Portfólio 01_ Introdução a Analise

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
CURSO DE LICENCIATURA-MATEMÁTICA 
DISCIPLINA: INTRODUÇÃO A ANÁLISE 
PROFESSOR (A): JOSE VALTER LOPES NUNES 
TUTOR (A): HUDSON DE SOUSA FELIX 
ALUNO (A): SABRINA GONÇALVES DE MELO 
MATRÍCULA: 0427767 
 
 
 
 
 
 
PORTFÓLIO 01 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUITERIANÓPOLIS-CE 
2019 
 
 
 
 
03) Um número natural p chama-se primo quando 𝒑 ≠ 𝟏 e não se pode escrever 
𝒑 = 𝒎 ∗ 𝒏 como 𝒎 < 𝒑 e 𝒎 < 𝒑. Prove que o conjunto dos números primos é 
infinito. 
Supondo que a sequência dos primos seja finita. Seja 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛 a lista de todos os 
primos. Consideramos o número 𝑃 = 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛+1. Sendo que P não é divisível por 
nenhum dos p da lista e que P é maior do que qualquer p. Mas sabemos que todo 
inteiro maior do que 1 pode ser representado de maneira (a menos de uma ordem) 
como um produto de fatores primos (*). Dessa maneira, P é primo ou possui algum 
fator primo e isto implica na existência de um primo que não pertence a lista. 
Portanto a sequência dos números primos não pode ser finita. Dessa maneira, P é 
infinita. 
06) Dada 𝒇: 𝑿 → 𝒀, prove: 
a) Se X é infinito f é injetiva então Y é infinito. 
Como f é injetiva, então 𝑓: 𝑋 → 𝑓(𝑥) é bijeção e 𝑓(𝐴)𝐶𝐵 é infinito, logo B é infinito, B 
não pode ser finito, pois todo subconjunto de um conjunto finito é finito, f (A) não 
pode ser finito, pois se fosse A estaria em bijeção coom o conjunto finito logo seria 
finito. 
b) Se Y é infinito e f é sobrejetiva, então X é infinito. 
Dado 𝑌 ∈ 𝐵 escolhemos 𝑥 ∈ 𝐴 tal que 𝑓(𝑥) = 𝑦 e com isso definimos a função 𝑔: 𝐵 →
𝐴 tal que 𝑔(𝑦) = 𝑥, g é injetiva então pelo resultado do item anterior concluímos que 
A é infinito. 
07) Sejam X um conjunto finito e Y um conjunto infinito. Prove que existem 
uma função injetiva 𝒇: 𝑿 → 𝒀 e uma sobrejetiva 𝒈: 𝒀 → 𝑿. 
Seja 𝑋 = {𝑥1 … 𝑥𝑚}, escolhendo m elementos distintos de y, temos 𝑦1, … 𝑦𝑚. Dessa 
maneira, definimos 𝑓: 𝑋 → 𝑌 por 𝑓(𝑥𝑖) = 𝑦𝑖, assim temos que f é injetiva. Agora, 
denote 𝐴 = {𝑦𝑖, … 𝑦𝑚−1} ⊂ 𝑦 e considere 𝑔: 𝑦 → 𝑋 definida por 𝑔 (𝑦𝑖) = 𝑥𝑖 se 𝑦𝑖 ∈ 𝐴 
e 𝑔(𝑦) = 𝑥𝑚 se 𝑦 ∉ 𝐴. Dessa forma, concluímos que g é sobrejetiva. 
10) Seja Y enumerável e 𝒇: 𝑿 → 𝒀 tal que, para cada 𝒚 ∈ 𝒀, 𝒇−𝟏(𝒚), é enumerável. 
Prove que X é enumerável. 
Definindo que existe uma bijeção 𝑓: 𝑌 → ℕ. Então, 𝑓: 𝑋 → ℕ é uma bijeção de x sobre 
um subconjunto de ℕ, que pelo teorema 1, é enumerável. 
 
11) Seja S o conjunto de todas as funções 𝒔: 𝑵 → {𝟎, 𝟏}. Dada uma função 
𝝋: 𝑵 → 𝑺 indique com 𝝋𝒏 o valor de 𝝋 no ponto 𝒏 ∈ 𝑵. Assim 𝝋𝒏 é uma função 
de N em {0,1}. Defina 𝒇: 𝑵 → {𝟎, 𝟏}, pondo 𝒇(𝒏) = {
𝟎; 𝝋𝒏 (𝐧) = 𝟏
𝟏; 𝝋𝒏 (𝐧) = 𝟎 
. Mostre que 𝒇 ∉
 𝝋 (𝑵) e conclua que S não é enumerável. 
O conjunto S não é enumerável. Para provar isso, suponha por absurdo, que S é 
enumerável. Nesse caso, pode-se listar os elementos: 
𝑆1 = (𝑆11, 𝑆12 … ); 𝑆2 = (𝑆21, 𝑆22 … ); 𝑆3 = (𝑆31, 𝑆32 … ) 
Definindo, a sequência f(n), onde 𝑁 = {𝑛(1), 𝑛(2) … , 𝑛(𝑛), … } ∈ e 𝑛 (1) ≠
 𝑠11, 𝑛 (2) ≠ 𝑠22, 𝑛 (3) ≠ 𝑠33 e, assim por diante, f (n) ≠ snn. A sequência N não 
está na lista. Podemos concluir que um conjunto S enumerável não pode conter 
todas as sequências possíveis. Logo, a hipótese de que S é enumerável não pode 
ser mantida. Dessa maneira, conclui-se que S não é enumerável.