Estatística e média

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DISCIPLINA: ESTATÍSTICA E MÉDIAS EsSA 1 MANHÃ DIA 23 JUL 2018 PROFESSOR: VICTOR LUIZ
A Estatística é o estudo de como chegar a conclusão sobre o todo (população), partindo da observação de partes desse todo (amostras).
POPULAÇÃO & AMOSTRA
Variável é, convencionalmente, o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno.
Ao conjunto de entes portadores de, pelo menos, uma característica comum denominamos população estatística ou universo estatístico.
Uma amostra é um subconjunto finito de uma população.
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
TABELA PRIMITIVA
(ROL)
Suponhamos termos feito uma coleta de dados relativos às estaturas de quarenta alunos, que compõem uma amostra dos alunos de um colégio A, resultando a seguinte tabela de valores:
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DO CÓLEGIO A
	166
	160
	161
	150
	162
	160
	165
	167
	164
	160
	162
	161
	168
	163
	156
	173
	160
	155
	164
	168
	155
	152
	163
	160
	155
	155
	169
	151
	170
	164
	154
	161
	156
	172
	153
	157
	156
	158
	158
	161
A esse tipo de tabela, cujos elementos não foram numericamente organizados, denominamos tabela primitiva.
A maneira mais simples de organizar os dados é através de uma certa ordenação (crescente ou decrescente). A tabela obtida após a ordenação dos dados recebe o nome de rol.
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DO CÓLEGIO A
	150
	154
	155
	157
	160
	161
	162
	164
	166
	169
	151
	155
	156
	158
	160
	161
	162
	164
	167
	170
	152
	155
	156
	158
	160
	161
	163
	164
	168
	172
	153
	155
	156
	160
	160
	161
	163
	165
	168
	173
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
No exemplo que trabalhamos, a variável em questão, estatura, será observada e estudada muito mais facilmente quando dispusermos valores ordenados em uma coluna e colocarmos, ao lado de cada valor, o número de vezes que aparece repetido.
Denominamos freqüência o número de alunos que fica relacionado a um determinado valor da variável. Obtemos, assim, uma tabela que recebe o nome de distribuição de freqüência:
	Estatura (cm)
	Freqüência
	150
	1
	151
	1
	152
	1
	153
	1
	154
	1
	155
	4
	156
	3
	157
	1
	158
	2
	160
	5
	161
	4
	162
	2
	163
	2
	164
	3
	165
	1
	166
	1
	167
	1
	168
	2
	169
	1
	170
	1
	172
	1
	173
	1
	TOTAL
	40
TIPOS DE FREQÜÊNCIA
- FREQUÊNCIAS SIMPLES OU ABSOLUTAS (fi) são os valores que realmente representam o número de dados de cada classe. Como vimos, a soma das freqüências simples é igual ao número total dos dados:
å
=
n
f
i
- FREQUÊNCIAS RELATIVAS (fri) são os valores das razões entre as freqüências simples e a freqüência total:
å
=
i
i
i
f
f
fr
NOTA:
· O propósito das freqüências relativas é o de permitir a análise ou facilitar as comparações.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
MÉDIA ARITMÉTICA
Em um conjunto de dados, podemos definir vários tipos de médias. Porém, em nossos estudos iremos nos limitar à mais importante: a média aritmética.
Média aritmética é o quociente da divisão da soma dos valores da variável pela quantidade deles:
n
x
x
i
å
=
Sendo:
x
 = média aritmética
i
x
 = os valores da variável
n = quantidade de valores
MODA (Mo)
Denominamos Moda o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores. 
Desse modo, o salário modal dos empregados de uma indústria é o salário mais comum, isto é, o salário recebido pelo maior número de empregados dessa indústria.
Exemplo: a série de dados 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 15 tem moda igual a 10.
Podemos, entretanto, encontrar séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor apareça mais vezes que outros, é o caso da série:
3, 5, 8, 10, 12, 13
que não apresenta moda (amodal).
Em outros casos, ao contrário, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então, que a série tem dois ou mais valores modais. Na série:
2,3,4,4,4,5,6,7,7,7,8,9
temos duas modas: 4 e 7 (bimodal).
MEDIANA (Md)
A mediana é outra medida de posição definida como o número que se encontra no centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma ordem. Em outras palavras, a mediana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.
