Teoria da Elasticidade em Lajes de Pontes

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PONTESPONTES
Profª.: Rejane Azevedo de Almeida Fonseca
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PONTESPONTES
CCE1079CCE1079
Lajes de PontesLajes de Pontes
As solicitações nas lajes de pontes podem ser obtidas pela 
teoria de elasticidade (teoria das placas) ou pela teoria da 
ruptura. A teoria da elasticidade é utilizada correntemente, 
enquanto a teoria de ruptura é utilizada apenas no caso de lajes 
protendidas.
Como a teoria da elasticidade utiliza uma equação diferencial 
parcial, de quarta ordem, não homogênea, do tipo eléptico, a 
2Profª.: Rejane Fonseca
parcial, de quarta ordem, não homogênea, do tipo eléptico, a 
sua integração para as diversas condições de contorno e 
carregamento é extremamente trabalhosa. Para contornar esta 
dificuldade os engenheiros e professores alemães A. Pücher e 
H. Rüsch desenvolveram superfícies de influência e tabelas, 
respectivamente, de modo a simplificar a obtenção das 
solicitações nas lajes de pontes.
Lajes de PontesLajes de Pontes
Em ambos os casos (superfícies de influência ou tabelas), as 
lajes de pontes são dimensionadas como painéis isolados. A 
modelagem das lajes pelo método dos elementos finitos 
permite que se leve em conta a continuidade entre os painéis 
em balanço e central.
As superfícies de influência de Pücher foram traçadas para 
diversas condições de contorno de lajes retangulares, 
3Profª.: Rejane Fonseca
diversas condições de contorno de lajes retangulares, 
permitindo a utilização em quaisquer tipos de carregamentos. 
O cálculo das solicitações através destas superfícies é 
trabalhoso e usado quase exclusivamente nas lajes de pontes 
ferroviárias, tendo em vista que as tabelas de H. Rüsch foram 
desenvolvidas apenas para lajes de pontes rodoviárias.
Lajes de PontesLajes de Pontes
As tabelas de Rüsch foram desenvolvidas para o cálculo de 
lajes de pontes rodoviárias submetidas ao trem-tipo da norma 
alemã DIN-107. Estas tabelas podem ser utilizadas no Brasil, 
tendo em vista que a geometria do nosso trem-tipo, prescrito 
pela NBR-7188, é idêntica a do trem-tipo alemão, diferindo 
apenas no que diz respeito aos valores das cargas. Para efeito 
de utilização destas tabelas, os painéis que constituem a laje são 
4Profª.: Rejane Fonseca
de utilização destas tabelas, os painéis que constituem a laje são 
considerados isoladamente, porém com condições de contorno 
adequadas. As condições de contorno previstas pelas tabelas 
são as seguintes:
Lajes de Lajes de 
PontesPontes
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Lajes de PontesLajes de Pontes
As tabelas de Rüsch foram organizadas e numeradas em 
função da classe do trem-tipo (Brückenkclasse), do sentido do 
tráfego (Fahrtrichtung), das condições de bordo do painel e da 
relação Ly/Lx. Vejamos agora como identificar a tabela 
adequada em função destes quatro condicionantes:
a) Classe do trem-tipo (Brückenkclasse)
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a) Classe do trem-tipo (Brückenkclasse)
Rüsch preparou tabelas para as classes “30tf bis 60tf” e “3tf bis 
12tf”. A classe “30tf bis 60tf” é a de veículo pesado tipo SLW e 
corresponde aos TB-450 KN e TB-300 KN prescritos pela NBR-
7188 (a identificação das tabelas para a classe “30tf bis 60tf”, 
encontra-se sempre nas partes superiores das páginas). A classe 
“3tf bis 12tf” é a de veículo leve tipo LKW e corresponde ao TB-
120 KN da NBR-7188.
Lajes de PontesLajes de Pontes
b) Sentido do tráfego (Fahrtrichtung)
São sempre disponíveis duas tabelas para as mesmas condições 
de contorno, classe do trem-tipo e relação Ly/Lx. Uma destas 
tabelas prevê o sentido do tráfego paralelo ao eixo Lx e a outra 
o sentido do tráfego paralelo a Ly. Estas duas tabelas possuem o 
7Profª.: Rejane Fonseca
o sentido do tráfego paralelo a Ly. Estas duas tabelas possuem o 
mesmo número (Nr) na extremidade superior esquerda da 
página, porém em cada uma delas o sentido do tráfego 
(Fahrtrichtung) é indicado ao lado da relação por meio de uma 
dupla seta.
