aula15_cubagem_de_reservas_2011 (1)

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CUBAGEM DE JAZIDAS
Métodos Clássicos
ou convencionais
(cap. 5 Yamamoto, 2001)
• Popoff, C. C. Computing Reserves of Mineral 
Deposits: Principles and Conventional Methods. 
Washington, Bureaus of Mines, 1966.
Cubagem de jazidas
• Efetuada a partir da execução de 
campanhas prospectivas por poços, 
trincheiras, sondagens.
• Estabelecer parâmetros:
– Teor
– Espessura da camada de minério
– Tamanho da área ocupada pelo depósito
– Densidade 
Cubagem de jazidas
• Métodos convencionais utilizados para 
determinar volume/tonelagem e teor.
• Baseados nos princípios de interpretação
• Vantagem – simplicidade, podem ser feitos 
no campo.
Cubagem de jazidas
• Métodos convencionais utilizados para 
determinar volume/tonelagem e teor.
• Baseados nos princípios de interpretação
• Vantagem – simplicidade, podem ser feitos 
no campo.
Método da área de influência
Método dos triângulos
Método das secções geológicas
Princípios da interpretação
• Permitem a interpretação dos valores da 
variável de interesse entre dois pontos 
contíguos de amostragem.
• Procuram atribuir, com base nos valores 
dos pontos amostrados, os valores nos 
pontos não amostrados.
Quais são os princípios de 
interpretação
1. Princípio da Mudança gradual ou lei da 
função linear
2. Princípio dos Pontos mais próximos ou 
esfera de igual influência
3. Princípio da Generalização ou empírico
1. Mudança gradual ou lei da função linear
Os valores de uma variável de interesse 
(t, e, d) mudam gradual e continuamente 
ao longo de uma reta ligando dois pontos 
de amostragem adjacentes. 
x-x1
x2-x1
T2 - T1
T-T1
Teor
x1 x2 distância
T2
T1
1. Mudança gradual ou lei da função linear
x1 x2 distância
(x-x1)
(x2-x1)
(T2 - T1)(T-T1)
Teor
T2
T1
Principio da variação gradual para interpolação do teor T no ponto X entre os
pontos de amostragem 1 e 2.
1
2
x1 x2 distância
(x-x1)
(x2-x1)
(T2 - T1)(T-T1)
Teor
T2
T1
(T2-T1) = (T-T1)
(X2- X1) =(X-X1)?
X
o teor T, em um ponto qualquer 
X, entre X1 e X2 é:
Principio da variação gradual para interpolação do teor T no ponto X entre os
pontos de amostragem 1 e 2.
1
2
1. Mudança gradual ou lei da função linear
x1 x2 distância
o teor T, em um ponto qualquer X, entre X1 e X2 é:
Conhecida a lei de equação da reta - É possível interpolar
o teor em qualquer ponto, dentro do limite de amostragem.
x-x1
x2-x1
T2 - T1
T-T1
Teor
T2
T1
T=T1 + (X-X1)(T2-T1)
(X2 – X1)
T1
(T2-T1)
(X2-X1)
coeficiente angular 
da reta.
constante
X
1
2
1. Mudança gradual ou lei da função linear
2. Pontos mais próximos ou esfera de igual 
influência
• Admite que o valor da variável de interesse, 
em um ponto não amostrado, é igual ao do 
ponto mais próximo.
• Deriva-se deste princípio o conceito de zona 
de influência como sendo a meia distância 
entre dois pontos de amostragem, a 
influência de uma ou outra amostra. 
2. Pontos mais próximos ou esfera de igual 
influência
• As zonas de influência das amostras (X1,T1) e 
(X2,T2), dadas pela aplicação do princípio dos 
pontos mais próximos.
Teor =T1 Teor =T2
Teor
x1 x2 distância
T2
T1
Zona de influência
2. Pontos mais próximos ou esfera de igual 
influência
• As zonas de influência das amostras (X1,T1) e 
(X2,T2), dadas pela aplicação do princípio dos 
pontos mais próximos.
Teor =T1 Teor =T2
Teor
x1 x3 x4 x2 distância
T2
T1
Zona de influência
• O teor no ponto X3 = 
T1 por estar mais 
próximo de X1 e 
• no ponto X4 = T2 por 
estar mais próximo a 
X2.
