CAPÍTULO11 - Caracterizaçao de Cheias

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Caracterização de cheias 
 11.1 
ÍNDICE DO CAPÍTULO 11 
Lista de Figuras ................................................................................................................................ 11.2 
Lista de Quadros ............................................................................................................................... 11.3 
11. CARACTERIZAÇÃO DE CHEIAS .................................................................................. 11.4 
11.1. INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 11.4 
11.2. PERÍODO DE RETORNO E RISCO HIDROLÓGICO ...................................... 11.6 
11.3. CURVA DA PRECIPITAÇÃO ÚTIL.................................................................. 11.10 
11.4. DETERMINAÇÃO DO CAUDAL DE PONTA ................................................ 11.15 
11.4.1. Métodos empíricos ............................................................................................. 11.15 
11.4.2. Tempo de concentração ...................................................................................... 11.20 
11.4.3. Métodos cinemáticos .......................................................................................... 11.22 
11.4.4. Métodos estatísticos ............................................................................................ 11.27 
11.4.5. Cheia máxima provável ..................................................................................... 11.34 
11.5. MODELO DE RÉMÉNIÉRAS ............................................................................ 11.35 
11.6. MÉTODO DO HIDROGRAMA UNITÁRIO .................................................... 11.39 
11.6.1. Conceitos gerais e definições.............................................................................. 11.39 
11.6.2. Hidrograma em S ............................................................................................... 11.44 
11.6.3. Transformação de hidrogramas unitários .......................................................... 11.46 
11.6.4. Obtenção do hidrograma unitário ...................................................................... 11.48 
11.6.5. Hidrogramas sintéticos ....................................................................................... 11.51 
11.6.6. Hietograma de projeto ........................................................................................ 11.59 
11.7. PROPAGAÇÃO DE CHEIAS EM ALBUFEIRAS ............................................ 11.61 
11.7.1. Situações de propagação de cheias a considerar ................................................ 11.61 
11.7.2. Propagação da cheia – descarregador sem comportas ....................................... 11.62 
11.7.3. Propagação da cheia – descarregador com comportas ...................................... 11.63 
11.8. MITIGAÇÃO DOS IMPACTOS NEGATIVOS DAS CHEIAS ....................... 11.66 
EXERCÍCIOS .................................................................................................................... 11.71 
BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................... 11.77 
 
Caracterização de cheias 
 
 11.2 
Lista de Figuras 
Figura 11.1 – Imagens de cheias: ponte de Xai-Xai no rio Limpopo em 2000, marcas de cheias 
excecionais em Ponte de Lima .................................................................................................11.5 
Figura 11.2 – Variação do risco com a duração e com o período de retorno ..................................11.8 
Figura 11.3 – Ilustração dos parâmetros utilizáveis na definição das perdas de precipitação ..... 11.11 
Figura 11.4 – Precipitação útil acumulada em função da precipitação acumulada e do número da 
curva, NC .............................................................................................................................. 11.13 
Figura 11.5 – Razão entre a precipitação útil acumulada e a precipitação acumulada em função da 
precipitação acumulada e do número da curva, NC ............................................................. 11.14 
Figura 11.6 – Máximos caudais observados no mundo em função da área da bacia hidrográfica e 
linhas ajustadas (adaptada de Herschy, 2002) ..................................................................... 11.18 
Figura 11.7 – Ajustamento de diversas distribuições a uma amostra .......................................... 11.33 
Figura 11.8 – Sensibilidade aos parâmetros estatísticos da amostra ............................................ 11.34 
Figura 11.9 – Hietogramas de blocos alternados .......................................................................... 11.35 
Figura 11.10 – Esquematização de uma bacia hidrográfica com isócronas ................................ 11.36 
Figura 11.11 – Resposta da área Ai .............................................................................................. 11.37 
Figura 11.12 – Resposta da bacia a uma precipitação com intensidade I, uniformemente distribuída 
e com duração igual a tc/4 ..................................................................................................... 11.37 
Figura 11.13 – Respostas da bacia a precipitações com intensidade I, uniformemente distribuídas e 
diversas durações ti ................................................................................................................ 11.38 
Figura 11.14 – Componentes do hietograma e do hidrograma .................................................... 11.40 
Figura 11.15 – Postulado da proporcionalidade ........................................................................... 11.42 
Figura 11.16 – Postulado da sobreposição linear ......................................................................... 11.42 
Figura 11.17 – Hidrograma em S ................................................................................................. 11.44 
Figura 11.18 – Transformação do HUD a partir do hidrograma em S ........................................ 11.47 
Figura 11.19 – Hidrogramas unitários padrão e triangular do SCS ............................................ 11.51 
Figura 11.20 – Hidrograma unitário triangular. Definição de grandezas .................................... 11.53 
Figura 11.21 – Hidrogramas unitários funcionais e triangulares ................................................. 11.55 
Figura 11.22 – Hidrograma unitário de um reservatório linear ................................................... 11.57 
Figura 11.23 - Hidrograma de Giandotti ...................................................................................... 11.58 
Figura 11.24 – Disposição temporal dos blocos de precipitação útil ........................................... 11.60 
Figura 11.25 – Relação entre os períodos de retorno da precipitação e do caudal de ponta de cheia 
(adaptada de NERC, 1975) .................................................................................................. 11.60 
Figura 11.26 – Propagação da cheia num descarregador sem comportas .................................... 11.63 
Figura 11.27 – Propagação da cheia num descarregador com comportas ................................... 11.64 
Figura 11.28 – Hidrogramas de caudais descarregados sem e com previsão de cheia ................ 11.66 
Figura 11.29 – Efeito de regolfo criado por diques de defesa ...................................................... 11.68 
Figura 11.30 – Delimitação de áreas inundáveis para diversas cheias ........................................ 11.70 
 
Caracterização de cheias 
 
 11.3 
Lista de Quadros 
 
Quadro 11.1 – Períodos de retorno T (ano) da cheia de projeto .....................................................11.8 
Quadro 11.2 – Categorização de barragens de acordo com a SANCOLD .....................................11.9 
Quadro 11.3 – Valores do número da curva NC ..........................................................................11.14 
Quadro 11.4 – Alteração de NC para condições de humidade antecedente diferentes da média. 11.15 
Quadro 11.5 – Valores de K da fórmula de Iskowski .................................................................. 11.16 
Quadro 11.6 – Valores de m da fórmula de Iskowski .................................................................. 11.17 
Quadro 11.7 – Maiores caudais máximos observados em função da área da bacia hidrográfica 11.18 
Quadro 11.8 – Valores do coeficiente C da fórmula racional ...................................................... 11.23 
Quadro 11.9 – Valores do coeficiente C para bacias rurais ......................................................... 11.24 
Quadro 11.10 – Fator de minoração para bacias rurais em função do período de retorno .......... 11.24 
Quadro 11.11 – Caudal de ponta para diversas durações da precipitação ................................... 11.25 
Quadro 11.12 – Valores do coeficiente λ da fórmula de Giandotti .............................................. 11.26 
Quadro 11.13 – Resumo de propriedades de algumas funções de distribuições de probabilidades
 ............................................................................................................................................... 11.30 
Quadro 11.14 – Funções utilizáveis no MS Excel ....................................................................... 11.31 
Quadro 11.15 – Hidrograma unitário padrão do SCS.................................................................. 11.52 
Quadro 11.16 – Relação entre m e α ............................................................................................ 11.54 
Quadro 11.17 – Parâmetros do hidrograma de Giandotti ............................................................ 11.59 
 
Caracterização de cheias 
 
 11.4 
11. CARACTERIZAÇÃO DE CHEIAS 
11.1. INTRODUÇÃO 
 Pode definir-se cheia como um fenómeno hidrológico extremo causado por precipitação 
intensa de duração mais ou menos prolongada numa bacia hidrográfica ou em parte dela, originando 
caudais que excedem a capacidade de vazão do leito menor do rio. Com esta definição, o conceito 
de cheia fica associado ao de inundação de áreas que a tal não estão sujeitas durante a maior parte 
do tempo. Por vezes utiliza-se a expressão também para designar um aumento do caudal, 
independentemente de se ter ultrapassado ou não a capacidade de vazão do leito menor do rio. As 
cheias podem resultar também de fusão da neve ou de rotura de barragens, mas essas situações não 
são aqui tratadas. 
 Em hidrologia, o conceito de cheia aparece por vezes quantificado em termos de ser um 
caudal 3 a 5 vezes superior ao caudal modular. 
 No estudo de cheias utilizando modelos estatísticos é habitual considerar a série constituída 
pelos caudais instantâneos máximos registados em cada um dos anos hidrológicos observados ou, 
quando esta série for demasiado curta, considerar a série constituída pelos caudais instantâneos 
máximos registados acima de determinado patamar. 
 As grandes cheias são desastres naturais que causam importantes prejuízos materiais, sociais 
e até mortes, não havendo ano em que tal não se verifique em alguma parte do mundo. Portugal e 
Moçambique não constituem excepção a esta regra. 
 Em Novembro de 1967 Portugal sofreu na região de Lisboa a mais trágica cheia de sempre, 
com mais de quatrocentos mortos. Outras cheias com grandes impactos negativos registaram-se em 
Portugal nos últimos 50 anos, podendo referir-se as de 1962 nos rios Douro e Mondego; fevereiro de 
1979 no rio Tejo, considerada a maior cheia do século XX, que provocou dois mortos e avultados 
prejuízos materiais; dezembro de 1981 na região de Lisboa; novembro de 1983 nas regiões de 
Lisboa, Cascais e Loures, causando dez mortes; dezembro de 1989 nos rios Douro e Tejo; 
novembro de 1997 nas bacias do Baixo Alentejo, com onze mortes; inverno de 2000/01, 
excecionalmente chuvoso, afetando principalmente os rios Douro, Mondego e Tejo, com cerca de 
dez mortes . 
 Moçambique também tem um grande historial de cheias, muitas delas com consequências 
dramáticas. Desde a independência do país em 1975, registaram-se cheias importantes em 1976 no 
rio Incomáti; 1977 no rio Limpopo; 1978 no rio Zambeze; 1981 no rio Limpopo; 1984 nos rios 
Maputo, Umbeluzi e Incomáti; 1985 no rio Incomáti; 1996 no rio Limpopo; 1997 no rio Zambeze; 
1999 no rio Movene; 2000 nos rios Incomáti, Limpopo, Govuro, Save e Búzi; 2001 nos rios 
Zambeze e Púngoè; 2007 no rio Zambeze; e 2008 no rio Zambeze. As cheias de 1977, 1978, 1984 
e 2007 causaram dezenas de mortes e provocaram graves prejuízos materiais, mas nenhuma delas 
atingiu o grau de destruição da cheia de 2000, em que morreram mais de setecentas pessoas e toda a 
região costeira do sul do país, numa extensão de mais de 700 km, ficou inundada e sem 
comunicações rodoviárias durante semanas. 
 Existe uma variedade de medidas destinadas a mitigar os impactos negativos das cheias, 
habitualmente agrupadas em medidas estruturais e medidas não estruturais, como se irá 
pormenorizar mais adiante, e que incluem, entre outras, albufeiras de armazenamento, diques de 
defesa, planeamento da ocupação das planícies de inundação e sistemas de aviso de cheias. 
Caracterização de cheias 
 
