PontesI_Apostila1

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PONTES: introdução e fundamentos para análise e projeto (Apostila 1)
Technical Report · January 2002
DOI: 10.13140/RG.2.2.23358.13128
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Ricardo A. M. Silveira
Universidade Federal de Ouro Preto
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Leonardo Pinheiro
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PONTES: introdução 
e fundamentos para
análise e projeto
Apostila 1
Prof. Ricardo A.M. Silveira
Departamento de Engenharia Civil
Escola de Minas
Universidade Federal de Ouro Preto
Colaboração:
Eng. Leonardo Pinheiro
Outubro, 2002
 I
ÍNDICE 
 
Objetivo do Curso ....................................................................................... 1 
 
1 Conceitos Gerais ....................................................................................... 2 
 1.1 Definições ............................................................................................................. 2 
 1.2 Evolução Histórica ............................................................................................... 4 
 1.3 Requisitos Fundamentais ...................................................................................... 7 
 1.4 Conhecimentos Afins ........................................................................................... 8 
 1.5 Elementos Constituintes das Pontes ..................................................................... 8 
 1.5.1 Infraestrutura .............................................................................................. 9 
 1.5.2 Mesoestrutura ............................................................................................. 9 
 1.5.3 Superestrutura ........................................................................................... 12 
 1.6 Tramo: Altura de Construção e Vãos ................................................................. 15 
 1.7 Classificação das Pontes ..................................................................................... 16 
 
2 Elementos Necessários Para a Elaboração do Projeto de uma Ponte20 
 2.1 Introdução e Objetivos ....................................................................................... 20 
 2.2 Fases Principais do Projeto ................................................................................. 21 
 2.3 Documentos de Projetos ..................................................................................... 21 
 2.4 Elementos Geométricos ...................................................................................... 22 
 2.5 Elementos Geométricos das Rodovias ............................................................... 22 
 2.6 Elementos Geométricos das Ferrovias ............................................................... 26 
 2.7 Elementos Geométricos das Pontes .................................................................... 28 
 2.8 Elementos Topográficos ..................................................................................... 31 
 2.9 Elementos Geotécnicos ...................................................................................... 31 
 2.10 Elementos Hidrológicos ................................................................................... 32 
 2.11 Elementos Acessórios ....................................................................................... 32 
 2.12 Elementos Normativos ..................................................................................... 33 
 
 
 
 II
3 Carregamentos das Pontes .................................................................... 34 
 3.1 Introdução ........................................................................................................... 34 
 3.2 Forças Principais ................................................................................................ 35 
 3.2.1 Carga Permanente..................................................................................... 36 
 3.2.2 Cargas Móveis .......................................................................................... 36 
 3.2.3 Impacto Vertical ....................................................................................... 39 
 3.3 Forças Adicionais ...............................................................................................40 
 3.3.1 Ação do Vento .......................................................................................... 41 
 3.3.2 Esforços Longitudinais ............................................................................. 42 
 3.3.3 Empuxo de Terra ou Água ....................................................................... 44 
 3.3.4 Impacto Lateral......................................................................................... 46 
 3.3.5 Força Centrífuga ....................................................................................... 46 
 3.3.6 Esforços de Guarda-Roda e Barreiras Laterais ........................................ 47 
 3.3.7 Esforços Produzidos Por Deformações Internas ...................................... 48 
 3.3.8 Atrito nos Apoios ..................................................................................... 48 
 3.3.9 Recalques das Fundações ......................................................................... 48 
 3.3.10 Inércia das Massas .................................................................................. 48 
 3.4 Forças Especiais ................................................................................................. 49 
 3.5 Lista de Exercícios ............................................................................................. 49 
 3.6 Pontes com Três ou Mais Vigas Principais ........................................................ 59 
 3.6.1 Considerações de Cálculo ........................................................................ 62 
 3.6.2 Processo Simplificado .............................................................................. 65 
 3.6.3 Processo Exato ......................................................................................... 66 
 
4 Linhas de Influência ............................................................................... 67 
 4.1 Definição ............................................................................................................ 67 
 4.2 Fases de Solução do Problema ........................................................................... 69 
 4.3 Obtenção dos Efeitos Elásticos .......................................................................... 69 
 4.4 Estruturas Isostáticas .......................................................................................... 71 
 4.5 Lista de Exercícios ............................................................................................. 74 
 
 
 