3. Generalização ou impírico
• Permite a extrapolação de teores em 
partes ou em todo o depósito, segundo 
critérios geológicos de continuidade da 
mineralização ou por correlação com 
depósitos similares.
• Justificado na fase inicial da pesquisa e 
para cálculo de recurso inferido.
3. Princípio da Generalização ou impírico
• Aplicação do princípio da generalização, 
supondo-se a mineralização limitada por falha.
Teor
x1 x0 x2 distância
T2
T1
Falha 
Geológica
3. Princípio da Generalização ou impírico
• Aplicação do princípio da generalização, 
supondo-se a mineralização limitada por falha.
Teor
x1 x0 x2 distância
T2
T1
Falha 
Geológica
• Qualquer ponto a 
esquerda da falha terá 
o teor do ponto X1 e à 
direita o teor do ponto 
X2.
Cubagem de jazidas
Os métodos convencionais:
Todos estes princípios de interpretação são 
utilizados na subdivisão do depósito mineral 
em vários blocos com vários graus de 
confiabilidade, 
Avaliados individualmente e totalizados 
resultam no recurso mineral.
Métodos convencionais
1. Método dos fatores e área médios
 Métodos dos blocos análogos
 Métodos dos blocos geológicos
2. Métodos dos blocos de lavra
3. Método dos perfis e das secções geológicas
4. Métodos analíticos
Método dos triângulos
Método dos polígonos
Métodos Computacionais
1. Krigagem ordinária
2. Krigagem Pontual
3. Krigagem de Bloco
4. Ponderação pelo inverso da potência da distância 
– IQD
1. Avaliação pontual pelo IQD
2. Avaliação de Bloco pelo IQD
Método dos fatores e área médios
Ou Método da área de influência
• Suposição de que certos segmentos ou blocos 
do corpo mineral são similares geológico e 
tecnologicamente a outras porções do mesmo 
depósito.
• Depósitos tabulares, acamadados
• Depósitos aluviais, coluviais, eluviais
• Jazidas lateríticas (bauxita, Ni)
• Concetração residual (Nb e apatita em 
carbonatito). 
Método dos fatores e área médios
Método da área de influência
• Empregado em depósitos onde fica fácil a 
abertura de poços em malha regular.
• Cada amostra tem uma área de influência no 
interior da qual, o minério permanece com as 
mesmas características da amostra.
• Determinação da área de influência da amostra 2, 
em amostra de canal (a) e por furos de sonda (b).
Área de 
influência de 2.
2
• Determinação da área de influência da amostra 2, 
em amostra de canal (a) e por furos de sonda (b).
Área de 
influência de 2.
2
• Determinação da área de influência da amostra 2, em 
amostra de canal (a) e por furos de sonda (b).
Área de 
influência de 2.
2
Canal - A área de influência divide ao meio a 
distância entre a amostra central (2) e as duas 
adjacentes (1 e 3).
Furo – liga cada furo aos furos mais próximos, traça 
ao meio destas retas.
• Determinação da área de influência da amostra 2, em 
amostra de canal (a) e por furos de sonda (b).
V2 = S2.e2.d
R2 = V2.T2
S2 área de influência do furo 2, 
e2 e T2 espessura e teor no furo 2 e d a densidade.
R = V.T (Yamamoto) ou Q = T.t (Maranhão) - R ou Q reserva ou 
tonelagem do metal; 
V ou T volume ou tonelagem do minério; T ou t teor.
Área de 
influência de 2.
2
• A reserva ou tonelagem total e o teor do minério 
na área pesquisada será o somatório dos valores 
encontrados em cada bloco.
R = V.T ou Q = T.t - R ou Q reserva ou tonelagem do metal; 
V ou T volume ou tonelagem do minério; T ou t teor.
2
• Cálculo do volume pelo método de 
influência.
• Distribuição para 
cálculos do volume 
de depósito de 
ouro de Volta 
Grande, RS.
Métodos convencionais
1. Método dos fatores e área médios
 Métodos dos blocos análogos
 Métodos dos blocos geológicos
2. Métodos dos blocos de lavra
3. Método dos perfis e das secções geológicas
4. Métodos analíticos
Método dos triângulos
Método dos polígonos
Métodos dos Blocos análogos
• Fator médio ou estatístico a sua área de 
interesse.
