CAP%201-II

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UNIVERSIDADE DO ALGARVE 
 ESCOLA SUPERIOR DE GESTÃO, HOTELARIA E TURISMO 
 CURSO SUPERIOR DE GESTÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA II 
 
 
 
CADERNO DE EXERCÍCIOS N.º 1 
 
 
I – Cálculo Combinatório 
 
II – Teoria das Probabilidades 
 
III – Variáveis Aleatórias Unidimensionais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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I – Cálculo Combinatório 
 
1. Uma equipa de futebol dispõe de 15 jogadores, dos quais dois são guarda-redes, não 
podendo alinhar em qualquer outro lugar. Os restantes podem ocupar qualquer outra posição. 
Quantas equipas se podem formar com pelo menos um jogador diferente? 
 
2. Uma empresa tem 7 porteiros, necessitando de organizar turnos constituídos por 4 
porteiros. 
a) Quantos turnos diferentes se podem constituir? 
b) Em quantos turnos aparece o mesmo porteiro? 
 
3. De quantas maneiras se podem dispor 10 bolas (1 branca, duas pretas, 3 azuis e 4 
verdes)? 
 
4. Para ter acesso a uma área de trabalho num computador cada utilizador deve 
introduzir uma palavra-chave. Quantas palavras-chave distintas se podem formar se 
forem constituídas por: 
a) 4 letras quaisquer; 
b) 4 letras distintas; 
c) 2 algarismos seguidos de 3 letras; 
d) 2 algarismos e 3 letras, em que as letras e números podem tomar qualquer posição. 
 
5. Os partidos A, B, C e D têm respectivamente, 10, 5, 35 e 2 representantes 
numa determinada assembleia. Determine o número de possíveis comissões de 10 
representantes, 
a) incluindo os dois representantes do partido D; 
b) incluindo pelo menos um representante do partido D; 
c) incluindo 3 representantes do partido A e todos os de B; 
d) incluindo 3 representantes do partido A e 2 de C. 
 
6. Quantas permutações distintas se podem formar com as letras das palavras: 
a) provável; 
b) aleatório. 
 
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II – Teoria das Probabilidades 
 
1. Numa turma de Métodos Quantitativos há 16 caloiros, 9 segundanistas e 5 
finalistas. Um estudante é escolhido aleatoriamente para representar a turma. 
Determine a probabilidade de o estudante ser: 
a) Caloiro; 
b) Segundanista; 
c) Finalista. 
 
2. Um cartão é retirado aleatoriamente de entre 50 cartões numerados de 1 a 50. 
Determine a probabilidade de o número do cartão: 
a) Ser divisível por 5; 
b) Ser primo; 
c) Terminar em 3. 
 
3. Três meias pretas e cinco brancas estão colocadas numa gaveta num quarto 
às escuras. 
a) Se tirar duas meias da gaveta, qual é a probabilidade de serem: 
a1) Ambas brancas; 
a2) Ambas pretas; 
a3) Ambas da mesma cor. 
b) Quantas meias é preciso tirar para ter a certeza de que, pelo menos, duas são: 
b1) Pretas; 
b2) Brancas; 
b3) Da mesma cor. 
 
4. Um dado é lançado 50 vezes. A tabela seguinte dá a frequência de ocorrência 
de cada uma das suas seis faces: 
Face 1 2 3 4 5 6 
Frequência 7 9 8 7 9 10 
 
Indique a probabilidade de saída de: 
a) Face 1; 
b) Um número ímpar. 
 
 
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5. Extrai-se, ao acaso, uma carta de um baralho de 52 cartas. Determine a 
probabilidade de a carta ser: 
a) Vermelha; 
b) De espadas; 
c) Um ás; 
d) O rei de copas; 
e) De qualquer naipe, excepto ouros; 
f) O duque de paus ou a dama de espadas; 
g) Um valete ou uma carta de espadas 
h) Nem ás, nem carta de paus. 
 