 
 III
5 Provas .......................................................................................................... 80 
 Prova 1998/1 ............................................................................................................. 81 
 Prova 1998/2 ............................................................................................................. 83 
 Prova 1999/1 ............................................................................................................. 86 
 Prova 1999/2 ............................................................................................................. 88 
 Prova 2000/1 ............................................................................................................. 91 
 Prova 2000/2 ............................................................................................................. 93 
 Prova 2001/1 ............................................................................................................. 95 
 Prova 2001/2 ............................................................................................................. 97 
 Prova 2002/1 ........................................................................................................... 100 
• OBJETIVO DO CURSO
Primeiro Contato do Aluno 
com o Estudo das Pontes
• O QUE DIFERE AS PONTES DAS OUTRAS ESTRUTURAS
NO CAMPO DA ENGENHARIA ESTRUTURAL?
1. CARREGAMENTO
Edifícios Residenciais: cargas permanentes (80 %) 
cargas acidentais (20 %)
Pontes: cargas permanentes ≤ cargas acidentais
2. GRAU DE HIPERESTATICIDADE
Edifícios Residenciais: grande hiperestaticidade 
Pontes: pequena hiperestaticidade
1
1. CONCEITOS GERAIS
Refs.: 1. Pontes de Concreto Armado,Vol. 1, autor: Walter Pfeil
2. Pontes, autor: Glauco Bernardo
3. Pontes em Concreto Armado e Protendido, autor: Jayme Mason
4. Pontes Metálicas e Mistas em Viga Reta - Projeto e Cálculo, 
autor: Jayme Mason
5. Pontes – Superestruturas, Vols. 1 e 2, autor: Colin O'Connor 
PONTES I
Deciv / EM / UFOP
1.1 DEFINIÇÕES
• Pontes: obra destinada a transposição de obstáculos à continuidade
de uma via. Os obstáculos usualmente encontrados são rios,
braços de mar, vales profundos, outras vias etc 
• Viadutos: o obstáculo transposto não é constituído em sua maior 
extensão por massa de água 
Obs. Obras de engenharia que poderiam ser substituídas por
uma ponte ou viaduto: aterro do vale, muros de arrimo e
cortes
2
Aterro do vale
Muros de arrimo e cortes
(Viaduto a meia encosta)
Cruzamento em desnível
Viaduto de acesso
3
1.2 EVOLUÇÃO HISTÓRICA 
� ROMANOS
� Primeiros construtores
� Necessidade: expandir o império e ligar o mesmo à capital
� Técnica: abóbadas de alvenaria de pedra 
Origem da Construção de Pontes
Antigas Civilizações
• Árvore tombada nas margens de um riacho 
• As erosões eólicas mostraram aos primitivos o arco como forma adequada para
vencer depressões 
• Os cipós que se entrelaçam de uma árvore a outra (intuição das estruturas pênseis) 
Exemplos
da Natureza
� IDADE MÉDIA
� Pontes como obstáculos (senhores feudais)
� Pontes em “zig-zag” 
Pontes em “zig-zag”
Pontes com guaritas
4
� SÉCULO XII
� Irmandade Religiosa: construção e preservação
� Características das Pontes: pequena largura
e abóbadas abatidas (aperfeiçoamento)
� RESNASCIMENTO
� Melhoria nas fundações
� FRANÇA
� 1716: Departamento de Pontes e Estradas
� 1747: Funda-se a École de Ponts 
� 1760: Unificação do estudo de ponte (Perronet)
� SÉCULO XIX
� Grande avanço técnico
� Pontes metálicas
� Inicia-se a utilização das pontes de concreto armado
PONTE BRITANNIA
� Construída em 1846/50
� Vãos: 70-138-138-70 metros
� Vigas tubulares compostas de placas e cantoneiras de ferro maleável
5
� SÉCULO XX
� Pontes de concreto armado
� Mecânica dos solos: fundações
� Técnicas de obtenção de materiais de qualidade
� Concreto Protendido
6
PONTE RIO-NITERÓI
�FUNCIONALIDADE: satisfazer o fim para o qual foi destinada, permitindo o tráfego
atual e futuro; permitir o escoamento das águas sob a ponte se processe
com o mínimo de perturbações. Portanto, a ponte deve apresentar determinadas
larguras e comprimentos
1.3 REQUISITOS FUNDAMENTAIS
� ECONOMIA: requisito de maior importância. Atendendo aos requisitos anteriores, deve o 
engenheiro encontrar a solução mais vantajosa do ponto de vista da realização do
projeto
� SEGURANÇA: para segurança da ponte deve ser consideradas: AS TENSÕES E 
AS DEFORMAÇÕES. 1. As tensões não devem ultrapassar a tensão admissível
para o material que as constitui; 2. As deformações devem 
ser limitadas (flambagem)
�ESTÉTICA: a ponte deve atender ao aspecto de boa aparência e deve satisfazer 
arquitetonicamente sem criar grandes contrastes com o ambiente em que ela é
implantada
7
RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS
1.4 CONHECIMENTOS AFINS
TEORIA DAS 
ESTRUTURAS
MECÂNICA DOS SOLOS
HIDRÁULICA
MATERIAIS DE 
CONSTRUÇÃO
AERODINÂMICA
ARQUITETURA
(estudo dos efeitos que a obra pode introduzir
no regime líquido)
(estudo adequado do efeito do vento sobre a obra)
¶ INFRAESTRUTURA
� MESOESTRUTURA
�SUPERESTRUTURA 
1.5 ELEMENTOS CONSTITUINTES DAS PONTES
8
1.5.1 INFRAESTRUTURA
É a parte da ponte por meio da qual são transmitidos
ao terreno de implantação da obra (rocha ou solo) os
esforços recebidos da mesoestrutura.
Elementos da INFRAESTRUTURA:
• Blocos
• Sapatas
• Estacas
• Tubulões
1.5.2 MESOESTRUTURAÉ a parte da ponte que recebe os esforços da superestrutura e
os transmite à infraestrutura, em conjunto com os esforços
recebidos diretamente de outras forças solicitantes da ponte,
tais como pressões do vento e da água em movimento.
Elementos da MESOESTRUTURA:
• Pilares
• Encontros
• Pilares-encontros
• Muros de acompanhamento
9
1. PILARES: suportes intermediários que apenas
recebem os esforços da superestrutura
2. ENCONTROS: suportes de extremidades que ficam em 
contato com os aterros, sendo sua função resistir
além dos esforços da superestrutura também aqueles
provenientes dos empuxos e subpressões
3. PILARES-ENCONTROS: suportes reforçados que devem
garantir a estrutura ou resistir a empuxos de arcos ou
abóbadas adjacentes
4. MUROS DE ACOMPANHAMENTO: são complementos
dos encontros e destinam-se a conter os taludes dos 
aterros nas entradas das pontes (MUROS DE ALA;
MUROS DE RETORNO)
MUROS DE ACOMPANHAMENTO
Muros de ala
Muros de retorno
10
OBSERVAÇÕES:
• Os pilares são chamados de CAVALETES quando são constituídos 
por treliça metálica ou de madeira
• Em Pontes Pênseis, para colocação dos cabos, é preciso suportes
de altura maior: são as “TORRES” ou “PILONES”
• Pilares colocados dentro da corrente líquida: TALHANTES
Talhantes
“Torres” ou “Pilones”
11
1.5.3 SUPERESTRUTURA
É a parte da ponte composta geralmente de lajes e vigas 
principais e secundárias; é o elemento de suporte imediato do 
estrado, sob o ponto de vista da sua finalidade
Elementos da SUPERESTRUTURA:
• Tabuleiro
• Tímpano
• Pendurais
• Estrutura principal
• Apoios
• Enrijamento
SU PERESTRU TU RA
Tabuleiro
Estrado
Vigamento
 Secundário
Tímpano
Cheio Vazado
Pendurais
Estrutura
 Principal
Apoios
Fixos M óveis
Enrijamentos
Contraventamento Travejamento
ELEMENTOS DA SUPERESTRUTURA
12
1. TABULEIRO: conjunto dos elementos que vão receber
diretamente as cargas móveis.
• ESTRADO: contém a superfície de rolamento, o leito da
estrada e o suporte da estrada.
• VIGAMENTO SECUNDÁRIO: constituído por longarinas e 
transversinas.
Tipos de tabuleiros
2. TÍMPANO: elemento de ligação entre o arco inferior e o tabuleiro;
tem a finalidade de transmitir ao arco todas as cargas 
aplicadas na ponte
13
3. PENDURAIS: elementos que aparecem nas pontes em arco 
quando o tabuleiro é inferior ou intermediário; é através
deles que os arcos recebem as cargas aplicadas no tabuleiro
4. ESTRUTURA PRINCIPAL: é a parte destinada a vencer 
a distância entre dois suportes sucessivos.
Obs. O tipo e o material da estrutura principal geralmente 
definem uma ponte.
5. APOIOS: permitem a localização das reações; podem ser fixos 
ou móveis:
• FIXOS: permitem apenas rotação da estrutura.
• MÓVEIS: permitem rotação e translação da estrutura. 
6. ENRIJAMENTOS: são os elementos que fornecem rigidez à ponte. 
• CONTRAVENTAMENTO: resistem aos esforços oriundos 
de ação perpendicular ao eixo longitudinal (vento). 
• TRAVEJAMENTO: resistem aos esforços oriundos de ação
que atua longitudinalmente (frenação ou aceleração).
14
1.6 TRAMO
Altura de Construção Vão
vão
 aparente
vão
 teórico
vão de
escoamento
vão
 crítico
vão
 econômico
1.6 TRAMO: ALTURA DE CONSTRUÇÃO E VÃOS
• TRAMO:
Parte da superestrutura situada entre dois suportes sucessivos.
Elementos característicos: ALTURA DE CONSTRUÇÃO e VÃO
• ALTURA DE CONSTRUÇÃO:
Para uma determinada seção é a distância vertical entre o ponto
mais baixo da estrutura e o topo da superfície de rolamento 
15
• VÃO:
Distância medida horizontalmente entre os centros de
duas seções da estrutura
1. VÃO TEÓRICO: distância entre os centros de apoios sucessivos (l’)
2. VÃO APARENTE: distância entre as faces de dois suportes consecutivos (l)
3. VÃO DE ESCOAMENTO: distância medida na seção de escoamento das águas (l’’)
4. VÃO CRÍTICO: comprimento máximo que se pode alcançar c/ determinado material
5. VÃO ECONÔMICO: é aquele que permite tornar mínimo custo da ponte 
a. TAMANHO DO VÃO
� Bueiros
� Pontilhões
� Pontes ou Viadutos
b. DURAÇÃO
� Provisórias
� Definitivas
� Desmontáveis
c. NATUREZA DO TRÁFEGO
� Ferroviárias
� Rodoviárias
� Pedestres
� Aquedutos
� Ponte Canal
� Pontes Mistas
1.7 CLASSIFICAÇÃO DAS PONTES
16
d. ANDAMENTO PLANIMÉTRICO
� Pontes retas
� Pontes em curva
� Pontes esconsas
e. ANDAMENTO ALTIMÉTRICO
� Pontes horizontais
� Pontes em rampa
f. SISTEMA ESTRUTURAL
� Pontes de eixo retilíneo
� Pontes em pórtico
� Pontes em arco
� Pontes pênseis
� Pontes estaiadas
� Comportamento misto
Ponte
estaiada
17
g. MATERIAL DA SUPERESTRUTURA
� Pontes de madeira
� Pontes de alvenaria
� Pontes metálicas
� Pontes de concreto
h. POSIÇÃO DO TABULEIRO
� Tabuleiro superior
� Tabuleiro embutido
i. MOBILIDADE DOS TRAMOS
� Pontes fixas
� Pontes móveis
� giratórias
� corrediças
� levadiças
� basculantes
� oscilantes
� flutuantes
Pontes Giratórias
Pontes Corrediças
18
Pontes Levadiças
Pontes Basculantes
Pontes Oscilantes
19
2. ELEMENTOS NECESSÁRIOS
PARA A ELABORAÇÃO 
DO PROJETO DE UMA PONTE 
Refs.: 1. Pontes de Concreto Armado, Vol. 1, autor: Walter Pfeil
2. Pontes em Concreto Armado e Protendido, autor: Jayme Mason 
PONTES I
Deciv / EM / UFOP
2.1 INTRODUÇÃO E OBJETIVOS
• FINALIDADE: Elementos geométricos do estrado e Cargas
• COLOCAÇÃO DE UMA PONTE: Peculiaridades inerentes a cada caso
• NORMAS GERAIS:
1. MENOR CUSTO PARA A OBRA
2. CONDIÇÕES DE BOA FUNDAÇÃO
3. NÃO INTERFERIR NO REGIME LÍQUIDO
• NECESSIDADE AINDA:
1. Levantamentos TOPOGRÁFICOS
2. Levantamentos HIDROLÓGICOS
3. Levantamentos GEOTÉCNICOS
4. Elementos ACESSÓRIOS
20
2.2 FASES PRINCIPAIS DO PROJETO
• O PROJETO DE UMA PONTE
Conjunto de estudos, cálculos e gráficos que permitem:
1. DEFINIR: sistema estático e materiais
2. JUSTIFICAR: dimensões adotadas para o vão e para as diversas partes; custos 
3. CONSTRUIR: de acordo com os detalhes gráficos e especificações do memorial descritivo
• FASES:
1. ESTUDOS PRELIMINARES: Elementos para fixação do vão da ponte, para sua melhor
localização; Fatores geológicos e econômicos
2. ANTE-PROJETO: Várias soluções técnicas; Orçamento estimativo
3. PROJETO DEFINITIVO: Melhores condições de custo e execução
2.3 DOCUMENTOS DE PROJETOS
1. Planta de situação do local da travessia, indicando as regiões habitadas mais próximas (1:1000 A 1:2000)
2. Corte do conjunto estrada-ponte com escalas diferentes:
ALTURAS: 1:100 a 1:200; COMPRIMENTOS: 1:1000 a 1:2000
3. Corte transversal indicando o sub-solo, com detalhes de sondagens
4. Elevação da ponte, podendo ser metade em vista e metade em corte longitudinal (1:50 a 1:100)
5. Seções transversais da superestrutura e plantas da mesma (1:20 a 1:50)
6. Plantas e elevações da infraestrutura e mesoestrutura
7. Detalhes de construção: - PLANTAS DE FORMAS; - PLANTAS DE FERRAGENS, etc.
8. Memorial descritivo acompanhado de todos os cálculos
9. Orçamento
10. Programa de execução
21
2.4 ELEMENTOS GEOMÉTRICOS
• SEU PRÓPRIO ESTRADO
• CARACTERÍSTICAS DA VIA
ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DA VIA: DNER, DER, Prefeituras Municipais, etc
ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DO ESTRADO: Característica funcionais da ponte
Os elementos geométricos aos quais o projeto de uma ponte é subordinado
são funções de:
2.5 ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DAS RODOVIAS
A. Classe das Rodovias. Velocidade Diretriz
B. Curva Horizontal. Raios Mínimos
C. Rampas
D. Distância Mínima de Visibilidade. Curvas de Concordância Vertical
E. Largura das Pistas de Rolamento e Acostamento
F. Superlargura e Inclinação Transversal
22
A. CLASSE DAS RODOVIAS E VELOCIDADE DIRETRIZ
CLASSES: Classe I
Classe II
Classe III
VELOCIDADE DIRETRIZ: Velocidade básica para a dedução das
características do projeto
FUNÇÃO: Tipo orográfico da região e Classe da rodovia
B. CURVA HORIZONTAL. RAIOS MÍNIMOS
• RAIOS MÍNIMOS: Objetiva limitar a força centrífuga que atuará no veículo
viajando com a velocidade diretriz
• CURVAS DE TRANSIÇÃO: A curvatura horizontal cresce proporcionalmente ao comprimento
(o veículo recebe gradativamente a força centrífuga)
Classe I: C.T. pararaios de curvatura inferiores a 600 m
Classes II e III: C.T. para raios de curvatura inferiores a 440 m
23
Viaduto em trecho curvo
Planta, com locação das fundações
Elevação desenvolvida
C. RAMPAS
D. DISTÂNCIA DUPLA DE VISIBILIDADE. CURVAS DE CONCORDÂNCIA VERTICAL
D.D.V.: Distância mínima para parada de dois veículos que se deslocam, um ao encontro 
do outro, na mesma faixa de tráfego, a partir do instante em que seus motoristas se
avistam
D = V + 0.02 V2 , onde: D = D.D.V. (m) e V = velocidade diretriz (km/h)
C.C.V.: Quando se passa de um trecho em nível para um trecho em rampa
24
E. LARGURA DAS PISTAS DE ROLAMENTO. ACOSTAMENTO
LARGURA: 
Classe I: 7.20 m
Classes II e III: 6.0 a 7.20 m
ACOSTAMENTO: 
Classe I: 2.5 m (em geral)
F. SUPERLARGURA. INCLINAÇÃO TRANSVERSAL
TRECHOS CURVOS
SUPERLARGURA:
onde: ∆ = superlargura (m)
n = número de faixas de tráfego
r = raio de curvatura
V = velocidade diretriz (km/h)
b = distância entre os eixos da parte rígida do veículo: 6.0 m
INCLINAÇÃO TRANSVERSAL: Contrabalancear os efeitos da força centrífuga
r10
V
brrn 22 +





