TRELIÇAS E APOIOS

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Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar 
 
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2.5 Apoios 
 Para o estudo do equilíbrio dos corpos rígidos não bastam conhecer somente as 
forças externas que agem sobre ele, mas também é necessário conhecer como este corpo 
rígido está apoiado. 
 Apoios ou vínculos são elementos que restringem os movimentos das estruturas e 
recebem a seguinte classificação: 
Apoio móvel 
 ou 
• Impede movimento na direção normal (perpendicular) ao 
plano do apoio; 
• Permite movimento na direção paralela ao plano do 
apoio; 
• Permite rotação. 
Apoio fixo 
 
• Impede movimento na direção normal ao plano do apoio; 
• Impede movimento na direção paralela ao plano do 
apoio; 
• Permite rotação. 
 
Engastamento 
 
• Impede movimento na direção normal ao plano do apoio; 
• Impede movimento na direção paralela ao plano do 
apoio; 
• Impede rotação. 
 
 
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2.6 Tipos de Estruturas 
 As estruturas são classificadas em função do número de reações de apoio ou 
vínculos que possuem. Cada reação constitui uma incógnita a ser determinada. 
 Para as estruturas planas, a Estática fornece três equações fundamentais: 
0=Σ xF 0=Σ yF 0=Σ AM 
2.6.1 Estruturas hipostáticas 
 Estruturas hipostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é 
inferior ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. 
 
 A figura ao lado ilustra um tipo de estrutura 
hipostática. As incógnitas são duas: RA e RB. Esta 
estrutura não possui restrição a movimentos 
horizontais. 
 
 
L
P
A RB
B
R
A
 
2.6.2 Estruturas isostáticas 
 Estruturas isostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é 
igual ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. 
 
 No exemplo da estrutura da figura, as 
incógnitas são três: RA, RB e HA. Esta estrutura está 
fixa; suas incógnitas podem ser resolvidas somente 
pelas equações fundamentais da Estática. 
RA
A
HA
L
P
RB
B
 
2.6.3 Estruturas hiperestáticas 
 Estruturas hiperestáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é 
superior ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. 
 Um tipo de estrutura hiperestática es’ta 
ilustrado na figura ao lado. As incógnitas são quatro: 
RA, RB, HA e MA. As equações fundamentais da 
Estática não são suficientes para resolver as equações 
de equilíbrio. São necessárias outras condições 
relativas ao comportamento da estrutura, como, p. 
ex., a sua deformabilidade para determinar todas as 
incógnitas. RA RB
HA
A
AM
L
P
B
 
 
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3 TRELIÇAS 
 
3.1 Definição 
 Treliça é toda estrutura constituída de barras ligadas entre si nas extremidades. O 
ponto de encontro das barras é chamado nó da treliça. Os esforços externos são aplicados 
unicamente nos nós. 
 Denomina-se treliça plana, quando todas as barras de uma treliça estão em um 
mesmo plano. 
 Para se calcular uma treliça deve-se: 
a) determinar as reações de apoio; 
b) determinar as forças nas barras. 
 A condição para que uma treliça de malhas triangulares seja isostática é: 
vbn +=2 
onde: 
b= número de barras 
n= número de nós 
v= número de reações de apoio 
 
 Adota-se como convenção de sinais: 
barras tracionadas: positivo 
setas saindo do nó 
barras comprimidas: negativo 
setas entrando no nó 
 
 Os esforços nas barras das treliças podem ser resolvidos por métodos gráficos e 
analíticos. 
 Um dos vários processos analíticos usuais é o Método do Equilíbrio dos Nós, 
abaixo exemplificado. 
 