6. Extrai-se, ao acaso, uma bola de uma caixa que contém 6 bolas vermelhas, 4 
bolas brancas e 5 bolas amarelas. Determine a probabilidade de a bola extraída ser: 
a) Vermelha; 
b) Branca; 
c) Amarela; 
d) Não vermelha; 
e) Vermelha ou branca; 
f) Branca e amarela. 
 
7. Uma caixa contém 2 bolas vermelhas e 3 pretas. Extraem-se, ao acaso, duas 
bolas sem reposição. Determine a probabilidade de serem: 
a) Ambas pretas; 
b) Ambas vermelhas; 
c) Uma vermelha e uma preta. 
 
8. Em determinada população 9,8% das pessoas adquirem a revista A, 22,9% a 
revista B e 5,1% a revista A e B. Calcule: 
a) a probabilidade de uma pessoa adquirir uma das revistas; 
b) a probabilidade de adquirir somente A; 
c) a probabilidade de não adquirir nem A nem B. 
 
9. Num determinado sector industrial existem 25% de empresas que possuem 
departamento de investigação, 50% realizam lucros e 20% possuem departamento de 
investigação e realizam lucros. Seleccionando uma empresa ao acaso, calcule: 
a) a probabilidade de possuir departamento de investigação ou realizar lucros ou 
ambas as coisas; 
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b) a probabilidade de não possuir dep. de investigação; 
c) a prob. de não possuir dep. de investigação nem realizar lucros; 
d) a probabilidade de não possuir dep. de investigação ou não realizar lucros ou 
ambas as coisas; 
e) a prob. de possuir dep. de investigação e não realizar lucros; 
f) a prob. de não possuir dep. de investigação e realizar lucros. 
 
10. De um baralho de 52 cartas, extraem-se 3 ao acaso. Determine a probabilidade 
de serem todas ases, se: 
a) A extracção for feita sem reposição; 
b) A extracção for feita com reposição. 
 
 
11. Lança-se um par de dados não viciados. Calcule a probabilidade de a 
pontuação obtida ser menor que 8, se: 
a) Ocorrer 5 no primeiro dado; 
b) Ocorrer 5 em pelo menos um dos dados. 
 
12. Um dado é lançado. Se o número obtido é ímpar, qual é a probabilidade de ele 
ser primo? 
 
13. Uma caixa contem cinco lâmpadas das quais duas são defeituosas; as 
lâmpadas defeituosas são numeradas de 1 a 2 enquanto que as boas são numeradas 
de 3 a 5. Extraem-se duas lâmpadas ao acaso, uma a seguir à outra, sem repor a 
primeira na caixa. 
a) Indique o espaço de resultados associado a esta experiência aleatória. 
b) Determine a probabilidade dos seguintes acontecimentos: 
1. “saída de um lâmpada defeituosa na 1ª tiragem” 
2. “saída de um lâmpada defeituosa na 2ª tiragem” 
3. “saída de duas lâmpadas defeituosas” 
4. “saída de nenhuma lâmpada defeituosa” 
 
14. Em determinada turma do primeiro ano, 25% dos estudantes reprovaram a 
Métodos, 15% a Contabilidade e 10% em Métodos e Contabilidade simultaneamente. 
Um estudante é seleccionado aleatoriamente. 
a) Se ele reprovou em Contabilidade, qual é a probabilidade de ter reprovado 
também em Métodos? 
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b) Se ele reprovou em Métodos, qual é a probabilidade de ter reprovado também 
em Contabilidade? 
c) Qual é a probabilidade de ter reprovado apenas numa das disciplinas? 
 
15. A probabilidade de um homem viver mais dez anos é 1/4 e a probabilidade da 
sua esposa viver mais dez anos é 1/3. Calcule a probabilidade: 
a) ambas estarem vivas dentro de dez anos; 
b) ao menos um estar vivo dentro de dez anos; 
c) nenhum estar vivo dentro de dez anos; 
d) somente a esposa estar viva dentro de dez anos. 
 