Exemplo: 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9
De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou decrescente) dos valores:
2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18
Em seguida, tomamos aquele valor central que apresenta o mesmo número de elementos à direita e à esquerda. Em nosso exemplo, esse valor é o 10.
Se, porém a série dada tiver um número par de termos, a mediana será, por definição, qualquer dos números compreendidos entre os dois valores centrais da série. Convencionou-se utilizar o ponto médio. Assim, a série de valores tem para mediana a média aritmética entre 10 e 12.
2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21
Logo:
Md = 
11
 
 
2
22
 
 
2
12
 
 
10
=
=
+
EXERCÍCIOS
1- Na série 60, 90, 80, 60, 50 a moda será
a) 50
b) 60
c) 66
d) 90
2- Na série 15, 20, 30, 40, 50, há abaixo da mediana ___ valores.
a) 3
b) 2
c) 3,5
d) 4
3- Na série 10, 20, 40, 50, 70, 80, a mediana será:
a) 30
b) 35
c) 40
d) 45
4- Na série 60, 50, 70, 80, 90 o valor 70 será:
a) a média e a moda; b) a média e a mediana;
c) a mediana e a moda; d) a média, a mediana e a moda.
5- Quando queremos verificar a questão de uma prova que apresentou maior número de erros, utilizamos:
a) a moda;
b) a média;
c) a mediana;
d) a freqüência acumulada.
6- As notas de um candidato em suas provas de um concurso foram: 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e 7,2. A nota média, a nota mediana e a nota modal desse aluno, são respectivamente:
a) 7,9; 7,8; 7,2
b) 7,2; 7,8; 7,9
c) 7,8; 7,8; 7,9
d) 7,8; 7,9; 7,2
7- Ouvindo-se 300 pessoas, sobre o tema “Regionalismo na prova da EEAR, contra ou a favor?”, 72 pessoas foram contra e 54 não tinha opinião formada sobre o assunto. Distribuindo-se esses dados numa tabela obtêm-se:
	Opinião
	freq. simples
	freq. relativa
	Favorável
	......
	x
	Contra
	72
	......
	Omissos
	......
	0,17
	Sem opinião
	54
	y
	Total
	
	1,00
Na coluna da freqüência relativa, os valores “y” e “x” são, respectivamente:
a) 0,18 e 0,40
c) 0,18 e 0,41
b) 0,20 e 0,40
d) 0,20 e 0,41
8- Em Estatística, ______________ de um conjunto de dados dispostos em ordem crescente, onde o número de dados é ímpar, é o valor que ocupa a posição central; e ______________ de um conjunto de dados é o valor mais frequente do conjunto.
a) Mediana; Moda
b) Moda; Mediana
c) Média; Moda
d) Mediana; Média
9 – A média aritmética, a moda e a mediana do conjunto de valores 6; 1; 7; 3; 8; 7; 2; 10 são, respectivamente,
a) 
5
,
6
5
,
6
5
c)
7
5
,
6
5
,
5
b) 
7
7
5
,
5
d)
5
,
6
7
5
,
5
10 – Assinale a alternativa que complete corretamente o período. Júlia tem 8 filhos, resultado de 4 gestações de gêmeos. Se considerarmos as idades desses filhos, poderemos afirmar que elas formam uma série que apresenta _______ moda (s).
a)
nenhuma
c)
duas
b)
uma
d)
mais de duas
11 – Os gastos diários (em reais) de 12 alunos com a cantina de seu colégio estão abaixo relacionados:
0,80 – 1,20 – 0,90 – 1,40 – 2,00 – 1,00
1,50 – 1,50 – 0,80 – 1,50 – 1,00 – 0,80
A média, a mediana e a(s) moda(s) dos gastos diários (em reais) desses 12 alunos abaixo relacionados:
a) 1,20 – 1,10 – 0,80 e 1,50 b) 1,10 – 1,20 – 0,80 e 1,50
c) 1,20 – 1,10 – 1,50 d) 1,10 – 1,20 – 0,80
12 – Como parte de seu treinamento, um piloto realizou 10 missões cujos tempos em minutos são, em ordem: 4 - 6 - 7 - 9 - x - 14 - 18 - y - 23 - 26. Sabendo-se que o tempo médio das missões foi de 14 minutos e o tempo mediano foi de 13 minutos, podemos afirmar que x e y valem, respectivamente:
a) 13 e 20. b) 12 e 21. c) 13 e 21. d) 12 e 22.