 11.5 
 
 
Figura 11.1 – Imagens de cheias: ponte de Xai-Xai no rio Limpopo em 2000, marcas de cheias 
excecionais em Ponte de Lima 
 A análise da distribuição de frequências dos caudais de cheias para se poder determinar um 
caudal de dimensionamento é necessária tanto para o projeto de obras hidráulicas de protecão contra 
cheias (caso de diques e barragens) como para o planeamento de medidas não estruturais. Definida 
essa distribuição de frequências, cada valor de caudal fica associado a uma certa probabilidade de 
não excedência e, portanto, a um risco de que a estrutura projetada para esse caudal se revele 
insuficiente para cumprir a finalidade a que se destinava. 
 Há então que adotar valores bastante altos de probabilidades de não excedência que se 
considerem socialmente aceitáveis. No entanto, quanto mais alta a probabilidade de não excedência, 
maior será o valor do caudal e, portanto, mais cara será a estrutura. Por isso, torna-se necessário 
estabelecer um compromisso entre o desejo de um nível mais alto de segurança e o de um custo 
dentro de limites aceitáveis. 
 O estudo das cheias serve de base para o dimensionamento dos órgãos hidráulicos de 
segurança da barragem, principalmente o evacuador de cheias. Os valores da probabilidade de não 
excedência normalmente adotados são função da possibilidade de haver ou não perda de vidas 
humanas e da importância dos prejuízos materiais. Podendo haver risco para vidas humanas, é 
corrente adotarem-se valores da probabilidade de não excedência de 0,99 (em média, uma 
excedência de 100 em 100 anos, ou seja, um período de retorno T = 100 anos) e superiores 
enquanto que, se isso não acontece, podem adotar-se valores que vão desde 0,80 (período de retorno 
T = 5 anos) a 0,98 (período de retorno T = 50 anos). 
 No caso de grandes barragens situadas a montante de zonas povoadas tomam-se geralmente 
valores da probabilidade de não excedência de 0,999 a 0,9999 (períodos de retorno T = 1000 anos e 
T = 10 000 anos, respetivamente) para definir os caudais de dimensionamento dos evacuadores de 
cheias. A necessidade dum nível de segurança muito alto é particularmente sentida no caso de 
barragens de terra, onde um evacuador de cheias insuficiente provocaria o galgamento da barragem 
com a sua consequente destruição, originando, devido à água armazenada a montante da barragem, 
uma cheia de proporções muito superiores à cheia original. 
 Para além da protecão contra cheias, há estruturas cujo dimensionamento é determinado ou 
condicionado pela análise de cheias como as pontes e aquedutos em estradas e vias-férreas e os 
coletores e outras estruturas em sistemas de drenagempluvial. 
Caracterização de cheias 
 
 11.6 
 Do ponto de vista hidrológico, uma determinada cheia fica conhecida pelo seu hidrograma, 
onde se distingue o ramo ascendente, o valor máximo ou caudal de ponta e o ramo descendente. No 
entanto, para diversas aplicações como o dimensionamento das secções de vazão de pontes, 
aquedutos ou coletores pluviais, é suficiente o conhecimento do caudal de ponta. 
 Diversos fatores influenciam a forma do hidrograma da cheia e o caudal de ponta, 
designadamente fatores relacionados com as características da bacia, as perdas por retenção 
superficial e por infiltração, as condições meteorológicas antecedentes e a distribuição temporal e 
espacial da precipitação que dá origem à cheia. 
 No que respeita aos fatores relacionados com as características da bacia, que influenciam 
significativamente o tempo de concentração que se aborda mais adiante, têm importância a área da 
bacia, a sua forma e o relevo, conforme se viu no Capítulo 3. As características da rede de drenagem 
têm também grande importância, principalmente a densidade de drenagem, a capacidade de 
transporte e o armazenamento da água em trânsito. Quanto mais alta forem a densidade de 
drenagem e a capacidade de transporte, mais facilmente o escoamento se concentra na secção de 
saída e maior será o caudal de ponta. Pelo contrário, o efeito do armazenamento consiste na redução 
do caudal de ponta, e tanto mais quanto maior for o armazenamento. 
 As perdas por retenção superficial e por infiltração reduzem a parte da precipitação que se 
transforma em escoamento superficial e em caudal de cheia. Elas são influenciadas por diversos 
fatores, como a temperatura, o tipo de solos, o uso da terra, a cobertura vegetal e o teor de humidade 
antecedente, como se viu já nos Capítulos 3, 6 e 7. A temperatura é um dos fatores climáticos 
determinante da evaporação e da evapotranspiração, que esgotam a água retida, embora se admita 
que sejam pouco significativas durante a ocorrência de uma cheia, porque o défice de humidade na 
atmosfera é pequeno. O tipo de solos influencia a infiltração e a percolação para camadas mais 
profundas em função da sua permeabilidade. O uso do solo também influencia a infiltração, sendo 
exemplos disso o efeito da urbanização no aumento da percentagem de área impermeável ou a 
substituição de floresta nativa por áreas agrícolas. A cobertura vegetal é um dos fatores 
determinantes da evapotranspiração, para além de favorecer a detenção superficial e a infiltração. 
Finalmente, a intensidade da infiltração reduz-se tanto mais quanto mais húmido estiver o solo. 
 A distribuição espacial e temporal da precipitação tem grande influência nas características 
da cheia. Por exemplo, se a precipitação se mover, afastando-se da secção de saída no sentido de 
montante da bacia, o caudal de ponta da cheia resultante será inferior ao resultante de uma 
precipitação equivalente que se mova a partir de montante no sentido da secção de saída, como se 
verá mais adiante neste capítulo. 
 No presente capítulo, abordar-se-ão sucessivamente métodos para a determinação do caudal 
de ponta, métodos que permitem obter o hidrograma da cheia, a análise da propagação de cheias em 
albufeiras e medidas de mitigação das cheias. 
 
11.2. PERÍODO DE RETORNO E RISCO HIDROLÓGICO 
 Define-se período de retorno, T, como o intervalo de tempo médio entre ocorrências 
sucessivas de um acontecimento. Por exemplo, quando se dispõe de uma série de 50 valores 
máximos anuais ordenados por ordem crescente, o valor de ordem i = 41 é igualado ou excedido 10 
vezes na série, correspondendo-lhe um período de retorno de cerca de 5 anos. 
Caracterização de cheias 
 
 11.7 
 O período de retorno do acontecimento definido para a variável aleatória χ, que constitui a 
série dos máximos anuais, quando ela excede ou iguala determinado valor xi (χ ≥ xi) relaciona-se 
com a probabilidade de excedência, G(xi), ou de não excedência, F(xi), pelas expressões: 
 
)x(F1
1
)x(G
1
)x(T
ii
i

 (11.1) 
 Assim, no exemplo anteriormente referido, adotando a frequência empírica de Weibull, ter-
se-ia: 
 F(x41) = P(χ x41) = 0,804 
 G(x41) = P(χ x41) = 0,196 
 T(x41) = 1 / 0,196  5 anos 
 Importa deixar bem claro que o conceito de período de retorno não está associado a qualquer 
ideia de repetição cíclica e regular do acontecimento. Se, por exemplo, um acontecimento tem um 
período de retorno de 10 anos, isso não quer dizer que tal acontecimento ocorra regularmente de 10 
em 10 anos: ele pode ocorrer em dois anos consecutivos, assim como pode não ocorrer durante vinte 
anos. Se, porém, dispusermos duma série suficientemente longa, então o intervalo de tempo médio 
entre ocorrências consecutivas do acontecimento seria de 10 anos. 
 Se considerarmos agora o acontecimento (χ ≥ x) com uma probabilidade de ocorrência G(x) 
relativamente baixa, a probabilidade de não ocorrência do acontecimento em 2 anos sucessivos será 
[F(x)]
2
 e a de não ocorrência em N anos sucessivos será [F(x)]
N
. 
 Então, a probabilidade de que o acontecimento ocorra pelo menos uma vez em N anos 
sucessivos será dada por 1-[F(x)]
N
. Essa probabilidade designa-se por risco hidrológico, R(x,N), e é 
dada por 
   NN )
T
1
1(1)x(F1)N,x(R  (11.2) 
 O conceito de risco hidrológico tem muito interesse prático, por exemplo na determinação do 
caudal de projeto de desvio dum rio para a construção de uma barragem. O risco hidrológico 
aumenta com a duração N do período de construção considerado e diminui com o período de 
retorno. Assim, se os aquedutos num troço de estrada tiverem sido dimensionados para um caudal 
de cheia com um período de retorno T de 20 anos, a probabilidade de a respetiva capacidade de 
vazão se revelar insuficiente pelo menos uma vez num período N de 10 anos é de cerca de 40 por 
cento e sobe para cerca de 64 por cento se N for de 20 anos. 
 É fácil de ver que, se N = T, o risco R tende para (1 – 1/e) , cerca de 63 por cento, quando T 
tende para infinito. 
 Pode reduzir-se o risco, aumentando o período de retorno da variável de dimensionamento, 
com a contrapartida do consequente aumento do custo. A Figura 11.2 representa esta variação do 
risco R com a duração N para diversos períodos de retorno. 
Caracterização de cheias 
 
 11.8 
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 10 20 30 40
N (anos)
R
 (
T
,N
)
T = 5 T = 10 T = 25 T = 50 T = 100
 
Figura 11.2 – Variação do risco com a duração e com o período de retorno 
 O período de retorno T a adotar para o cálculo do caudal de cheia é definido em 
regulamentos nacionais em função da importância da obra hidráulica e do risco que o seu colapso 
representa para as populações que venham a ser afetadas. Assim, as Normas de Projeto de 
Barragens em Portugal, aprovadas pela Portaria nº 846/93, indicam no seu Anexo I quais os 
períodos de retorno T a serem adotados em diversas circunstâncias (Quadro 11.1). 
 
