Produto vetorial

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Produto Vetorial
Bases positivas e bases negativa 
 Se o observador vê essa rotação no sentido anti-horário a base é positiva. 
 Se o observador vê essa rotação no sentido horário a base é negativa. 
A base  ilustrada é positiva. 
Considere também que os pontos O, A e B, do plano , tais que: 
Considere uma base do espaço e um observador.
Imagine que esse observador está com os pés em um plano  que contém
 representantes dos dois primeiros vetores dessa base ( ), e o terceiro
 vetor está dirigido para os seus olhos. 
Então imagine que , o primeiro vetor da base, gire em torno de O, por uma rotação de menor ângulo, até ficar com o mesmo sentido de , segundo vetor da base. 
Exemplos:
 é negativa.
 é positiva.
A base 
A base 
Observação:
Um plano divide o espaço em dois semi-espaço, e pode acontecer que você e o “observador” estejam em semi-espaços diferentes.
Nesse caso, o sentido da rotação que você vê é contrário ao sentido de rotação que o observador vê.
Para ilustrar esse fato, reproduza numa folha de papel o desenho dado a seguir.
A folha de papel representa o plano e divide o espaço em dois semi-espaços.
Observe a ilustração de um lado da folha de papel e depois do outro lado da folha.
Note que, de um lado da folha de papel você vê a rotação em um sentido e, quando você muda de lado da folha você vê no sentido contrário.
*
 Exemplos.
 é negativa .
 Note que você e o observador estão
 em semi-espaços contrários.
 2. Classifique em positiva e negativa as bases dadas a seguir.
positiva .
positiva .
positiva .
negativa .
negativa .
1. A base 
Definição 
Sejam e vetores não colineares. 
O produto vetorial de por , indicado por , é um vetor tal que:
2) O vetor é ortogonal aos vetores e . 
3) A base é positiva.
Se e são vetores colineares então . 
 Exemplos.
 Determine os produtos vetoriais dados a seguir.
Daí,
A base é positiva.
Propriedades
Expressão cartesiana do produto vetorial
Considere os vetores , e e seja t um número real. 
Considere a base ortonormal
 Sejam e assim: 
Regra prática:
Exemplos
Determine os produtos vetoriais dados a seguir:
Sejam e 
*
Interpretação geométrica do produto vetorial
 Considere o paralelogramo ABCD dado a seguir.
 Lembre-se de que:
 Assim, você pode escrever:
Observe que:
Assim,
Além disso,
1
v
OA
r
=
®
2
v
OB
r
=
®
1
v
r
2
v
r
2
1
v
 
e
 
v
r
r
{
}
k
,
j
,
i
 
)
a
r
r
r
{
}
,
i
,
k
,
j
 
)
b
r
r
r
{
}
j
,
i
,
k
 
)
c
r
r
r
{
}
j
,
k
,
i
 
)
d
r
r
r
{
}
i
,
j
,
k
 
)
e
r
r
r
)
v
,
u
(
sen
v
u
v
u
1
r
r
r
r
r
r
=
´
 
)
0
v
u
r
r
r
=
´
{
}
v
u
,
v
,
u
r
r
r
r
´
v
u
r
r
´
u
r
v
r
v
u
r
r
´
j
i
)
a
r
r
´
1
)
90
(
sen
.
1
.
1
j
i
=
°
=
´
r
r
(
)
i
j
i
r
r
r
^
´
(
)
j
j
i
r
r
r
^
´
k
j
i
r
r
r
=
´
i
j
)
b
r
r
´
k
r
-
=
k
j
)
c
r
r
´
i
r
=
i
k
)
d
r
r
´
 
j
r
=
=
´
i
i
)
e
r
r
 
0
r
0
k
k
j
j
)
f
r
r
v
r
r
=
´
=
´
 
{
}
j
i
,
j
,
i
r
r
r
r
´
u
v
v
u
 
)
1
r
r
r
r
´
-
=
´
(
)
(
)
(
)
v
u
t
v
t
u
v
u
t
 
)
2
r
r
r
r
r
r
´
=
´
=
´
(
)
w
u
v
u
w
v
u
 
)
3
r
r
r
r
r
r
r
´
+
´
=
+
´
(
)
(
)
k
b
j
b
i
b
k
a
j
a
i
a
v
u
 
3
2
1
3
2
1
r
r
r
r
r
r
r
r
+
+
´
+
+
=
´
(
)
i
i
b
a
 
1
1
r
r
´
=
(
)
+
´
+
j
i
b
a
 
2
1
r
r
(
)
+
´
k
i
b
a
3
1
r
r
(
)
+
´
i
j
b
a
1
2
r
r
(
)
+
´
j
j
b
a
2
2
r
r
(
)
+
´
k
j
b
a
3
2
r
r
(
)
+
´
+
i
k
b
a
 
1
3
r
r
(
)
+
´
j
k
b
a
2
3
r
r
(
)
k
k
b
a
3
3
r
r
´
=
´
v
u
 
r
r
k
b
a
2
1
r
j
b
a
3
1
r
-
+
-
k
b
a
1
2
r
i
b
a
3
2
r
j
b
a
1
3
r
+
i
b
a
2
3
r
-
(
)
i
b
a
b
a
2
3
3
2
r
-
(
)
j
b
a
b
a
3
1
1
3
r
-
+
(
)
k
b
a
b
a
1
2
2
1
r
-
+
2
1
3
2
1
a
a
a
a
a
2
1
3
2
1
b
b
b
b
b
(
,
b
a
b
a
2
3
3
2
-
3
1
1
3
b
a
b
a
-
)
1
2
2
1
b
a
b
a
,
-
=
´
v
u
 
r
r
(
)
(
)
2,0,1
v
 
e
 
1
,
3
,
1
u
 
a)
=
-
=
r
r
3
1
1
3
1
-
0
2
1
0
2
(
,
0
3
-
1
2
-
-
)
6
0
,
-
(
)
6
,
3
,
3
v
u
 
-
-
=
´
r
r
(
)
(
)
1,3,2
v
 
e
 
1
,
2
,
1
u
 
b)
=
-
=
r
r
2
1
1
2
1
-
3
1
2
3
1
(
,
3
4
+
2
1
-
-
)
2
3
,
-
(
)
1
,
3
,
7
v
u
 
-
=
´
r
r
altura
base
rea(ABCD)
á
 
´
=
altura
AB
rea(ABCD)
á
 
×
=
®
®
®
®
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
AD
altura
AD
,
AB
sen
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
Þ
®
®
®
AD
,
AB
sen
AD
altura
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
×
=
®
®
®
®
AD
,
AB
sen
AD
AB
rea(ABCD)
á
 
®
®
´
=
AD
AB
 
2
|
AD
AB
|
rea(ABC)
á
 
®
®
´
=
2
|
AC
AB
|
®
®
´
=