13 – É correto afirmar que a mediana da série 25, 2, 5, 6, 7, 18, por definição,é igual a
a) 10,5.
b) 6,8.
c) 5,5.
d) 5.
14- Num grupo de 10 meninas, as idades, em anos, são: 18, 17, 17, 16, 15, 15, 17, 13, 14, 17. A idade modal deste grupo, em anos, é:
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
15- Em Estatística, uma Amostra sempre é
a) uma tabela com dados desordenados.
b) um subconjunto de uma população.
c) uma tabela com dados ordenados.
d) o mesmo que População.
16- Em uma pesquisa de preços de um determinado produto, em 25 lojas, cujos resultados constam da tabela apresentada, as frequências relativas dos preços menores que R$ 300,00 somam _____ %.
	Preços R$
	Nº de lojas
	280
	4
	290
	5
	300
	8
	310
	6
	320
	2
a) 36
b) 40
c) 48
d) 50
17- (EsSA 2013) Identifique a alternativa que apresenta a frequência absoluta (fi) de um elemento (xi) cuja frequência relativa (fr) é igual a 25 % e cujo total de elementos (N) da amostra é igual a 72.
a) 18 b) 36 c) 9 d) 54 e) 45
GABARITO
1- B / 2- B / 3- D / 4- B / 5- A / 6- A / 7- C / 8- A / 9- D / 
10- A / 11- A / 12- B / 13- B / 14- D / 15- B / 16- A / 17- A
MÉDIA ARITMÉTICA
QUANTIDADE
SOMA
MA
=
MÉDIA PONDERADA
PESOS
DOS
SOMA
PESO
VEZES
NÚMEROS
DE
SOMA
MP
=
EXERCÍCIOS
1- Determine a média aritmética entre os números 4, 7, 18 e 3.
2- Determine a média ponderada dos números 12, 20 e 18, com pesos respectivamente iguais a 4, 3 e 5.
3- Dois candidatos A e B disputam uma vaga em um concurso público, prestando, para isso, provas de Matemática, Português e História, que tem pesos respectivamente iguais a seis, três e um. Se o candidato A obteve notas sete, quatro e sete, e o candidato B obteve notas quatro, nove e oito, nas provas citadas anteriormente, qual deles estará mais apto a conseguir a vaga?
4- A média aritmética entre 32 números é 15. Se retirarmos os números 37 e 23, qual a média aritmética entre os números restantes?
5- Uma lanchonete oferece três opções de sanduíches: o Big-Ronald’s, o Framburger e o Hotfish, cujos preços são R$ 3,40 , R$ 2,10 e R$ 1,60 , respectivamente. Um grupo de jovens consumiu cinco Big-Ronald’s, oito Framburgeres e uma certa quantidade de Hotfishes. Quantos Hotfishes esse grupo consumiu, sabendo-se que o preço médio por sanduíche foi de R$ 2,25 ?
6- Para ser aprovado em um concurso público, um candidato deve ter média igual ou superior a 6,0. Se ele tirou nota 8,0 em Português, que tem peso 4; nota 3,5 em História que tem peso 2 e nota 6,2 em Direito Constitucional, que tem peso 5. Quanto deverá tirar, no mínimo, na prova de Estatística, que tem peso 4, para ser aprovado em um concurso para agente judiciário?
7- Na eleição para a prefeitura de certa cidade, 30% dos eleitores votaram pela manhã e 70% à tarde. Os eleitores da manhã gastaram, em média, 1 minuto e 10 segundos para votar, enquanto que os da tarde demoraram, em média 1 minuto e 20 segundos. Determine o tempo médio gasto por eleitor na votação.
8- A grande especialidade dos bares da cidade de Caimpé é a bebida “rabo de pavão”. Para prepará-la devemos juntar três doses do conhaque “Voz do Além”, a quatro doses da aguardente “Morte Lenta”, a oito doses do licor “Pimenta Malagueta”. Sabendo-se que cada dose dos “ingredientes” custam, respectivamente R$ 2,00 , R$ 1,50 e R$ 3,00 , determine qual será o preço de cada dose dessa explosiva iguaria.
9- Para que a média aritmética das notas de uma turma de 20 alunos aumentasse em 0,1, alterou-se uma dessas notas para 7,5. Antes da alteração, tal nota era:
a) 5,5 b) 6,0 c) 7,4 d) 7,5 e) 8,5
10- A média aritmética de 10 números é 45 e a média dos 8 primeiros é 40. A soma dos 2 números que foram excluídos vale:
a) 80 b) 95 c) 110 d) 120 e) 130
11- A média aritmética das idades de um grupo de 120 pessoas é de 40 anos. Se a média aritmética das idades das mulheres é de 35 anos e a dos homens é de 50 anos, qual o número de pessoas de cada sexo, no grupo?