Quadro 11.1 – Períodos de retorno T (ano) da cheia de projeto 
 
Tipo de barragem Risco potencial 
BETÃO ATERRO ELEVADO SIGNIFICATIVO 
h ≥ 100 h ≥ 50 10 000 a 5000 5000 a 1000 
50 ≤ h < 100 15 ≤ h < 50 5000 a 1000 1000 
15 ≤ h < 50 h < 15 1000 1000 
h < 15 – 1000 500 
h – altura da barragem, em metros. 
 Nas referidas normas, a quantificação das consequências de um acidente, independentemente 
da probabilidade da sua ocorrência, define o risco potencial, que pode ser graduado em baixo, 
significativo ou elevado. O risco potencial é baixo se, da ocorrência de um eventual acidente, se 
previr ausência de perdas de vidas humanas e custos materiais reduzidos; o risco potencial é 
significativo quando se previr a perda de algumas vidas humanas e custos materiais relativamente 
importantes; o risco potencial é elevado quando se previr a perda de um número apreciável de vidas 
humanas e custos materiais altos. 
Caracterização de cheias 
 
 11.9 
 A maior cautelacom as barragens de aterro deve-se ao facto de o galgamento destas 
acarretar quase sempre rotura do aterro e o possível colapso de toda a barragem, o que não acontece 
com as barragens de betão. 
 Por sua vez, o Regulamento das Pequenas Barragens, aprovado pelo Decreto-Lei nº 409/93, 
define que, para estas estruturas, o caudal de cheia de projeto deve ser calculado para um período de 
retorno de 100 anos, desde que o risco potencial seja pouco significativo. 
 Conforme foi referido em SANCOLD (1991) e em Cullis et al. (2007), a SANCOLD, 
Comissão Sul-Africana de Grandes Barragens, considera três categorias em termos de dimensão da 
barragem: pequena, com altura entre 5 e 12 m, média, com altura entre 12 e 30 m, e grande, com 
altura acima de 30 m. 
 No que diz respeito ao nível de risco, a SANCOLD considera também três categorias: baixo, 
quando não há risco de perda de vidas e os danos materiais previstos são pequenos; significativo, 
quando há risco de morte de até 10 pessoas e de danos materiais significativos; e elevado, quando há 
risco de morte de mais de 10 pessoas e de grandes danos materiais. 
 A conjugação dos dois critérios acima conduz à categorização das barragens indicada no 
Quadro 11.2 
 
Quadro 11.2 – Categorização de barragens de acordo com a SANCOLD 
 
Dimensão da 
barragem 
Nível de risco 
Baixo Significativo Elevado 
Pequena I II II 
Média II II III 
Grande III III III 
 A SANCOLD propõe duas vias de verificar se os órgãos de descarga de uma barragem 
existente são suficientes, conforme se utilize informação específica do local da barragem ou, por 
falta desta, se utilize informação obtida por processos de regionalização. No segundo caso, a 
SANCOLD considera que o dimensionamento deve ser mais conservador e, por isso, a capacidade 
do descarregador deve igualar o caudal de ponta da cheia afluente. Quando se dispõe de informação 
específica do local da barragem, a norma permite que se faça a propagação do hidrograma da cheia 
através do descarregador, sendo portanto o caudal de ponta descarregado inferior ao caudal de ponta 
afluente. O hidrograma da cheia pode ser obtido a partir do hidrograma unitário da bacia, utilizando 
modelos de simulação hidrológica ou com base em hidrogramas de cheias anteriores. 
 A norma da SANCOLD considera dois níveis de cheia: o caudal de projeto recomendado 
(RDD) ou a cheia de projeto recomendada (RDF); e o caudal de avaliação de segurança (SED) ou a 
cheia de avaliação de segurança (SEF). A distinção feita entre caudal de projeto e cheia de projeto é 
que o primeiro é unicamente o caudal de ponta obtido a partir de informação regionalizada e o 
segundo é o hidrograma de cheia obtido a partir de informação específica do local da barragem. 
 Para o RDD ou RDF, o pressuposto é que se garanta a folga mínima, ou seja, que o nível de 
máxima cheia NMC não seja excedido. Para o SED ou SEF, a folga pode ser inteiramente 
absorvida, mas a barragem não pode correr o risco de rotura, embora possa sofrer danos apreciáveis. 
Caracterização de cheias 
 
 11.10 
 Os períodos de retorno recomendados pela norma da SANCOLD são, para o RDD ou RDF, 
de 20 a 50 anos para a categoria I, 100 anos para a categoria II, e 200 anos para a categoria III. 
Para o SED ou SEF, o caudal de ponta corresponde à cheia máxima regional (RMF) obtida pela 
fórmula de Francou-Rodier com os coeficientes ajustados para as diversas regiões da África do Sul, 
de acordo com Kovacs (1988). No entanto, para as barragens de categoria III, exceto as de baixo 
risco, é obrigatória a utilização de informação hidrológica específica do local da barragem, 
tomando-se para caudal de ponta a cheia máxima provável (PMF) com a indicação de que o limite 
superior da PMF é o dobro da correspondente RMF. 
 Outras obras, que envolvem para as populações riscos inferiores aos das barragens, são 
dimensionadas para períodos de retorno mais baixos. Assim, por exemplo, para o dimensionamento 
de coletores e valas de drenagem urbana consideram-se períodos de retorno entre 5 e 20 anos. Os 
aquedutos em estradas são dimensionados para períodos de retorno entre 10 e 50 anos, e as pontes 
para períodos de retorno entre 100 e 1000 anos. 
 
11.3. CURVA DA PRECIPITAÇÃO ÚTIL 
 Como se referiu no capítulo anterior acerca dos modelos de transformação da precipitação 
em escoamento, apenas uma parte da precipitação que ocorre numa bacia hidrográfica contribui 
para o escoamento direto, designando-se essa parte por precipitação útil, precipitação efetiva ou 
excesso de precipitação, e a parte que não contribui para o escoamento direto por perdas. No 
referido capítulo apresentaram-se vários métodos ou modelos para determinação direta ou indireta 
da precipitação útil e do escoamento direto. O Soil Conservation Service (SCS) do Departamento de 
Agricultura dos EUA (USDA), atualmente integrado no Natural Resources Conservation Service 
(NRCS) do mesmo departamento, estabeleceu um método para a determinação da precipitação útil, 
que tem sido muito utilizado em todo o mundo na análise e síntese de cheias, ou seja, em escalas de 
tempo correspondentes à duração de uma cheia e, portanto, inferiores à escala mensal e mesmo 
inferiores à escala semanal em pequenas e médias bacias hidrográficas. Designa-se tal método por 
método da curva da precipitação útil do SCS. 
 Embora com justificação diversa, de modo semelhante ao que se referiu para os modelos 
com discretização anual e para o modelo de Témez sobre o excedente total mensal, considera-se que 
existe inicialmente uma perda de precipitação para preenchimento da capacidade de retenção 
superficial, à qual se segue uma perda distribuída, justificada essencialmente pela infiltração nos 
solos da bacia hidrográfica. A infiltração será tanto mais importante quanto mais permeável for a 
superfície da bacia hidrográfica e quanto maior for a oportunidade para que ocorra, ou seja, quanto 
menores forem os declives dessa superfície. 
 Faz-se notar que, durante a ocorrência de precipitações intensas, que estão na origem do tipo 
de cheias que se abordam neste capítulo, a atmosfera se encontra saturada e, portanto, a evaporação 
e a evapotranspiração apenas poderão ser importantes depois da cessação da precipitação e que, em 
cada momento, a precipitação útil acumulada até aí é igual à água de escoamento direto em trânsito 
nesse instante para a secção de referência da bacia hidrográfica, detenção superficial e hipodérmica, 
adicionada ao escoamento direto acumulado na secção de referência. Observa-se, ainda, que num 
evento de precipitação intensa, embora a precipitação útil total e o escoamento direto total sejam 
iguais, as distribuições temporais da precipitação útil e do escoamento direto são diferentes, em 
virtude da detenção do escoamento ao longo do seu percurso na bacia. 
Caracterização de cheias 
 
 11.11 
D=P-Pu
d
P0
P0
P0P0
Fmax
F
P
 
Figura 11.3 – Ilustração dos parâmetros utilizáveis na definição das perdas de precipitação 
 Apresenta-se na Figura 11.3 o gráfico de uma função utilizável para definir a relação entre 
as perdas para o escoamento direto e a precipitação, ambas acumuladas ao longo do tempo durante 
o qual esta ocorre. Define-se a perda de precipitação para o escoamento direto por 
   uPPP DD (11.3) 
onde 
D representa a perda acumulada, 
P, a precipitação acumulada, e 
Pu, a precipitação útil acumulada. 
 Existirá um valor P0 da precipitação acumulada, a partir do qual se inicia o escoamento 
direto e, portanto, a precipitação útil. Até esse valor da precipitação acumulada, a perda acumulada 
para o escoamento direto será igual à precipitação acumulada: 
  0PPP D (11.4) 
 Satisfeito o valor da perda inicial, P0, iniciar-se-á a perda distribuída, com intensidade 
decrescente ao longo do tempo, cujo valor acumulado se representa por F: 
 0PF D (11.5) 
 Admite-se que a perda distribuída acumulada tenderá para um valor máximo,Fmax, quando 
a precipitação tender para infinito. Representa-se por d a perda total acumulada máxima. Será 
 max0 FP d (11.6) 
 Admite-se que, com 0PP  , D pode ser expresso matematicamente por uma função que 
tende assintoticamente para d do tipo 
bP
aP

d
D 
Caracterização de cheias 
 
 11.12 
onde a e b são parâmetros a especificar de modo a que, em P = P0, o valor da perda seja P0 e a 
derivada da perda seja unitária. Obtém-se 
d

