Gabarito teste 01 - Geometria Análitica

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Gabarito teste 01
TESTE SOBRE MATRIZES – VALENDO 1,0 PONTO 
01. Obter a matriz A = (aij)2x2 definida por aij = 3 i - j. 
 (
2
 
1
5
 
4
)Se a matrix é 2x2 então os valores de i e j variam de 1 a 2. Calculando os valores, temos:
A11 = 3 x 1 – 1 = 2  
A12 = 3 x 1 – 2 = 1  
A21 = 3 x 2 – 1 = 5  
A22 = 3 x 2 – 2 = 4  
 (
2a
2c
 
2b
2d
) (
a
b
c
d
)02. Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e At sua transposta, determine A, de forma que A = 2 . At. 
  
 Temos as equações: 
  
A = e 2 x AT = a = 2a; b = 2c; c = 2b e d = 2d. 
 Nessas condições só existe solução se:
 
 a = b = c = d = 0. Logo A é a matriz nula.
  
03. Se uma matriz quadrada A é tal que At = -A, ela é chamada matriz anti-simétrica. Sabe-se que M é anti-simétrica e: 
 (
1) 4+a = -4 –a. Logo 2a = -8 indicando a = -4.
2) a
12
 = -a. Logo a
12
 = 4.
3) b+2 = -b -2. Logo 2b = 
-
4 indicando b = 
-
2.
4) 
–a
13
 = b. Logo a
13
 = 2.
5) 2c-8 = -2c+8. Logo 4c=16 indicando c = 4 = -a
23
.
) (
-4-a
-
a
12
-
a
13
-a
-
b
-
2
-a
23
-b
-c
-
2c
+
8
) (
4+a
a
b
a
12
b
+2
c
 
a
13
a
23
2c-8
)Se M é anti-simétrica, então: 
 
 = 
SOLUÇÃO: a12 = 4; a13 = 2 e a23 = -4
 04. Na confecção de três modelos de camisas (A, B e C)  são usados botões grandes (G) e pequenos (p). O número de botões por modelos é dado pela tabela: 
  
	 
	Camisa A
	Camisa B
	Camisa C
	Botões p
	3
	1
	3
	Botões G
	6
	5
	5
  
      O número de camisas fabricadas, de cada modelo, nos meses de maio e junho, é dado pela tabela: 
	   
	Maio
	Junho
	Camisa A
	100
	50
	Camisa B
	50
	100
	Camisa C
	50
	50
  
      Nestas condições, obter a tabela que dá o total de botões usados em maio e junho. 
  
 (
500
400
1100
1050
)SOLUÇÃO: O problema se resume na multiplicação das matrizes:
 (
100
50
50
100
50
50
) (
3
1
3
6
5
5
)
 X = 
	 
	Maio
	Junho
	Botões p
	500
	400
	Botões G
	1100
	1050
  
05. Sejam as matrizes: A = (aij)4x3, aij = j.i e B = (bij)3x4, bij = j.i . Seja C a matriz resultante do produto entre A e B. Calcule o elemento c23 da matriz C.
 
Cada elemento é calculado pelo produto de sua linha e coluna. Temos:
 (
1
2
3
4
2
4
6
8
3
6
9
12
) (
1
2
3
2
4
6
3
6
9
4
8
12
)
 (
Não é necessário encontrar todos os resultados. Basta procurar o elemento 
c
23
 da matriz C que é calculado pela o
peração da 2ª linha de A com a 3
ª coluna de B.
)
A X B= X 
SOLUÇÃO: c23 = 2x3 + 4x6 + 6x9 = 6 + 24 + 54 = 84. 
Gabarito teste 01
 
TESTE SOBRE 
MATRIZES
 
–
 
VALENDO 1,0 PONTO 
 
 
01. 
Obter a matriz 
A = (a
ij
)
2x2
 
definida por 
a
ij
 
= 3 i 
-
 
j
. 
 
 
Se a matrix é 2x2 então os valores de i e j variam de 1 a 2. Calculando os valores, 
temos:
 
 
A
11
 
= 3 x 1 
–
 
1 = 2
 
 
 
 
 
A
12
 
= 3 x 1 
–
 
2 = 1
 
 
 
 
 
A
21
 
= 3 x 2 
–
 
1 = 5
 
 
 
 
A
22
 
= 3 x 2 
–
 
2 = 4
 
 
 
 
 
02. 
Se 
A
 
é uma matriz quadrada de ordem 
2
 
e 
A
t
 
sua transposta, determine 
A
, 
de forma 
que
 
A = 2 . A
t
. 
 
 
 
 
 
 
 
T
emos as equações: 
 
 
 
 
A =
 
e 2 x A
T
 
=
 
 
a 
= 2a; b = 2c; c = 2b e d = 2d. 
 
 
 
Nessas
 
condições só existe solução 
se:
 
 
 
 
 
a = b = c = d = 0. 
Logo A é a matriz nula
.
 
 
 
 
 
0
3
. 
Se uma matriz quadrada A é tal que A
t
 
= 
-
A, ela é chamada matriz anti
-
simétrica.
 
 
Sabe
-
se que M é anti
-
simétrica
 
e: 
 
 
Se M é anti
-
simétrica, então: 
 
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: a
12
 
= 4; a
13
 
= 2 e a
23
 
= 
-
4
 
 
0
4
. 
Na confecção de três modelos de camisas (A, B e C)
 
 
são usados botões grandes (G) e 
pequenos (p). O número de botões por modelos é dado pela tabela: 
 
 
 
 
 
 
Camisa A
 
Camisa B
 
Camisa C
 
Botões p
 
3
 
1
 
3
 
Botões G
 
6
 
5
 
5
 
 
 
 
 
 
2
 
 
 
1
 
5
 
 
4
 
 
 
a
 
b
 
c
 
d
 
 
 
2a
 
2c
 
 
2b
 
2d
 
 
 
4+a
 
a
 
b
 
a
12
 
b
+2
 
c
 
 
a
13
 
a
23
 
2c
-
8
 
 
 
-
4
-
a
 
-
a
12
 
-
a
13
 
-
a
 
-
b
-
2
 
-
a
23
 
-
b
 
-
c
 
-
2c
+
8
 
 
1) 4+a = 
-
4 
–
a. Logo
 
2a = 
-
8 indicando a = 
-
4.
 
 
2) a
12
 
= 
-
a. Logo a
12
 
= 4.
 
 
3) b+2 = 
-
b 
-
2. Logo 2b = 
-
4 indicando b = 
-
2.
 
 
4) 
–
a
13
 
= b. Logo a
13
 
= 2.
 
 
5) 2c
-
8 = 
-
2c+8. Logo 4c=16 indicando c = 4 = 
-
a
23
.