−−=∆
Perfis longitudinais
Vista isométrica
Superlargura e inclinação transversal do trecho em curva
25
Viaduto em trecho curvo
A. Classe das Ferrovias
B. Curvatura Horizontal. Raios Mínimos
C. Declividades Longitudinais. Concordância Vertical
E. Trens-Tipo
D. Superelevação
2.6 ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DAS FERROVIAS
26
A. CLASSE DAS FERROVIAS
• Bitola: Distância entre as faces internas dos trilhos
• Cargas: Trens-tipos brasileiros (T.B.)
OBSERVAÇÃO:
Rede Ferroviária Federal: Responsável pelas condições técnicas para projetos de ferrovias
B. CURVATURA HORIZONTAL. RAIOS MÍNIMOS 
• R.M.: São maiores que os das rodovias
• Curvas de transição: RAIOS < 1.146 m
C. DECLIVIDADES LONGITUDINAIS. CONCORDÂNCIA VERTICAL
• D.L.: Inferiores às das rodovias
(menor coef. de atrito entre as rodas e os trilhos)
• C.V.: Adotar C.C.V. entre declividades longitudinais quando a diferença de rampas for: 
- ≥ 0.1 %: Côncavas
- ≥ 0.2 %: Convexas
27
D. SUPERELEVAÇÃO
• Objetivo: Compensar os efeitos da força contrífuga
nos trechos em curva
• Curva de transição: Variação linear de 3mm/m
• Curva circular: SUPERELEVAÇÃO (fórmula teórica)
E. TRENS-TIPO. Norma brasileira NB-7:
• Bitola de 1.6 m e 1.435 m:
Linhas troncos: TB-32 e TB-27
Linhas subsidiárias: TB-27 
• Bitola de 1.0 m:
Linhas troncos: TB-20
Linhas subsidiárias: TB-16 
2.7 ELEMENTOS GEOMÉTRICOS DAS PONTES
A. DEFINIÇÕES
• Tramo
• Vão teórico do tramo
• Vão livre do tramo
• Altura de construção
• Esconsidade
• Altura livre
28
B. LARGURA DAS PONTES RODOVIÁRIAS
• Pontes Urbanas: Largura igual à da rua ou avenida onde se localiza a obra
• Pontes Rurais: Tem a finalidade de escoar os tráfegos das rodovias
• Acostamento:
1. Desvios eventuais de veículos em tráfego
2. Parada de veículos
3. Trânsito de pedestres
C. LARGURA DAS PONTES FERROVIÁRIAS
LARGURA MÍNIMA: 1. Suficiente para acomodar a linha férrea com lastro
2. Em regiões urbanas colocam-se passeios, em um só lado ou nos dois
lados da ponte
c)
29
D. GABARITO DAS PONTES
GABARITO: Conjunto de espaços livres que deve apresentar o projeto de uma ponte, para atender
diversas finalidades
Pontes
rodoviárias
Pontes
Ferroviárias
Ponte com
gabarito de
navegação
Gabarito de 
navegação da 
Ponte Rio-Niterói
30
A. PLANTA DA RODOVIA EM QUE OCORRA 
A IMPLANTAÇÃO DA OBRA (1000 m, para cada lado da extremidade da ponte)
Escala: 1:1000 a 1:2000
B. PERFIL DA RODOVIA EM QUE OCORRA 
A IMPLANTAÇÃO DA OBRA (1000 m, para cada lado da extremidade da ponte) 
Escala horizontal: 1:1000 a 1:2000
Escala vertical: 1:100 a 1:200
C. PLANTA DO TERRENO NO QUAL SE DEVE A IMPLANTAR A OBRA
(50 m, para cada lado da extremidade da ponte; 30 m, largura mínima )
Escala: 1:100 a 1:200 (CURVAS DE NÍVEL de metro em metro)
D. PERFIL AO LONGO DO EIXO LOCADO
(50 m, para cada lado da extremidade da ponte)
Escala: 1:100 a 1:200
E. QUANDO SE TRATAR DE TRANSPOSIÇÃO DE CURSO D'ÁGUA SEÇÃO DO RIO
SEGUNDO EIXO LOCADO
Escala: 1:100 a 1:200
2.8 ELEMENTOS TOPOGRÁFICOS
2.9 ELEMENTOS GEOTÉCNICOS
A. RELATÓRIO DE PROSPECÇÃO DE GEOLOGIA
(Esboço estrutural e peculiaridades geológicas)
B. RELATÓRIO DE SONDAGEM DO SUBSOLO
• Planta de locação das sondagens
• Descrição do equipamento empregado
• Sondagens de reconhecimento do subsolo
• Número suficiente de sondagens; atingir profundidade que permita a garantia de não haver, 
abaixo dela, camadas de menor resistência
• Perfis em separado de todas as sondagens (natureza e espessura das camadas atravessadas)
• Fixação das profundidades por critérios alternativos a serem obedecidos no campo
C. ESTUDOS GEOTÉCNICOS ESPECIAIS QUE PERMITAM A
ELABORAÇÃO DE PROJETO DO CONJUNTO:
TERRENO-ATERRO-OBRA DE ARTE
31
2.10 ELEMENTOS HIDROLÓGICOS
A. COTAS DE MÁXIMA ENCHENTE E ESTIAGEM
(épocas, freqüência e período dessas ocorrências)
B. DIMENSÕES E MEDIDAS FÍSICA
• Área da bacia hidrográfica
• Extensão do talvegue em km
• Altura média anual das chuvas em mm
• Declividade média do espelho d'água
C. NOTÍCIAS SOBRE MOBILIDADE DO LEITO DO CURSO D'ÁGUA
D. SE A REGIÃO FOR DE BAIXADA OU INFLUENCIADA POR MARÉ, 
a indicação dos níveis máximo e mínimo das águas
E. INFORMAÇÕES SOBRE OBRAS EXISTENTES NA BACIA
(comprimento, vão, tipo de fundação)
F. NOTÍCIAS SOBRE SERVIÇOS DE REGULARIZAÇÃO, DRENAGEM, RETIFICAÇÕES,
OU PROTEÇÃO DAS MARGENS
2.11 ELEMENTOS ACESSÓRIOS
A. EXISTÊNCIA DE ELEMENTOS AGRESSIVOS
• Agressividade da água (pH ou teor de substâncias agressivas)
• Materiais de ação destrutiva sobre o concreto
• Gases tóxicos de terrenos pantanosos (cavas de fundação)
B. INFORMAÇÕES DE INTERESSE CONSTRUTIVO OU ECONÔMICOS
• Condições de acesso ao local da obra
• Procedência dos materiais de construção
• Épocas favoráveis para execução dos serviços
• Possível interferência de serviços de terraplanagem ou desmonta de rocha
• Condições de obtenção de água potável
C. EFEITOS DE TERREMOTOS
Obs. O Brasil não possui regiões sísmicas
32
A. Objetivo das Normas
NORMAS DE PROJETO: bases comuns de trabalho
para os engenheiros
NORMAS DE EXECUÇÃO: princípios fundamentais da
boa prática construtiva
B. Normas e Especificações Brasileiras
ABNT: elaboração e edição dos regulamentos técnicos
adotados no Brasil
NB1: concreto armado
NB2: pontes de concreto armado 
NB6: carregamento de pontes rodoviárias
NB7: carregamento de pontes ferroviárias
2.12 ELEMENTOS NORMATIVOS
33
3. CARREGAMENTOS DAS 
PONTES
Refs.: 1. Pontes de Concreto Armado,Vol. 1, autor: Walter Pfeil
2. Pontes, autor: Glauco Bernardo
3. Pontes em Concreto Armado e Protendido, autor: Jayme Mason
4. Pontes Metálicas e Mistas em Viga Reta - Projeto e Cálculo, 
autor: Jayme Mason
5. Pontes – Superestruturas, Vols. 1 e 2, autor: Colin O'Connor 
PONTES I
Deciv / EM / UFOP
3.1 INTRODUÇÃO
RESISTÊNCIA E ESTABILIDADE
Conhecer as 
forças atuantes
Determinar as reações
destas forças
Determinar as
tensões e verificar:
σ < σadm
34
FORÇAS EXTERNAS
FORÇAS PRINCIPAIS
FORÇAS ADICIONAIS
FORÇAS ESPECIAIS
3.2 FORÇAS PRINCIPAIS
A. CARGA PERMANENTE
B. CARGAS MÓVEIS
C. IMPACTO VERTICAL
35
3.2.1 CARGA PERMANENTE
PESO PRÓPRIO →→→→ Peso específico dos materiais
ENCHIMENTOS →→→→ materiais colocados nas pontes
⊗ Concreto armado: γ = 2,5 tf/m3
⊗ Concreto simples: γ = 2,4 tf/m3
⊗ Alvenaria de pedras: γ = 2,7 tf/m3
⊗ Madeira: γ = 0,8 tf/m3
⊗ Ligas de alumínio: γ = 2,8 tf/m3
⊗ Ferro fundido: γ = 7,8 tf/m3
⊗ Aço e Aço fundido: γ = 7,85 tf/m3
⊗ Pavimentação
⊗ Guarda-corpo e barreira lateral
⊗ Lastro, dormentes e trilhos
⊗ Postes e canalizações
3.2.2 CARGAS MÓVEIS
PONTES RODOVIÁRIAS
Classe 45
Classe 30
Classe 12
PONTES FERROVIÁRIAS
TB - 32
TB - 27
TB - 16
TB - 20
36
Pontes rodoviárias - Gabaritos e cargas legais de caminhões e carretas (Lei da balança)
Pontes rodoviárias - Carga Excepcional
Veículo excepcional de cálculo
(peso de 254 tf) adotado
pela DER-SP
Semi-reboque especial com um transformador de 170 MVA e145 tf (peso total: 273,6 tf)
38
Pontes ferroviárias - NORMA
Carga rodoviária de cálculo adotada pela ENGEFER
para linhas de transporte de minérios (ferrovia do aço)
3.2.3 IMPACTO VERTICAL
CAUSAS • Descontinuidade da superfície de rolamento
• Deformações da estrutura sob ação das cargas
• Desequilíbrio das massas em movimento
• Molejo dos veículos
• Oscilações próprias dos veículos
Pontes rodoviárias ϕ = 1.4 - 0.7% L ≥ 1
Pontes ferroviárias ϕ = 0.1%(1600 - 60 (L)1/2 + 2.25 L) ≥ 1,2
Observação. A NB-2 considera ϕ = 1 nos seguintes casos: 
• Transformação de cargas em altura útil de terra
• Passeio das pontes
• Fundações de encontros e pilares maciços
• Na avaliação das tensões do solo
NB - 2
39
L
1. Vigas S.A.: L = vão teórico
2. Vigas contínuas: L = vão teórico de cada tramo carregado
3. Vigas em balanço: L = comprimento do balanço
4. Vigas contínuas com vão isostático intermediário
a. Trecho isostático: L = viga contínua
b. Trecho balanço: L = balanço 
3.3 FORÇAS ADICIONAIS
A. Ação do vento
B. Esforços longitudinais 
C. Empuxo de terra/água 
D. Impacto lateral 
E. Força centrífuga 
F. Esforços de guarda-roda e barreiras laterais 
G. Esforços produzidos por deformações internas 
H. Atrito nos apoios 
I. Recalque das fundações 
J. Inércia das massas 
40
3.3.1 AÇÃO DO VENTO
1. Estudos Aerológicos: natureza dos ventos, direções predominantes, velocidades etc
2. Estudos Aerodinâmicos: efeitos dinâmicos do vento
A NB-2 fixa:
1. 150 kgf/m2 : PONTE DESCARREGADA
2. 100 kgf/m2 : PONTE CARREGADA
3. 70 kgf/m2 : PONTE PEDESTRE
4. Valores Experimentais: regiões de ventos violentos
Componente Longitudinal do Ventos (AASHTO):
1. VENTO NA SUPERESTRUTURA: 25%
2. VENTO NA CARGA MÓVEL: 40%
AASHTO: American Association
of state Highway and 
Transportation Officials
Casos em que a NB-2 dispensa a verificação da acção do vento:
1. Pontes com estrutura principal em laje
2. Abóbadas com largura imposta superior a 1/10 do vão
3. Arcos com tabuleiro superior e contravento contínuo
(distância entre os arcos extremos ≥ 1/9 do vão)
Ação do vento: NORMA
41
Ação do vento: APLICAÇÃO
PONTE: Rodoviária
Classe 45; L = 75 m
h(viga) = 2,25 m; h(barreira) = 0,8 m
h(revest.) = 0,1m
h (veíc.) = 2,0 m (Norma)
barreira
lateralvigas
principais
0,8 m
2,25 m
h(revest.) = 0,1 m
2,0 m
HIPÓTESES DE CÁLCULO:
1. Ponte DESCARREGADA: p = 0,15 tf/m2 (NORMA)
Ftv = 0,15 x (2,25 + 0,8) x 75 = 34,3 tf 
Flv = 0,25 x 34,3 = 8,6 tf 
2. Ponte CARREGADA: p = 0,1 tf/m2 (NORMA)
Ftv = 0,1 x (2,25 + 0,1 + 2,0) x 75 = 32,6 tf 
Flv = 0,1 x [ 0,25 x (2,25 + 0,1) + 0,4 x 2,0] x 75 = 10,4 tf 
Ficamos com: 
Ftv = 34,3 tf 
Flv = 10,4 tf 
3.3.2 ESFORÇOS LONGITUDINAIS 
� ACELERAÇÃO
� FRENAGEM
1. Pontes Rodoviárias
� 30% do peso do veículo tipo
� 5% da carga móvel aplicada no tabuleiro
2. Pontes Ferroviárias
� 15% do trem-tipo (cargas sobre o tabuleiro)
� 25% da carga móvel dos eixos motores
42
Esforços longitudinais: APLICAÇÃO 
Exemplo 1: Rodoviária
Classe 45
Comprimento longitudinal: L
Largura da pista = 8,2 m 
1. Força de FRENAGEM (30% do veículo tipo)
Ff = 0,3 x 45 = 13,5 tf 
2. Força de ACELERAÇÃO (5% da carga móvel aplicada no tabuleiro)
Fa = 0,05 x (0,5 x 8,2 x L) = 0,205 L tf 
Análise:
• Para: L ≅ 65,85 m → Ff = Fa
• Para: L < 65,85 m → Ff > Fa
• Para: L > 65,85 m → Ff < Fa
barreira
lateralvigas
principais
8,2 m
Exemplo 2: Ponte Ferroviária
Classe TB 32 - Uma linha
Comprimento longitudinal da ponte ≅ duas locomotivas ≅ 32,70 m
1. Força de FRENAGEM (15% do trem-tipo)
Ff = 0,15 x 2 x 228 = 68,4 tf 
2. Força de ACELERAÇÃO (25% da carga móvel dos eixos motores)
Fa = 0,25 x 8 x 32 = 64 tf 
FICAMOS COM: Ff = 68,4 tf 
43
3.3.3 EMPUXO DE TERRA OU ÁGUA 
� EMPUXO DE TERRA: calculados de acordo com as 
características do terreno
� PRESSÃO DE ÁGUA: p = K v2
onde: v = velocidade (m/s)
K = coeficiente dimensional determinado experimentalmente
p → kgf/m2
K = 72 K = 35 K = 26
Empuxo de terra ou água: OBSERVAÇÕES
A. Expressão Geral:
Onde: Ea = Empuxo ativo do solo
Ka = Coeficiente de empuxo ativo
ϕ = Ângulo de atrito interno do solo
γ = Peso específico do solo
b = Largura da superfície de contato
h = Altura da superfície de contato 
B. Sobrecarga móvel q:
q
h
b
Ka q
Ea = Ka q h b 
222 hb)
2
45(tg
2
1
hbKa
2
1
Ea γ
ϕ
−=γ=
44
C. Teoria de Rankine:
1. Aterros horizontais:
onde: α = Inclinação do aterro sobre
o plano horizontal
δ = Ângulo de atrito entre o 
aterro e a superfície
vertical
)
2
45(tgKa 2
ϕ
−=• Empuxo ativo:
)
2
45(tgKp 2
ϕ
+=• Empuxo passivo:
2. Aterros inclinados:
2
2
2
coscos
)sen()sen(
1coscos
cos
Ka