0
2
0
P2b
Pa
 
e, portanto, 
 
d
d
D
0
2
0
P2P
PP
 (11.7) 
 
 
d


0
2
0
u
P2P
PP
P (11.8) 
ou 
 
 
max0
2
0
u
FPP
PP
P


 (11.9) 
 A equação anterior (11.9) pode ainda obter-se considerando que 
 
0
u
max PP
P
F
F

 ( 11.10) 
ou seja, que a relação entre a perda distribuída acumulada até determinado instante posterior à 
satisfação da perda inicial e o seu valor máximo é igual à relação entre a precipitação útil 
acumulada e a precipitação acumulada descontada da perda inicial, ambas até esse instante. 
 A equação (11.9), que define a precipitação útil acumulada em função da precipitação 
acumulada, quando esta for superior ou igual à perda inicial, depende de dois parâmetros, P0 e Fmax. 
O método introduzido pelo SCS reduz o número de parâmetros a considerar para apenas um, 
representado por NC, através da ligação estabelecida experimentalmente nos EUA, de modo 
aproximado, entre a perda inicial e a perda distribuída acumulada máxima e da definição dessa 
perda máxima, através do referido parâmetro NC. No método do SCS considera-se que 
 max0 F2,0P  (11.11) 
e que, com Fmax em mm, 
 254
NC
25400
Fmax  (11.12) 
 O parâmetro NC pode variar entre 0 e 100. Quando o seu valor for 0, tanto Fmax quanto P0 
são infinitos e, portanto, a precipitação útil será nula. Quando o seu valor for 100, tanto Fmax quanto 
P0 são nulos e, portanto, a precipitação útil será igual à precipitação. A precipitação útil cresce com 
NC. 
 Assim, cada uma das curvas da família de curvas representada pelas equações (11.9), 
(11.11) e (11.12) fica completamente especificada pelo parâmetro NC, que, por tal motivo, se 
designa por número da curva da precipitação útil. Apresenta-se tal família na Figura 11.4. 
Caracterização de cheias 
 
 11.13 
0
200
400
600
800
1000
0 200 400 600 800 1000
P (mm)
P
u
 (
m
m
)
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
NC
 
Figura 11.4 – Precipitação útil acumulada em função da precipitação acumulada e do número da 
curva, NC 
 Na Figura 11.5 apresenta-se a razão entre a precipitação útil acumulada e a precipitação 
acumulada, que se designa por coeficiente da precipitação útil, em função da precipitação 
acumulada e do número da curva, NC. Verifica-se que em cada curva o coeficiente de escoamento 
direto, uma vez satisfeita a perda inicial, cresce com a precipitação acumulada, tanto mais 
rapidamente quanto maior for o número da curva, e tende para um valor unitário quando a 
precipitação acumulada tende para infinito. 
Caracterização de cheias 
 
 11.14 
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 200 400 600 800 1000
P (mm)
P
u
/P
 (
-)
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
NC
 
Figura 11.5 – Razão entre a precipitação útil acumulada e a precipitação acumulada em função da 
precipitação acumulada e do número da curva, NC 
 O número da curva, NC, foi ainda relacionado com as características das bacias 
hidrográficas que dizem respeito ao tipo de solos e respetivo uso e ao estado de humedecimento dos 
solos anteriormente à cheia (Quadro 11.3 e Quadro 11.4, adaptados de Lencastre e Franco (1992)). 
O USDA-NRCS (2004) considera quatro tipos hidrológicos de solos, A, B, C e D, sendo A um solo 
muito permeável e com baixo potencial de escoamento superficial, normalmente constituído por 
areia grossa, ao passo que o tipo D corresponde a solos com baixa capacidade de infiltração, 
normalmente constituídos por materiais argilosos ou siltosos, ou ainda materiais mais permeáveis, 
mas em que o nível freático se encontra permanentemente próximo da superfície. NC terá valores 
mais baixos para solos do tipo A, onde a intensidade da infiltração será mais elevada, e valores mais 
altos para solos do tipo D, onde a intensidade da infiltração será mais baixa. 
 
Quadro 11.3 – Valores do número da curva NC 
 
Utilização / cobertura do solo Grupo hidrológico do solo 
 A B C D 
Terras lavradas 
não cultivadas 72 81 88 91 
cultivadas 62 71 78 81 
Pastagens 
pobres 68 79 86 89 
boas 39 61 74 80 
Prados em boas condições 30 58 71 78 
Florestas 
pouco densas 45 66 77 83 
Caracterização de cheias 
 
 11.15 
densas 25 55 70 77 
Espaços abertos, relvados, campos de golfe, 
cemitérios, etc. 
mais de 75% de relva 39 61 74 80 
50-75% de relva 49 69 79 84 
Áreas comerciais (85% impermeável) 89 92 94 95 
Zonas industriais (72% impermeável) 81 88 91 93 
Áreas residenciais, % média de 
impermeabilização 
65 77 85 90 92 
38 61 75 83 87 
30 57 72 81 86 
25 54 70 80 85 
20 51 68 79 84 
Parques pavimentados, telhados, passeios, etc. 98 98 98 98 
Ruas, estradas 
pavimentadas, com sarjetas e coletores 98 98 98 98 
empedradas 76 85 89 91 
terra batida 72 82 87 89 
 Os valores do quadro acima correspondem a uma condição de humidade antecedente média. 
Quando o solo já está perto da saturação por efeito de precipitações anteriores, deve-se tomar um 
valor de NC mais alto, visto que a capacidade de infiltração do solo estará reduzida, passando-se o 
oposto se o solo estiver muito seco. O Quadro 11.4 apresenta estas variações de NC com a condição 
de humidade antecedente, sendo II a condição média, I, a condição seca, e III, a condição húmida. 
 
Quadro 11.4 – Alteração de NC para condições de humidade antecedente diferentes da média 
 
II 100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 
I 100 87 78 70 63 57 51 45 40 35 31 
III 100 98 96 94 91 88 85 82 78 74 70 
 
II 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 
I 26 22 18 15 12 9 6 4 2 0 
III 65 60 55 50 43 37 30 22 13 0 
 As bacias hidrográficas de dimensões médias a grandes apenas raramente serão constituídas 
por solos homogéneos ou de uso uniforme. Nesses casos, bacias com frações de área com solos e 
respetivos usos não uniformes, pode obter-se o número da curva pela média dos números de cada 
fração ponderada com a respetiva área. 
 
11.4. DETERMINAÇÃO DO CAUDAL DE PONTA 
11.4.1. Métodos empíricos 
 Diversas fórmulas foram sendo propostas para a determinação do caudal de ponta, 
procurando ter em consideração alguns dos fatores acima mencionados, sendo muitas vezes 
calibradas para determinadas regiões do globo. 
 Uma destas fórmulas é a de Myer, proposta e muito utilizada nos EUA a partir de inícios do 
século XX. Esta fórmula escreve-se: 
Caracterização de cheias 
 
 11.16 
  ACQ ( 11.13) 
onde 
 Q representa o caudal de ponta de cheia máximo (m
3
/s), 
 C, um coeficiente dependente das características da bacia e do período de retorno, 
 α, um coeficiente dependente das características da bacia, variando entre 0,4 e 0,8, 
habitualmente assumido como sendo 0,5, e 
 A, a área da bacia hidrográfica (km
2
). 
 Réméniéras (1976) sugere que a adopção do valor de α = 0,5 pode ter a seguinte 
interpretação: para uma precipitação uniforme, o volume do escoamento é aproximadamente 
proporcional a A, ao passo que o tempo de concentração é grosso modo proporcional ao 
comprimento da linha de água que varia aproximadamente com √A, pelo que o caudal de ponta 
deve variar com A/√A = √A. Ainda segundo Réméniéras, os valores de C apresentam uma grande 
gama, tendo-se encontrado em França valores desde 13 (rio Sena) a 160 (zona de Ardèche). 
 Atualmente, a fórmula de Myer tem sido utilizada na transposição de caudais de ponta com 
determinado período de retorno entre bacias hidrográficas semelhantes no que respeita às 
características hidrológicas e ao regime de precipitação. Quando a área ( 'A ) e o caudalde ponta 
( 'Q ) forem conhecidos numa das bacias, então noutra bacia semelhante com a área A será 
 








'A
A
'QQ (11.14) 
 Loureiro (1984) adaptou a fórmula para Portugal, apresentando os valores de C e de α para 
diversas regiões do País e para vários períodos de retorno. 
 Uma das fórmulas mais antigas é a fórmula de Iskowski, apresentada em 1884: 
 APmKQ (11.15) 
onde 
 Q representa o caudal de ponta de cheia (m
3
/s), 
 K, um coeficiente dependente do tipo de solos, cobertura vegetal e relevo, 
 m, um coeficiente dependente da área da bacia hidrográfica, 
 P , a precipitação anual média (m), e 
 A, a área da bacia hidrográfica (km
2
). 
 Lencastre e Franco (1992) apresentam valores dos coeficientes K e m, que se encontram no 
Quadro 11.5 e no Quadro 11.6. O valor mínimo admitido para m, quando a área da bacia 
hidrográfica é muito grande, é 1. 
 
 
 
Quadro 11.5 – Valores de K da fórmula de Iskowski 
 I II III IV 
Terrenos baixos e pantanosos 0,017 0,030 - - 
Planícies e leves ondulações 0,025 0,040 - - 
Parte planície e parte colina 0,030 0,055 0,100 - 
Colinas não escarpadas 0,035 0,070 0,125 - 
Parte montes de altura média e 0,040 0,082 0,155 0,400 
Caracterização de cheias 
 
 11.17 
parte colinas ou colinas 
escarpadas 
Montes altos, sendo a encosta 
- com pouca inclinação 0,060 0,160 0,360 0,600 
- com média inclinação 0,070 0,185 0,460 0,700 
- com grande inclinação 0,080 0,210 0,600 0,800 
 
 
Quadro 11.6 – Valores de m da fórmula de Iskowski 
A(km
2
) 100 200 600 1000 2000 3000 4000 5000 10 000 
m 7,40 6,87 5,60 4,70 3,78 3,45 3,25 3,13 3,02 
 Uma das fórmulas mais utilizadas na África Ocidental e Austral é a fórmula de Francou e 
Rodier, apresentada por estes investigadores em 1967 e utilizada por Rodier e Roche (1984) em 
caudais de ponta máximos observados em cerca de 1400 estações hidrométricas de 95 países 
distribuídos por todo o mundo. A fórmula dá uma envolvente desses máximos, correspondendo 
portanto a períodos de retorno empíricos que se admite serem da ordem de 100 anos ou inferiores, 
embora o período de retorno não esteja explicitamente definido. 
 A fórmula é uma variante da fórmula de Myer, com apenas um parâmetro, e escreve-se: 
 
K1,01
8
6
10
A
10Q







 (11.16) 
 
onde Q é expresso em m
3
/s, A em km
2
, e K é um coeficiente regional que varia entre 0 e 7. 
 Rodier e Roche (1984) e Herschy (2002) com base nos maiores caudais de ponta observados 
em bacias hidrográficas com mais de 100 km
2
 obtiveram a seguinte expressão: 
 
43,0A500Q  (11.17) 
à qual corresponde um valor de K = 5,7, apenas no que diz respeito ao expoente. 
 Herschy (2002) utilizou os dados referentes aos máximos observados em bacias 
hidrográficas europeias, tendo sugerido a seguinte expressão: 
 
43,0A230Q  (11.18) 
à qual corresponde o mesmo valor de K e caudais muito inferiores aos indicados por (11.17). O 
mesmo autor refere, ainda, que para o Reino Unido se obtém 
 
7,0A8Q  (11.19) 
Caracterização de cheias 
 
 11.18 
100
1000
10000
100000
1000000
10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000
A (km
2
)
Q
 (
m
3
/s
)
Mundo
Europa
Reino Unido
 
Figura 11.6 – Máximos caudais observados no mundo em função da área da bacia hidrográfica e 
linhas ajustadas (adaptada de Herschy, 2002) 
 Na Figura 11.6 e no Quadro 11.7 apresentam-se os maiores caudais de ponta observados, e 
na Figura 11.6 representam-se ainda as linhas que correspondem às três expressões anteriores. Os 
valores de K para os máximos observados variam entre 4,6 e 7,3. Observa-se que, para os valores 
máximos referidos, não se qualificou qualquer estação hidrométrica situada em território europeu. 
 
