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Profª Waléria Cecílio
Aula 1
Geometria Analítica Conversa Inicial
A definição de 
grandezas está 
associada a tudo 
aquilo que podemos 
medir
Grandezas vetoriais e 
grandezas escalares
Grandezas
Se caracteriza pela 
intensidade, isto é, 
pelo valor e unidade 
de medida
Exemplos: 
comprimento, área, 
volume, temperatura, 
massa
Grandezas escalares
Algumas grandezas 
se caracterizam 
pela intensidade 
e orientação 
(direção e 
sentido)
E quando as grandezas não 
ficam completamente definidas 
apenas pelo seu módulo e 
unidade de medida 
Exemplos: 
deslocamento, 
força, velocidade, 
aceleração etc.
2
Grandezas vetoriais
Para bem representar 
uma grandeza 
vetorial é necessário 
a intensidade e a 
orientação, isto é, a 
representação se dá 
por meio de um 
“ente” matemático 
denominado vetor
A reta que serve 
de suporte para 
um vetor mostra 
a direção; e a seta 
caracteriza o sentido 
Qualquer vetor pode 
ser deslocado 
paralelamente 
a si (equipolente)
Representação 
geométrica - vetor
módulo
Direção 
horizontal
Sentido para a direita
Imagem geométrica do vetor 
num referencial cartesiano
(conjunto de segmentos 
orientados equipolentes)
Exercício: Indique as 
coordenadas dos vetores 
representados a seguir
(-2, -2)
(3, 4)
(-4, 2)
(6.5, 0)
(0, -4)
(5, 2)
Casos especiais
3
Vetor nulo �
Por não possuir direção 
e sentido definido, é 
considerado paralelo 
a qualquer vetor
Vetor unitário � � �	
Módulo 
� �	 �� � �	
��� � �	
� � �
 � �
Versor
É o vetor unitário que tem a 
mesma direção e o mesmo 
sentido do veto �
Versor 	� �
�
�
Vetor oposto 
Se � = ��, 
o oposto é
�� � ��� = - �
�
�
��
Só comparamos 
os sentidos de 
dois segmentos 
orientados se eles 
têm a mesma direção 
Dois segmentos 
orientados opostos 
têm sentidos 
contrários e 
mesma direção
O vetor resultante K �		terá a 
mesma direção que o vetor �, 
contudo
Se K > 1 
�� é dilatado
Se K < 0 
�� muda de sentido
Se 0 < K < 1 
�� é contraído
Multiplicação por escalar
�
���
�
�/
�
Representação 
geométrica da 
soma de vetores
Para realizar 
geometricamente a 
adição e subtração de 
vetores é necessário 
que os vetores estejam 
posicionados de forma 
que a extremidade de 
cada vetor coincida 
com a origem do 
vetor seguinte
Condição
4
O vetor resultante é aquele 
que fecha a poligonal tendo 
por origem a origem do primeiro 
vetor e extremidade do último 
vetor
ADIÇÃO
� � �
DIFERENÇA
� � � � � � ��
Exemplo: Represente 
geometricamente a soma
� � 
�� 
	�	 �
�
�
�
�	
�
��	�	��
��	�	��
Expresse a soma com 
origem no ponto A
A B C D
L
M N
E
K
P O
F
J I H G
A B C D
L
M N
E
K
P O
F
J I H G
��	�	��
��	�	��
Expresse a soma com 
origem no ponto A
A B C D
L
M N
E
K
P O
F
J I H G
A B C D
L
M N
E
K
P O
F
J I H G
Dado o paralelepípedo a seguir 
represente geometricamente 
o vetor resultante da soma 
	�� �	�� �	��
H
E
D F
G
C
BA
Colinearidade e 
coplanaridade
5
Vetores colineares
Tem a mesma direção
Suas imagens podem ser 
representadas sobre 
uma mesma reta 
ou retas paralelas
Condição de paralelismo: � = K��
� � ��, �
, �	 e 
� � ��
, , �!	
são paralelos
� �
�
�
	
�
�
	
 	
�
�	
�!
� �
��	
�
	
�
��	
�
	
�
"�	
"
	