αδ
α−ϕδ+ϕ
+δα
ϕ
=
D. Para pilares ou paredes situados nos aterros de acesso
↓
CONSIDERAR LARGURAS DE ATUAÇÃO 
DO EMPUXO DE TERRA SEGUNDO:
Largura real (m) Largura de cálculo (m)
b ≤ 1
1 < b ≤ 3
b ≥ 3
3 b
3 
b
E. Situações possíveis:
1. NA abaixo da parede:
2. NA ≅ superfície do terreno:
3. NA em posição intermediária:
2hbKa
2
1
Ea γ= onde: γ = γsath
b
Ka γ h
NA
h
b
Ka γsub h
NA
 γág h
2
ág
2
sub hb2
1
hbKa
2
1
Ea γ+γ=
2
ág
2
sub
sat
2
sat
2hb
2
1
2hbKa
2
1
2h1hbKa
1hbKa
2
1
Ea
γ
+γ
+γ
+γ=
h
b
Ka γsat h1 NA
 γág h2
h1
h2
γsub
γsat
Ka γsat h1 Ka γsub h2
45
3.3.4 IMPACTO LATERAL 
� Pontes Ferroviárias
� A NB-2 fixa (direção e intensidade)
� Força perpendicular ao eixo da linha
� 20% do eixo mais pesado do TB
Exemplo : Ponte Ferroviária Classe TB 32 - Uma linha 
1. Intensidade da força de IMPACTO LATERAL (20% do eixo mais pesado do TB)
Fimp = 0,20 x 32 = 6,4 tf 
2. Direção de aplicação da força de IMPACTO LATERAL
PERPENDICULAR AO EIXO DA LINHA
3.3.5 FORÇA CENTRÍFUGA 
� Trechos em Curva
� Direção Radial
� Intensidade (função do tráfego e raio de curvatura)
R ≤ 300 m → 7 % do veículo tipo x ϕ
R > 300 m → 2100/R % do veículo tipo x ϕ
1. Pontes Rodoviárias
Obs. Q = peso da carga móvel no trecho considerado; ϕ = Coef. impacto
R ≤ 600 m → 8 % ϕQ
R > 600 m → 4800/R % ϕQ
R ≤ 1000 m → 12 % ϕQ
R > 1000 m → 12000/R % ϕQ
Bitola
Métrica
Bitola
Larga
2. Pontes Ferroviárias
46
Força Centrífuga: APLICAÇÃO 
Exemplo 1: Ponte Rodoviária
Classe 45
Comprimento longitudinal: L= 40m
Raio de curvatura = 300 m 
Força CENTRÍFUGA (7 % do veículo tipo x ϕ):
Fc = 7% ϕ Q = 0,07 x 1,12 x 45 = 3,53 tf 
Coeficiente de impacto: ϕ = 1,4 - 0,7%L = 1,12
Exemplo 2: Ponte Ferroviária
Classe TB 32; Bitola: 1,6 m (bitola larga)
Comprimento longitudinal: L = 40m
Raio de curvatura = 1000 m 
Força CENTRÍFUGA (12 % ϕQ):
Fc = 12% ϕ Q = 0,12 x 1,31 x (2 x 228 + 7,3 x 10) = 83,2 tf 
Coeficiente de impacto: ϕ = 0,1% (1600 - 60 L1/2 + 2,25L) = 1,31
3.3.6 ESFORÇOS DE GUARDA-RODA E BARREIRAS LATERAIS 
• Os guarda-rodas e as barreiras laterais (guarda-corpos) são
verificados para uma força horizontal centrada de
intensidade 60 kN aplicada em sua aresta superior 
60 kN
60 kN
47
3.3.7 ESFORÇOS PRODUZIDOS POR DEFORMAÇÕES INTERNAS 
2. Retração: assimilada em seus efeitos como
queda de 15o C na temperatura
3. Deformação Lenta: levada em conta de acordo 
com sua lei de variação (NB116)
1. Variação de Temperatura
• Coeficiente de dilatação térmica: a = 10-5/oC
• Variação de temperatura em torno +/- 10oC e +/- 15oC
F = k α ∆T L
3.3.9 RECALQUE DAS FUNDAÇÕES 
Calculada de acordo com as características dos solos
de fundação e seus efeitos introduzidos nos cálculos 
estáticos de verificação da estrutura
� Pontes Móveis
� Seu efeito é levado em conta determinando a aceleração por
processos Numéricos ou Gráficos
3.3.10 INÉRCIA DAS MASSAS 
3.3.8 ATRITO NOS APOIOS 
� MESOESTRUTURA
� Depende do Tipo de apoio e da Reação transmitida
� A NB-2 fixa:
u 3% N →→→→ Apoio de Rolamento
u 20% N →→→→ Apoio de Escorregamento
Obs. N = reação da carga permanente + reação da carga móvel
48
• Casos Especiais: Terremoto, Choque de Veículos e Navios
(proteção dos pilares ou paredes por meio de barreiras de concreto)3.4 FORÇAS ESPECIAIS
• As NB’s não fixa nenhum valor
• Normas estrangeiras costumam atribuir valores e 
condições de aplicação das forças especiais
1. Calcule o empuxo devido ao aterro e sobrecarga (carga móvel CLASSE 30) na ponte da figura abaixo.
Dados: γsat = 1.9 tf/m3; γágua = 1.0 tf/m3; Ka = tg2 (45 - ϕ/2); = 30o; largura da ponte = 7.5 m.
3.5 LISTA DE EXERCÍCIOS
cortina
viga principal
p1 p2 p3
q=0.4 tf/m
n.a
h1=3 m
h2=4 m
h3=4 m
aterro
10 15 15
2. Para a ponte de CLASSE 45 abaixo, pede-se:
a. O modelo estrutural de análise indicando a carga permanente; (C. perm.: γc = 2.5 tf/m3; γr = 2.0 tf/m3);
b. Os esforços atuantes no tabuleiro devido (no primeiro trecho da ponte):
ao empuxo; ao vento; e aceleração (ou frenagem).
A
A
10 12 7 .5 7 .55
na
p ilar encontro
(rigidez elevada;
b= largura da pon te)
cortina
(b= largura
da pon te)
p ila r p ila r p ila r
na
5
15
1 3 5 6 742
o bs.: as seçõ es 2 e 4 estão
no meio do vão
Corte A-A:
0.250.1
0.15
10 0.40.4
barreira
lateral
revestimento(asfalto)
0.2
1
24
concreto
49
3. Para a ponte de CLASSE 45 a seguir, pede-se:
a. Modelo estrutural de análise para a VIGA PRINCIPAL 1 (VP1), indicando a carga permanente;
b. Os esforços atuantes devido: Empuxo no pilar encontro; Vento na parte central do tabuleiro.
A B
20 4
na
pilar pilar pilar
6
1
A C
3 8
PILAR
ENCONTRO
(b =largura da ponte)
D
6
5
trecho central
3
Área de influência de
 VP3
barreira
lateral
Revestimento (asfalto)
VP1 VP2 VP3
3.75 3.75
2
0.5
0.2
1.875
0.1
0.05
0.2
0.5
1.875
0.3
4. Calcule a reação máxima no apoio A do tabuleiro da ponte, 
como indicado na figura abaixo (ver livro texto págs. 47 e 48 - Exemplo 3.3.2.1), 
para a carga móvel Classe 45.
50
ETAPA 1: Obtenção das cargas atuantes na ‘VIGA AC’
1. Contribuição do VEÍCULO TIPO 18,5 m
45 tf
VAC VBD
RAC = (45 x 18,5)/20 ≅ 41,63 tf
2. Contribuição do FAIXA PRINCIPAL
RAC = (0,5 x 15,52)/ (2x20) ≅ 3 tf/m
VAC VBD
0,5 tf/ m2
15,5 m
3. Contribuição do FAIXA SECUNDÁRIA
RAC = (0,5 x 202)/ (2x20) = 5 tf/m
VAC VBD
0,5 tf/ m2
20,0 m
ETAPA 2: Obtenção da reação em A
MODELO ESTRUTURAL
DA ‘VIGA AC’
6 m1,1 m 1,1 m
5 tf/ m
3 tf/ m
0,4 m
41,63 tf
RA (VT) = 41,63 x 5,6 / 6 ≅ 38,85 tf
RA (FP) = 3 x 3 x 5,6 / 6 ≅ 8,4 tf
RA (FS) = 5 x 4,1 x 2,05 / 6 ≅ 7,0 tf
Portanto: RA = 54,25 tf
A C
51
5. Para a posição do veículo tipo (carga móvel CLASSE 45) mostrada na figura abaixo, 
calcule aproximadamente o momento fletor no ponto E e reações máximas nos pilares.
barreira lateral
barreira lateral
1.5
1.5
10 13
15 6
3
32
A B
C D
E
6.5
6. Calcular de forma aproximada, para a posição do veículo tipo mostrada na figura abaixo,
as reações máximas nos apoios A, B, C e D. Considere a carga móvel CLASSE 30.
barreira lateral
barreira lateral
1.5
1.5
12
15
6
3
25
A B
C D
7.5
7. Para a ponte CLASSE 45 em LAJE, determine, de forma aproximada,
o esforços resultantes máximos N, Mx e My (ver figura) para dimensionamento do Pilar P2.
Para cálculo desses esforços resultantes considere as seguintes cargas atuantes: 
carga permanente; carga móvel; empuxo (atuante diretamente sobre o pilar); aceleração (ou frenagem); 
vento (ponte carregada - componentes long. e transv.). Considere ainda que as forças de aceleração e
do vento (long. e transv.) são distribuídas igualmente entre os pilares.
barreira lateral
barreira lateral
1.5
1.5
10 13
P1
P2 P6
6,5P3 P5
P4
15
ju
nt
a 
de
 
