Lista 3 - Cálculo

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(
)
1
3
2
2
+
-
=
x
x
x
f
 
 LISTA DE EXERCÍCIOS
1) Considere a função f do 2º grau, onde f(0) = 5, f(1) = 3 e f(-1) = 1. Escreva a lei de formação dessa função.
2) Dada a função 
, calcule:
a) m, para que f( m – 1) = 0 . {3/2 , 2}
b) x, de modo que f(x + 2) = 1. {-1/2 , -2}
3) Um corpo lançado do solo verticalmente para cima tem posição em função do tempo dada pela função 
(
)
t
t
t
h
40
5
2
+
-
=
, onde a altura h é dada em metros e o tempo t é dado em segundos. Determine:
a) A altura em que o corpo se encontra em relação ao solo no instante t = 3 s; {75m}
b) Os instantes em que o corpo está a uma altura de 60m do solo; {2s e 6s}
c) A altura máxima atingida pelo corpo;
d) Depois de quantos segundos o corpo volta a atingir o solo novamente. {8s}
4) Uma bola é largada do topo de uma torre, caindo na vertical até alcançar o chão. Sua altura, em metros, em relação ao chão, após t segundos de queda, é dada pela função
(
)
432
3
2
+
-
=
t
t
A
. Baseando-se nestas informações, classifique como verdadeira ou falsa as afirmações abaixo. {f,f,v,v,f}
a) Após 2 segundos de queda, a bola se encontra a 410m do chão;
b) A altura da torre é 429m;
c) A bola atinge o chão depois de 12 segundos de queda;
d) Durante o 5º segundo de queda, a bola percorre uma distância de 27m;
e) A partir do 7° segundo de queda, a altura da bola em relação ao solo é menor que 189m.
5) Dada a função 
1
3
2
1
2
+
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
=
x
x
m
m
y
, calcule o valor de m para que a parábola tenha a concavidade voltada para cima. {m<-2 ou m>1}
6) Faça um esboço do gráfico, determine o conjunto imagem e encontre o ponto máximo ou mínimo de cada uma das funções abaixo:
a) 
(
)
6
5
2
+
-
=
x
x
x
f
 b) 
(
)
4
2
+
-
=
x
x
f
 c) 
(
)
4
4
2
+
-
=
x
x
x
f
 d) 
(
)
1
3
2
2
+
-
=
x
x
x
f
 
e) 
(
)
5
2
2
+
+
=
x
x
x
f
 f) 
(
)
2
2
+
+
-
=
x
x
x
f
 g) 
(
)
x
x
x
f
3
2
+
-
=
 h) 
(
)
3
2
2
-
+
-
=
x
x
x
f
i) 
(
)
3
4
2
2
+
+
=
x
x
x
f
7) Determine o valor de m para que a equação 
(
)
5
2
)
1
(
2
+
+
-
+
=
m
mx
x
m
x
f
 possua duas raízes reais distintas. {m<-5/6}
8) Considere a função 
(
)
16
2
2
+
+
=
mx
x
x
f
. Determine 
R
m
Î
 de modo que:
a) A função não tenha raízes reais; {-4<x<4}
b) O gráfico da função passe pelo ponto (2,-4); {m = - 6}
c) O gráfico da função seja tangente ao eixo das abscissas. { m = -4 ou m = 4}
9) Calcule a, b e c de modo que o vértice da parábola 
(
)
c
bx
ax
x
f
+
+
=
2
 seja ( 1 , - 16) e que - 3 seja um zero da função. {a = 1, b = -2 e c = -15}
10) A parábola 
2
ax
y
=
 passa pelo vértice de outra parábola cuja equação é 
2
4
x
x
y
-
=
. Ache o valor de a. {a =1} 
11) Dada a função 
(
)
m
x
x
x
f
+
-
=
6
3
2
, determine o valor de m para que o valor mínimo da função seja 4. {m = - 7}
12) Uma pedra é lançada do solo verticalmente para cima. A o fim de t segundos, atinge a altura h, dada por: 
(
)
2
4
20
t
t
t
h
-
=
.
a) Calcule a posição da pedra no instante 2 s.
b) Determine a altura máxima que a pedra tinge.
c) Determine o tempo que a pedra leva para atingir o solo novamente. 
13) Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descrita em função do tempo (em segundos) pela expressão 
(
)
2
3
3
t
t
t
h
-
=
, onde h é a altura atingida em metros. 
a) Em que instante o grilo retorna ao solo? {1s}
b) Qual a altura máxima em metros atingida pelo grilo? {0,75m} 
14) Certo dia, numa praia, a temperatura atingiu o seu valor máximo às 14 horas. Suponhamos que, nesse dia, a temperatura f(t) em graus era uma função do tempo t, medido em horas, dada por 
(
)
160
2
-
+
-
=
bt
t
t
f
, quando 
.
20
8
£
£
t
Obtenha:
a) O valor de b; {28}
b) A temperatura máxima atingida nesse dia; {36º}
c) O gráfico de f. 
15) Uma empresa apresenta o lucro mensal de acordo com a equação 
(
)
t
t
t
L
25
2
+
-
=
, onde t é a quantidade de toneladas vendidas mensalmente e L (lucro) que é dado na proporção de 1 por R$ 1.000,00. Classifique como verdadeira ou falsa as afirmativas abaixo: {f,v,f,v}
a) Quanto maior for a venda mensal maior será o lucro.
b) O lucro obtido com a venda de 10 toneladas é de R$150.000,00, porém é o mesmo lucro obtido com a venda de 15 toneladas.
c) Se a venda mensal for maior que 20 toneladas, a empresa terá um lucro superior a R$ 175.000,00.
d) O lucro máximo que esta empresa pode ter é de R$ 156.250,00.
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