��, ��, "� � ��
, ��
, �"
�� � ��
�� � ��
"� � �"
Vetores coplanares 
Têm representantes 
sobre o mesmo plano
Dois vetores são 
sempre coplanares
Três vetores podem 
ou não ser coplanares
O vetor � é coplanar a 
� e �� (não nulos e não 
paralelos entre si) 
se	� = #� � + #
 ��
Operações
Seja o vetor 
� � �$, 
	 e � � ��, �
	
determinar o 
vetor � tal que 
� � � = �
�
�
�	= �
�
� - �	
�	= �
�
��, �
	 - $, 
�	= (1, 4) – (8, 2)
�	= (-7, 2)
Exemplo
6
Seja	� um vetor definido 
por dois pontos A e B
Então, o vetor 
determinado por dois 
pontos A = %�	,&� (origem) e B = %
	,&
 (extremidade) é 
indicado por � = ��	 e 
definido pela soma
A + � = B
� = B - A = %
	, &
 � �%�	, &�	
(extremidade menos a 
origem)
Soma de vetor com ponto
A
B
Exemplo: Sejam 
A = (1,1) e B = (2,4), temos que 
�� = B – A = (2,4) - (1,1) = (1,3)
Dados os pontos � � ��, 
 , � �
��,��		 e � � 	�
, 	 , determinar 
D (x,y) de modo que �� � �
��
�� �
�
��
� � � �
�
� � �
� �
�
� � � � �
� �
�
�, �� � ��,
 � �
, 
� �
�
 ,��	 � �
, 
� � 
, �
�
� �
, 
� � ��,
'
	
Na Prática
Dimensionamento de treliça, 
vigas etc.
Determinar as componentes 
horizontal e vertical das 
forças que atuam nas 
junções da treliça
Componentes 
horizontal e vertical 
das forças atuantes 
no modelo
As ilustrações são 
imprescindíveis 
para o 
entendimento 
do problema
7
�()	* �
�
|�|
→ � � |�|. �()*
./�	* ��
�
|�|
→ � � |�|. ./�*
Y
y P
x X
0
1�!	�
'�° ��°
�
3��
3��
Movimento horizontal e vertical
FrimuFilms/shutterstock
# 
�
4�
��
4 �
��
�
Uma aluna do curso 
de licenciatura em 
matemática da 
Uninter resolve 
passear pela cidade 
de Curitiba fazendo o 
seguinte itinerário: 
(...)
Deslocamento (...) sai da sede da Universida e anda 3 
quadras para o sul, a 
seguir, dobra a esquina à 
direita e anda 4 quadras 
para oeste então vira a 
esquina novamente à 
direita e anda mais 6 
quadras para norte e 
então chega a seu 
destino. Considerando 
que cada quadra tenha 
100 m, determine o 
deslocamento exercido 
por essa aluna.
D
A
BC
5
O deslocamento 
exercido é o módulo 
do vetor resultante.
A representação 
geométrica do vetor 
resultante é obtida 
pela soma 
geométrica dos 
vetores 
representantes dos 
deslocamentos 
parciais.
8
Finalizando
Ao apresentar o 
estudo de vetores 
encontramos, nesta 
aula, respostas para 
O que é?
Como funciona?
Para que serve?
Referências
BOULOS, P.; CAMARGO, 
I. Geometria Analítica 
– um tratamento 
vetorial. 2. ed. São 
Paulo: McGraw- Hill, 
1987.
ERNANDES, L. F. D. 
Geometria Analítica. 
Curitiba: Intersaberes, 
2016
MELLO, D. A. de; 
WATANABE, R. G. 
Vetores e uma iniciação 
à Geometria Analítica. 
São Paulo: Editora 
Livraria da Física, 2011.
RUGGIERO, M. A. G.; 
LOPES, V. L. R. Cálculo 
Numérico, Aspectos 
Teóricos e 
Computacionais. 3. ed. 
São Paulo: Pearson, 
2014.
STEINBRUCH, A.; 
WINTERLE, P. Geometria 
Analítica. 2. ed. São Paulo: 
McGraw-Hill, 1987. 
WINTERLE, P. Vetores e 
Geometria Analítica. 2. ed. 
São Paulo: Pearson 
Education do Brasil, 2014.
VENTURI, J. J. Álgebra 
vetorial e geometria 
analítica. 5. ed. Curitiba: 
Editora da UFPR, 1991. v. 
1.
9
<http://www.brasile
scola.com/fisica/gra
ndezas-vetoriais-
escalares.htm>
<https://www.youtu
be.com/watch?v=e5
Hvcdp8Y18>
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