di
la
ta
çã
o
corte AA corte AA
c
o
rt
e
 B
B
30
15
barreira lateral
laje
P1= P2
0,5
0,25
15
N.A.
aterro
aterro
P3 = P4 P4 = P5
5
0,5
0,5
0,5 0,5
CORTE AA junta de dilatação
revestimento (h = 0,05)
1,5 1,510
P3 P4
0,5
0,25
0,20,2
concreto
co
nc
re
to
co
nc
re
to
1 1
CORTE BB
N (carga permanente+
 carga móvel + 
 peso próprio)
x
y
Mx
My
52
8. Para as pontes de concreto armado com seções transversais mostradas nas figuras abaixo,
pede-se determinar o TREM-TIPO.
a. Para as Seções Transversais A e B considerar ponte CLASSE 45;
b. Para a Seção Transversal C considerar aponte CLASSE 30; obtenha o TREM-TIPO apenas para a VP2.
6.63.1
barreira
lateral
revestimento
vigas
principais
3.1
12.8
S.T. A
10
barreira
lateral
revestimento(asfalto)
2
concreto
S.T. B
barreira
lateral
revestimento
VP1 VP2 VP3
4 4
S.T. C
6.63.1
Barreira
Lateral
Vigas
Principais
12.8
3.1
Veículo
Tipo
Faixa
SecundáriaFaixa
Principal
15 tf15 tf
15 tf
0,5 tf/m2
0,5 tf/m2 0,5 tf/m2
Seção Transversal A - Classe 45
Passo 1: Distribuição da carga móvel no tabuleiro
Passo 2: Continuidade da faixa principal
Pvt(reduzido) = 45 - 0,5 x (3 x 6) = 36 tf
Pvt(reduzido)/eixo = 36/3 = 12 tf
53
Passo 3: Obtenção da LI Reação de VP1 
+
-
VP1 VP2
1
3,1 m 6,6 m
Passo 4: Contribuição das cargas concentradas do VT 
-
1,5 m
• P = 1 em VP1 → RVP1 = 1
• P = 1 em VP2 → RVP1 = 0
12 tf
P = 1
+
VP1 VP2
1
6,6 m
y ≅1,24 
3,1 m
RVP1 = 12 x 1,24 = 14,88 tf
14,88 tf 14,88 tf 14,88 tf
1,5 m 1,5 m
Passo 5: Contribuição das cargas uniformemente distribuídas 
+
VP1 VP2
1
6,6 m
y ≅1,47 
3,1 m
q = 0,5 tf/m2RVP1 = 0,5 x (1,47 x 9,7 / 2) 
RVP1 = 3,57 tf/m
Passo 6: Definição do Trem-Tipo
q = 3,57 tf/m
Projeto
q = 3,57 tf/m
14,88 tf 14,88 tf 14,88 tf
1,5 m 1,5 m
Anteprojeto
q = 3,57 tf/m
44,64 tf
54
Seção Transversal B - Classe 45
Passo 1: Distribuição da carga móvel no tabuleiro
Passo 2: Continuidade da faixa principal
Pvt(reduzido) = 45 - 0,5 x (3 x 6) = 36 tf
Pvt(reduzido)/eixo = 36/3 = 12 tf
10
barreira
lateral
2
0,5 tf/m2 0,5 tf/m20,5 tf/m2
15 tf
15 tf
15 tf
Passo 3: Obtenção da LI Reação de VP 
Passo 4: Contribuição das cargas concentradas do VT 
• P = 1 em A → RVP = 1
• P = 1 em B → RVP = 1
RVP = 12 x 1 = 12 tf
12 tf 12 tf 12 tf
1,5 m 1,5 m
• P = 1 em C → RVP = 1
+
VP
1
10 m
P = 1
+
A B C
+
VP
1
10 m
+
12 tf
55
Passo 5: Contribuição das cargas uniformemente distribuídas 
RVP1 = 0,5 x (1 x 10) 
RVP1 = 5 tf/m
Passo 6: Definição do Trem-Tipo
q = 5 tf/m
Projeto
q = 5 tf/m
12 tf 12 tf 12 tf
1,5 m 1,5 m
Anteprojeto
q = 5 tf/m
36 tf
+
VP
1
10 m
+
q = 0,5 tf/m2
HIPÓTESES DE CÁLCULO: Distribuição Transversal da Carga
Móvel no Tabuleiro (DTCM)
1. Despreza-se a rigidez das Transversinas
2. Considera-se a rigidez das Transversinas como infinita
3. Considera-se a rigidez das Transversinas
DTCM: Linha de Influência das Reações das Vigas Principais
i2
i
i xx
eP
n
P
P
∑
±=DTCM: GRELHA → Processo Simplificado:
DTCM: GRELHA → Processo Exato: Tabelas de Homberg
Seção Transversal C - Classe 30
56
Seção Transversal C - Classe 30
Passo 1: Distribuição da carga móvel no tabuleiro
Passo 2: Continuidade da faixa principal
Pvt(reduzido) = 30 - 0,5 x (3 x 6) = 21 tf
Pvt(reduzido)/eixo = 21/3 = 7 tf
VP1 VP2 VP3
4 4
10 tf
10 tf
10 tf
0,5 tf/m2 0,5 tf/m20,5 tf/m2
Passo 3: Obtenção da LI Reação de VP2 
• P = 1 em VP1 → RVP2 = 0
• P = 1 em VP2 → RVP2 = 1
• P = 1 em VP3 → RVP2 = 0
P = 1
+
VP1 VP2
1
4 m
+
VP3
4 m
57
Passo 4: Contribuição das cargas concentradas do VT 
RVP2 = 7 x 1 = 7 tf
7 tf 7 tf 7 tf
1,5 m 1,5 m +
VP1 VP2
1
4 m
+
VP3
4 m
7 tf
Passo 5: Contribuição das cargas uniformemente distribuídas 
RVP1 = 0,5 x 2 x A
Onde: A = Σai (i=1,5) = 2,48
Assim: RVP1 = 0,5 x 2 x 2,48 = 2,48 tf/m
q = 2,48 tf/m
+
VP1 VP2
1
4 m
+
VP3
4 m
q = 0,5 tf/m2
A A
Passo 6: Definição do Trem-Tipo
Projeto
q = 2,48 tf/m
7 tf 7 tf 7 tf
1,5 m 1,5 m
Anteprojeto
q = 2,48 tf/m
21 tf
58
3.6 PONTES COM TRÊS OU MAIS VIGAS PRINCIPAIS 
DISTRIBUIÇÃO TRANSVERSAL 
DA CARGA MÓVEL NO TABULEIRO
A. Introdução
B. Considerações de Cálculo
C. Processo Simplificado
D. Processo Exato
� PONTES COM TRÊS OU MAIS VIGAS PRINCIPAIS 
LIGADAS POR TRANSVERSINAS 
As cargas aplicadas sobre uma viga se distribuem entre as demais
Definição de GRELHA: Sistema plano formado por vigas retas
ou curvas que se cruzam e nesses pontos são rigidamente ligadas 
� Pontes com três ou maisvigas principais 
que não são ligadas por transversinas 
59
� GRELHAS
� GRELHAS
60
• Vigas Principais: Alma cheia
� Pontes Metálicas
• Transversinas: Alma cheia ou treliçada
VP1 VP2 VP3
transversina transversina
Tabuleiro Celular
VP1 VP2 VP3
transversina transversina
Tabuleiro com Viga T
• Vigas Principais: Alma cheia
� Pontes Concreto
61
� FORMA DA SEÇÃO TRANSVERSAL: influência na distribuição da carga
� MÁXIMO DE ECONOMIA: Distribuição das cargas localizadas
↓↓↓↓
Todos os elementos principais
� BOA DISTRIBUIÇÃO TRANSVERSAL
• Melhor aproveitamento da capacidade de carga da estrutura
• Maior segurança
� SISTEMA DE GRELHAS PARA PONTES: Carregamento perpendicular
ao plano da grelha 
� VIGAS PRINCIPAIS EM CAIXÃO:
� Melhor distribuição das cargas
� Facilidade no transporte
� Facilidade na montagem
� Resistência lateral à torção
� Fabricação mais onerosa
Grelha Plana
Com Torção
� VIGAS PRINCIPAIS EM PERFIL I ou T:
� Resistência à torção desprezada 
Grelha Plana
Sem Torção
3.6.1 CONSIDERAÇÕES DE CÁLCULO
� ESTRUTURAS COM ELEVADO GRAU DE HIPERESTATICIDADE
� CÁLCULO COMPLETO: Computadores
� PRÉ-DIMENSIONAMENTO: Processos aproximados
� DISTRIBUIÇÃO TRANSVERSAL DA CARGA: Varia ao longo do vão
(SIMPLIFICAÇÃO: distribuição no meio do vão)
� SISTEMA COM LIGAÇÃO RÍGIDA
(VIGA PRINCIPAL/TRANSVERSINA) : A carga concentrada é distribuída
nas várias vigas principais
� SISTEMA SEM LIGAÇÃO RÍGIDA
(VIGA PRINCIPAL) : A carga concentrada é distribuída integralmente 
sobre a qual está atuando
62
� CURVA DE DISTRIBUIÇÃO TRANSVERSAL:
� I = momento de inércia das vigas principais
� IQ = momento de inércia das transversinas
� L = vão da grelha
� a = afastamento entre as vigas
� CURVA DE DISTRIBUIÇÃO TRANSVERSAL: 
63
� CURVA DE DISTRIBUIÇÃO TRANSVERSAL:
� I = momento de inércia das vigas principais
� IQ = momento de inércia das transversinas
� L = vão da grelha
� a = afastamento entre as vigas
T
Q
IG
IE
a8
L
Z =
VIGAS COM RIGIDEZ
À TORÇÃO
I
I
a2
L
Z Q
3




