Função afim

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NOÇOES DE FUNÇÃO 
 
Conceito de função 
 
 
 
Domínio, contradomínio e imagem de uma função 
Considere a função 𝑓: 𝐴 → 𝐵. 
 
O conjunto A é o domínio, e o conjunto B é o contradomínio. 
 
 
 
Domínio é o conjunto D dos elementos 𝑥 ∈ 𝐴 para os quais existe 𝑦 ∈ 𝐵, tal que (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓. 
Ou seja, 𝑫 = 𝑨. 
 
Contradomínio é o conjunto CD formado por todos os elementos do conjunto B Ou seja, 
𝑪𝑫 = 𝑩. 
 
Resumindo, todo elemento do domínio possui um correspondente no contradomínio, ao 
passo que no contradomínio pode haver elementos que não tenham correspondentes no 
domínio. 
 
 
 
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Imagem é o conjunto Im dos elementos 𝑦 ∈ 𝐵 para os quais existe 𝑥 ∈ 𝐴, tal que (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓. 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1. Observe os diagramas e responda se é ou não uma função: 
𝑎) 
 
𝑏) 
 
 
 
 
𝑐) 
 
𝑑) 
 
 
 
2. O valor da função 𝑦 =
1+𝑥
1−𝑥
 para x = –1 é: 
a) 0 
b) 1 
c) – 1 
d) – 2 
 
 
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3. (Cesgranrio – RJ). O valor de 𝑦 =
𝑥4+𝑥2
𝑥+1
 para 𝑥 = −
1
2
 é: 
a) 
5
8
 
b) 
5
32
 
c) −
5
8
 
d) −
5
32
 
 
4. Regina descobriu que a relação entre o tempo t (em minutos) de utilização da internet 
e o valor V (em reais) a ser pago por ela no final do mês é representado pela forma V 
= 30 + 0,15t. Quanto gastara Regina se, durante o mes, utilizar a internet por 10 horas 
e 20 minutos? 
a) 𝑅$ 80,13 
b) 𝑅$ 81,30 
c) R$ 120,30 
d) R$ 123,00 
 
 
FUNÇÕES DO 1º GRAU 
 
Chamamos de função do 1° grau, ou função afim, uma função polinomial do 1° grau que 
pode ser escrita na forma, 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 
 
sendo a e b números reais e a ≠ 0. 
 
 a é o coeficiente angular do gráfico de f; 
 b é o coeficiente linear, ou termo independente. É o ponto de intersecção com o eixo y; 
 x é o valor variável. 
 
Quando a = 0, dizemos que a função é constante, e sua representação é dada por 𝑓(𝑥) =
𝑏. Veremos esse assunto mais adiante quando falarmos sobre os casos particulares da 
função afim. 
 
A função afim também pode ser representada por 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏. 
 
 
Veja alguns exemplos: 
𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1 𝑓(𝑥) =
1
2
𝑥 − 3 𝑦 = −7𝑥 + 4 𝑦 = 0,6𝑥 − 4 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1. Determine os coeficientes angular e linear das funções abaixo: 
a) 𝑦 = 8𝑥 − 5 
 
b) 𝑦 = −𝑥 + 1 
 
b) 𝑦 = 𝑥 +
1
3
 
 
b) 𝑦 = −
2
5
𝑥 − √10 
 
Zeros da função do 1° grau 
Chama-se zero ou raiz da função do 1° grau o valor de x para o qual y = 0. Assim, para 
calcular o zero da função, basta resolver a equação do primeiro grau ax + b = 0, (a≠ 0). 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1. Determine as raízes das funções: 
a) 𝑦 = 4𝑥 + 2 
 
b) 𝑦 = −𝑥 
 
 
c) 𝑓(𝑥) =
𝑥
2
− 1 
 
d) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 −
1
3
 
 
Gráfico da função do 1° grau 
Toda função do 1°grau pode ser representada graficamente por uma reta no plano 
cartesiano. Essa reta pode ser crescente ou decrescente, de acordo com o valor de 𝑎, dado 
na função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. 
𝑎 > 0 (𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒) 
𝑎 < 0 (𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒) 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1. Classifique as funções em crescente, decrescente ou constante: 
a) 𝑦 = 8𝑥 − 5 
 
b) 𝑦 = −𝑥 + 1 
 
b) 𝑦 = 2𝑥 
 
b) 𝑦 = −
2
5
𝑥 − √10 
 
 
2. Construa o gráfico de cada uma das funções: 
a) 𝑦 = 3𝑥 b) 𝑦 = −3𝑥 
 
 
3. Construa o gráfico de cada uma das funções: 
a) y =
1
2
𝑥 − 1 b) y = 2𝑥 + 1 
c) 𝑦 = −2𝑥 − 3 d) 𝑦 = 𝑥 + 1 
 
 
 
 
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Tipos de função do 1° grau 
Existem alguns casos particulares da função afim. São eles: Função linear, função 
identidade e função constante. 
Função linear: 
A função afim é linear quando b = 0. Nesses casos, o gráfico passa necessariamente pelo 
ponto (0,0). Dessa forma, representamos a função por: 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑜𝑢 𝑦 = 𝑎𝑥 
Veja a seguir exemplos de funções lineares com seus respectivos gráficos: 
 
Função constante: 
A função afim é constante quando a = 0. Sendo assim, o gráfico é paralelo ao eixo x, e a 
representação da função é dada por: 
𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑜𝑢 𝑦 = 𝑏 
 
Em uma função constante, a imagem sempre será a mesma, independentemente do 
domínio da função, já que o coeficiente angular é igual a zero. Ao variarmos o valor de x, 
sempre vamos obter a mesma imagem. 
 
