Áreas de Quadriláteros e Triângulos

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MATEMÁTICA
E SUAS TECNOLOGIAS
F B O N L I N E . C O M . B R
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Professor(a): Fabrício Maia
assunto: Área de quadrilÁteros e Área de triângulos
frente: MateMÁtica i
014.982 - 140319/19
AULAS 40 a 43
EAD – ITA/IME
Resumo Teórico
Áreas dos quadriláteros
Características do quadrado ABCD
• É um paralelogramo equiângulo e equilátero, isto é, regular.
• As diagonais são congruentes.
• As diagonais cruzam-se no ponto médio.
• As diagonais de um quadrado determinam nele quatro triângulos 
de áreas iguais.
• É, simultaneamente, retângulo e losango.
• As diagonais são perpendiculares.
• As diagonais são bissetrizes.
A
B C
Da
a
xx
x
x
Diagonal AC BD a
ABCD S a
= = =
( ) = =




2
2Área
Características do retângulo ABCD
• É um paralelogramo equiângulo.
• As diagonais são congruentes.
• As diagonais cruzam-se no ponto médio.
• As diagonais de um retângulo determinam nele quatro triângulos 
de áreas iguais.
A
B C
Da
b
x x
xx
Diagonal AC BD a b
ABCD S a b
= = = +
( ) = = ⋅




2 2
Área
Características do losango ABCD
• É um paralelogramo equilátero.
• As diagonais cruzam-se no ponto médio.
• As diagonais de um losango determinam nele quatro triângulos de 
áreas iguais.
• As diagonais são perpendiculares.
• As diagonais são bissetrizes.
• Os ângulos opostos são congruentes.
A
B
D
d
2
 = 2y
d
1
 = 2x
C
a
aa
a
x x
y
y
Diagonal AC d a a a a B a B
Diagonal BD d
= = = + − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅
= =
1
2 2
2
2 2 2cos cos� �
== + − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅
( ) = = ⋅







a a a a a
ABCD S
d d
2 2
1 2
2 2 2
2
cos cos Â
Área
Características do paralelogramo ABCD
• Quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.
• Os lados opostos são congruentes.
• Os ângulos opostos são congruentes.
• As diagonais cruzam-se no ponto médio.
• As diagonais de um paralelogramo determinam nele quatro 
triângulos de áreas iguais.
D
A B
C
a
a
b
b h
x
x
y
y
Diagonal AC a b a b B
Diagonal BD a b a b
= = + − ⋅ ⋅ ⋅
= = + − ⋅ ⋅ ⋅
2 2
2 2
2
2
cos
cos
�
Â
Árrea ABCD S a h a b sen A a b sen B( ) = = ⋅ = ⋅ = ⋅






ˆ ˆ
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Módulo de estudo
014.982 - 140319/19
Áreas dos triângulos
Área de um triângulo em 
função da base e da altura
A
B C
bc
a
h
a
Onde:
h
a
: medida da altura relativa ao vértice A.
h
b
: medida da altura relativa ao vértice B.
h
c
: medida da altura relativa ao vértice C.
a, b, c: medidas dos lados do ΔABC.
Área ABC S
a h b h c ha b c∆( ) = = ⋅ = ⋅ = ⋅
2 2 2
.
Área de um triângulo retângulo
A
B
Cb
c
a
Onde:
b: medida do cateto AC.
c: medida do cateto AB. 
a: medida da hipotenusa BC. 
Relação métrica: a2 = b2 + c2 (Pitágoras).
Área ABC S
b c cateto cateto∆( ) = = ⋅ = ⋅
2 2
.
Área de um triângulo equilátero
A
B C
a
a a
h
Onde:
a: medida dos lados do ΔABC.
h: medida da altura do ΔABC → h a= ⋅ 3
2
.
Área ABC S
a∆( ) = = ⋅
2 3
4
.
Área de um triângulo 
em função dos três lados
A B
C
b
c
a
Onde:
a, b, c: medidas dos lados do ΔABC.
p: semiperímetro.
Área ABC S p p a p b p c∆( ) = = ⋅ −( ) ⋅ −( ) ⋅ −( ) (Heron).
Área de um triângulo em função 
dos lados e do circunraio
B
A
C
O
b
R
P
a
Onde:
O: centro do círculo.
P: ponto da circunferência.
OP = R (circunraio).
a, b, c: medidas dos lados do ΔABC.
Área ABC S
a b c
R
∆( ) = = ⋅ ⋅
4
.
Área de um triângulo em função dos 
lados e do inraio
A
B
C
O
b
c
r
P
a Onde:
O: centro do círculo.
P: ponto da circunferência.
OP = r (inraio).
a, b, c: medidas dos lados do ΔABC.
p: semiperímetro.
Área (ΔABC) = S = p · r.
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Módulo de estudo
Exercícios
01. Seja um trapézio retângulo de bases a e b com diagonais 
perpendiculares. Determine a área do trapézio.
A) 
ab
2
 B) 
a b+