16. De uma urna contendo 4 bolas brancas e 6 verdes, extraíram-se 2 bolas. 
Determine a prob. de ambas as bolas serem verdes. 
a) considere as extracções com reposição; 
b) considere as extracções sem reposição. 
 
17. Uma caixa contém 3 bolas azuis e 2 vermelhas e outra caixa contém 2 bolas 
azuis e 3 vermelhas. Escolhe-se uma das caixas, extrai-se ao acaso uma bola e 
verifica-se que é azul. 
 
a) Qual é a probabilidade de a bola azul ter sido extraída da primeira caixa? 
b) Qual é a probabilidade de a bola azul ter sido extraída da segunda caixa? 
 
18. Três máquinas fabricam moldes para plásticos. A máquina A produz 1% de 
moldes defeituosos, a máquina B produz 2% e a máquina C produz 5%. Cada 
máquina é responsável por um terço da produção total. Um inspector examina um 
molde e verifica que está perfeito. Calcule a probabilidade de ele ter sido produzido 
pela máquina C. 
 
19. Os arquivos da Brigada de Trânsito da GNR revelam que, das vítimas de 
acidentesde automóvel que utilizam cinto de segurança, apenas 10% sofrem 
ferimentos graves, enquanto que essa incidência é de 50% entre as que não utilizam 
cinto. Estima-se em 60% a percentagem de pessoas que usam cinto de segurança. 
Acaba de se verificar um acidente, tendo havido um ferido grave. 
a) Calcule a probabilidade do ferido estar a usar cinto de segurança. 
b) Uma outra pessoa envolvida neste acidente não sofreu ferimentos graves. 
Qual é a probabilidade de estar a usar cinto de segurança? 
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20. Nos parques industriais A1, A2 e A3 dedicam-se à actividade têxtil, respectivamente, 
10%, 40% e 25% das empresas. Escolhido ao acaso um parque e nele, também ao acaso, 
uma empresa, qual a probabilidade de que seja têxtil? 
21. Um fazendeiro estima que, quando uma pessoa experimentada planta árvores, 
95% das árvores sobrevivem, mas quando é um novato que as planta, apenas 50% 
sobrevivem. 
Uma laranjeira não sobreviveu. Calcule a probabilidade de ela ter sido plantada por um 
novato, sabendo que 1/3 das árvores são plantadas por pessoas experimentadas. 
 
22. Dos três fornecedores de certo produto para uma loja (em partes de 30%, 50% 
e 20%), todos fornecem produtos com deficiência, sendo a percentagem de produtos 
defeituosos sobre o total fornecido por cada um deles de 7%, 5% e 4%, 
respectivamente. 
 
a) Tendo comprado um produto dessa loja e verificado que apresentava 
deficiências, qual é o seu fornecedor mais provável? 
b) Qual é a probabilidade de um determinado produto escolhido ao acaso ter 
vindo do 1.º fornecedor e apresentar deficiências? 
 
23. O mercado de serviço telemóvel está dividido entre duas empresas, CELUM e 
CELDOIS, com quotas de mercado de respectivamente 60% e 40%. O organismo 
regulador encomendou um estudo de opinião tendo concluído que: 
- 70% dos utilizadores do serviço telemóvel estão satisfeitos; 
- Dos clientes da CELUM, 80% estão satisfeitos. 
 
a) Qual é a percentagem de clientes de CELDOIS que estão satisfeitos? 
b) Qual é a divisão do mercado dentro dos clientes satisfeitos? 
c) Qual é a probabilidade de encontrar um cliente da CELUM que se sinta 
insatisfeito? 
 
24. Considere A1, A2 e A3 acontecimentos que constituem uma partição do espaço 
de resultados. 
 Sendo as probabilidades de A1, A2 e A3 respectivamente iguais a 0,5, 0,3 e 0,2 e 
sendo B um outro acontecimento pertencente ao mesmo espaço de resultados, 
diga justificando se é possível ter: 
 
P(A1 | B) = 0,6 , P(A2 ! B) = 0,2 e P(A3 ! B) = 0,25 
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25. Prove que se A e B independentes então são também independentes. 
Bem como A e e e B. 
 
