Aula 01 -Tensões_nos_solos_devido_a_carregamentos_externos

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TENSÕES NO SOLO DEVIDO A 
CARGAS EXTERNAS
Prof. Maristâni Formigheri
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES
• Lei de variação das modificações de tensões, em 
função da posição dos elementos do terreno em 
relação aos carregamentos aplicados.
Carregamento 
Externo
Modificações 
nas Tensões
Peso Próprio do Solo
1
2
2
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES
• Os acréscimos de tensão ao longo da profundidade, causados 
por uma carga aplicada na superfície do solo não se limitam à 
projeção da área carregada;
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES
• Os acréscimos de tensão vertical diminuem com a
profundidade e com a distancia lateral em relação ao eixo do
carregamento.
• Uma hipótese bastante simples considera que a resultante da
distribuição dos acréscimos de tensão em um plano horizontal
é constante para qualquer profundidade.
• A tensão vertical total em um ponto no interior da massa de
solo será dada pela soma do acréscimo causado pelas cargas
externas com a tensão causada pelo peso próprio do solo.
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DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES
• Isóbaras
• Bulbo de Tensões
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES
• Cálculo das Tensões Verticais
[Hipótese Simples, Kollbrünner (1946)]
0
30tan22
2
 
+

=
zL
L
v
Ângulo de Espraiamento 
(varia com o tipo de solo)
(faixa de largura 2L e comprimento infinito)
Solos moles < 40o
Areias 40o a 45o
Argilas rijas e duras 70o
Rochas > 70o
(Kögler & Scheidig, 1948)
5
6
4
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES
• A hipótese simples, também
chamada Método do
Espraiamento, pode ser
aplicada á áreas quadradas,
retangulares ou circulares.
• Deve-se notar que a
distribuição real de tensões
não é uniforme, mas sim em
forma de sino.
• Portanto, deve ser utilizada
somente como estimativa nos
seguintes casos:
– Fundações ou estruturas
rígidas;
– Grandes profundidades;
– Maciços homogêneos.
APLICAÇÃO DA TEORIA DA 
ELASTICIDADE
• Tem sido amplamente empregada;
• O solo não é um material elástico, pois as
deformações não são reversíveis;
• O solo não é isotrópico nem homogêneo;
• O comportamento do solo é não linear;
• No entanto, para pequenos incrementos, pode-se
considerar que as tensões e as deformações no
solo são proporcionais (módulo de elasticidade
único);
• A prática tem demonstrado que os resultados são
satisfatórios.
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SOLUÇÃO DE BOUSSINESQ
• Carga Concentrada 
na Superfície
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1
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













+


=
z
rz
Q
v


SOLUÇÃO DE NEWMARK (1933)
• Carregamentos em Áreas Retangulares
0 = Iv
z
b
n
z
a
m
nmfI
=
=
= ),(
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SOLUÇÃO 
DE 
NEWMARK 
(1933)
SOLUÇÃO DE NEWMARK
• A solução fornece o acréscimo de tensão em um ponto
situado sobre a vertical que passa em uma das arestas da
área retangular carregada;
• No entanto, pode-se utilizar a solução para qualquer outro
ponto no maciço a partir da superposição dos efeitos.
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SOLUÇÃO DE LOVE (1929)
• Carregamento Uniforme em Área Circular
• A solução fornece o acréscimo de tensão em pontos sobre
a vertical que passa pelo eixo da área carregada.
































+
−=
23
20
1
1
1
z
R
v 
R
z
v
0
ÁBACO DOS “QUADRADINHOS”
(NEWMARK)
• Carregamento uniforme em área de forma qualquer.
• Baseia-se na Solução de Love.
• Quando a área carregada é de grande extensão (infinita), o
acréscimo de tensão vertical em qualquer ponto do maciço
é igual à pressão aplicada na superfície.
• Pode-se dizer, então, que a tensão em um ponto é igual á
somatória dos efeitos provocado por áreas parciais que
cubram toda a área carregada, isto é, cada área parcial
contribui com uma parcela do acréscimo de tensão.
• O método consiste em dividir a área total em pequenas
áreas, de tal forma que cada área contribua igualmente
para o acréscimo de tensão em um ponto.
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ÁBACO DOS 
“QUADRADINHOS”
(NEWMARK)
Baseada na solução de Love.
ÁBACO DOS “QUADRADINHOS”: 
TRAÇADO E APLICAÇÃO
1. Em papel transparente, divide-se a área total em 10 áreas circulares concêntricas, de
forma que cada área, da menor para a maior, contribua com 10, 20, 30,..., 100% da
pressão aplicada, respectivamente, para o acréscimo de tensão vertical em ponto
situado a uma profundidade z sobre o eixo dos círculos concêntricos;
2. Desta forma, cada anel resultante contribuirá com 10% da pressão aplicada;
3. O raio R de cada círculo é dado, para cada valor de z, pela Solução de Love:
4. A escala do desenho deverá ser a mesma da planta de projeção das áreas
efetivamente carregadas;
5. Cada anel é dividido em 20 setores iguais, o que produzirá um ábaco com 200
setores, cada um deles responsável por 0,5% do acréscimo de tensão no ponto
situado a uma profundidade z sob o centro do ábaco..
6. Para aplicar o ábaco, sobrepõem-se os desenhos da área efetivamente carregada e do
ábaco de forma a que o ponto considerado coincida com o centro do ábaco;
7. O acréscimo de tensão vertical é dado pelo produto entre a pressão aplicada, o
número de setores abrangidos e o fator de influência de cada setor.