Quadro 11.7 – Maiores caudais máximos observados em função da área da bacia hidrográfica 
 
País Estação hidrométrica Área 
(km
2
) 
Qmax 
(m
3
/s) 
EUA (Havai) Halawa 12 762 
EUA (Porto Rico) Las Piedras 17.7 816 
EUA (Nevada) Nelson Landing em El Dorado Canyon 56.5 2150 
EUA (Havai) Wailua em Lihue 58 2470 
Cuba Buey em San Miguel 73 2060 
França (Taiti) Papenoo 78 2200 
México San Bartolo 81 3000 
EUA (Texas) North Fork Hubbard Brook 102 2920 
França (Nova 
Caledónia) 
 Quateme Embouchure 143 4000 
EUA (Texas) Mail Trail Creek Loma Alta 195 4800 
Taiwan Cho Shui 259 7780 
França (Nova 
Caledónia) 
 Quateme Derniers Rapids 330 10400 
EUA (Texas) Seco Creek d’Hanis 368 6500 
França (Nova 
Caledónia) 
 Yaté 435 5700 
EUA (Porto Rico) Central Cambalache 518 5520 
Caracterização de cheias 
 
 11.19 
País Estação hidrométrica Área 
(km
2
) 
Qmax 
(m
3
/s) 
EUA (Nebrasca) Little Nemaha Syracuse 549 6370 
Nova Zelândia Haast Roaring Billy 1020 7690 
EUA (Texas) Kickapoo Springs 1040 16000 
Islândia Skeidara em Bru 1300 50000 
México Cithuatian em Paso del Mojo 1370 13500 
Austrália Pioneer em Pleystowe 1375 9840 
Japão Nyodo Ino 1463 13510 
Taiwan Hualien em Hualien Bridge 1500 11900 
EUA (Texas) W. Nueces em Bracketville 1800 15600 
Índia Macchu 1900 15600 
Taiwan Tam Shui em Taipei Bridge 2110 16700 
Japão Shingu Oga 2251 19025 
EUA (Texas) Pedernales em Johnson City 2330 12500 
Japão Yoshino Iwazu 2810 14470 
Coreia do Norte Daeryong Gang 3020 13500 
Filipinas Cagayan Echague em Isabella 4244 17550 
Japão Kiso Imujama 4684 11150 
EUA (Texas) Nueces Uvalde 4820 17400 
Japão Tone Yattajima 5150 16900 
Índia Vsundhra em Kashinagar 7820 16790 
EUA (Califórnia) Eel Scotia 8060 21300 
EUA (Texas) Pecos em Comstock 9100 26800 
Austrália Macleay em Turners Flat 9980 14300 
Paquistão Ravi em Jassar 10000 19244 
Madagáscar Betsiboka em Ambodiroka 11800 22000 
Coreia do Norte Toedong Gang em Mirim 12175 29000 
Austrália Clarence em Lilydale 16690 18300 
Coreia do Sul Han Koan 23880 37000 
Paquistão Chenab em Marala 28000 31130 
Paquistão Jhelum em Mangla 29000 31100 
Índia Indravathi em Pathaguddem 40000 24862 
China Hanjiang em Hankang 41400 40000 
Nepal Karnali em Chisapari 42890 21700 
Madagáscar Mangoky em Banyan 50000 38000 
Nepal Sapta Kashi em Chatara Kothi 54100 24000 
Índia Tapi em Kathur 64000 36500 
Índia Narmada em Gurdeshwar 87892 69400 
Índia Pranhita em Tekra 108780 47000 
Índia Mahanadi em Tikarapara 124450 33800 
Austrália Burdekin em Clare 129660 40400 
Índia Krishna em Vijaywada 251360 39900 
Índia Godavari em Polaeshwaram 307800 87250 
China Chang Jiang em Yitchang 1010000 110000 
Rússia Lena em Kusur 2430000 189000 
Brasil Amazonas em Óbidos 4640000 370000 
 
 Estudos realizados na África do Sul por Kovacs (1988) sugerem valores de K entre 2,8 e 
5,6, podendo esses valores ser utilizados igualmente para o sul e centro de Moçambique, com K 
aproximadamente igual a 5. Por outro lado, o valor proposto para as sub-bacias da bacia do 
Zambeze é de cerca de 3. A fórmula de Francou e Rodier dá melhores resultados para bacias com 
áreas entre 300 e 10 000 km
2
, não devendo ser utilizada para bacias com menos de 100 km
2
. 
Caracterização de cheias 
 
 11.20 
Originalmente, os valores de K corresponderiam aos caudais máximos observados nas respetivas 
bacias hidrográficas, mas K pode também ser considerado como uma função do período de retorno 
e, nessa base, ser calibrado para cada região. 
 Um comentário genérico que se pode fazer às fórmulas empíricas é que elas não devem ser 
utilizadas quando se dispõe de informação que permita o emprego de métodos cinemáticos ou de 
métodos estatísticos, como os que a seguir se apresentam, porque essas fórmulas empíricas foram 
derivadas e calibradas em regiões com características climáticas e fisiográficas específicas. 
11.4.2. Tempo de concentração 
 Um dos parâmetros com mais importância prática na análise e síntese de cheias em bacias 
hidrográficas é o tempo de concentração, tc, que se define como sendo o tempo necessário para que a 
gota de água caída no ponto da bacia hidrográfica cinematicamente maisdistante da secção de 
referência a atinja em percurso superficial, ou estritamente, na teoria do hidrograma unitário que 
mais adiante se aborda, o tempo necessário para que, com precipitação útil de intensidade constante, 
se atinja o caudal máximo do escoamento direto na secção de referência, ou ainda, o tempo que 
medeia entre o fim da precipitação útil e o fim do escoamento direto na secção de referência. 
 Embora geralmente se admita que é aproximadamente constante em cada bacia, na 
ocorrência de precipitações intensas, essa constância é apenas um dos pressupostos na teoria do 
hidrograma unitário, não sendo verificável em várias outras abordagens. Por exemplo, o tempo de 
concentração de um plano inclinado impermeável, entendido como o tempo necessário para se 
atingir o caudal máximo, varia de modo inverso com uma potência da intensidade da precipitação, 
ou seja, quanto maior for a intensidade da precipitação, menor será o tempo de concentração; por 
outro lado, nesse plano, o tempo que decorre entre o fim da precipitação e o fim do escoamento é 
infinito. 
 Para a determinação do tempo de concentração, o percurso e o declive dos terrenos são os 
fatores mais importantes, não sendo a área da bacia muito relevante. Diversas fórmulas empíricas, 
como as que se apresentam abaixo, têm sido propostas para se fazer a sua determinação. Nenhuma 
considera o efeito do armazenamento nas depressões do terreno, que pode ser muito significativo 
(Figura 9.29). 
a) Fórmula do Soil Conservation Service (SCS) 
 A fórmula proposta em USDA-NRCS (2004) corresponde à seguinte: 
 
5,0
7,0
8,0
c
i
9
NC
1000
L
093,0t







 (11.20) 
onde 
 tc representa o tempo de concentração (h), 
 L, a distância à secção de referência do ponto cinematicamente mais afastado (km), 
 i, o declive médio da bacia hidrográfica (-), 
 NC, o número da curva da precipitação útil (-). 
 Esta fórmula é recomendada para pequenas bacias rurais com áreas não superiores a 50 
km
2
. 
b) Fórmula de Giandotti 
Caracterização de cheias 
 
 11.21 
 A fórmula de Giandotti é a seguinte: 
 
m
c
h8,0
L5,1A4
t

 (11.21) 
onde 
 tc, representa o tempo de concentração (h), 
 A, a área da bacia hidrográfica (km
2
), 
 L, o desenvolvimento do curso de água principal (km), 
 hm, a altura média da bacia hidrográfica (m). 
 A fórmula de Giandotti foi derivada a partir de dados de um grande número de bacias 
hidrográficas italianas, sendo aplicável a bacias com áreas superiores a 300 km
2
. 
c) Fórmula de Kirpich 
 A fórmula de Kirpich, apresentada em Chow (1964), escreve-se: 
 
385,0
155,1
c
H
L
946,0t
D
 (11.22) 
onde 
 tc representa o tempo de concentração (h), 
 L, o desenvolvimento do curso de água principal (km), 
 ∆H, a diferença máxima de cotas no curso de água principal (m). 
 A fórmula de Kirpich é recomendada para bacias hidrográficas rurais, com canais bem 
definidos e declives entre 3 e 10 por cento. 
d) Fórmula de Témez 
 A expressão da fórmula proposta em Témez (1978) é: 
 
19,0
95,0
c
H
L
115,1t
D
 (11.23) 
onde tc, L e ∆H têm os mesmos significados que na fórmula de Kirpich. 
 A fórmula de Témez é recomendada para bacias naturais com áreas até 3000 km
2
. 
 Como se vê das expressões acima, as fórmulas do SCS, de Kirpich e de Témez têm 
estruturas do mesmo tipo e podem ser consideradas casos particulares da expressão geral: 
 
d
b
c
H
L
at
D
 (11.24) 
sendo a, b, d parâmetros a ser ajustados regionalmente. 
Caracterização de cheias 
 
