Teoremas de Thévenin, Norton e Máxima Transferência de Potência

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lucas coelho dos santos da silva
teoremas de thévenin, norton e máxima transferência de potência
 
Curitiba/PR
2017
lucas coelho dos santos da silva
lucas coelho dos santos da silva
teoremas de thévenin, norton e máxima transferência de potência
teoremas de thévenin, norton e máxima transferência de potência
Trabalho dissertativo individual apresentado ao Centro Universitário Autônomo do Brasil - UniBrasil, para o 2°Semestre do Curso de Engenharia Elétrica na disciplina de Circuitos Elétricos.
Orientador: Prof. Eduardo Torres da Rocha. 
Curitiba/PR
2017
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INTRODUÇÃO
Este trabalho segue a norma de apresentação e formatação de trabalhos acadêmicos NBR – 14724/2011.
Neste trabalho serão apresentados e discutidos o teorema de Thévenin, teorema de Norton, e o teorema da máxima transferência de potência.
O teorema de Thévinin, bem como o de Norton, serve para simplificar um circuito elétrico. 
O teorema da transferência de potência é de extrema importância para sistemas que buscam trabalhar com a máxima eficiência na transferência de potência entre carga e gerador.
TEOREMA DE THÉVENIN
O teorema de Thévenin afirma que, do ponto de vista de um qualquer par de terminais, um circuito linear pode sempre ser substituído por uma fonte de tensão com resistência interna. Como se verifica na Figura 1, quando o objetivo da análise de um circuito se resume a identificar a corrente, a tensão ou a potência a jusante de um par de terminais, então o teorema de Thévenin indica que todo o circuito a montante pode ser reduzido a dois elementos apenas, constituindo globalmente uma fonte de tensão com resistência interna. O conjunto de componentes vTh e RTh é designado por equivalente de Thévenin do circuito. 
Figura 1 - Equivalente de Norton.
Fonte: (UFRGS). 
RTh é a resistência equivalente de Thevenin e vTh o gerador de Thevenin ou tensão equivalente de Thevenin. RTh é calculada determinando a resistência equivalente entre os pontos A e B quando os geradores de tensão são eliminados (colocados em curto circuito). Caso existam geradores de corrente os mesmos devem ser abertos.
A metodologia de cálculo do equivalente de Thévenin difere consoante o tipo de fontes em presença no circuito. É comum distinguirem-se circuitos com fontes independentes; circuitos com fontes independentes e dependentes; e circuitos com fontes dependentes.
Equivalente de Thévenin de um Circuito com Fontes Independentes 
Considere-se o circuito representado na Figura 2, relativamente ao qual se pretende determinar o equivalente de Thévenin do subcircuito à esquerda dos terminais a e b indicados.
Figura 2 - Equivalente de Thévenin de um circuito com fontes independentes.
Fonte: (UFRGS). 
O equivalente de Thévenin calcula-se nos seguintes dois passos (para além da identificação dos terminais e do sentido relativamente ao qual se pretende obter o equivalente):
(i) Obtenção da tensão em aberto,
 
(i) E determinação da resistência equivalente vista dos terminais de saída, quando se anulam todas as fontes independentes no circuito
 
Equivalente de Thévenin de um circuito com fontes independentes e dependentes
Considere-se o circuito da Figura 3.a, integrando fontes independentes e dependentes de tensão.
Figura 3 - Equivalente de Thévenin de um circuito com fontes independentes e dependentes.
Fonte: (UFRGS).
O cálculo é composto por três passos:
(i) Determinação da tensão em aberto (Figura 3.b)
 
(ii) Determinação da corrente de curto-circuito entre os terminais especificados (Figura 3.c),
(iii) E cálculo da resistência equivalente de Thévenin através do cociente entre a tensão em aberto e a corrente de curto-circuito,
 