 
 
 
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Exemplo: 
 
 
Função identidade: 
Dizemos que uma função afim é identidade quando a = 1 e b = 0. Dessa forma, o gráfico 
passa, necessariamente, passa pelo ponto (0,0), coincidindo com a bissetriz do ângulo de 
cada quadrante pelos quais ele passa. A função identidade é representada por: 
𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑜𝑢 𝑦 = 𝑥 
Exemplo: 
 
 
 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
1. Classifique as funções em crescente ou decrescente: 
a) 𝑦 = 4𝑥 + 6 
 
b) 𝑦 = −2𝑥 − 7 
 
c) 𝑓(𝑥) = −
𝑥
3
+ 2 
 
d) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)2 − (𝑥 − 1)2 
 
2. Sendo f(x) = 4x – 2, calcule f(2): 
 
 
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3. Sendo 𝑔(𝑥) =
𝑥+3
𝑥+5
, calcule g(-2), g(0) e g(3): 
 
4. O coeficiente angular de uma função linear do 1° grau é – 3. Qual é o elemento do 
contradomínio quando o elemento do domínio dessa função for igual a – 1? 
 
5. Um fabricante vende um produto por R$ 0,80 a unidade. O custo total do produto 
consiste numa taxa fixa de R$ 40,00 mais o custo de produção de R$ 0,30 por unidade. 
a) Qual o número de unidades que o fabricante deve vender para não ter lucro nem 
prejuízo? 
 
b) Se vender 200 unidades desse produto, o comerciante terá lucro ou prejuízo? 
 
6. Seja a função 𝑓 de R em R definida por 𝑓(𝑥) =
2𝑥−3
5
. Qual é o elemento do domínio que 
tem −
3
4
 como imagem? 
 
7. Construa o gráfico cartesiano das funções de R em R. Em seguida determine o domínio 
e o conjunto imagem: 
 
8. Observe o gráfico da função abaixo e determine a sua lei. 
 
 
9. O gráfico de uma função afim 𝑓, intersecta os eixos x e y nos pontos de coordenadas 
(4 , 0) e (0 , 3). Qual é a lei que determina essa função? 
 
10. Uma função do 1° grau passa pelos pontos (-1 , 1) e (1 , 2). Qual é a imagem de dessa 
função para 𝑥 = 5? 
 
 
 
 
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11. Determine k de modo que as funções abaixo sejam decrescentes. 
a) 𝑦 = (2𝑘 − 1)𝑥 + 21 
b) 𝑦 = −7 − (2𝑘 + 3)𝑥 
 
12. Escreva a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, sabendo-se que 𝑓(1) = 4 e 𝑓(−3) = −6 
 
13. Dadas as funções 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 e 𝑔(𝑥) = −𝑥 + 4, quais as coordenadas do ponto onde 
essas funções têm a mesma imagem? 
 
14. Na figura abaixo a função 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 passa pelos pontos A e B, e a função 𝑔(𝑥) =
−3𝑥 + 9 passa pelos pontos A e C. A área do triângulo delimitado pelos pontos A, B e 
C vale: 
𝑎) 4 𝑏) 5 𝑐) √5 𝑑) 6 𝑒) √6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estudo do sinal da função do 1° grau 
Como já vimos, a lei de formação da função afim é dada por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, onde a e b são 
números reais, com 𝑎 ≠ 0. 
A representação gráfica da função afim é uma reta com inclinação que depende do valor 
do coeficiente a. Se a > 0, a reta é crescente; se a < 0, a reta é decrescente. 
Portanto, o crescimento ou decrescimento da imagem da função está relacionado aos 
elementos do domínio, de forma que em um determinado intervalo a imagem é positiva, e 
em outro intervalo a imagemé negativa. Função positiva ou função negativa, portanto. 
 
⟹ 
 
 
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⟹ 
 
Como podemos observar nos gráficos acima, a raiz da função é o ponto que separa os 
intervalos cuja imagem é positiva e negativa. Se a reta é crescente, os valores de x que 
tornam a função positiva são aqueles maiores que a raiz, e os valores de x que tornam a 
função negativa são aqueles menores que a raiz. 
Como exemplo, dada a função 𝑦 = 2𝑥 + 4, vamos verificar os intervalos onde a função é 
positiva e onde é negativa. 
Primeiro: calculamos a raiz: 
2𝑥 + 4 = 0 
2𝑥 = −4 
𝑥 = −2 
 
Segundo: verificamos a inclinação da reta: 
Como a, coeficiente de x, é maior que zero, temos que a reta é crescente. 
 
Portanto, a função será negativa para valores de x menores que – 2, e positiva para 
valores maiores que – 2. 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1. Faça o estudo do sinal das funções abaixo: 
𝑎) 𝑦 = −𝑥 − 1 𝑏) 𝑦 = 𝑥 − 3 𝑐) 𝑦 = −
1
2
𝑥 + 2 
 
2. Para quais elementos do domínio as funções 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 10 e 𝑔(𝑥) = −2𝑥 + 2 são 
positivas?