Lajes de PontesLajes de Pontes
c) Condições de bordo
As condições de bordo dos painéis de laje são indicadas por 
meio de desenho esquemático na extremidade superior 
esquerda da página ao lado do número da tabela (Nr). A seguir 
são apresentados alguns exemplos.
8Profª.: Rejane Fonseca
são apresentados alguns exemplos.
Lajes de PontesLajes de Pontes
d) Relação Ly/Lx
A relação Ly/Lx encontra-se indicada na extremidade superior 
esquerda da tabela entre o desenho esquemático das condições 
de bordo e o sentido do tráfego.
Para facilitar a identificação da tabela desejada, no início do 
livro do Rüsch existe um resumo onde as mesmas são 
9Profª.: Rejane Fonseca
livro do Rüsch existe um resumo onde as mesmas são 
agrupadas em função dos elementos descritos anteriormente.
Uma vez identificada a tabela desejada, segue-se o cálculo dos 
parâmetros de entrada destas. As tabelas de Rüsch são de 
dupla entrada para as solicitações relativas as cargas 
concentradas (rodas do veículo tipo), e de simples entrada para 
as cargas distribuídas (cargas de multidão).
Lajes de PontesLajes de Pontes
São os seguintes os parâmetros de entrada nas tabelas:
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Lajes de PontesLajes de Pontes
-Valores de Lx
Painel central (2)
Corresponde a distância entre eixos de nervuras.
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L x
Painel em balanço (3)
40 b
L' x
LBAL
Lajes de PontesLajes de Pontes
-Valores de Lx
Deve-se adotar para efeito das solicitações de carga 
móvel um valor fictício de Lx = L’x. Para guarda rodas 
tipo Ney-Jersey o valor de L’x é dado por:
L’x = Lbal – 0,40 – b/2 
12Profª.: Rejane Fonseca
L’x = Lbal – 0,40 – b/2 
São os seguintes os valores da largura da roda, segundo 
NBR – 7188.
Lajes de PontesLajes de Pontes
-Valor de t
Para cálculo do valor de t considera-se o ângulo de 45°
para o espraiamento das pressões da roda. Como as 
dimensões da roda do veículo em planta definidas pela 
NBR – 7188, diferem em função do trem-tipo, calcula-se t 
13Profª.: Rejane Fonseca
NBR – 7188, diferem em função do trem-tipo, calcula-se t 
em cada direção isoladamente e adota-se a média 
geométrica dos valores obtidos. Alguns autores adotam 
como dimensão da roda o lado quadrado de área 
equivalente.
Lajes de PontesLajes de Pontes
-Valor de t
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Lajes de PontesLajes de Pontes
-Valor de a
O valor de a é sempre 2,00 metros qualquer que seja o 
trem-tipo.
15Profª.: Rejane Fonseca
Lajes de PontesLajes de Pontes
Solicitações Seccionais nas lajes
Os momentos fletores devidos às cargas permanentes e às 
cargas móveis podem ser identificadas nas tabelas de Rüsch
como:
Mxm – Momento na direção x no meio da laje. 
16Profª.: Rejane Fonseca
Mxm – Momento na direção x no meio da laje. 
Mym – Momento na direção y no meio da laje.
Mxe – Momento na direção x no meio do bordo engastado.
Mye – Momento na direção y no meio do bordo engastado.
Mxr – Momento da direção x no meio do bordo livre.
Myr – Momento na direção y no meio bordo livre.
Mxer – Momento na direção x no canto do bordo engastado.
Myer – Momento na direção y no canto do bordo engastado.
Lajes de PontesLajes de Pontes
Solicitações Seccionais nas lajes
17Profª.: Rejane Fonseca
Lajes de PontesLajes de Pontes
Cálculo das solicitações seccionais
-Solicitações de carga permanente.
Na parte superior das tabelas são fornecidas os coeficientes K 
multiplicadores da quantidade g.Lx2 para obtenção dos 
momentos fletores de carga permanente.