 
Equivalente de Thévenin de um circuito com fontes dependentes
O equivalente de Thévenin de um circuito com fontes dependentes caracteriza-se pelo valor nulo da tensão equivalente respectiva. A metodologia de cálculo da resistência equivalente exige que se aplique do exterior uma tensão (ou uma corrente), se meça a corrente absorvida (a tensão gerada aos terminais) e se efetue o cociente entre ambas. No caso da resistência equivalente do circuito representado na Figura 4.a:
Figura 4 - Equivalente de Thévenin de um circuito com fontes dependentes.
Fonte: (UFRGS).
(i) Aplica-se uma corrente ao circuito, ix, e mede-se a tensão aos terminais, vx (Figura 4.b). Em alternativa, pode aplicar-se uma tensão aos terminais especificados, vx e medir a corrente absorvida pelo circuito (Figura 4.c);
(ii)  E determina-se a resistência equivalente de Thévenin através do cociente
 
TEOREMA DE NORTON
O teorema de Norton indica que uma fonte de tensão com resistência interna não nula pode ser substituída por uma fonte de corrente com resistência interna não infinita. Como se indica na Figura 5, esta transformação permite redesenhar o circuito equivalente de Thévenin com base numa fonte de corrente, designada por equivalente de Norton. Por conseguinte, este equivalente pode ser obtido através de dois processos essencialmente distintos: de forma direta ou por intermédio do cálculo do equivalente de Thévenin seguido da transformação de fonte.
Figura 5 - Equivalente de Norton.
Fonte: (UFRGS).
Equivalente de Norton de um Circuito com Fontes Independentes
O cálculo do equivalente de Norton de um circuito com fontes independentes baseia-se num conjunto de procedimentos semelhantes àqueles estabelecidos anteriormente para o equivalente de Thévenin. Tomando como exemplo o circuito representado na Figura 6.
Figura 6 - Equivalente de Norton de um circuito com fontes independentes.
Fonte: (UFRGS).
Em um primeiro momento determina-se a corrente de curto-circuito entre os terminais especificados (Figura 6.b),
 
E em um segundo a resistência vista dos terminais de saída (Figura 6.b)
 
Admitindo nulas todas as fontes independentes. Se se compararem as expressões com aquelas relativas ao equivalente de Thévenin, verifica-se que, e como previsto pela transformação de fonte.
 
e
 
Equivalente de Norton de um Circuito com Fontes Independentes e Dependentes
A determinação do equivalente de Norton de um circuito com fontes independentes e dependentes exige que se calculem a tensão de circuito aberto e a corrente de curto-circuito entre os terminais especificados. Toma-se como exemplo o circuito representado na Figura 7:
Figura 7 - Equivalente de Norton de um circuito com fontes independentes e dependentes.
Fonte: (UFRGS).
Obtém-se:
 
Para a fonte de corrente equivalente (Figura 7.b), e
 
Para a resistência, em que 
 
Define a tensão de circuito aberto entre os terminais especificados (Figura 7.c).
Equivalente de Norton de um Circuito com Fontes Dependentes
Considere-se o circuito representado na Figura 8.a, constituído apenas por fontes dependentes e resistências.
Figura 8 - Equivalente de Norton de um circuito com fontes dependentes.
Fonte: (UFRGS).
O equivalente de Norton de um circuito deste tipo consiste numa resistência apenas, sendo, por conseguinte, formalmente idêntico ao equivalente de Thévenin. A resistência equivalente obtém-se através do cociente entre a tensão e a corrente aos terminais de uma fonte aplicada aos terminais especificados, como se indica nas Figuras 8.b e c,
 
TEOREMA DA MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA
Esse teorema trata fundamentalmente da transferência de energia entre a fonte e a carga do circuito. Para entendê-lo melhor, deve-se considerar o fato de que as baterias e fontes comumente usadas não são ideais, isto é, sempre existe uma limitação na corrente I que elas podem fornecer. Tais fontes reais podem ser representadas pela associação em série de uma fonte ideal (gerador de força eletromotriz) com uma resistência (responsável pela dissipação de energia no interior do gerador), como mostrado na Figura 9.
Figura 9 – Fonte de tensão real
Fonte: (USP)
Considere-se agora esta fonte conectada a uma carga com resistência equivalente R (que pode ser um resistor, um conjunto de resistores, um chuveiro elétrico,um aparelho de som ou mesmo todos os aparelhos elétricos da sua casa, ou da sua cidade, ou do seu país, etc.). O circuito fonte carga pode ser representado tal como mostrado na Figura 10.
Figura 10 – Teorema de máxima transferência de potência.
Fonte: (USP).
A corrente que atravessa o circuito pode então ser calculada:
 
