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Prof. Otto H. M. Silva Aula 1 Cálculo Diferencial e Integral a uma Variável Conversa Inicial Nessa aula iremos revisar conceito e tipos de funções, analisar seus gráficos e encontrar os conjuntos domínio e imagem de funções Funções de uma variável real a uma variável real Conceitos gerais Sejam ࢋ ⊂ Թ Uma função f : A → B é uma lei ou regra que a cada elemento de A faz corresponder um único elemento de B Definição de função ࢌ: → ࢌ→ ou • ࢞ ⟼ ࢌሺ࢞ሻ ࢞ ⟼ ࢟ ൌ ࢌሺ࢞ሻ Linguagem simbólica Domínio de uma função: conjunto A Contradomínio de uma função: conjunto B Imagem da função: conjunto dos valores f(x) Domínio, imagens e contradomínio A função dada por ࢌ: ሾ, ሿ → Թ tal que, ࢟ ൌ ࢌ ࢞ ൌ ࢞ ࡰ ࢌ ൌ ሾ, ሿ ࡵ ࢌ ൌ ሾ, ሿ ࡰ ࢌ ൌ Թ Exemplo 1 O gráfico da função y=x+4 é: Exemplo 2 -4 -3 -2 -1 1 2 2 4 6 y x Revisando algumas funções importantes Função módulo A função módulo é definida por: ݂ ݔ ൌ ݔ ൌ ቊ ݔ, ݏ݁ ݔ 0െݔ, ݏ݁ ݔ ൏ 0 Funções elementares Gráfico da função ࢌ ࢞ ൌ |࢞| -4 -3 -2 -1 6 5 4 3 2 1 y x 1 2 3 4 OS2 Função racional Seja a função racional f(x), definida ݂ ݔ ൌ ࢞మି࢞௫ି , o seu gráfico é representado a seguir: Gráfico da função ݂ ݔ ൌ ࢞మି࢞௫ି Gráfico da função ݂ ݔ ൌ ࢞మି࢞௫ି 1 2 3 4 5 6 7 8 9-3 -2 -1 10 -2 14 12 10 8 6 4 2 y x OS3 Dada a função ݂:Թ → 0,∞ , é chamada função exponencial, de base ܽ, a expressão definida por: ݂ ݔ ൌ ܽ௫, onde ܽ 0 e ܽ ്1 Função exponencial de base ࢇ Os gráficos de quando ܽ 1 e ܽ ൏ 1 são mostrados a seguir: Gráfico da função ݂ ݔ ൌ ܽ௫ -2 -1 1 2 5 4 3 2 1 y x 3 ܡ ൌ ݂ ݔ ൌ ሺሻ௫ ܡ ൌ ݂ ݔ ൌ ௫ Transformações envolvendo funções Translação com c>0 y x ݂ ݔ ࢉ ݂ ݔ ݂ ݔ െ ࢉ ݂ ݔ ܋ ݂ ݔ െ ࢉ Distorção com c>1 y x ܋ ∗ ݂ ݔ ݂ ݔ ݂ ݔ ܋ ݂ ܋ ∗ ܠ ݂ ݔ/ࢉ Reflexão de função y x ݂ ݔ െ݂ ݔ ݂ െݔ Combinações de funções Sejam duas funções ࢌ e ࢍ, com domínios respectivamente, A e B, podemos fazer as seguintes combinações: Combinações de funções ࢌ േ ࢍ ࢞ ൌ ࢌሺ࢞ሻ േ ࢍሺ࢞ሻ ࢌ°ࢍ ࢞ ൌ ࢌሾࢍ ࢞ ሿ ࢌ ࢍ ࢞ ൌ ࢌሺ࢞ሻ ࢍሺ࢞ሻ ࢌࢍ ࢞ ൌ ࢌ ࢞ ࢍሺ࢞ሻ Combinações de funções Sejam as funções ࢌ e ࢍ definidas, respectivamente, por ࢌ ࢞ ൌ ࢞ e ࢍ ࢞ ൌ ࢞ଶ . Encontre: a. ࢌ°ࢍሺ࢞ሻ b. °ࢌሺ࢞ሻ Composição de funções ࢌ°ࢍ ࢞ ൌ ࢌ ࢍ ࢞ ൌ ࢍ ࢞ ࢌ°ࢍ ࢞ ൌ ࢞ଶ ൌ ࢞ଶ °ࢌ ࢞ ൌ ࢍ ࢌ ࢞ ൌ ሾࢌ ࢞ ሿ ൌ ࢞ ൌ ࢞ଶ ࢞ °ࢌ ࢞ ൌ ࢞ଶ ࢞ Obtenção de ࢌ°ࢍሺ࢞ሻ e °ࢌሺ࢞ሻ Inversão de funções Seja ࢌ uma função um a um com domínio A e imagem B. Então sua função inversa ࢌି possui domínio B e imagem A e é definida , para qualquer ࢟ ∈ , por: ࢌି ࢟ ൌ ࢞ ↔ ࢌ ࢞ ൌ ࢟ Função inversa Dada a função ࢌ ࢞ ൌ ࢞ , obtenha ࢌି ࢞ ࢟ ൌ ࢞ => ࢞ ൌ ࢟ ࢟ ൌ ࢞ି => ࢌି ࢞ ൌ ࢞ି Exemplo 1 Na Prática Uma lanchonete vende um salgado por R$ 5,00. Considere ࢞ a quantidade de salgados vendidos. Qual a quantidade de salgados necessária para uma venda de R$ 730,00? Aplicação Receita: ࡾ ࢞ ൌ ࢞ ࡾ ࢞ ൌ ૠ => ૠ ൌ ࢞ ࢞ ൌ ૠ ⇒ ࢞ ൌ salgados Solução Finalizando Nessa aula vimos como definir uma função e encontrar os conjuntos domínio e imagem Também, fizemos as representações gráficas e obtivemos as inversas de funções Referências FACCIN, G. M. Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. Curitiba: Intersaberes, 2013. FÍSICA MAIS MATEMÁTICA. Disponível em: <http://fisicamaismatemat ica.blogspot.com.br>. Acesso em: 5 dez. 2017. GEOGEBRA. Disponível em: <https://www.geogebra.or g/?lang=pt_BR015>. Acesso em: 5 dez. 2017.