18Profª.: Rejane Fonseca
momentos fletores de carga permanente.
Mg = K. g. Lx2
Sendo g a carga permanente da laje por unidade de área.
No caso de laje tipo 2 são fornecidos os valores de K para Mxm, 
Mym e Mxe. Para o caso da laje tipo 3 são fornecidos os valores 
de K para Mxe e Myr.
Lajes de PontesLajes de Pontes
Cálculo das solicitações seccionais
-Solicitações de carga móvel
Os momentos fletores de carga móvel são calculados pela 
seguinte expressão: φ Mp = K1 . φ . P + K2 . φ . p + K3 . φ . p’
Sendo:
19
Sendo:
φ = coeficiente de impacto.
P – Carga concentrada do veículo tipo.
p – Carga distribuída de multidão na frente e atrás do veículotipo.
p’ – Carga distribuída de multidão ao lado do veículo tipo.
K1 – Coeficiente tabelado, obtido por dupla interpolação nas tabelas 
de Rüsch.
K2 e K3 – Coeficientes tabelados, obtidos por simples interpolação 
nas tabelas de Rüsch.
Lajes de PontesLajes de Pontes
Seções a serem calculadas
Indicam-se na figura as seções onde deverão ser calculados os 
momentos fletores e dimensionadas as armaduras.
S1
S2
S3 S4 S6
S5
S7 S8 S9
20
0,30 Lx
0,35 LxL' x
L' x/2
E
IX
O
 D
A
 R
O
D
A
F
A
C
E
 D
O
 G
.R
O
D
A
S
M
E
IO
 D
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 V
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OF
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A
L
M
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L
A
S1
F
A
C
E
 V
IG
A
F
A
C
E
 V
IG
A
E
IX
O
 V
IG
A
Lajes de PontesLajes de Pontes
Dimensionamento das armaduras
O dimensionamento das armaduras é feito à flexão simples, por 
metro linear de laje, utilizando-se as tabelas universais.
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MesoestruturaMesoestrutura
A mesoestrutura das pontes é constituída dos pilares, cuja 
função consiste em transmitir as cargas da superestrutura para 
a infraestrutura (fundações).
A cada linha transversal de apoio do estrado correspondem, 
geralmente, dois ou mais pilares, ligados, quase sempre, por 
22Profª.: Rejane Fonseca
geralmente, dois ou mais pilares, ligados, quase sempre, por 
vigas horizontais, formando um quadro transversal.
Aparelhos de ApoioAparelhos de Apoio
Aparelhos de apoio são elementos estruturais de transição que 
transmitem, de forma conveniente, os esforços de vigas e lajes 
para pilares ou encontros.
Além da transmissão da reação vertical proveniente da 
superestrutura, os aparelhos de apoio possuem duas funções 
básicas:
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básicas:
• Liberar a ligação rígida da superestrutura com os pilares, 
evitando com isto o surgimento de momentos fletores nos 
mesmos pelo efeito de quadro.
• Liberar os movimentos da superestrutura devido aos efeitos de 
variações de temperatura ambiental, retração e fluência do 
concreto, evitando os momentos fletores já citados.
Classificação dos Aparelhos de ApoioClassificação dos Aparelhos de Apoio
Apresenta-se a seguir a classificação dos aparelhos de apoio de 
acordo com o material de confecção e do grau de liberdade.
Classificação quanto ao material: 
- Aço
- Concreto
- Borracha Sintética
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- Concreto
- Borracha Sintética
Classificação quanto ao grau de liberdade: 
- Fixos (2º gênero) – permitem apenas a rotação;
- Móveis (1º gênero) – permitem a rotação e o deslocamento 
horizontal.
Tipos de Aparelhos de ApoioTipos de Aparelhos de Apoio
São os seguintes os aparelhos de apoio mais utilizados 
atualmente:
- Rolo metálico
- Articulação de concreto (Articulação Freyssinet)
- Neoprene
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- Neoprene
- Neoflon
- Mecânicos compostos de aço, teflon, elastômero e aço inoxidável 
Rolo MetálicoRolo Metálico
O rolo metálico é um aparelho de apoio do 1º gênero, pois possui 
dois graus de liberdade (rotação e deslocamento horizontal). O 
campo de utilização deste aparelho é hoje bastante restrito, por 
apresentar as desvantagens citadas a seguir:
-Elevado custo;
-Dificuldade de montagem;
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-Dificuldade de montagem;
-Necessidade de conservação;
-Unidirecionalidade. 