Esquema ilustrando o procedimento de cálculo de 
recursos pelo método dos blocos análogos 
(Popoff, 1966).
R = VDT = (AE)DT
Preferencialmente
em depósitos
regulares.
Métodos dos Blocos análogos
Para se proceder o cálculo de recursos pelo método dos 
blocos análogos:
a) Definir a área de interesse, aplicando critérios 
específicos (espessura mínima, teor de corte);
b) Determinar o teor médio de cada furo, como a média 
ponderada do teor pela espessura 
Σ tj.ej
tmi=
Σ ej tmi teor médio no i-ésimo furo,tj teor no j-ésimo intervalo 
ej espessura no j- ésimo intervalo
n
n
j=1
j=1
c) Calcular o teor médio do depósito com média 
ponderada pelas espessuras mineralizadas
Σ tmi.efi
Tm=
Σ efi tmi teor médio no i-ésimo furo, 
efi é a espessura do i-ésimo furo.
n
n
i=1
i=1
Métodos dos Blocos análogos
n
i=1
d) Computar a espessura média do depósito 
Em= Σ efi/n 
onde efi é a espessura do i-
ésimo furo.
e) O recurso é calculado substituindo na 
equação R = VT = (AE)T 
os valores médios de teor e espessura, 
determinados e a área da jazida.
Métodos dos Blocos análogos
Área avaliada pelos blocos análogos.
Tabela de teores e espessuras medidos nos pontos de amostragem
Área avaliada pelos 
blocos análogos: 
1- Definir a área de interesse;
2- Determinar o Tm de 
cada furo, como a mp T /E
3- Calcular o Tm do depósito 
com mp T / E mine-
ralizadas;
4- e média do depósito
5- R = VT = (AE)T 
média t e e , e a área da jazida.
R = VT = (AE)T 
Métodos convencionais
1. Método dos fatores e área médios
 Métodos dos blocos análogos
 Métodos dos blocos geológicos
2. Métodos dos blocos de lavra
3. Método dos perfis e das secções geológicas
4. Métodos analíticos
Método dos triângulos
Método dos polígonos
Método dos Blocos geológicos
• também um método de generalização, 
porém o cálculo e a aplicação dos fatores 
médios são feitos em blocos geológicos.
Subdivisão em blocos segundo caracteristicas geológicas (Popoff, 1966).
Método dos Blocos geológicos
Procedimento para o cálculo de recurso:
a. Definição dos blocos geológicos 
b. Calcular o teor médio de cada furo dentro 
do bloco
c. Determinar o teor médio do bloco
Método dos Blocos geológicos
Procedimento para o cálculo de recurso:
d. Determinar a espessura média do bloco
e. Avaliar o recurso do bloco R = VT = (AE)T 
f. Repetir para os demais blocos
g. Recurso total soma dos recursos parciais 
dos blocos geológicos
Métodos convencionais
1. Método dos fatores e área médios
 Métodos dos blocos análogos
 Métodos dos blocos geológicos
2. Métodos dos blocos de lavra
3. Método dos perfis e das secções geológicas
4. Métodos analíticos
Método dos triângulos
Método dos polígonos
Métodos dos Blocos de lavra
• Esquema de blocos de lavra: (A) secção vertical de um 
veio mostrado através dos trabalhos subterrâneos; (B) 
desenho isométrico de um bloco de lavra; a espessura 
do veio é menor que os trabalhos de escavação (Popoff, 
1966).
Métodos dos Blocos de lavra
• Específico para lavra subterrânea.
• O recurso é determinado pela acumulação 
dos recursos parciais obtidos nos blocos 
de lavra individuais.
• Poços verticais, planos inclinados, 
galerias, chaminés, travessas, subidas, 
trincheiras....