12- Na Escola de Sargento das Armas, a turma do 1º ano é distribuída em 5 salas. Num teste de aritmética, as médias aritméticas das notas dos alunos, por sala, foram, respectivamente, 5,5; 5,2; 6,3; 7,1 e 5,9. A média aritmética das notas da turma é:
a) 5,9 b) 6,0 c) 6,15 d) 6,5 e) não há dados suficientes.
13- Uma micro empresa produziu 10 000 unidades de um certo produto, vendendo-o da seguinte forma: as primeiras 3 000 unidades ao preço unitário de R$ 20,00; as 5 000 unidades seguintes ao preço unitário de R$ 25,00; e as últimas 2 000 unidades ao preço unitário de R$ 32,00. Qual foi o preço médio unitário?
a) R$ 24,60 b) R$ 24,90 c) R$ 32,00
d) R$ 32,90 e) R$ 33,50
14- Uma pessoa comprou 5 presentes a R$ 12,00 cada um, 3 presentes a R$ 15,00 cada e 2 presentes a R$ 8,50 cada. O preço médio, por presente, corresponde a:
a) R$ 11,60 b) R$ 11,80 c) R$ 12,00
d) R$ 12,20 e) R$ 12,40
15- (ESSA 2013) Qual é a média de idade de um grupo em que há 6 pessoas de 14 anos, 9 pessoas de 20 anos e 5 pessoas de 16 anos?
a) 17,2 anos
b) 18,1 anos
 c) 17,0 anos
d) 17,5 anos
e) 19,4 anos
16- (ESSA 2012) A média aritmética de todos os candidatos de um concurso foi 9,0, dos candidatos selecionados foi 9,8 e dos eliminados foi 7,8. Qual o percentual de candidatos selecionados?
a) 20% b) 25% c) 30% d) 50% e) 60%
17- (ESSA 2011) Em uma turma a média aritmética das notas é 7,5. Sabe-se que a média aritmética das notas das mulheres é 8 e das notas dos homens é 6. Se o número de mulheres excede o de homens em 8, pode-se afirmar que o número total de alunos da turma é
a) 4 b) 8 c) 12 d) 16 e) 20
18- (ESSA 2011) A média aritmética de n números é 29. Retirando-se o número 12 a média aumenta para 30. Podemos afirmar que o valor de n será
a) 17 b) 11 c) 42 d) 41 e) 18
19- (ESSA 2010) Numa sala de aula, a média das idades dos 50 alunos era de 22,5 anos. No cálculo da média, foram consideradas idades com anos completos. Transcorridas algumas semanas, houve a desistência de um aluno e a média das idades caiu para 22 anos. Considerando-se que nesse período nenhum dos alunos da turma fez aniversário, então a idade do aluno que desistiu é igual a:
a) 47 anos
b) 45 anos
c) 37 anos
d) 35 anos
e) 27 anos
20- (ESSA 2008) A média aritmética das notas de Matemática em uma turma de 25 alunos em um dos doze Colégios Militares existentes no Brasil diminui em 0,1, se alterarmos uma das notas para 6,8. A referida nota sem ser alterada é:
a) 4,3 b) 8,8 c) 4,8 d) 9,3 e) 9,8
21- (ESSA 2015) O exército realizou um concurso de seleção para contratar sargentos e cabos. A prova geral foi igual para ambos. Compareceram 500 candidatos para sargento e 100 para cabo. Na prova, a média de todos os candidatos foi 4, porém, a média apenas entre os candidatos a sargento foi 3,8. Desse modo, qual foi a média entre os candidatos a cabo?
a) 3,9 b) 1,0 c) 6,0 d) 4,8 e) 5
GABARITO
1- 8
2- 16,5
3- A
4- 14
5- 7
6- 5,0
7- 1 min 17s
8- R$ 2,40
9- A
10- E
11- 80 mulheres e 40 homens
12- E
 
13- B
14- D
15- A
16- E
17- D
18- E
19- A
20- D
21- E
	Madureira ☎ 2450-1361 / 2451-0519 Campo Grande ☎ 2413-9300 / 2416-1400
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