O dimensionamento dos rolos metálicos é feito através da 
limitação das tensões de contato, dadas pela fórmula de Hertz, 
para superfícies cilíndricas contra superfícies planas.
Articulação de ConcretoArticulação de Concreto
A articulação de concreto ou articulação Freyssinet, é um aparelho 
de apoio do segundo gênero, pois possui apenas um grau de 
liberdade. 
A articulação de concreto foi bastante utilizada em obras de arte 
especiais, até a primeira metade da década de 1970, pelas 
seguintes vantagens que apresenta:
- Baixo Custo;
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- Baixo Custo;
- Facilidade de execução;
- Dispensa conservação.
A principal desvantagem da articulação de concreto é o seu 
funcionamento unidirecional que não permite sua utilização em 
obras curvas ou esconsas, onde não existe direção preferencial de 
deformação e rotação. 
Articulação de ConcretoArticulação de Concreto
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A utilização da borracha natural como elemento de apoio foi 
técnica corrente no passado, onde era empregada nas fundações 
de máquinas, como amortecedor de partes oscilantes. Entretanto, 
para a transmissão de cargas elevadas, como o apoio de pontes, a 
borracha natural não podia ser empregada em função de sua 
pequena resistência à corrosão e de seu envelhecimento precoce.
Na tentativa de se obter um produto com as mesmas 
Aparelho em borracha Aparelho em borracha NeopreneNeoprene FretadaFretada
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Na tentativa de se obter um produto com as mesmas 
características elásticas da borracha natural, a fábrica Du Pont
desenvolveu nos Estados Unidos da América, no ano de 1930, a 
borracha sintética, ou neoprene, como ficou conhecida. Este novo 
material, além de reproduzir as características elásticas da 
borracha natural, apresenta elevada resistência à corrosão e ao 
processo de envelhecimento.
Verificou-se inicialmente que, para absorver as rotações impostas 
pelo vigamento das pontes, necessitava-se de uma altura de 
borracha incompatível com a resistência à flambagem da camada 
de borracha. Para contornar o problema, os franceses começaram 
a utilizar malhas de aço intercaladas com placas de neoprene, 
limitando, portanto, a altura de cada placa.
Esta solução foi logo abandonada ao se perceber que a 
Aparelho em borracha Aparelho em borracha NeopreneNeoprene FretadaFretada
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Esta solução foi logo abandonada ao se perceber que a 
concentração de tensões nos fios componentes da malha de aço 
provocava rasgos na borracha. O passo seguinte, que o levou a 
sua versão atual, foi a substituição das malhas por chapas de aço, 
que distribuíam as tensões na borracha de maneira uniforme.
Aparelho em borracha Aparelho em borracha NeopreneNeoprene FretadaFretada
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O aparelho de apoio neoprene não é nem do 1º gênero nem do 2º 
gênero, pois possui liberdade relativa tanto a deslocamento 
horizontal quanto à rotação.
O aparelho de apoio neoprene é o mais utilizado atualmente nas 
obras de arte especiais, pelas seguintes razões:
Vantagens: 
- Facilidade de montagem;
- Baixo custo (comparado com os metálicos e mecânicos);
Aparelho em borracha Aparelho em borracha NeopreneNeoprene FretadaFretada
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- Baixo custo (comparado com os metálicos e mecânicos);
- Permitem rotação e translação nas três direções;
- Boa resistência a agentes químicos;
- Amortecem os efeitos dinâmicos;
- Possuem elevada resistência à compressão.
Aparelho em borracha Aparelho em borracha NeopreneNeoprene FretadaFretada
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O aparelho de neoflon associa um aparelho de neoprene com uma 
placa de teflon, tornando-se assim um aparelho móvel capaz de 
assegurar grandes deslocamentos independentemente da 
transmissão dos esforços.