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3.2 Método do equilíbrio dos nós 
 Inicialmente devem-se identificar os nós e verificar os tipos de reações de apoio. 
 No caso da treliça da figura, no 
nó A tem-se um apoio móvel e no nó 
B, um apoio fixo. 
 Como os apoios móveis 
restringem somente deslocamentos os 
perpendiculares ao plano do apoio, 
tem-se uma reação vertical RA. 
 Como os apoios fixos 
restringem deslocamentos paralelos e 
perpendiculares ao plano do apoio, 
tem-se uma reação vertical RB e uma 
reação horizontal HE. 
C
RA
A F
2 m
B
50 kN 100 kN
D
2 m
RE
E
α
2 m
HE
50 kN
Verificar se a treliça é uma estrutura isostática 
barras b = 9 
nós n = 6 
reações v = 3 
vbn +=2 Conclusão: 
3962 +=× a treliça é uma estrutura isostática 
 
Cálculo do ângulo de inclinação das barras º45
2
2
===
adjacentecateto
opostocatetoarctgα 
a) Cálculo das reações de apoio 
Equação de equilíbrio das forças na horizontal: 
0=Σ HF conclusão: HE = 0 
Equação de equilíbrio das forças na vertical: 
0=Σ VF 05010050 =−−−+ EA RR 200=+ EA RR kN (1) 
Equação de equilíbrio de momentos: 
Como a estrutura está em equilíbrio, a somatória dos momentos em relação a qualquer 
ponto da estrutura deve ser nula. Tomando-se por exemplo o nó A como referência, tem-se 
0=Σ AM 021004504 =×−×−× ER 4
400
=ER 100=ER kN 
Substituindo o valor de RE na equação (1), tem-se: 
200100 =+AR kN logo 100=AR kN 
 
b) Cálculo das forças nas barras 
 Iniciar a resolução pelo nó que tiver no máximo duas forças incógnitas. As forças 
devem estar tracionando o nó (seta saindo). Como não se sabe a priori se as forças nas 
barras são de tração ou de compressão, adotam-se como se fossem tracionadas. Se o valor 
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determinado for negativo, significa que a barra está comprimida, portanto, o sentido da seta 
deve ser mudado. 
Nó A 
A
RA
N2
N1
 
0=Σ HF → 02 =N 
 
0=Σ VF 
01100 =+ N → 1001 −=N kN 
Nó B 
B
100
45°
N4
50
N3
 
0=Σ HF 
0º45cos43 =+ NN → 503 −=N kN 
 
0=Σ VF 
0º45450100 =−− senN → 7,704 =N kN 
Nó C 
N550
100
N6
C
 
0=Σ HF 
0550 =+ N → 505 −=N kN 
 
0=Σ VF 
06100 =+ N → 1006 −=N kN 
Nó D 
45°
50
50
N7 N8
D
 
0=Σ HF 
0º45cos750 =− N → 7,707 =N kN 
 
0=Σ VF 
0º457,70850 =++ senN → 1008 −=N kN 
Nó E 
100
100
E
N9
 
0=Σ HF → 09 =N 
Nó F Verificação 
45° 45°
100
70,770,7
0,0 0,0
F
 
0=Σ HF 
0º45cos7,70º45cos7,70 =+− → 0 = 0 ok 
 
0=Σ VF 
0º457,70º457,70100 =++− sensen →0 = 0 ok 
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 Como a treliça é simétrica, com carregamentos simétricos, os resultados das forças 
que agem nos nós D e E são iguais às dos nós B e A, respectivamente. Portanto, não há 
necessidade de se calcular as forças nos nós D e E. 
 
Resultados 
 
NAB= -100 kN compressão 
NAF= 0 
NBC= -50 kN compressão 
NBF= +70,7 kN tração 
NCF= -100 kN compressão 
NCD= -50 kN compressão 
NDF= +70,7 kN tração 
NDE= -100 kN compressão 
NFE= 0 kN 
C
RA
A F
2 m
B
50 kN 100 kN
D
2 m
RE
E
α
2 m
HE
50 kN
 
 
2. Calcular as forças em cada barra da treliça “mão francesa” da figura. 
1.
0 
m
C
2.0 m
40 kN
AHA
1.
0 
m
E
2.0 m
α
D
20 kN
θ
RB
HB B
 