 11.22 
11.4.3. Métodos cinemáticos 
 Os métodos tradicionalmente designados por métodos cinemáticos consideram o processo de 
movimentação da água na bacia hidrográfica, que se traduz através do tempo de concentração. 
a) Fórmula racional 
 A fórmula racional, com origem tradicionalmente atribuída a Mulvaney em meados do 
século XIX, é uma das fórmulas mais utilizadas para determinar caudais de ponta de cheia em bacias 
hidrográficas de pequena dimensão. A razão para se restringir a sua aplicação a bacias de pequena 
dimensão tem a ver com os seguintes pressupostos do método: 
 a precipitação ocorre uniformemente em toda a bacia, 
 a intensidade é constante ao longo da duração da precipitação, que se toma igual ao tempo 
de concentração da bacia. 
 É óbvio que, quanto maior for a bacia, mais difícil será que estas condições sejam 
integralmente cumpridas. No entanto, enquanto diversos autores sugerem que a fórmula racional 
não deve ser utilizada em bacias com áreas superiores a poucas dezenas de km
2
, outros estendem 
esse limite superior a algumas centenas de km
2
. Na África do Sul, a fórmula racional é aplicada em 
bacias com áreas até 5000 km
2
. 
 A fórmula racional é dimensionalmente homogénea, escrevendo-se: 
 AICQ  (11.25) 
em que Q é o caudal de ponta de cheia, C é um coeficiente adimensional, I é a intensidade média de 
precipitação com duração igual ao tempo de concentração e o período de retorno desejado para a 
cheia, e A é a área da bacia. Se I estiver expresso em m/s e A em m
2
, Q virá expresso em m
3
/s. Para 
I em mm/h e A em km
2
, a fórmula escreve-se: 
 AIC278,0Q  (11.26) 
 O coeficiente C é uma função de diversos fatores, designadamente do tipo e uso dos terrenos 
superficiais e do respetivo declive. Para além destes fatores, C é também função do período de 
retorno, aumentando com este. O Quadro 11.8, adaptado de Chow et al. (1988), apresenta valores 
de C para diversas condições da superfície, em função do período de retorno. 
 Em bacias onde se identifiquem subáreas com características heterogéneas, tal como se 
referiu para o número da curva do SCS, pode utilizar-se um valor de C determinado pela média 
ponderada com a respetiva área dos valores de C de cada subárea. 
 
Caracterização de cheias 
 
 11.23 
Quadro 11.8 – Valores do coeficiente C da fórmula racional 
Características superficiais Período de retorno (ano) 
 2 5 10 25 50 100 500 
Zonas urbanas 
– Asfalto 0,73 0,77 0,81 0,85 0,90 0,95 1,00 
– Betão/coberturas 0,75 0,80 0,83 0,88 0,92 0,97 1,00 
– Relvados (parques, jardins …) 
Relvado em menos de 50% da 
área 
Declive fraco, 0-2% 0,32 0,34 0,37 0,40 0,44 0,47 0,58 
Declive médio, 2-7% 0,37 0,40 0,43 0,45 0,49 0,53 0,61 
Declive forte, > 7% 0,40 0,43 0,45 0,49 0,52 0,55 0,62 
Relvado entre 50% e 75% da 
área 
Declive fraco, 0-2% 0,25 0,28 0,30 0,34 0,37 0,41 0,53 
Declive médio, 2-7% 0,33 0,35 0,38 0,42 0,45 0,49 0,58 
Declive forte, > 7% 0,37 0,40 0,42 0,46 0,49 0,53 0,60 
Relvado em mais de 75% da área 
Declive fraco, 0-2% 0,21 0,23 0,25 0,29 0,32 0,36 0,49 
Declive médio, 2-7% 0,29 0,32 0,35 0,39 0,42 0,46 0,56 
Declive forte, > 7% 0,34 0,37 0,40 0,44 0,47 0,51 0,58 
Zonas rurais 
– Terra cultivada 
Declive fraco, 0-2% 0,31 0,34 0,35 0,40 0,43 0,47 0,57 
Declive médio, 2-7% 0,35 0,38 0,41 0,44 0,48 0,51 0,60 
Declive forte, > 7% 0,39 0,42 0,44 0,48 0,51 0,54 0,61 
– Pastagens 
Declive fraco, 0-2% 0,25 0,28 0,30 0,34 0,37 0,41 0,53 
Declive médio, 2-7% 0,33 0,36 0,38 0,42 0,45 0,49 0,58 
Declive forte, >7% 0,37 0,40 0,42 0,46 0,49 0,53 0,60 
– Mata/floresta 
Declive fraco, 0-2% 0,22 0,25 0,28 0,31 0,35 0,39 0,48 
Declive médio, 2-7% 0,31 0,34 0,36 0,40 0,43 0,47 0,56 
Declive forte, > 7% 0,35 0,39 0,41 45,00 0,48 0,52 0,58 
 
 A abordagem do DWAF (Department of Water Affairs and Forestry) da África do Sul é 
similar e considera os seguintes valores de C para áreas urbanas: 
 áreas relvadas 
arenosas, declive < 2% 0,05-0,10 
arenosas, declive > 7% 0,15-0,20 
solos pesados, declive < 2% 0,13-0,17 
solos pesados, declive > 7% 0,25-0,35 
 áreas residenciais com moradias 0,30-0,50 
 áreas residenciais com prédios 0,50-0,70 
 áreas industriais 0,50-0,90 
 áreas de comércio concentrado 0,70-0,95 
 áreas de comércio disperso 0,50-0,70 
 ruas e avenidas 0,70-0,95 
Caracterização de cheias11.24 
 Os valores de C para áreas não urbanizadas são dados no Quadro 11.9, por adição de cada 
um dos componentes Cy, Cp e Cv. 
 
Quadro 11.9 – Valores do coeficiente C para bacias rurais 
 
Componente Categoria 
Precipitação anual média (mm) 
<600 600 – 900 >900 
Declive dos 
terrenos 
Cy 
< 3% 0,01 0,03 0,05 
3-10% 0,06 0,08 0,11 
10-30% 0,12 0,16 0,20 
30-50% 0,22 0,26 0,30 
> 50% 0,26 0,30 0,34 
Permeabilidade 
dos solos 
Cp 
muito permeável 0,03 0,04 0,05 
permeável 0,06 0,08 0,10 
pouco permeável 0,12 0,15 0,20 
impermeável 0,21 0,26 0,30 
Coberto vegetal 
Cv 
floresta, mata densa 0,03 0,04 0,05 
área cultivada 0,07 0,11 0,15 
pastos 0,17 0,21 0,25 
solo nu 0,26 0,28 0,30 
 O DWAF recomenda que, em zonas de floresta, se considere o solo como muito permeável. 
 Como se ilustra no Quadro 11.8, quanto menor for o período de retorno considerado, tanto 
menor tenderá a ser o valor de C. Para tomar esse efeito em conta, o DWAF propõe ajustar o valor 
de C para áreas rurais e períodos de retorno pequenos, multiplicando o coeficiente por um fator fT 
inferior à unidade, como se apresenta no Quadro 11.10. 
 
Quadro 11.10 – Fator de minoração para bacias rurais em função do período de retorno 
 
T (anos) 2 5 10 20 50 100 
fT 0,50 0,55 0,60 0,67 0,83 1,00 
 Para áreas urbanas, considera-se que o fator fT para períodos de retorno iguais ou superiores 
a 50 anos é igual a 1. 
Caracterização de cheias 
 
 11.25 
 Quando uma bacia inclui áreas urbanas e rurais, o DWAF recomenda que o valor de C se 
obtenha ponderando os valores de Curb e de Crur, tomando como pesos as respetivas áreas relativas. 
 Na aplicação da fórmula racional, assim como em outras fórmulas cinemáticas, a duração 
da precipitação que origina a cheia é considerada igual ao tempo de concentração. Pode mostrar-se 
por que razão uma duração de precipitação igual ao tempo de concentração conduz a um valor 
máximo do caudal de ponta. Para tal, considere-se a hipótese de que a área que contribui para o 
caudal na secção de referência é igual à área da bacia, Ab, se a duração t da precipitação for igual 
ou superior ao tempo de concentração, tc, e será proporcionalmente inferior, se t < tc : A = Ab ( t / tc 
) . 
 Sendo a intensidade média da precipitação para um dado período de retorno definida por 
1ntaI  , podem estabelecer-se as relações representadas no Quadro 11.11 para esse período de 
retorno. 
 
Quadro 11.11 – Caudal de ponta para diversas durações da precipitação 
 
Duração 
c1 tt  c2 tt  c3 tt  
Intensidade 1n
11 taI
 
1n
cc2 taII
 1n33 taI
 
Área  c1b1 t/tAA  b2 AA  b3 AA  
Caudal de ponta 
c
n
1b1 t/tAaCQ  
1n
cbc2 tAaCQQ
 1n3b3 tAaCQ
 
 
 Considerando os caudais de ponta da última linha do Quadro, obtém-se 
12
n
1
c
1
2 QQ1
t
t
Q
Q






 
e, relembrando que n < 1, 
32
1n
3
c
3
2 QQ1
t
t
Q
Q










 
ou, como se pretendia mostrar, a duração crítica da precipitação, duração que conduz ao maior 
caudal de ponta de cheia, é a que corresponde ao tempo de concentração da bacia hidrográfica. 
 Representando a intensidade média de precipitação com duração igual ao tempo de 
concentração por Ic e o caudal de ponta de cheia máximo que dela resulta por Qc, será 
 bcc AICQ  (11.27) 
 O caudal específico de ponta de cheia máximo, qc, caudal por unidade de área da bacia 
hidrográfica, será dado por 
 c
1n
c
b
c
c ICtaC
A
Q
q 

