
	
	|x-z|≤|z-y|
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Resolvendo a inequação |2x-5|<3 no conjunto dos números reais, encontramos para conjunto solução:
		
	
	] 1 , 4 ]
	
	[1 , 4 [
	
	[ 1 , 4 ]
	 
	] 1 , 4 [ b) ] 1 , 4 ] c)[1,4] d) {1,4} e) [1,4[
	
	{ 1 , 4 }
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	A série (x2 + 2) /(x5 + 2x + 1), pelo critério da comparação com limite, será convergente cujo limite vale:
		
	
	3
	
	+OO+OO
	 
	1
	
	−OO-OO
	
	2
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Considere o resultado:
Seja um elemento arbitrário a ∈ R , então −(−a) = a.
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do resultado.
		
	
	Seja um elemento arbitrário a ∈ R , então −(−a) = a.
Seja  (-a) + a = 0. Usando o teorema  (*) ,  temos:  a = -(-a), logo podemos concluir que  -(-a) = a
(*) Se a - b  = 0, então b = a
 
	
	Seja um elemento arbitrário a ∈ R , então (−a) = a.
Seja  (-a) + a = 0. Usando o teorema  (*) ,  temos:  a = -(-a), logo podemos concluir que  -(-a) = a
 
(*)  Se a + b = 0 , então b = -a
	 
	Seja um elemento arbitrário a ∈ R , então −(−a) = a.
Seja  (-a) + a = 0. Usando o teorema  (*) ,  temos:  a = -(-a), logo podemos concluir que  -(-a) = a
(*) Se a + b  = 0, então b = -a
 
 
 
	
	Seja um elemento arbitrário a ∈ R , então (−a) = a.
Seja  (-a) + a = 0. Usando o teorema  (*) ,  temos:  a = -(-a), logo podemos concluir que  -(-a) = a
(*) Se a + b  = 0, então b = -a
 
	
	Seja um elemento arbitrário a ∈ R , então −(a) = a.
Seja  (-a) + a = 0. Usando o teorema ,  temos:  a = -(-a), logo podemos concluir que  -(-a) = - a
 
(*)  Se a + b = 0 , então b = -a
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5a aula
	 
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Analisando a série de termos positivos cujo o termo geral é n3/en conclui-se que a mesma :
		
	 
	converge pois o lim an+1/an vale 1/e
	
	converge pois o lim an+1/an vale 1/2
	
	diverge pois o lim an+1/an vale 5/3
	
	diverge pois o lim an+1/an vale 2,5
	
	converge pois o lim an+1/an vale 1/3
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Sejam a e b números irracionais.
Das afirmações:
(I) a.b é um número irracional,
(II) a+b é um número irracional ,
(III) a-b pode ser um número racional,
Pode-se concluir que:
		
	
	Somente I e III são verdadeiras.
	
	As três são verdadeiras.
	
	As três são falsas.
	
	Somente I é verdadeira.
	 
	Somente I e II são falsas.
	
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Analise a convergência da série ∞∑n=1(2nn!)∑n=1∞(2nn!).
		
	
	Como o valor do limite encontrado é 0, podemos concluir a série diverge.
	
	Como o valor do limite encontrado é 0, podemos afirmar nada.
	 
	Como o valor do limite encontrado é 0, podemos concluir a série converge.
	
	Como o valor do limite encontrado é 2, podemos concluir que a série converge.
	
	Como o valor do limite encontrado é 2, podemos concluir a série diverge.
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Marque a alternativa que mostra corretamente a demonstração do seguinte resultado: Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a é par.
		
	
	Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é par.
Supondo que a é impar, teremos que é da forma a=2n+1, n em Z.
Seja a2 = (2n + 1)2 = 2(2n2 + 2n) + 1. Como n é um elemento de Z, temos que w = 2n2 + 2n é um elemento de Z. Ficamos com a2 = 2w + 1, w em Z. Dessa forma, pela definição, a2 é um número ímpar.  Isso  equivale a dizer que: Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a é par.
	 
	Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é impar.
Supondo que a é impar, teremos que é da forma a=2n+1, n em Z.
Seja a2 = (2n + 1)2 = 2(2n2 + 2n) + 1. Como n é um elemento de Z, temos que w = 2n2 + 2n é um elemento de Z. Ficamos com a2 = 2w + 1, w em Z. Dessa forma, pela definição, a2 é um número ímpar.  Isso  equivale a dizer que: Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a é par.
	
	Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é impar.
Supondo que a é impar, teremos que é da forma a=2n+1, n em Z.
Dessa forma, pela definição, a2 é um número ímpar.  Isso  equivale a dizer que: Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a é par.
	
	Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é impar.
Supondo que a é impar, teremos que é da forma a=2n+1, n em Z.
Seja a2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 1. Como n é um elemento de Z, temos que w = 4n2 + 1 é um elemento de Z. Ficamos com a2 = 4w2 + 1, w em Z. Dessa forma, pela definição, a2 é um número ímpar.  Isso  equivale a dizer que: Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a é par.
	
	Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é impar.
Seja a=2n+1. Seja a2 = (2n + 1)2 = 2(2n2 + 2n) + 1. Como n é um elemento de Z, temos que w = 2n2 + 2n é um elemento de Z. Ficamos com a2 = 2w + 1, w em Z. Dessa forma, pela definição, a2 é um número ímpar.  
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Analise a convergência da série ∞∑n=12n7n.(n+1)∑n=1∞2n7n.(n+1).
		
	
	A série divergente absolutamente para 5/7, portanto a série é dita convergente.
	
	A série converge absolutamente para 2/7, portanto a série é dita divergente.
	
	A série converge absolutamente para 5/7, portanto a série é dita convergente.
	 
	A série converge absolutamente para 2/7 portanto a série é dita convergente.
	
	A série divergente para 2/7, portanto a série é dita convergente.
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Analise a convergência da série ∞∑n=1(2n+33n+2)n∑n=1∞(2n+33n+2)n .
Determine o limite de an quando n tende ao infinito e se a série converge ou diverge.
		
	
	O limite de an quando n tende a infinito será -2, portanto a série diverge.
	
	O limite de an quando n tende a infinito será 2, portanto a série converge.
	 
	O limite de an quando n tende a infinito será 23, portanto a série converge.
	
	 O limite de an quando n tende a infinito será 32, portanto a série diverge.
	
	O limite de an quando n tende a infinito será òo, portanto a série diverge.
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Verificando a série de termos positivos cujo o termo geral é n/ln(n)n/2 concluimos que a série:
		
	
	nada se pode declarar poiis o limite vale 1
	
	converge pois o limite vale 0,9
	
	converge pois o limite vale 1/10
	
	diverge pois o limite vale 7/2
	 
	converge pois o limite vale 0
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Sejam a e b dois números ímpares .É correto afirmar que : a2 + b2 pode ser um número ímpar.
		
	 
	a2 + b2 é sempre um número par.
	
	a2 - b2 pode ser um número ímpar.
	
	Não é um número real
	
	Depende dos valores de a e b
	
	a2 + b2 é sempre um número ímpar.