 
Cálculo dos ângulos de inclinação das barras 
º43,63
1
2
=== arctgα º56,26
2
1
=== arctgθ 
 
a) Cálculo das reações de apoio 
0=Σ HF 40=+ BA HH kN 
0=Σ VF 020 =+BR 20−=BR kN 
0=Σ BM 01402402 =×−×−×+ AH 60=AH kN 20−=BH kN 
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b) Cálculo das forças nas barras 
Nó B 
N2
N1
63.4°
20 kN
20 kN
B
 
0=Σ HF 
022 =+− αsenN → 4,222 =N kN 
 
0=Σ VF 
0cos2120 =−+ αNN → 101 =N kN 
Nó A 
60
N3
100
26.6°
A
N4
10
 
0=Σ HF 
0346 =++ θsenNN 
04,2246 =−+ θsenN → 404 =N kN 
 
0=Σ VF 
0cos310 =+ θN → 4,223 −=N kN 
 
 
Nó E 
40 N6
E
N5
 
0=Σ HF → 406 =N kN 
 
0=Σ VF → 05 =N kN 
Nó D 
26.6°
N7
40
D
20
 
0=Σ VF 
0720 =+− θsenN → 7,447 =N kN 
 
0=Σ HF 
0cos7,4440 =+− θsen → 0 = 0 ok 
Nó C 
22,4 44,70,0
22,4
26.6° 40C
 
0=Σ HF 
0cos7,4440cos4,22cos4,22 =+−− θθθ =0 kN 
 
0=Σ VF 
07,444,224,22 =−− θθθ sensensen 
→ 10+10-20 =0 ok 
 
 
 
 
 
 
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Resultados 
 
NAB= +10 kN tração 
NAC= -22,4 kN compressãoNBC= +40 kN tração 
NBC= +22,4 kN tração 
NCE= 0 
NCD= +44,7 kN tração 
NED= +40 kN tração 
1.
0 
m
C
2.0 m
40 kN
AHA
1.
0 
m
E
2.0 m
α
D
20 kN
θ
RB
HB B
 
Exercícios 
 
1. Determine a força em cada barras das treliças ilustradas. Indique se cada barra está 
tracionada ou comprimida. 
1. 
FAB = 8 kN C 
FAC = 10 kN T 
FBC = 8,545 kN T 
C
1.2m
A
9000 N
2.4m
0.
9m
B
 
 
A
400mm
B C
500mm
37
5m
m
1200 N
2. 
FAB = 3 900 N T 
FAC = 4 500 N C 
FBC = 3600 N C 
 
3. 
FAB = FDE = FBG = FDI = 0; 
FAF = FCH = FEJ = 400 N C; 
FBC = FCD = 800 N C; 
FBF = FDJ = 849 N C; 
FBH = FDH = 283 N T; 
FFH = FGH = FHI = FIJ = 600 N T 
 
a a a
a
B C D E
G H I J
400 N 400 N 400 N 400 N
F
a
A
400 N
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27
2,
7m
9000 N
F
3,6m
E
2,
7m
DC
9000 N BA
 
4. 
FAB = 9 kN; 
FAC = 0; 
FBC = 11,25 kN C 
FBD = 6,75 kN T; 
FCD = 18 kN T 
FCE = 6,75 kN C; 
FDE = 22,50 kN C 
FDF = 20,25 kN T 
 
5. 
FAB = FDE = 8 kN C 
FAF = FFG = FHE = 6,93 kN T 
FBC = FCD = FBG = FDE = 4 kN C 
FBF = FDH = FCG = 4 kN T 
 a a aa
30° 30° 30° 30°
G
C
F H
4 kN4 kN
A E
DB
 
FD E
3,6 m 3,6 m
100 kN
A
1,5 m
1,5 m
1,5 m
B
C 6. 
FAB = 130 kN T 
FAD = 100 kN T 
FAE = 130 kN C 
FBC = 173,5 kN T 
FBE = 50 kN T 
FBF = 52,05 kN C 
FCF = 33,35 kN T 
FDE = 0 
FEF= 1120 kN C