 (11.28) 
Caracterização de cheias 
 
 11.26 
 Como o tempo de concentração aumenta para jusante e, para um dado período de retorno, a 
intensidade média da precipitação diminui quando aumenta a duração, então, qc diminui quando se 
caminha para jusante num dado curso de água, ou seja, as grandes bacias têm valores de qc bastante 
mais baixos que as pequenas bacias hidrográficas. Assim, por exemplo, cheias centenárias na região 
de Lisboa apresentam valores de q100 na ordem de 9 e 4 m
3
/s/km
2
 para bacias com áreas de 10 e 100 
km
2
 respetivamente, ao passo que a bacia da barragem do Alqueva, com 55 000 km
2
, tem um valor 
de Q1000 = 12 000 m
3
/s, a que corresponde a um valor de q1000 de apenas 0,2 m
3
/s/km
2
. 
 Como se referiu, na aplicação da fórmula racional considera-se uma intensidade de 
precipitação que se mantém constante ao longo do tempo de concentração da bacia hidrográfica, 
tempo que se adota para duração da precipitação. Hipólito et al. (2006) confrontaram os valores 
obtidos pela fórmula racional com os obtidos quando se considera que a distribuição temporal da 
precipitação não é uniforme, se constroem hietogramas de projeto com base no método dos blocos 
contíguos e nas linhas de possibilidade udométrica e se determina o hidrograma de projeto através 
da teoria do hidrograma unitário. 
 Os caudais de ponta de cheia assim calculados têm valores superiores aos que se obteriam 
utilizando uma precipitação com distribuição temporal uniforme, pelo que, nessas condições, se 
deve introduzir na fórmula racional um fator de majoração f, passando então a fórmula a ser 
 AICfQ  (11.29) 
sendo o fator f dado por 
 n2f  (11.30) 
onde n = n(T) é o expoente das curvas de possibilidade udométrica para o período de retorno 
pretendido, 
)T(nt)T(a)T,t(P  . 
b) Fórmula de Giandotti 
 A fórmula de Giandotti é muito utilizada, sendo até incluída em regulamentos de diversos 
países. A fórmula, que tem uma estrutura semelhante à da fórmula racional, escreve-se: 
 
ct
PA
Q

 (11.31) 
onde Q representa o caudal de ponta de cheia e para determinado período de retorno (m
3
/s), A, a 
área da bacia hidrográfica (km
2
), P, a altura de precipitação (mm), correspondente a uma duração 
igual ao tempo de concentração e para esse período de retorno, tc, o tempo de concentração (h), 
sendo λ um parâmetro que é função da área da bacia. 
 
Quadro 11.12 – Valores do coeficiente λ da fórmula de Giandotti 
 
Área da 
bacia 
(km
2
) 
< 
300 
300-
500 
500-
1000 
1000-
8000 
8000-20 
000 
20 000-70 
000 
 0,34
6 
0,277 0,197 0,100 0,076 0,055 
Caracterização de cheias 
 
 11.27 
 A fórmula de Giandotti pode transformar-se na fórmula racional, fazendo ct/PI  e 
 6,3C . Assim, verifica-se que o valor de  para pequenas bacias hidrográficas corresponde a um 
valor de C superior a 1, facto que se encontra em contradição com o pressuposto da constância da 
intensidade da precipitação. 
 
c) Fórmula do Soil Conservation Service 
 O método do SCS permite estabelecer a seguinte fórmula, que tem uma estrutura semelhante 
à da fórmula racional: 
 
c
u
t
PA278,0
Q  (11.32) 
onde Q representa o caudal de ponta de cheia e para determinado período de retorno (m
3
/s), A, a 
área da bacia hidrográfica (km
2
), Pu, a altura de precipitação útil (mm), correspondente a uma 
duração igual ao tempo de concentração e para esse período de retorno, e tc, o tempo de 
concentração (h). 
 A precipitação útil, Pu, determina-se utilizando linhas de possibilidade udométrica para a 
precipitação, P = P(tc,T), e a curva da precipitação útil correspondente ao número NC do SCS para 
a bacia hidrográfica. 
 Comparando a fórmula do SCS (11.32) com a fórmula racional (11.26), obtém-se 
 
P
P
C u (11.33) 
onde P representa a precipitação na bacia, com duração igual ao tempo de concentração e com o 
período de retorno pretendido, podendo o coeficiente da fórmula racional obter-se da Figura 11.5. 
 Viessman e Lewis (1996) apresentam uma expressão para o cálculo de C a partir de 
parâmetros e variáveis representativos das condições da bacia, da intensidade da precipitação e do 
período de retorno: 
     
7,0
004,015,048,16,005,037
2
1
001,001,0102,7
2,0





 

 RNCNCTNCC
IS
 (11.34) 
em que NC é o número da curva da precipitação útil, T, o período de retorno (ano), S, o declive 
médio da superfície (percentagem), I, a intensidade média da precipitação(mm/h), e R, a 
percentagem de área impermeável da bacia hidrográfica. 
 
11.4.4. Métodos estatísticos 
 Um dos métodos mais utilizados para o cálculo de caudais de dimensionamento associados a 
uma certa probabilidade de não excedência ou período de retorno é a aplicação de modelos de 
distribuições de extremos a séries de caudais instantâneos máximos anuais. 
Caracterização de cheias 
 
 11.28 
 Normalmente, as séries de valores extremos disponíveis, obtidas a partir de registos de 
observação, têm durações muito inferiores aos períodos de retorno pretendidos, não permitindo uma 
estimação direta do valor do caudal pretendido. A utilização de modelos de distribuições de 
extremos permite obter valores de caudais correspondentes a períodos de retorno elevados. 
 Em diversos países realizaram-se estudos aprofundados da utilização de métodos estatísticos 
para a definição de caudais de cheia de projeto para diversos tipos de infraestruturas hidráulicas. 
Podem referir-se o Flood Studies Report, realizado no Reino Unido (NERC, 1975), que deu 
destaque às distribuições de probabilidades generalizada de extremos (GEV), Pearson tipo III e log-
Pearson tipo III; e o Guidelines for Determining Flood Flow Frequency, levado a efeito nos 
Estados Unidos (WRC, 1982), que considerou a distribuição log-Pearson tipo III como a mais 
adequada para descrever caudais de cheia. Em Portugal podem referir-se os estudos pioneiros de 
Loureiro (1984) e de Henriques (1990). 
 A sequência de cálculo que se adota é a seguinte: 
 avaliação da aleatoriedade da série de caudais instantâneos máximos anuais; 
 selecão dum modelo de distribuição de extremos de entre diversas distribuições teóricas; 
 especificação do modelo a partir da amostra; 
 avaliação do modelo (bondade ou qualidade do ajustamento); 
 utilização do modelo para a previsão de caudais de cheia. 
 A avaliação da aleatoriedade da amostra é necessária, uma vez que essa hipótese é assumida 
na teoria das probabilidades em que se baseiam as distribuições de probabilidades de extremos 
utilizadas nos métodos estatísticos. Se a amostra é aleatória, os elementos da série são independentes 
e têm a mesma distribuição de probabilidades. 
 Geralmente, os fatores naturais que determinam a ocorrência de valores extremos anuais 
podem ser considerados independentes nos diferentes anos hidrológicos. No entanto, esta situação 
pode ser alterada quer devido a modificações nas condições climatéricas ou físicas das bacias 
hidrográficas (por exemplo, pelo desenvolvimento de atividades humanas, como a urbanização, a 
agricultura intensiva, a desflorestação e a construção de grandes barragens, ou por causas naturais, 
como os fogos florestais ou, com menor frequência, erupções vulcânicas) quer devido a 
modificações relacionadas com o sistema de medição da variável hidrológica (como a mudança do 
equipamento ou do local da medição). 
 Por isso, a amostra deve ser submetida a testes de aleatoriedade para comprovar a validade 
deste pressuposto. A aleatoriedade das séries de registos não pode ser provada, mas a hipótese de 
aleatoriedade pode ser rejeitada se a série mostrar desvios sistemáticos, tais como detetar-se que 
elementos elevados da série tendem a ser seguidos por elementos elevados e elementos baixos, a ser 
seguidos por elementos baixos (persistência nos valores), os elementos da série não terem todos a 
mesma distribuição (manifestando-se por exemplo a partir de determinado instante um aumento ou 
uma diminuição da média) ou verificar-se um efeito de tendência (os valores dos elementos da série 
parecem aumentar ou diminuir com o tempo) ou, ainda, um efeito de periodicidade ou sazonalidade. 
 Para analisar a aleatoriedade duma série utilizam-se diversos testes estatísticos, referidos em 
pormenor no Anexo. Os testes ajudam a decidir se a hipótese H0 de a série ser aleatória deve aceitar-
se ou não. Nessa decisão pode cometer-se um de dois tipos de erros, referidos como erro do tipo I e 
erro do tipo II. O erro do tipo I consiste em rejeitar a hipótese H0 quando ela é correta. O erro do tipo 
II consiste em aceitar a hipótese quando ela é errada. 
 Não é possível minimizar simultaneamente a probabilidade dos dois tipos de erros. 
Geralmente, é preferível minimizar a probabilidade de ocorrência do erro do tipo I. Para tal, exige-se 
que a rejeição da hipótese de ajustamento se faça com um nível de confiança n elevado, 
Caracterização de cheias 
 
 11.29 
normalmente n = 0,95. Designa-se por nível de significância,  o complemento do nível de 
confiança, = 1 – n. 
 Quando a hipótese de aleatoriedade for rejeitada em mais do que um dos testes, pode 
considerar-se que a série não é aleatória ao nível de confiança adotado e que não deve ser utilizada 
para se fazerem extrapolações para períodos de retorno elevados a partir do ajustamento a uma 
distribuição de extremos. 
 Os modelos teóricos de distribuições de extremos que se procuram ajustar às amostras 
devem, por um lado, ser compatíveis com as condições físicas que determinam os valores extremos 
(precipitações intensas, caudais de cheia) e, por outro lado, reproduzir as características genéricas 
das funções de distribuição empíricas dessas amostras. As características mais importantes a 
considerar são, do ponto de vista físico, a continuidade e o limite inferior não negativo; do ponto de 
vista das funções de distribuição empíricas das séries, a assimetria positiva e a unicidade da moda. 
 De entre o grande número de modelos teóricos de distribuições de probabilidades, alguns são 
habitualmente mais utilizados para ajustamento às séries hidrológicas, satisfazendo na generalidade 
as características referidas no parágrafo anterior: 
 distribuições derivadas a partir da distribuição Normal, designadamente as distribuições log-
Normal de 2 parâmetros (lei de Galton) e a log-Normal de 3 parâmetros; 
 distribuições derivadas da distribuição generalizada de extremos ou de Fisher-Tippet 
(Generalized Extreme Values, GEV), com destaque para as distribuição de 2 parâmetros de 
Gumbel (GEV tipo I), de Weibull (GEV tipo III) e a de Goodrich, obtida da anterior por 
introdução de mais um parâmetro de ajustamento; 
 distribuições baseadas na função gama, como as distribuições gama de 2 parâmetros, a 
Pearson tipo III, obtida da anterior por introdução de um terceiro parâmetro, e a log-Pearson 
tipo III. 
 Estas distribuições estão descritas pormenorizadamente no Anexo, resumindo-se no Quadro 
11.13 propriedades de algumas das distribuições. No Quadro 11.14 apresentam-se os nomes e o 
modo de utilização em MS Excel (português). 
 