=
VIGAS SEM RIGIDEZ
À TORÇÃO
64
PROCESSO SIMPLIFICADO
TRANSVERSINA DE RIGIDEZ INFINITA
(em geral a rigidez das transversinas é muito maior que a das vigas principais) 
FLECHAS DAS VIGAS PRINCIPAIS 
CONDICIONADAS POR UMA RELAÇÃO LINEAR
(hipótese de seção deformada plana da teoria da flexão composta)
DISTRIBUIÇÃO TRANSVERSAL DE CARGAS:
i2
i
i xx
eP
n
P
P
∑
±=
3.6.2 PROCESSO SIMPLIFICADO
PROCESSO SIMPLIFICADO
i2
i
i xx
eP
n
P
P
∑
±=
onde:
n = número de vigas principais
e = excentricidade da carga
(medida a partir do centro 
de gravidade das vigas principais)
xi = distância de uma viga principal
genérica ao centro de gravidade
das vigas principais
Pi = carga atuante na viga genérica (i)
65
3.6.3 PROCESSO EXATO
Tabelas de
Homberg
66
4. LINHAS DE INFLUÊNCIA
Refs.: 1. Teoria das Estruturas,Vol. 2, autor: Flávio Antônio Campanari
2. Curso de Análise Estrutural, autor: José Carlos Süssekind
3. Notas de aulas, provas, listas de exercícios 
PONTES I
Deciv / EM / UFOP
4.1 DEFINIÇÃO
LINHA DE INFLUÊNCIA DE UM EFEITO ELÁSTICO E EM
UMA DADA SEÇÃO S É A REPRESENTAÇÃO GRÁFICA OU
ANALÍTICA DO VALOR DESTE EFEITO, NAQUELA SEÇÃO S,
PRODUZIDO POR UMA CARGA UNITÁRIA, DE CIMA PARA
BAIXO, QUE PERCORRE A ESTRUTURA.
67
EXEMPLO
rótula
P = 1
A s B
--
+
a
b
• Ms = a → P = 1 em A
• Ms = - b → P = 1 em B
OBSERVAÇÕES
• A seção e o efeito estudados são fixos;
A posição da carga é que varia
• Não confundir: linha de influência x diagrama solicitante
• Efeitos elásticos: Momento Fletor, 
Esforço Cortante,
Reação de Apoio,
Deformação (flechas)
• Considerar válido o princípio da superposição de efeitos
68
4.2 FASES DE SOLUÇÃO DO PROBLEMA
2a FASE: dada a estrutura, o efeito elástico E, e a seção S,
OBTER A LINHA DE INFLUÊNCIA
1a FASE: definida a classe da ponte e as plantas arquitetônicas,
OBTER O TREM-TIPO
3a FASE: conhecidos o trem-tipo e a linha de influência,
OBTER OS EFEITOS DEVIDO A ESSE TREM-TIPO
4.3 OBTENÇÃO DOS EFEITOS ELÁSTICOS (conhecidos o trem-tipo e a LI)
1. TREM-TIPO FORMADO APENAS POR 
CARGAS CONCENTRADAS
P1 P2 Pi Pn
η1 η2 ηi ηn
LIEs
∑
=
η=
n
1i
iis PE ( Princípio da superposição de efeitos)
69
2. TREM-TIPO FORMADO APENAS POR CARGAS DISTRIBUÍDAS
LIEs
( Princípio da
superposição de efeitos)
η i
q
a
b
dz
qdz
A
∫∫
∫
η==η=
η=
b
a
i
b
a
is
i
b
a
s
dzA,pois,AqdzqE
,sejaou,)qdz(E
3. CASO GERAL (superposição dos casos 1 e 2)
AqPE
n
1i
iis ∑
=
+η= ( Princípio da superposição de efeitos)
OBSERVAÇÕES
• OS PRINCÍPIOS ESTUDADOS ATÉ AQUI SÃO VÁLIDOS
PARA ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS E HIPERESTÁTICAS
• É FÁCIL VER QUE AS UNIDADES DAS
LINHAS DE INFLUÊNCIA DE MOMENTOS FLETORES SÃO
UNIDADES DE COMPRIMENTO, E QUE AS LINHAS DE
INFLUÊNCIA DE ESFORÇOS CORTANTES, NORMAIS E
REAÇÕES DE APOIO SÃO ADIMENSIONAIS
70
4.4 ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
1. VIGA ENGASTADA-LIVRE
Efeitos elásticos: 
• Reações de apoio
• Esforços simples
s
P = 1
z
A
x
L
• REAÇÕES DE APOIO
Representação Analítica
RA = + 1
MA = - z
Representação gráfica
s
P = 1
z
A
x
L
LIRA
LIMA
A
+1+1 +
A
-
L
45 o
L
71
• ESFORÇOS SIMPLES
Representação Analítica
Vs = 
Representação gráfica
s
P = 1
z
A
x
L
LIVS
LIMS
0, p/ z < x
+1, p/ z > x
Ms = 
0, p/ z ≤ x
- (z - x), p/ z > x
A
x
s
-
45o
(L - x)
A
+1 +1+
x
s
2. VIGA SIMPLESMENTE APOIADA
EFEITOS ELÁSTICOS: 
• REAÇÕES DE APOIO
• ESFORÇOS SIMPLES
s
P = 1
z
A
x
L
B
72
• REAÇÕES DE APOIO
Representação Analítica
RA = + (L - z)/L
RB = z/L
Representação gráfica
LIRA
LIRB
s
P = 1
z
A
x
L
B
BA
+
1
BA
+
1
• ESFORÇOS SIMPLES
Representação Analítica
Vs = 
Representação gráfica
LIVS
LIMS
- z/L (= - RB), p/ z < x
+ (L - z)/L (= RA), p/ z > x
Ms = 
z/L (L - x) , p/ z ≤ x
(L - z) x/L , p/ z > x
s
P = 1
z
A
x
L
B
BA
1
1
s-
+
s
A B
x
L - x
++
73
OBSERVAÇÕES
• NO ESTUDO DAS L.I. DE ESFORÇOS SIMPLES, DEVEMOS 
SEMPRE EXAMINAR SEPARADAMENTE AS 
POSSIBILIDADES DA CARGA UNITÁRIA ESTAR 
À ESQUERDA OU À DIREITA DA SEÇÃO EM ESTUDO
• A L.I. DE ESFORÇO CORTANTE NUMA SEÇÃO APRESENTA 
SEMPRE UMA DESCONTINUIDADE IGUAL A 1 
NESTA SEÇÃO, CONFORME PODEMOS CONCLUIR
DOS CASOS JÁ ESTUDADOS
4.5 LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Obter as reações de apoio máximas para uma ponte engastada-livre de 10 m, provocadas pelo 
trem-tipo abaixo:
1 tf/m
20 tf 10 tf
3m
2. Para a ponte abaixo obter as envoltórias de MF e EC, cotando-as nas seções indicadas. 
São dados:
a. Carga permanente: g = 2 tf/m;
b. Trem-tipo:
1 tf/m
20 tf 10 tf
3m
21A 3 B
3m 3m 3m 3m 
74
3. Para a ponte de CLASSE 45 abaixo, pede-se:
a. O modelo estrutural de análise indicando a carga permanente;
b. Os esforços atuantes no tabuleiro devido: empuxo; vento; e aceleração (ou frenagem);
c. MF e EC (carga permanente) nas seções 1, 2, 4, 6 e 7;
d. Trem-tipo de projeto e anteprojeto;
e. L.I.MF e L.I.EC das seções 1, 2, 4, 6 e 7;
f. MF e EC (carga móvel - trem-tipo de anteprojeto) nas seções 1, 2, 4, 6 e 7;
g. Tabela de envoltória para as seções 1, 2, 4, 6 e 7. 
(Não precisa incluir a influência do coeficiente de impacto.)
A
A
10 12 7.5 7.55
na
pilar encontro
(rigidez elevada;
b=largura da ponte)
cortina
(b=largura
da ponte)
pilar pilar pilar
na
5
15
1 3 5 6 742
obs.: as seções 2 e 4 estão
no meio do vão
Corte A-A:
0.250.1
0.15
10 0.40.4
barreira
lateral
revestimento(asfalto)
0.2
1
24
concreto
São dados:
1. Carga permanente:γ conc = 2.5 tf/m3; γ asfalto = 
2.0 tf/m3.
2. γ sat = 1.9 tf/m3; γ água = 1.0 tf/m3; KA = tg2(45 -
φ/2); φ = 30o
3. Vento:
a. ponte descarregada: 0.15 tf/m2
b. ponte carregada: 0.1 tf/m2; (altura do veículo = 
2 m)
4. Aceleração (ou frenagem):
a. 30% do veículo tipo
b. 5% da carga móvel aplicada no tabuleiro
4. Para o modelo estrutural da ponte abaixo, pede-se:
rótula
engaste
engaste
4 6 6
A
1 2 3 4 5
B
5 tf
10 tfq=2.5 tf/m
5 tf
2 3 3
carga permanente
a. O coeficiente de impacto, indicando seuvalor em cada trecho da ponte.
b. Carga permanente: MF e EC nas seções A, 1, 2, 3 e 5;
c. L.I.MF e L.I.EC das seções A, 1, 2, 3 e 5;
d. Carga móvel: MF e EC nas seções A, 1, 2, 3 e 5;
Obs.: Trem-tipo
1L%7.04.1 ≥−=ϕ
1 .5 t f /m
7 .5 t f
e. Tabela de envoltória para as seções A, 1, 2, 3 e 5. 
Inclua a influência do coeficiente de impacto (Ex.: ).
qg MMM ϕ+=
75
5. Para a ponte CLASSE 30 (veículo tipo com três eixos) a seguir, pede-se:
a. Os esforços atuantes devido:
• Empuxo no pilar encontro (considere: nível da água = nível do terreno) 
• Aceleração (ou frenagem) no trecho central da ponte: FG 
• Vento no trecho central da ponte: FG
b. O modelo estrutural de análise para a VIGA PRINCIPAL (VP2)
c. Carga permanente – VP2:
• Esforço cortante: Seção Dd
• Momento fletor: Seção L 
• Reação de apoio: Seção I 
d. Trem-tipo de projeto e anteprojeto para cálculo da VP2
e. Linha de Influência – VP2:
• Esforço cortante: Seção Dd
• Momento fletor: Seção L 
• Reação de apoio: Seção I 
f. Carga móvel – VP2 (Trem-tipo de anteprojeto):
• Esforço cortante: Seção Dd 
• Momento fletor: Seção L 
• Reação de apoio: Seção I 
g. Tabela de envoltória, sem considerar o coeficiente de impacto.
Observações:
1. Carga permanente: γconc = 2.5 tf/m3; γrevestim. = 2.0 tf/m3
2. Empuxo: γsat = 2.1 tf/m3; γágua = 1.0 tf/m3; KA = tg2(45 - ϕ/2); ϕ = 30o
3. Aceleração (ou frenagem): 30% VT (veículo tipo); b. 5% carga móvel aplicada no tabuleiro
4. Vento: Ponte descarregada: 0.15 tf/m2; Ponte carregada: 0.1 tf/m2 (altura do veículo = 2 m)
Componente longitudinal: Vento na superestrutura: 25%; Vento na carga móvel: 40%.
VP1VP1VP1 VP2 VP3 VP4
0,8
0,2
2,0
5,0 m 5,0 m5,0 m
hr(média) = 0,075 m revestimento
0,3
pilar pilarpilarpilar
Área de 
influência de VP3
2,5 m 2,5 m
0,3
0,2
indicador de
simetria
Pilar
Encontr
(rig. elevada) P1P1P1 P5P4P3P2
F
ED
CB
IH
G
K
J
A Junta Junta Junta Junta Junta
9 m8 m9 m8 m12 m
3 m 3 m 3 m 3 m 3 m
1
0
 m
trecho central
3 m
L
76
6. Para a ponte CLASSE 12 (veículo tipo com dois eixos) a seguir, pede-se:
a. Trem-tipo de projeto e anteprojeto para cálculo da viga VP4 (1.0)
Hipótese de Cálculo: Sistema estrutural em GRELHA, 
com as transversinas apresentando rigidez bastante elevada.
b. Linha de Influência – VP4:
• Esforço cortante: Seção A (LIVA) e Seção I (LIVI) 
• Momento fletor: Seção C (LIMc) e Seção H (LIMH)
• Reação de apoio: Seção C (LIRc)
c. Carga móvel – VP4 (Trem-tipo de anteprojeto):
• Esforço cortante: Seções A e I (0.5)
• Momento fletor: Seções C e H (0.5)
• Reação de apoio: Seção C (0.5)
Consideração Importante:
Distribuição transversal da carga no tabuleiro (GRELHA):
onde:
n = número de vigas principais
e = excentricidade da carga (medida a partir do centro de gravidade das vigas principais)
xi = distância de uma viga principal genérica ao centro de gravidade das vigas principais
Pi = carga atuante na viga genérica (i)
i2
i
i x
x
eP
n
P
P
∑
±=
P6
ED H KA
10 m10 m10 m10 m10 m
CB JuntaJunta
P2 P3
I JJunta
P5
3 m
P4P1P1
F G Junta
2 m2 m 2,5 m
transversina transversina
5 m
VP1
VP2 VP3
VP4
1,0
0,25
2,0
5,0 m 5,0 m5,0 m
hr(média) = 0,05 m revestimento
0,4
pilar pilarpilarpilar
0,4
0,2
indicador de
simetria
0,4
0,2
transversina transversina transversina
77
7. Para a PONTE MISTA (RODOVIÁRIA e FERROVIÁRIA) mostrada na página seguinte, pede-se:
a. Carga Permanente – VP4: q(p.próprio) = 4 tf/m; q(lastro+dormentes) = 1 tf/m; P(transversina) = 2 tf
• M. fletor: Seção D 
• E. cortante: Seção Je
• R. apoio: Seção E
b.Trem-tipo de projeto e anteprojeto - VP4
Hipótese de Cálculo:
Sistema estrutural em GRELHA (transversinas com rigidez bastante elevada);
Ver detalhe do carregamento abaixo.
c. Linha de Influência – VP4:
• M. fletor: Seção D (LIMD) 
• E. cortante: Seção Je (LIJe) 
• R. apoio: Seção E (LIE) 
d. Carga móvel – VP4 (Trem-tipo de projeto):
• M. fletor (máximo positivo e negativo): Seção D 
• E. cortante (máximo positivo e negativo): Seção Je
• R. apoio (máxima positiva e negativa): Seção E 
e. Envoltória de solicitações (ϕϕϕϕ = 1)
Considerações Importantes:
1. Distribuição transversal da carga no tabuleiro (GRELHA):
onde:
n = número de vigas principais
e = excentricidade da carga (medida a partir do centro de gravidade das vigas principais)
xi = distância de uma viga principal genérica ao centro de gravidade das vigas principais
Pi = carga atuante na viga genérica (i)
i2
i
i x
x
eP
n
P
P
∑
±=
P = 10 tf 10 tf P = 10 tf
q = 5 tf/m
1,5 m 1,5 m 1,5 m
2. Carga móvel ferroviária:
A ponte ferroviária será projetada para suportar
apenas a carga de um trem (locomotiva + vagões)
P6
ED H KA
12 m10 m10 m10 m 10 m
CB
JuntaJunta
P2 P3
I J
Junta
P5
2 m
P4P1
F G
Junta
2 m
2 m
2 m
transversinas
6 m
indicador de
simetria
L
Junta
6m
2 m 4 m
VP1 VP2 VP3
VP6
1,0
0,25
2,0
6,0 m 3,0 m6,0 m
hr(média) = 0,05 m revestimento
0,2
0,1
indicador de
simetria
0,2
transversina transversina
trans-
ver-
sina
3,0 m
trans-
ver-
sina0,2 0,6 0,6 0,6
2,25
VP4 VP5
trilho
pilar pilar
pilar parede
vagão
Carga aplicada
no centro de gravidadejunta de
dilatação
78
8. Para a PONTE MISTA (PEDESTRE, RODOVIÁRIA e FERROVIÁRIA)
mostrada na página seguinte, pede-se:
a. Carga Permanente – VP3: q(p.próprio+revestimento) ≅≅≅≅ 7,5 tf/m; P(transversina) = 2,0 tf
• M. fletor: Seção D* 
• E. cortante: Seção I 
• R. apoio: Seção G 
b. Trem-tipo de anteprojeto – VP3 (2,0)
Hipótese de Cálculo: Sistema estrutural em GRELHA (transversinas com rigidez bastante elevada)
Considerar: Classe rodoviária: 30; Ver detalhe abaixo da carga ferroviária a ser aplicada
Pedestre: 0,3 tf/m2
c. Linha de Influência – VP3:
• M. fletor: Seção D* (LIMD*)
• E. cortante: Seção I (LII) 
• R. apoio: Seção G (LIG) 
d. Carga móvel – VP3 (Trem-tipo de anteprojeto):
• M. fletor (máximo positivo e negativo): Seção D* 
• E. cortante (máximo positivo e negativo): Seção I 
• R. apoio (máxima positiva e negativa): Seção G 
e. Envoltória de solicitações (ϕϕϕϕ = 1)
Considerações Importantes:
1. Distribuição transversal da carga no tabuleiro (GRELHA): 
Onde: n = número de vigas principais; e = excentricidade da carga (medida a partir do centro de gravidade das vigas principais);
xi = distância de uma viga principal genérica ao centro de gravidade das vigas principais; Pi = carga atuante na viga genérica (i).
2. Carga móvel ferroviária:
i2
i
i x
x
eP
n
P
P
∑
±=
q = 3 tf/m
P6
ED H KA
10 m10 m10 m10 m 10 m
CB
Junta
P2 P3
I J
Junta
P5
2 
P4P1
F G
Junta
5 m
2 
2 8 m
L
10m
2 28 m2 
M
JuntaJunta
transversinas
P7
5 m
5 m
indicador de simetria
D*
VP1 VP2 VP3
1,0
0,30
2,5
7,0 m 7,0 m
hr(média) = 0,05 m revestimento
0,3
0,15
0,3
transversina
0,3
pilar parede
trilho
vagão
Carga aplicada
no centro de gravidade
2,0 m
1,0
0,40
0,15
2,5 m 2,0 m
Centro de gravidade
das vigas principaisCarga aplicada
no centro de gravidade
Parte
Rodoviária
Passeio
(Pedestre)
79
1
Prova 1998/1 pg 81
Prova 1998/2 pg 83
Prova 1999/1 pg 86
Prova 1999/2 pg 88
Prova 2000/1 pg 91
Prova 2000/2 pg 93
Prova 2001/1 pg 95
Prova 2001/2 pg 97
Prova 2002/1 pg 100
5. PROVAS
PONTES I
Deciv / EM / UFOP
80
` 
Deciv - ESCOLA DE MINAS - UFOP 
PONTES I - PROVA 1 
Prof. Ricardo Silveira - Data: 20/07/98 
 