O teflon é uma resina de politetrafluoretileno, cuja principal 
propriedade é possuir o mais baixo coeficiente de atrito dentre os 
materiais atualmente conhecidos (corresponde ao coeficiente de 
Aparelho Aparelho NeoflonNeoflon
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materiais atualmente conhecidos (corresponde ao coeficiente de 
atrito de gelo contra gelo).
O aparelho de neoflon substitui com grande economia os 
aparelhos de rolo metálico e os mecânicos.
Estes aparelhos são freqüentemente utilizados nos pilares 
extremos de pontes extensas executadas em viga contínua sem 
juntas. O teflon é também utilizado como aparelho deslizante na 
movimentação de cargas pesadas.
Aparelho Aparelho NeoflonNeoflon
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Os aparelhos mecânicos são capazes de garantir a total liberdade 
de rotação e deslocamento da estrutura que sobre ele se apóia. 
Estes aparelhos, cuja confecção é sofisticada, portanto, cara, são 
compostos de aço comum, elastômero, teflon e aço inoxidável. 
Quanto ao grau de liberdade de translação, estes aparelhos 
podem ser fixos ou móveis. Quanto a direção da liberação dos 
deslocamentos e rotações, podem ser fixos ou móveis. 
AparelhosAparelhos MecânicosMecânicos
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deslocamentos e rotações, podem ser fixos ou móveis. 
Os aparelhos mecânicos surgiram no início da década de 1960 e 
sãoindicados para liberar grandes deslocamentos e ou rotações.
Estes aparelhos aplicam-se bem em pontes constituídas por vigas 
contínuas, porém, não são recomendados para pontes em vigas 
pré-moldadas.
AparelhosAparelhos MecânicosMecânicos
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JuntasJuntas de dilataçãode dilatação
Assim como os aparelhos de apoio, as juntas de dilatação são 
elementos determinantes para o desempenho de obras de arte 
especiais, como as Pontes e Viadutos.
As juntas de dilatação são aberturas que possuem a função de 
permitir a movimentação da estrutura, o que reduz tensões 
indesejáveis que acabam por ocasionar fissuras.
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indesejáveis que acabam por ocasionar fissuras.
São úteis também para promover a vedação contra a passagem de 
águas e materiais sólidos, que ajudam na deterioração de 
elementos da estrutura. Os aparelhos de apoio, por outro lado, são 
elementos de vinculação que associam as peças estruturais e 
permitem a movimentação por translação e rotação.
JuntasJuntas de dilataçãode dilatação
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JuntasJuntas de dilataçãode dilatação
Em uma Ponte Rodoviária, a distância entre as juntas de dilatação 
não impede o tráfego dos veículos, pois a superfície das rodas 
ultrapassa este espaço sem problemas, mas em Pontes 
Ferroviárias onde o posicionamento dos trilhos deve estar 
disposto de maneira precisa e sem folgas excessivas, é necessário 
fazer uma fixação especial sobre a junta de dilatação.
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fazer uma fixação especial sobre a junta de dilatação.
Existem juntas de dilatação Abertas e Fechadas, cujos projetos, 
instalação e manutenção são normatizados pelas NBR 6118 (2014), 
NBR 7187 (2003) e NBR 12624 (2004). 
JuntasJuntas de dilataçãode dilatação
As Juntas de Dilatação Abertas podem ter suas faces verticais em 
concreto armado sem proteção ou protegidas com cantoneiras 
metálicas. Elas costumam possuir vida útil menor, pois permitem 
a livre passagem de águas e detritos, além de sofrer o impacto 
direto das rodas dos veículos. 
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JuntasJuntas de dilataçãode dilatação
As Juntas de Dilatação Fechadas podem ser classificadas como:
• Juntas de Asfalto
Usadas apenas em pequenas movimentações com apenas 1cm; 
• Juntas de Compressão
Utilizam bloco contínuo e alveolar de Neoprene; 
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Utilizam bloco contínuo e alveolar de Neoprene; 
• Juntas com fitas de Neoprene
Construídas com dois blocos de concreto de alta resistência e com 
Neoprene instalado entre perfis metálicos; 
• Juntas Dentadas
Constituída por duas chapas de aço com “dentes” justapostos 
instalados sobre uma organização de encaixe macho-fêmea.
JuntasJuntas de dilataçãode dilatação
• Juntas Dentadas
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