Caracterização de cheias 
 11.30 
Quadro 11.13 – Resumo de propriedades de algumas funções de distribuições de probabilidades 
 
Função Densidade de Probabilidade Domínio Parâmetros 
Outros momentos 
Fator de Probabilidade 
Normal 
(Gauss)  
 
f x
x
 








1
2 2
2
2
 


exp
    x 
xs
x


 
0Ca  
  
T
w T
K w
w w
w w w
N


 
 
  
2
2 515517 0802853 0 010328
1 1432788 0189269 0 001308
2
1 2
2
2 3
ln
. . .
. . .
/
 
log-Normal 
(Galton)  
 













2
y
2
y
y 2
y
exp
2x
1
xf 
 
 y x ln 
0x 
yy
s
y
y


 
  
3
vva
2
y
2
x
2
x
2
y
yx
CC3C
1exp
2
exp









 

 
Aplica-se KN a y 
Gumbel 
(GEV tipo I) 
 f x
x u x u
 

 












1
  
exp exp
 
 x 



5772,0xu
x
s6
 
1396.1Ca  
K
T
T
G   



















6
05772
1
. ln ln 
Goodrich 
(GEV Tipo 
III, Weibull) 
N
1
1 )xx(A
1
N
1
1 e)xx(A
N
1
)x(f



 
1xx  
 
)1N(
A
1
xx
s
)1N()1N2(
A
)1N()1N2(
)1N(2)1N()1N2(3)1N3(
C
N1
N2
1
2
x
2
2
3
2
3
a








 




 
 
 























1
T
1
lnBAK
B)1N(1A
)1N()1N2(B
N
KKW
KK
2
1
2
K
 
Pearson 
tipo III 
(gama) 
 
 














x1
e
x1
xf 
x 












xsx
s
C
2
x
x
2
a
 
      5432232P
a
N
k
3
1
kzk1zkz6z
3
1
k1zzK
6
C
k
Kreduzidanormal.varz



 
Caracterização de cheias 
 
 11.31 
Quadro 11.14 – Funções utilizáveis no MS Excel 
 
Função F(x) = Probabilidade (X ≤ x) x = F
-1
(F(x)) 
Normal 







 

xs
xx
)x(F DIST.NORMP  )x(Fsxx x INV.NORMP 
log-normal 







 

ys
y)xln(
)x(F DIST.NORMP )))x(F(sy(x y INV.NORMPEXP  
Gumbel 
))
ux
(()x(F


 EXPEXP )))x(F((ux LNLN  
Goodrich 








 N
1
1 )xx(A1)x(F EXP 
N
1 ))x(F1(
A
1
xx 





 LN 
Pearson tipo III 
)TRUE;1;;
x
()x(F 


 DISTGAMA )1;;)x(F(x  INVGAMA 
,3,2,1i,!i)1i(
0x)),x(()x(


Γ
LNGAMAEXPΓ
 - - 
 
Notas: 
1. A determinação do parâmetro N da função de Goodrich pode ser feita utilizando o Solver ou o Goal Seek do MS Excel. 
2. A descrição do processo a utilizar para a função de Pearson tipo III implica que a assimetria seja positiva. Caso se disponha de uma amostra com 
assimetria negativa deve ajustar-se a função aos simétricos da amostra e considerar o complemento da probabilidade: 
))x(F1(F))y(F(Fx
)y(F1)x(F
xy
11 



 
A lei gama e a de Pearson tipo III tendem para a lei Normal quando Ca tende para zero. 
3. Para utilizar a função log-Pearson tipo III, ajustar os logaritmos da amostra à Pearson tipo III (ver log-normal): 
(F(y))F
1
ex
F(y)F(x)
ln(x)y




 
 
Caracterização de cheias 
 11.32 
 Embora tenham sido apresentados muitos argumentos teóricos em favor de algumas destas 
distribuições, como em NERC (1975) e WRC (1982), todos se baseiam em premissas que são 
frequentemente violadas nas aplicações. Assim, tem-se adotado uma atitude mais pragmática de 
aceitar todas estas distribuições como modelos possíveis, fazer a especificação do modelo e 
posteriormente, a sua avaliação. 
 A especificação ou ajustamento da distribuição consiste na estimação dos respetivos 
parâmetros (2 ou 3 nas distribuições teóricas mais utilizadas) a partir da informação contida na 
amostra. Existem diversos métodos para fazer o ajustamento, sendo os mais utilizados o método dos 
momentos, o método da máxima verosimilhança e o método do mínimo dos quadrados. O Anexo 
apresenta estes métodos e as fórmulas ou processos para calcular os parâmetros das diversas 
distribuições teóricas. 
 O ajustamento pelo método dos momentos é o mais simples de se fazer e consiste em 
selecionar os valores dos m parâmetros da distribuição de modo a que os primeiros m momentos da 
distribuição (ou as suas transformações) sejam iguais aos correspondentes momentos ou 
transformações da amostra. No caso de distribuições com 2 parâmetros, a média e o desvio-padrão 
da distribuição e da amostra devem ser iguais. No caso de distribuições com 3 parâmetros, os 
parâmetros são calculados para que também o coeficiente de assimetria da distribuição tenha o 
mesmo valor que o da amostra. 
 O método da máxima verosimilhança consiste em estimar os parâmetros da distribuição de 
modo a maximizar a função de verosimilhança L(θx), definida por 
 )|xf( = x)|L( i
N
1=i
  (11.35) 
em que f(xθ) é a função densidade da probabilidade de x com parâmetros θ. Com efeito, a 
probabilidade de se obter um valor no intervalo [xi – dx/2; xi + dx/2] é proporcional a f (xiθ), e a 
probabilidade conjunta de se obterem n valores xi, x2,... xn é proporcional ao produto )|xf( i
N
1=i
 
que é a função de verosimilhança. A estimação dos parâmetros faz-se tomando derivadas parciais da 
função de verosimilhança ou da sua transformação logarítmica em relação a cada um dos 
parâmetros e igualando a zero, o que dá um número de equações igual ao número de parâmetros. 
 O método do mínimo dos quadrados consiste em estimar os parâmetros da distribuição de 
modo a minimizar a soma S dos quadrados dos desvios entre as probabilidades empíricas, Yi, e as 
probabilidades teóricas indicadas pelo modelo F(xiθ): 
 ]) |xF(-Y[=S
2
ii
N
1=i
 (11.36) 
 A estimação dos parâmetros faz-se tomando derivadas parciais de S em relação a cada um 
dos parâmetros e igualando a zero, o que dá um número de equações igual ao número de 
parâmetros. 
 Feito o ajustamento da distribuição teórica à amostra em estudo, torna-se necessário fazer a 
avaliação do modelo, ou seja, avaliar a qualidade do ajustamento. Tal como no caso dos testes de 
Caracterização de cheias 
 
 11.33 
aleatoriedade, procura-se nos testes de avaliação do modelo minimizar a probabilidade do erro do 
tipo I. 
 Os testes de ajustamento mais utilizados são testes gráficos, utilizando papel de 
probabilidades (papel com escalas dos eixos coordenados especialmente desenhadas de modo a que 
a função de distribuição de probabilidades apareça representada como uma reta), ou testes analíticos 
como o teste de χ
2
 (qui-quadrado) e o teste de Kolmogorov-Smirnov. Estes testes estão descritos no 
Anexo, onde se apresentam também papéis de probabilidades para as distribuições Normal e de 
Gumbel. 
 Se um modelo de distribuição de extremos não é rejeitado pelos testes de ajustamento, então 
ele pode ser utilizado para a previsão de valores de caudais de cheia, correspondentes a períodos de 
retorno elevados. Normalmente, de entre as várias distribuições teóricas testadas, haverá mais do 
que uma que não é rejeitada pelos testes de ajustamento. Pode-se então escolher aquela que melhor 
se ajusta à amostra, utilizando o critério do índice de adaptabilidade, descrito no Anexo. Em 
alternativa, podem utilizar-se todas as distribuições não rejeitadas para obter os valores de caudais 
de cheias, o que dá ao utilizador uma ideia da sensibilidade dos resultados à escolha das 
distribuições, com uma maior divergência de valores para os períodos de retorno mais elevados. 
 A Figura 11.7 ilustra o ajustamento de diversas distribuições teóricas a uma dada amostra 
de caudais máximos anuais em determinada estação hidrométrica. Na Figura, Z representa a 
variável normal reduzida, que se utilizou para o eixo das abcissas e que corresponde à probabilidade 
de não excedência (F(Q), na parte superior do gráfico). Deste modo, o gráfico encontra-se 
desenhado em papel de probabilidade normal e, portanto, a lei normal fica representada por uma 
linha reta. 
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
45000
-3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 Z
C
a
u
d
a
l 
(m
3
/s
)
Amostra
Normal
Galton
Gumbel
Goodrich
Pearson III
Log-Pearson III
0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 0,99 F(Q)
 
 
Figura 11.7 – Ajustamento de diversas distribuições a uma amostra 
 Para além da sensibilidade dos resultados à distribuição de probabilidades selecionada, que 
se nota na Figura 11.7 pela dispersão dos valores dos caudais em especial nas caudas das 
distribuições, os resultados são também sensíveis aos valores dos parâmetros da amostra, conforme 
se ilustra na Figura 11.8. Nesta figura, percebem-se bem os efeitos resultantes de uma variação de 
20 por cento introduzida nos valores da média, do desvio-padrão e do coeficiente de assimetria da 
amostra. 
Caracterização de cheias 
 
 11.34 
 
0
500
1000
1500
2000
2500
x
, 
V
a
ri
á
v
e
l 
a
le
a
tó
ri
a xbar,std,Ca
1000, 300, 0.7
xbar*1.2,std,Ca
xbar,std*1.2,Ca
xbar,std,Ca*1.2
0,01 0,10 0,25 0,50
 2
0,75 0,90
 10
0,99
100
0,999
1000
F (x)
T (x)
7,0C
,300s,1000x
a
x


7,0C
,300s,1200x
a
x


7,0C
,360s,1000x
a
x


84,0C
,300s,1000x
a
x


 
 
Figura 11.8 – Sensibilidade aos parâmetros estatísticos da amostra 
 Efetivamente, mantendo-se constantes os restantes descritores, se a média aumentar, a 
função