 
PARTE TEÓRICA (1.0): 
1. O que difere as pontes das outras estruturas no campo da engenharia estrutural ? ; (0.25) 
2. Comente sobre o requisito fundamental funcionalidade; (0.25) 
3. Escreva sobre os elementos geotécnicos necessários para o projeto de uma ponte; (0.25) 
4. Classifique uma ponte segundo: material e sistema estrutural. (0.25) 
 
PARTE PRÁTICA (9.0): 
Para a ponte CLASSE 45 (veículo tipo com três eixos) a seguir, pede-se: 
1. Os esforços atuantes devido: 
a. Empuxo no pilar encontro (0.75) 
b. Aceleração (ou frenagem) no primeiro trecho da ponte (pilar A até o pilar B) (0.25) 
2. O modelo estrutural de análise para a VIGA PRINCIPAL(VP3) (0.5) 
3. Carga permanente – VP3: 
a. Esforço cortante: Seção Dd(0.5) 
b. Momento fletor: Seção D (0.5) 
c. Reação de Apoio: Seção B (0.5) 
4. Trem-tipo de projeto e anteprojeto para cálculo da VP3 (1.0) 
5. Linha de Influência – VP3: 
a. Esforço cortante: Seção Dd (1.0) 
b. Momento fletor: Seção D (1.0) 
c. Reação de Apoio: Seção B (1.0) 
6. Carga móvel – VP3: 
a. Esforço cortante: Seção Dd (0.5) 
b. Momento fletor: Seção D (0.5) 
c. Reação de Apoio: Seção B (0.5) 
7. Tabela de envoltória, sem considerar o coeficiente de impacto. (0.5) 
 
 
 
Observações: 
1. Carga permanente: γconc = 2.5 tf/m3; γrevestim. = γpasseio = 2.1 tf/m3; 
2. γsat = 2.0 tf/m3; γágua = 1.0 tf/m3; KA = tg2(45 - ϕ/2); ϕ = 29o; 
3. Aceleração (ou frenagem): 
a. 30% VT (veículo tipo) 
b. 5% carga móvel aplicada no tabuleiro 
 
 
81 
` 
82 
VISTA LONGITUDINAL: 
 
sapatasapatasapata
junta
pilarpilar
pilar
encontro
junta
20 20 425
A B D E
junta
5
C
nível do
terreno
na
6
4
pilar
 
SEÇÃO TRANSVERSAL: 
 
barreira
lateral
7
revestimento
15.60
VP1
0.8
0.2
0.050.1
passeio0.1 0.8
0.8
2
0.1
0.8
7
VP4VP3VP2
0.30.5
junta
 
Deciv - ESCOLA DE MINAS - UFOP 
PONTES I - PROVA 1 
Prof. Ricardo Silveira - Data: 25/11/98 
 
 
PARTE TEÓRICA: (1,5) 
1. Comente sobre a evolução histórica das pontes; (0,5) 
2. Quais os elementos característicos do tramo de uma ponte? (0,5) 
3. Quais os elementos topográficos necessários para a elaboração do projeto de uma ponte? (0.5) 
 
PARTE PRÁTICA: (8,5) 
Problema 1: (1,0) 
Pretende-se construir uma ponte de concreto armado em um trecho curvo de uma rodovia de Classe II, com 
duas faixas de tráfego, em uma região ondulada. Sabe-se que o raio de curvatura deste trecho curvo é r = 300 m, 
e por conseguinte, precisa-se introduzir uma curva de transição. Verifica-se ainda que a projeção horizontal da 
pista de rolamento do trecho circular é L = 18 m, e que a altura do pnto mais alto da pista é 20 cm (veja figura 
abaixo). Pede-se para determinar o ângulo de inclinação α (alfa) do trecho da curva circular em questão. 
São dados: 
 
 
 
Problema 2: (2,0) 
Calcular de forma aproximada a reação máxima no apoio B. Considere a carga móvel CLASSE 45. 
barreira lateral
barreira lateral
1.5
1.5
15
18
30
A
D F
9B C
E
15
ju
nt
a 
de
 
di
la
ta
çã
o
 
 
83 
Problema 3: (5,5) 
Para a passarela (CARGA MÓVEL →→→→ q = 0.3 tf/m2) mostrada a seguir, pede-se: 
1. O modelo estrutural de análise para a VIGA PRINCIPAL 1 (VP1) (0,5) 
2. Carga permanente – VP1: 
a. Esforço cortante: Seção Dd (0,5) 
b. Momento fletor: Seção A (0,5) 
3. Trem-tipo de projeto e anteprojeto para cálculo da VP1 (0,5) 
4. Linha de Influência – VP1: 
a. Esforço cortante: Seção Dd (1,0) 
b. Momento fletor: Seção A (1,0) 
5. Carga móvel – VP1: 
a. Esforço cortante: Seção Dd (0,5) 
b. Momento fletor: Seção A (0,5) 
6. Tabela de envoltória. (0,5) 
 
 
Observações: 
1. Carga permanente: γconc = 2.5 tf/m3; γrevestim. = 2.0 tf/m3. 
 
 
84 
VISTA LONGITUDINAL: 
 
PILAR
ENCONTRO
(rigidez elevada)
pilar pilarpilar
junta junta
1010
5
A DB
sapata sapatasapata
C
5 5
sapata
E F G
junta
10
 
 
 
SEÇÃO TRANSVERSAL: 
 
40.5
barreira
lateral
revestimento
vigas
principais
0.5
5
VP1 VP2
0.5
0.2
0.2
0.05 0.1
0.3
1.0
 
85 
Deciv - ESCOLA DE MINAS - UFOP 
PONTES I - PROVA 1 
Prof. Ricardo Silveira - Data: 12/05/99 
 
PARTE TEÓRICA (1.5): 
1. Do ponto de vista funcional, como pode ser dividida uma ponte ? Escreva a função de cada parte 
constiuinte; (0.5) 
2. Comente sobre o requisito fundamental segurança; (0.5) 
3. Escreva sobre os elementos geométricos e de carregamento necessários para o projeto de uma ponte 
ferroviária em um trecho curvo; (0.5) 
 
PARTE PRÁTICA (8.5): 
Para a ponte CLASSE 30 (veículo tipo com três eixos) a seguir, pede-se: 
1. Os esforços atuantes devido: 
a. Empuxo no pilar encontro (considere: nível da água = nível do terreno) (0.5) 
b. Aceleração (ou frenagem) no trecho central da ponte: FG (0.25) 
c. Vento no trecho central da ponte: FG (0.5) 
2. O modelo estrutural de análise para a VIGA PRINCIPAL (VP2) (0.5) 
3. Carga permanente – VP2: 
a. Esforço cortante: Seção Dd (0.5) 
b. Momento fletor: Seção L (0.5) 
c. Reação de apoio: Seção I (0.5) 
4. Trem-tipo de projeto e anteprojeto para cálculo da VP2 (1.25) 
5. Linha de Influência – VP2: 
a. Esforço cortante: Seção Dd (1.0) 
b. Momento fletor: Seção L (0.5) 
c. Reação de apoio: Seção I (1.0) 
6. Carga móvel – VP2 (Trem-tipo de anteprojeto): 
a. Esforço cortante: Seção Dd (0.5) 
b. Momento fletor: Seção L (0.5) 
c. Reação de apoio: Seção I (0.5) 
7. Tabela de envoltória, sem considerar o coeficiente de impacto. (0.5) 
 
Observações: 
1. Carga permanente: γγγγconc = 2.5 tf/m3; γγγγrevestim. = 2.0 tf/m3; 
2. γsat = 2.1 tf/m3; γágua = 1.0 tf/m3; KA = tg2(45 - ϕ/2); ϕ = 30o; 
3. Aceleração (ou frenagem): 
a. 30% VT (veículo tipo); b. 5% carga móvel aplicada no tabuleiro 
4. Vento: 
a. Ponte descarregada: 0.15 tf/m2; 
b. Ponte carregada: 0.1 tf/m2; (altura do veículo = 2 m); 
c. Componente longitudinal: c1. Vento na superestrutura: 25%; c2. Vento na carga móvel: 40%. 
 
 
86 
VISTA LONGITUDINAL: 
Pilar
Encontr
(rig. elevada) P1P1P1 P5P4P3P2
F
ED
CB
IH
G
K
J
A Junta Junta Junta Junta Junta
9 m8 m9 m8 m12 m
3 m 3 m 3 m 3 m 3 m
1
0
 m
trecho central
3 m
L
 
 
SEÇÃO TRANSVERSAL: 
 
VP1VP1VP1 VP2 VP3 VP4
0,8
0,2
2,0
5,0 m 5,0 m5,0 m
hr(média) = 0,075 m revestimento
0,3
pilar pilarpilarpilar
Área de 
influência de VP3
2,5 m 2,5 m
0,3
0,2
indicador de
simetria
 
 
87 
PONTES I - PROVA 1 - 2o. Sem/1999 
Deciv - Escola de Minas - UFOP 
Prof. Ricardo Silveira - Data: 29/10/99 
 
PARTE TEÓRICA (1.5): 
1. Que obras de engenharia poderiam ser substituídas por uma ponte ou viaduto? Justifique sua resposta. 
2. Para a SUPERESTRUTURA de uma ponte pode-se padronizar certas formas. Para a MESOESTRUTURA e 
INFRAESTUTURA quase sempre é necessário individualizar aa solução. Entretanto, é possível padronizar 
normas gerais que se devem respeitar para a colocação de uma ponte. Quais são essas normas gerais? 
3. O projeto de uma ponte é um conjunto de estudos, cálculos e gráficos que permitem DEFINIR, JUSTIFICAR e 
CONSTRUIR a ponte. Pergunta-se: DEFINIR e JUSTIFICAR o quê da ponte? 
 