26. Sejam A, B e C acontecimentos de Ω tais que: 
, ; ; e 
Determine . 
 
27. Sejam A e B dois acontecimentos tais que e . 
Determine em função de x e de y a probabilidade de: 
a) Não se realizar nenhum dos acontecimentos; 
b) Que se realize um e um só dos acontecimentos; 
c) Que se realize pelo menos um dos acontecimentos; 
d) Que se realize quando muito um dos acontecimentos. 
 
28. Uma caixa contém 3 bolas azuis e 2 vermelhas e outra caixa contém 2 bolas 
azuis e 3 vermelhas. Escolhe-se uma das caixas, extrai-se ao acaso uma bola e 
verifica-se que é azul. 
a) Qual é a probabilidade da bola azul ter sido extraída da primeira caixa? 
b) Qual é a probabilidade da bola azul ter sido extraída da segunda caixa? 
 
29. Uma companhia seguradora distribui os segurados por três classes A, B, e C 
consoante o menor ou maior risco que lhes atribui. Em determinado momento a 
carteira de apólices tem a seguinte composição: A – 35000, B – 50000 e C – 15000. A 
probabilidade dos segurados de cada classe terem um ou mais acidentes durante um 
ano é, respectivamente, 0,01, 0,04, e 0,15. A companhia, naturalmente, nunca tem a 
certeza do tipo a que pertence um subscritor de uma apólice. Se um segurado tiver um 
ou mais acidentes durante o primeiro ano de seguro que conclusões podem retirar-se? 
 
30. Considere-se 3 inspectores X, Y e Z que inspeccionam 20%, 30% e 50% dos 
artigos produzidos numa fábrica. A probabilidade de um artigo defeituoso ser 
inspeccionado é igual a 0,05, 0,1 ou 0,15 caso se trate do inspector X, Y ou Z, 
respectivamente. 
a) Se tirarmos ao acaso um artigo que foi inspeccionado. Qual a probabilidade de que 
seja defeituoso? 
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b) Sendo defeituoso qual a probabilidade que tenha sido X que o inspeccionou? E Y? 
E Z? 
31. Um comerciante recebe batata de três regiões diferentes. Ao chegar, cada lote 
é classificado em duas classes A e B, de acordo com a qualidade do produto. Qual a 
proveniência mais provável de um lote acabado de chegar, sabendo que foi 
classificado na categoria A e tendo em atenção que a distribuição dos lotes recebidos 
até à data é a seguinte: 
 Qualidade 
Regiões Kg A B 
I 10000 2000 8000 
II 20000 14000 6000 
III 20000 10000 10000 
 50000 
 
32. Dois atiradores disparam - independentes um do outro – um tiro cada um sobre 
certo alvo. Sabe-se que o 1º atirador acerta no alvo 80% das vezes e que o 2º atirador 
acerta 40% das vezes. Tendo um tiro acertado no alvo, qual a probabilidade de ter 
sido o 1º atirador a dispará-lo? 
 
 
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III – Variáveis Aleatórias Unidimensionais 
 
1 – Calcule a função de probabilidade da variável “número de rapazes numa família de 
4 crianças”. Assuma igual probabilidade para cada sexo. 
 Represente graficamente a função de probabilidade. 
 
 
2 – Verifique se a seguinte função é susceptível de representar a função de 
probabilidade de uma variável aleatória: 
 
 
 
3 – Seja X uma variável aleatória cuja função de probabilidade é a seguinte: 
 
X 0 1 2 3 4 5 
P(X = x) 0,10 0,30 0,40 0,10 0,05 0,05 
 
a) Represente graficamente a respectiva função acumulada de massa. 
b) Calcule P(X < 4,5), P(X ≥ 2) e P(2 ≤ X < 4,5). 
 