2
2
 
C) 
a b
ab
+


2
 D) 
2
2
a b
ab
+



E) 
a b
a b
+


2
2
02. Os vértices do quadrilátero ABCD pertencem a uma circunferência 
CB = CD. Mostre que a área de ABCD é 
AC senA2
2
⋅
�
03. O raio do círculo inscrito em um triângulo é igual a 4 cm. Um dos 
lados do triângulo é dividido pelo seu ponto de tangência em dois 
segmentos medindo 6 cm e 8 cm, respectivamente. Determine, 
em cm, o triplo da soma das medidas dos outros dois lados.
04. De um ponto interior de um triângulo, traçam-se paralelas aos 
três lados e formam-se três triângulos e três paralelogramos. 
Determine a razão entre o produto das áreas dos três triângulos 
e o produto das áreas dos três paralelogramos, respectivamente.
05. Na figura a seguir, o triângulo ABC é subdividido, em triângulos 
menores, pelos segmentos de reta AQ BP e CM, , sendo O a 
interseção destes segmentos. Se os triângulos AOM, AOP, BOQ 
e COQ possuem áreas iguais a 6 cm2, 4 cm2, 4 cm2 e 2 cm2, 
respectivamente, determine a área do triângulo ABC.
06. Sejam ABCD um quadrado e E um ponto sobre AB . Considere 
as áreas do quadrado ABCD, do trapézio BEDC e do triângulo 
ADE. Sabendo que estas áreas definem, na ordem em que estão 
apresentadas, uma progressão artimética cuja soma é 200 cm2, 
a medida do segmento AE , em cm, é igual a
A) 
10
3
 
B) 5
C) 
20
3
 
D) 
25
3
E) 10
07. Sejam λ uma circunferência de raio 4 cm e PQ uma corda em λ de 
comprimento 4 cm. A tangentes a λ em P e em Q interceptam-se 
no ponto R exterior a λ. Então, a área do triângulo em PQR, em 
cm2, é igual a
A) 
2 3
3
 B) 
3 2
2
C) 
6
2
 D) 
2 3
5
E) 
4 3
3 
08. Seja ABC um triângulo de lados AB, BC e AC iguais a 26, 28 e 18, 
respectivamente,. Considere o círculo de centro O inscrito nosse 
triângulo. A distância AO vale
A) 
104
6
 B) 
104
3
C) 
2 104
3
 D) 104
E) 3 104
09. Um triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 
5 cm. Sabe-se ainda que AB é o diâmetro, BC mede 6 cm e a 
bissetriz do ângulo ABCˆ intercepta a circunferência no ponto D. 
Se α é a soma das áreas dos triângulos ABC e ABD e β é a área 
comum aos dois, o valor de α – 2β, em cm2, é igual a
A) 14
B) 15
C) 16
D) 17
E) 18
10. Na figura, o retângulo ABCD tem lados de comprimento AB = 4 
e BC = 2. Sejam M o ponto médio do lado BC e N o ponto médio 
do lado CD . Os segmentos AM e AC interceptam o segmento 
BN nos pontos E e F, respectivamente.
 A área do triângulo AEF é igual a
A) 
24
25
 
B) 
29
30
C) 
61
60
 
D) 
16
15
E) 
23
20
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Módulo de estudo
014.982 - 140319/19
11. Sabe-se que –2 + 2i é uma das raízes quartas de um número 
complexo z. Então, no plano de Argand-Gauss, a área do 
triângulo, cujos vértices são as razíses cúbicas de z, é igual a 
A) 4 3 1+( ) B) 6 3
C) 8 3 1−( ) D) 10 3
E) 12 3
12. Considere um triângulo isósceles ABC, retângulo em A. Seja D a 
inersecção da bissetriz do ângulo  com o lado BC e E um ponto 
da reta suporte do cateto AC de tal modo que os segmentos de 
reta BE e AD sejam paralelos. Sabendo que AD mede 2 cm, 
então a área do círculo inscrito no triângulo EBC é
A) π 4 2 3 2−( )cm B) 2 3 2 2 2π −( )cm
C) 3 4 2 3 2π −( )cm D) 4 3 2 2 2π −( )cm
E) π 4 2 2 2−( )cm
13. Duas circunferências de raios iguais a 9 m e 3 m são tangentes 
externamente num ponto C. Uma reta tangencia estas duas 
circunferências nos pontos distintos A e B. A área, em m2, 
do triângulo ABC é
A) 27 3 B) 
27 3
2
C) 9 3 D) 27 2
E) 
27 2
2
14. Considere C uma circunferência centrada em O e raio 2r, e t a 
reta tangente a C num ponto T. Considere também A um ponto 
de C tal que o ângulo AOT = θ é um ângulo agudo. Sendo B o 
ponto de t tal que o segmento AB é paralelo ao segmento OT, 
então a área do trapézio OABT é igual a
A) r2 (2 cosθ – cos 2θ) 
B) 2r2 (4 cosθ – sen 2θ)
C) r2 (4 senθ – sen 2θ) 
D) r2 (2 senθ + cos θ)
E) 2r2 (2 sen 2θ – cos 2θ)
15. A figura a seguir mostra um quadrado ABCD e os pontos médios 
de cada um dos lados. Traçando os segmentos que unem cada 
ponto médio aos dois vértices do lado oposto do quadrado, 
forma-se a “estrela” que está sombreada na figura a seguir.A área da estrela representa que porcentagem da área do 
quadrado?
Gabarito
AULAS 40 A 43 – PROFESSOR FABRÍCIO MAIA
01 02 03 04 05
C * 84
1
8
24
06 07 08 09 10
C E D A D
11 12 13 14 15
E D B C 60%
*Demonstração
SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: FABRÍCIO MAIA 
DIG.: Zilmar – REV.: CARLA ARAÚJO