PARTE PRÁTICA (8.5): 
Problema 1: (3.5) 
Para a ponte CLASSE 45 em LAJE, determine, de forma aproximada, o esforços resultantes máximos 
N, Mx e My (ver figura) para dimensionamento do Pilar P2. Para cálculo desses esforços resultantes 
considere as seguintes cargas atuantes: carga permanente; carga móvel; empuxo (atuante diretamente 
sobre o pilar); aceleração (ou frenagem); vento (ponte carregada - componentes long. e transv.). 
Considere ainda que as forças de aceleração e do vento (long. e transv.) são distribuídas igualmente entre 
os pilares. 
barreira lateral
barreira lateral
1.5
1.5
10 13
P1
P2 P6
6,5P3 P5
P4
15
ju
nt
a 
de
 
di
la
ta
çã
o
corte AA corte AA
c
o
rt
e
 B
B
30
 
15
barreira lateral
laje
P1= P2
0,5
0,25
15
N.A.
aterro
aterro
P3 = P4
P4 = P5
5
0,5
0,5
0,5 0,5
CORTE AA junta de dilatação
 
revestimento (h = 0,05)
1,5 1,510
P3 P4
0,5
0,25
0,20,2
concreto
co
nc
re
to
co
nc
re
to
1 1
CORTE BB
N (carga permanente+
 carga móvel + 
 peso próprio)
x
y
Mx
My
 
88 
Observações: 
1. Modelo estrutural da coluna: Engastada-Livre 
2. Carga permanente: γγγγcon. = 2.5 tf/m3; γγγγrev. =γγγγbarreira lateral = 2.2 tf/m3 
3. Carga móvel: ver norma 
4. Empuxo: γsat = 2 tf/m3; γágua = 1 tf/m3; KA = tg2(45 - ϕ/2); ϕ = 30o 
5. Aceleração (ou frenagem): a. 30% VT (veículo tipo); b. 5% carga móvel aplicada no tabuleiro 
6. Vento - Ponte carregada: 
a. Componente transversal: 0.1 tf/m2; (altura do veículo = 2 m) 
b. Componente longitudinal: c1. Vento na superestrutura: 25%; c2. Vento na carga móvel: 40%. 
7. Parapilares situados nos aterros de acesso deve-se considerar as seguintes larguras de atuação do 
empuxo: 
 
Largura Real (m) Largura de Cálculo (m) 
b ≤ 1 3 b 
1 < b ≤ 3 3 
b > 3 b 
 
Problema 2: (5.0) 
Para a ponte CLASSE 12 (veículo tipo com dois eixos) a seguir, pede-se: 
1. Trem-tipo de projeto e anteprojeto para cálculo da viga VP4 (1.0) 
Hipótese de Cálculo: Sistema estrutural em GRELHA, com as transversinas apresentando rigidez 
bastante elevada. 
2. Linha de Influência – VP4: 
• Esforço cortante: Seção A (LIVA) e Seção I (LIVI) (1.0) 
• Momento fletor: Seção C (LIMc) e Seção H (LIMH) (1.0) 
• Reação de apoio: Seção C (LIRc) (0.5) 
3. Carga móvel – VP4 (Trem-tipo de anteprojeto): 
• Esforço cortante: Seções A e I (0.5) 
• Momento fletor: Seções C e H (0.5) 
• Reação de apoio: Seção C (0.5) 
 
Consideração Importante: 
1. Distribuição transversal da carga no tabuleiro (GRELHA): 
 
i2
i
i x
x
eP
n
P
P
∑
±= 
 
onde: n = número de vigas principais; e = excentricidade da carga (medida a partir do centro de gravidade 
das vigas principais); xi = distância de uma viga principal genérica ao centro de gravidade das vigas 
principais; Pi = carga atuante na viga genérica (i) 
 
 
 
 
 
89 
VISTA LONGITUDINAL: 
 
P6
ED H KA
10 m10 m10 m10 m10 m
CB JuntaJunta
P2 P3
I JJunta
P5
3 m
P4P1P1
F G Junta
2 m2 m 2,5 m
transversina transversina
5 m
 
 
SEÇÃO TRANSVERSAL: 
 
VP1
VP2 VP3
VP4
1,0
0,25
2,0
5,0 m 5,0 m5,0 m
hr(média) = 0,05 m revestimento
0,4
pilar pilarpilarpilar
0,4
0,2
indicador de
simetria
0,4
0,2
transversina transversina transversina
 
90 
PONTES I - PROVA 1 - 1o. Sem/2000 
Deciv - Escola de Minas - UFOP 
Prof. Ricardo Silveira - Data: 04/05/2000 
 
PARTE TEÓRICA (1,5): 
1. Defina os elementos estruturais PENDURAIS e TÍMPANOS. Em que tipo de ponte esses elementos são encontrados ? 
2. Como são avaliados no projeto de uma ponte os efeitos elásticos (momento, cortante, reação, ...) provenientes da carga móvel ? 
3. Explique detalhadamente os requisitos fundamentais FUNCIONALIDADE e SEGURANÇA no projeto de uma ponte. 
 
PARTE PRÁTICA (8,5): 
Para a PONTE MISTA (RODOVIÁRIA e FERROVIÁRIA) mostrada na página seguinte, pede-se: 
1. Carga Permanente – VP4: q(p.próprio) = 4 tf/m; q(lastro+dormentes) = 1 tf/m; P(transversina) = 2 tf. 
• M. fletor: Seção D (0,5) 
• E. cortante: Seção Je (0,5) 
• R. apoio: Seção E (0,5) 
2. Trem-tipo de projeto e anteprojeto - VP4 (1,5) 
Hipótese de Cálculo: 
- Sistema estrutural em GRELHA (transversinas com rigidez bastante elevada); 
- Ver detalhe do carregamento abaixo. 
3. Linha de Influência – VP4: 
• M. fletor: Seção D (LIMD) (1,0) 
• E. cortante: Seção Je (LIJe) (1,0) 
• R. apoio: Seção E (LIE) (1,0) 
4. Carga móvel – VP4 (Trem-tipo de projeto): 
• M. fletor (máximo positivo e negativo): Seção D (0,5) 
• E. cortante (máximo positivo e negativo): Seção Je (1,0) 
• R. apoio (máxima positiva e negativa): Seção E (0,5) 
5. Envoltória de solicitações (ϕϕϕϕ = 1). (0,5) 
 
Considerações Importantes: 
1. Distribuição transversal da carga no tabuleiro (GRELHA): i2
i
i x
x
eP
n
P
P
∑
±= 
Onde: n = número de vigas principais; e = excentricidade da carga (medida a partir do centro de gravidade das vigas 
principais); xi = distância de uma viga principal genérica ao centro de gravidade das vigas principais; Pi = carga atuante 
na viga genérica (i). 
 
2. Carga móvel ferroviária: 
P = 10 tf 10 tf P = 10 tf
q = 5 tf/m
1,5 m 1,5 m 1,5 m
 
Obs. IMPORTANTE: A ponte ferroviária será projetada para suportar apenas a carga de um trem (locomotiva + vagões). 
 
91 
VISTA LONGITUDINAL: 
P6
ED H KA
12 m10 m10 m10 m 10 m
CB
JuntaJunta
P2 P3
I J
Junta
P5
2 m
P4P1
F G
Junta
2 m
2 m
2 m
transversinas
6 m
indicador de
simetria
L
Junta
6m
2 m 4 m
 
SEÇÃO TRANSVERSAL: 
VP1 VP2 VP3
VP6
1,0
0,25
2,0
6,0 m 3,0 m6,0 m
hr(média) = 0,05 m revestimento
0,2
0,1
indicador de
simetria
0,2
transversina transversina
trans-
ver-
sina
3,0 m
trans-
ver-
sina0,2 0,6 0,6 0,6
2,25
VP4 VP5
trilho
pilar pilar
pilar parede
vagão
Carga aplicada
no centro de gravidadejunta de
dilatação
 
92 
PONTES I - PROVA 1 - 2o. Sem/2000 
Deciv - Escola de Minas - UFOP - Prof. Ricardo Silveira - Data: 18/10/2000 
 
PARTE TEÓRICA (1,5): 
1. O que difere as pontes das outras estruturas no campo da engenharia estrutural ? (0,5) 
2. Sabe-se que para a SPERESTRUTURA das pontes pode-se padronizar certas formas estruturais; para a MESOESTRUTURA e 
INFRAESTRUTURA é necessário quase sempre individualizar a solução. Entretanto, é possível formular NORMAS GERAIS 
que se devem respeitar para colocaçõa de uma ponte. Explique detalhadamente quais são essas NORMAS GERAIS. (0,5) 
3. Classifique uma ponte em relação ao ANDAMENTO PLANIMÉTRICO e ALTIMÉTRICO. (0,5) 
 
PARTE PRÁTICA (8,5): 
Para a PONTE MISTA (PEDESTRE, RODOVIÁRIA e FERROVIÁRIA) mostrada na página seguinte, pede-se: 
1. Carga Permanente – VP3: q(p.próprio+revestimento) ≅≅≅≅ 7,5 tf/m; P(transversina) = 2,0 tf. 
• M. fletor: Seção D* (0,5) 
• E. cortante: Seção I (0,5) 
• R. apoio: Seção G (0,5) 
2. Trem-tipo de anteprojeto – VP3 (2,0) 
Hipótese de Cálculo: Sistema estrutural em GRELHA (transversinas com rigidez bastante elevada) 
Considerar: 
- Classe rodoviária: 30 
- Ver detalhe abaixo da carga ferroviária a ser aplicada 
- Pedestre: 0,3 tf/m2 
3. Linha de Influência – VP3: 
• M. fletor: Seção D* (LIMD*) (1,0) 
• E. cortante: Seção I (LII) (1,0) 
• R. apoio: Seção G (LIG) (1,0) 
4. Carga móvel – VP3 (Trem-tipo de anteprojeto): 
• M. fletor (máximo positivo e negativo): Seção D* (0,5) 
• E. cortante (máximo positivo e negativo): Seção I (0,5) 
• R. apoio (máxima positiva e negativa): Seção G (0,5) 
5. Envoltória de solicitações (ϕϕϕϕ = 1). (0,5) 
 
 
Considerações Importantes: 
1. Distribuição transversal da carga no tabuleiro (GRELHA): i2
i
i xx
eP
n
P
P
∑
±= 
Onde: n = número de vigas principais; e = excentricidade da carga (medida a partir do centro de gravidade das vigas 
principais); xi = distância de uma viga principal genérica ao centro de gravidade das vigas principais; Pi = carga atuante 
na viga genérica (i). 
 
2. Carga móvel ferroviária: 
 
q = 3 tf/m
 
 
 93 
VISTA LONGITUDINAL – VP3: 
P6
ED H KA
10 m10 m10 m10 m 10 m
CB
Junta
P2 P3
I J
Junta
P5
2 
P4P1
F G
Junta
5 m
2 
2 8 m
L
10m
2 28 m2 
M
JuntaJunta
transversinas
P7
5 m
5 m
indicador de simetria
D*
 
 
SEÇÃO TRANSVERSAL: 
 
VP1 VP2 VP3
1,0
0,30
2,5
7,0 m 7,0 m
hr(média) = 0,05 m revestimento
0,3
0,15
0,3
transversina
0,3
pilar parede
trilho
vagão
Carga aplicada
no centro de gravidade
2,0 m
1,0
0,40
0,15
2,5 m 2,0 m
Centro de gravidade
das vigas principaisCarga aplicada
no centro de gravidade
Parte
Rodoviária
Passeio
(Pedestre)
 
 
94 
Pontes I - PROVA 1 - Data: 18/04/2001 (1o semestre/2001) - Prof. Ricardo Silveira 
Deciv - Escola de Minas - UFOP 
 
PARTE TEÓRICA (1,5): 
1. Defina a obra de engenharia chamada PONTE. Qual seria a diferença entre ponte e viaduto ? 
2. Quais as vantagens de se projetar uma ponte metálica ? 
3. Defina o sistema estrutural GRELHA. Quais as vantagens de se empregar esse tipo de sistema estrutural no projeto de uma ponte? 
 
 
PARTE PRÁTICA (8,5): 
Para a PONTE METÁLICA ESCORADA (pedestre, rodoviária) mostrada na página seguinte, pede-se: 
1. Carga permanente – VP2: 
a. Modelo estrutural (calcular q) (1,0) 
b. M.fletor: Seção R (0,5) 
c. E.cortante: Seção R (0,5) 
d. R.apoio: Seção F (0,5) 
 
2. Trem-tipo de anteprojeto – VP2 (1,5) 
Hipótese de Cálculo: Sistema estrutural em GRELHA (transversinas com rigidez bastante elevada) 
Considerar: Ponte Rodoviária Classe 30; Pedestre: 0,3 tf/m2 
 
3. Linha de influência – VP2: 
a. M.fletor: Seção R (0,75) 
b. E.cortante: Seção R (0,75) 
c. R.apoio: Seção F (1,0) 
 
4. Carga móvel – VP2 (Trem-tipo de anteprojeto): 
a. M.fletor (máximos positivo e negativo): Seção R (0,5) 
b. E.cortante (máximos positivo e negativo):