• Blocos com forma
de paralelepípedo, 
delimitado pela 
escavação subterrânea
• Determinar Tm de cada lado do bloco
• Determinar a Em do minério nos lados (e1, e2, e3, e4)
• Determinar a área de influência das amostras de cada lado do 
bloco
Procedimento
e1 + e2 + e3`+ e4
Procedimento
• Blocos com forma
de paralelepípedo, 
delimitado pela 
escavação subterrânea
• Determinar Tm de cada lado do bloco
• Determinar a Em do minério nos lados (e1, e2, e3, e4)
• Determinar a área de influência das amostras de cada lado do 
bloco
• Computar o Tm do bloco todo: Tm=
• avaliar o recurso do bloco de lavra R = A ( ) DTm
• O recurso total é = a soma dos recursos dos blocos de lavra
t1a1e1 + t2a2e2 + t3a3e3`+ t4a4e4
a1e1 + a2e2 + a3e3`+ a4e4
Os erros cometidos no cálculo dos teores 
serão excessivos se o depósito for:
• Geneticamente irregular
• Extremamente brechado
• distribuição irregular de teor
Métodos dos Blocos de lavra
Métodos convencionais
1. Método dos fatores e área médios
 Métodos dos blocos análogos
 Métodos dos blocos geológicos
2. Métodos dos blocos de lavra
3. Método dos perfis e das secções geológicas
4. Métodos analíticos
Método dos triângulos
Método dos polígonos
Método das secções geológicas
• São traçadas seções geológicas 
detalhadas (transversais à direção do 
minério) usando todas as informações 
disponíveis: levantamentos topográficos e 
geológicos, sondagem, galeria, chaminés.
• Sondagens em malhas regulares e 
dispostas em linha.
• Utilizado em depósitos de praia, lateritas,
• Tonelagem entre uma seção e outra:
R = (A1 + A2)/2 . H.d R reserva
A área da seção 1 e 2
H H distância entre as 
seções
Método das secções geológicas
A1
• Seções geológicas definidas por 
sondagens rotativas no corpo de minério 
garnierítico Santa Cruz, MG.
Método dos perfis padrão
• Blocos delimitados por duas secções 
adjacentes de amostragem e por uma 
superfície lateral.
Subdivisão em blocos pelo método dos perfis padrão.
Método dos perfis padrão
• Para cálculo da área da secção. 
Seção de amostragem com n furos de sonda, separados por uma
distância constante d.
Pela regra dos trapézios, a área da seção é igual a soma dos 
(n-1) trapézios.
• Mapa de localização das seções de amostragem, 
para o método dos perfis padrões.
• Blocos de cubagem delimitados entre duas seções 
adjacentes de amostragem para o cálculo do recurso 
medido pelo método de perfil-padrão.
Método dos perfis lineares
• Cálculo de recurso bem mais simples que 
pelo método dos perfis-padrão.
• É fácil porque o volume do bloco de 
cubagem é centrado sobre a seção de 
amostragem e o teor médio tb;
• Os blocos de cubagem são obtidos aplica-
se o princípio dos pontos mais próximos.
Método dos perfis lineares
• Cada bloco tem uma secção na parte 
central e é delimitado pela meia distância 
entre as secções adjacentes
Subdivisão em blocos pelo método dos perfis lineares.
Recurso 
indicado
Recurso 
indicado
Recurso 
medido
Método dos perfis lineares
Disposição dos blocos de cubagem para cálculo de recursos medidos pelo
método dos perfis lineares.
• Pressupõe que os valores da variável de 
interesse variam gradual e continuamente 
dentro da fronteira dos dados.
• Recursos de água, gás natural, óleo, 
• Permite que os dados estejam dispersos 
na área de pesquisa – construção de 
isolinhas.
Método das isolinhas
Método das isolinhas
• Mais trabalhoso dos métodos 
convencionais: constroi os mapas de 
isovalores de teores e espessuras.
Mapa de isoespessuras A, e o perfil A - A´ da fatia do volume 
a ser calculado.
Cálculo da área para determinação do volume: área delimitada (ad1,2) entre as
Curvas e1 e e2 (A), e a área total (at1) da curva e1 e espessuras maiores (B).
Perfil A – A´ mostrando o cálculo de volume pelas áreas limitadas.
Perfil A – A´ mostrando o cálculo de volume pelas áreas totais.
Métodos convencionais
1. Método dos fatores e área médios
 Métodos dos blocos análogos
 Métodos dos blocos geológicos
2. Métodos dos blocos de lavra
3. Método dos perfis e das secções geológicas
4. Métodos analíticos
Método dos triângulos
Método dos polígonos
Métodos analíticos
Métodos, que aplicando os princípios da 
interpretação, permitem avaliar recursos em 
blocos de formas geométricas simples como 
prismas de seção triangular ou poligonal.