 
4 – A variável aleatória X é caracterizada pela seguinte f.d.p.: 
 
 
 
a) verifique que se trata de uma f.d.p.. 
b) Determine F(x). 
c) Calcule P(X < 1/2), P(X ≥ - 2/3) e P(1/2 < X < 2). 
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5 – Calcule a média e a variância das seguintes distribuições de variáveis aleatórias: 
 
a) 2 < x < 4 
b) x > 0 
 
 
6 – O verdadeiro peso de sacos de um quilo de café de certa marca é aleatório e 
(segundo uma organização de defesa do consumidor) apresenta uma densidade 
de probabilidade uniformemente distribuída entre 0,80 Kg e 1,05 Kg: 
 
 
 
a) Calcule k. 
b) Determine F(x). 
c) Qual é a probabilidade de um saco de café da referida marca pesar menos de 
1 Kg? 
d) Da produção total dessa marca, qual é a percentagem de sacos com peso 
superior ao indicado no rótulo? 
 
 
7 – Determine E(X) e Var(X) das seguintes distribuições: 
 
a) 
 
b) 
 
 
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8 – Imagine que logo à noite vai vender cachorros para a “Rua do Crime”. As 
probabilidades que atribui às quantidades que espera vender são: 
 
X 80 90 100 110 120 130 140 
P(X = x) 0,05 0,10 0,25 0,35 0,10 0,10 0,05 
 
a) Calcule a probabilidade de vender pelo menos 120 cachorros. 
b) Qual é a sua venda esperada? Calcule igualmente a variância do volume de 
vendas. Comente o resultado. 
c) Suponha que compra cada cachorro por 1,50 € e vende por 2,50 €. Assim, por 
cada cachorro que venda ganha 1,00 € e por cada cachorro que fique por 
vender perde 1,50 €. Qual é o lucro esperado se comprar 110 cachorros? 
 
 
9 – O director de compras da empresa Baratinho pretende definir uma política de 
aquisição de matéria prima para o próximo ano. As necessidade de matériaprima 
por dia (em milhares de toneladas) são uma variável aleatória continua com f.d.p.: 
 
 
 
a) Calcule k. 
b) Se quiser que a probabilidade de ruptura do stock de matéria prima seja igual 
a 0,02, qual é o nível de abastecimento que deve ser assegurado diariamente? 
c) Suponha que ele resolveu manter um nível de stocks que lhe assegure que a 
probabilidade de ruptura é de 0,02. A administração propôs dar-lhe um prémio 
de 10 € por cada dia em que não houvesse ruptura, mas cobrar-lhe uma multa 
de 500 € sempre que tal se verificasse. Acha que é de aceitar? Justifique. 
 
10 - A procura do produto X (em toneladas) é uma variável aleatória com função 
densidade de probabilidade: 
 
a) mostre que se trata de uma função densidade de probabilidade e faça a sua 
representação gráfica; 
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b) calcule a probabilidade da procura do produto X estar entre 1 e 3 toneladas; 
c) determine a procura esperada para o produto X. 
 
11 - Considere a seguinte f. d. p.: 
 
a) Calcule k de modo a a f(x) ser uma f. d. p. e represente a função. 
b) Calcule b de modo a que P(X ≤ b) = 0,5. 
 
12 - Considere a seguinte função de probabilidade: 
 
a) Mostre que esta função de probabilidade satisfaz as propriedades de qualquer 
função probabilidade e represente-a graficamente. 
b) Deduza a função de distribuição e represente-a graficamente. 
Calcule P(X = 1 | X ≤ 2). 
 
12 - Considere a V. A. X, contínua, com função densidade de probabilidade dada por: 
 
 
a) Mostre que se trata de uma f. d. p. e faça a sua representação gráfica. 
b) Deduza a f. de distribuição – F(x) – e represente-a graficamente. 
c) Calcule 
d) Calcule .