Para saber qual a situação em que a potência dissipada na carga é máxima deve-se explicitamente calcular a potência PC dissipada na carga e a potência Pi dissipada na resistência interna do gerador:
 
 
Supondo a fora eletromotriz da fonte, ε, constante. Deve-se descobrir para qual valor de R a potência dissipada na mesmo é máxima. Deve-se então derivar PC em relação a R e igualar a zero. Tem-se então:
 
Logo, quando a resistência da carga for igual à resistência do gerador, a potência dissipada na carga será máxima. Se pode agora enunciar o teorema de máxima transferência de potência, que diz: “A máxima transferência de potência para a carga ocorre quando R = Ri”. Na Figura 10 estão mostrados a potência total e as potencias dissipadas na resistência de carga (potência útil) e na resistência interna (potência dissipada) da bateria como função da resistência de carga. Com cargas de baixa resistência, a fonte é forçada a gerar muita energia elétrica, sendo que boa parte dessa energia é dissipada na própria fonte. Isso tem dois efeitos ruins: sobreaquecimento da fonte, o que pode danificá-la, e um consumo elevado de energia (se a fonte for, por exemplo, uma pilha, ela se descarrega mais rapidamente do que se estivesse alimentando uma carga de maior resistência).
Figura 10 – Balanço de potência para um gerador que alimenta uma carga resistiva.
Fonte: (USP).
Eficiência da Transferência de Potência
A máxima transferência de potência não significa eficiência máxima. De fato, apenas metade da potência gerada é dissipada na carga, o que resulta em 50% de eficiência. A eficiência é:
 
Portanto, a eficiência é máxima quando a resistência interna do gerador é pequena em comparação com a resistência de carga. Isto está ilustrado na Figura 11 onde está mostrado a eficiência como função da resistência de carga.
 O ideal é que a resistência da carga seja muito maior do que a resistência interna do gerador, porque nessa situação a eficiência será próxima de um e a potência dissipada como calor no gerador será pequena. Portanto, em situações operacionais utilizam-se geradores que possuem resistências internas muito menores que as resistências de carga. Tal situação também pode ser visualizada na Figura 11, onde, por exemplo, para R/Ri = 8 a potência dissipada é quase nula e toda a energia da fonte é dissipada na resistência de carga.
Figura 11 – Eficiência da transferência de potência. 
Fonte: (USP).
CONCLUSÃO
Certos circuitos podem ser simplificados usando os Teoremas de Thévenin ou Norton. Um circuito linear pode ser transformado em uma fonte de tensão ou em uma fonte de corrente. A resistência equivalente é essencial para o cálculo.
O teorema da máxima transferência de potência é muito importante na engenharia eletrônica, pois permite determinar os parâmetros de um sistema para que ocorra a máxima transferência de potência entre partes de um mesmo sistema.
REFERÊNCIAS
EBAH. Teorema da máxima transferência de potência. Disponível em: <http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAM9IAJ/teorema-maxima-transferencia-potencia>. Acesso em: 27/05/2017.
EBAH. Teorema de Norton. Disponível em: <http://www.ebah.com.br/content/ABAAAggukAA/teorema-norton>. Acesso em: 27/05/2017.
ETELG. Análise de circuitos em corrente contínua. Disponível em: <http://www.etelg.com.br/downloads/eletronica/cursos/aulas/aula011.html>. Acesso em: 27/05/2017.
SCRIBD. Thevenin’s and Norton’s Theorem. Disponível em: <https://www.scribd.com/doc/29875392/Thevenin-s-and-Norton-s-Theorem>. Acesso em: 27/05/2017.
UFRGS. Equivalente de Norton. Disponível em: <http://www.ufrgs.br/eng04030/Aulas/teoria/cap_06/norton.htm>. Acesso em: 27/05/2017.
USP. Máxima transferência de potência. Disponível em: <http://www.ifsc.usp.br/~strontium/Teaching/Material2010-2%20FFI0106%20LabFisicaIII/06-MaximaTransferenciadePotencia.pdf>. Acesso em: 27/05/2017.