Método dos triângulos
• Um dos melhores métodos para se cubar 
depósitos a partir de campanhas de 
sondagens, em malhas regulares ou não.
• Baseado no principio das mudanças 
graduais entre estações adjacentes, que 
sucessivamente unidas geram uma malha 
triangular.
• Para depósitos sedimentares, mudanças 
graduais e contínuas.
Configuração de triângulos diferentes A e B para um mesmo 
conjunto de dados (Popoff, 1966).
• A união de pontos sem regra pode levar a 
configurações de triângulos diferentes, quando 
feita por pessoas diferentes.
• Para evitar interpretações subjetivas na 
construção dos triângulos, deve-se utilizar 
algorítimos computacionais, que segundo regras 
pré-estabelecidas, resultam numa única malha 
retangular – triângulos equiláteros.
Método dostriângulos
Algorítimo computacional mais utilizado:
Triangulação de Delaunay.
Método dos triângulos
• Em cada triângulo traçado, assume-se que a 
espessura média e o teor médio correspondem 
à média (geométrica ou aritmética) dos valores 
dos furos localizados nos vértices.
(a) Determinação do centro do bloco limitado pelos furos 1, 2, 3. (b) Área pesquisada
por uma malha irregular de sondagem, subdividida nos diferentes blocos triangulares.
?
?
?
1
2
3
Método dos triângulos
(a) Determinação do centro do bloco limitado pelos furos 1, 2, 3. 
?
?
?
e1.t1 + e2t2 + e3.t3
10 20 30
e1 + e2 + e3
10 20 30
Tt = 
e1 + e2 + e3
10 20 30
1 + 1 + 1
10 20 30
Et = 
10, 20, 30 são as distâncias dos furos 1, 2, 3 até
o centro O. e1 ... Espessura nos furos 1 ...
E t1 .... Teor do minério nos furos 1 .....
Et espessura média no triângulo
Tt teor médio no triângulo1
2
3
• Método dos 
triângulos. 
Áreas de 
influência 
(S1 e S2) 
corresponde 
aos furos de 
sonda F1, 
F2, F3, F4.
Método dos triângulos
• Mapas de triângulos construídos segundo método de 
Delaunay para o depósito hipotético (Yamamoto 2001).
Método dos triângulos
Método dos polígonos
• Aplicando-se o princípio dos pontos mais 
próximos aos pontos de dados distribuídos em 
uma área, obtém-se uma rede de polígonos, 
cujos lados encontram-se exatamente a meia 
distância entre duas
estações adjacentes.
Método dos polígonos
• Conceito clássico de zona de influência 
em mineração, onde as características de 
uma estação de amostragem são 
estendidas até as meias
distâncias das estações
adjacentes.
Método dos polígonos
Extrapolação das áreas de interesse para os 
polígonos externos pela aplicação da regra
dos pontos mais próximos, Popoff 1960.
• Os polígonos construidos em torno dos pontos 
de fronteira precisam de informações adicionais 
para serem fechados.
• Podem ser fechados com um arco de círculo de 
raio igual a zona de influência média.
Método dos polígonos
Classificação de recursos determinados pelo método de polígonos.
Método dos polígonos
• Não deve ser utilizado para áreas onde não há 
uniformidade de trabalhos de pesquisa e nos 
depósitos com variação (teor e espessura) muito 
elevada.
• método utilizado para avaliação preliminar de 
recursos, cálculos bastante simples, feitos 
inclusive no campo.
Considerações finais
• Os métodos convencionais são utilizados desde os 
primórdios da mineração.
• são métodos simples, onde os valores das variáveis 
em pontos não amostrados são determinados pela 
aplicação dos princípios da interpretação.
• usados pela simplicidade, até em campo.
• Os métodos de perfis-padrão, triângulos e polígonos 
estão disponíveis em programas comerciais de 
avaliação de recursos minerais.
Boletim IG-USP. Série 
Científica
versión ISSN 0102-6283
Bol. IG-USP, Sér. 
Cient. v.26 São Paulo 1995
Avaliação de reservas por 
métodos convencionais: um 
estudo de caso na Mina de 
Canoas 2 (PR)