=
z
R
fv
0

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OUTRAS SOLUÇÕES ELÁSTICAS
• Carga concentrada em profundidade: Soluções de Mindlin (1936) e
Antunes Martins (1945);
• Carga uniforme distribuída ao longo de uma linha horizontal de
comprimento infinito: Solução de Melan (1932);
• Carga uniforme distribuída em uma faixa horizontal de comprimento
infinito: Solução de Carothers-Terzaghi;
• Carga sob aterro com distribuição trapezoidal: Solução de Osterberg;
• Carga sob aterro com distribuição triangular: Solução de Carthers;
• Outras soluções: Poulos & Davis. Elastic Solutions for Soil and Rock
Mechanics, John Wiley, 1974.
Carregamentos 
Circulares.
Teoria da 
Elasticidade.
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Carregamentos 
Retangulares.
Teoria da 
Elasticidade.
CONSIDERAÇÕES SOBRE O EMPREGO DA 
TEORIA DA ELASTICIDADE
• As tensões aplicadas não devem ser próximas
à resistência ao cisalhamento do solo (FS>3);
• Maciços homogêneos: módulo de deformação
constante com a profundidade;
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DEFORMAÇÕES NO SOLO 
DEVIDO A CARGAS VERTICAIS
RECALQUES DEVIDO A CARGAS 
SUPERFICIAIS
• Recalques são deslocamentos verticais devido
a carregamentos, medidos na superfície do
terreno ou em cotas próximas à superfície;
• Os casos mais corriqueiros são os recalques das
edificações com fundações superficiais ou de
aterros construídos sobre solos moles.
• A previsão dos recalques é um dos aspectos de
maior interesse para a engenharia geotécnica;
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RECALQUES DEVIDO A CARGAS 
SUPERFICIAIS
• Os recalques são causados por deformações de
dois tipos:
– Deformações rápidas que ocorrem imediatamente
após o carregamento;
– Deformações lentas que se desenvolvem após a
aplicação das cargas.
• Deformações rápidas são observadas em solos
arenosos ou argilosos não saturados;
• Deformações lentas ocorrem nos solos argilosos
saturados e solos orgânicos.
RECALQUES DEVIDO A CARGAS 
SUPERFICIAIS
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RECALQUES DEVIDO A CARGAS 
SUPERFICIAIS
RECALQUES DEVIDO A CARGAS 
SUPERFICIAIS
• A resposta dos solos perante os carregamentos
depende da sua natureza e do estado em que
se encontra;
• Esta resposta pode ser expressa através de
parâmetros de deformabilidade.
• Parâmetros de deformabilidade são obtidos a
partir de:
– Ensaios de laboratório;
– Ensaios de campo;
– Correlações empíricas.25
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ENSAIOS PARA DETERMINAÇÃO DA 
DEFORMABILIDADE DOS SOLOS
• Ensaio de Compressão Axial
– Um corpo-de-prova cilíndrico é submetido a um
carregamento axial.
– O corpo-de-prova pode ser previamente submetido a
um confinamento, quando, então, é chamado de
ensaio de compressão triaxial.
– Materiais quando solicitados podem apresentar
diferentes comportamentos tensão-deformação
anteriores ao colapso:
• Rígido;
• Elástico linear ou não linear;
• Elasto-plástico;
ENSAIOS PARA DETERMINAÇÃO DA 
DEFORMABILIDADE DOS SOLOS
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ENSAIOS PARA DETERMINAÇÃO DA 
DEFORMABILIDADE DOS SOLOS
• Ensaio de Compressão Axial
– O solo não é um material nem rígido nem
elástico, mas sim elasto-plástico.
– No entanto, é possível utilizar a teoria da
elasticidade para representar o
comportamento tensão-deformação de um
solo.
– Isto é feito definindo-se um módulo de
deformação E e um coeficiente de Poisson ,
para uma certa faixa de tensões.
ENSAIOS PARA DETERMINAÇÃO DA 
DEFORMABILIDADE DOS SOLOS
• Ensaio de Compressão Axial
– Comportamento típico de um solo
 
h
h
=1
r
r
r

=
1

=E
1

 r−=
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ENSAIOS PARA DETERMINAÇÃO DA 
DEFORMABILIDADE DOS SOLOS
• Ensaio de Compressão Axial
– Valores típicos de módulos de deformação
não drenados para argilas sedimentares
saturadas:
Consistência Módulo de elasticidade (MPa) 
Muito mole < 2,5 
Mole 2,5 a 5 
Consistência média 5 a 10 
Rija 10 a 20 
Muito rija 20 a 40 
Dura > 40 
 
ENSAIOS PARA DETERMINAÇÃO DA 
DEFORMABILIDADE DOS SOLOS
• Ensaio de Compressão Axial
– Valores típicos de módulos de deformação drenados
para areias (tensão de confinamento de 100 kPa)
– Para as areias, os módulos são função da composição
granulométrica, do formato e da resistência dos
grãos.
Módulo de elasticidade (MPa) Descrição da areia 
Compacidade Fofa Compacta 
Areias de grãos frágeis, angulares 15 35 
Areias de grãos duros, arredondados 55 100 
Areia basal de São Paulo, bem 
graduada, pouco argilosa 
10 27 
 
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ENSAIOS PARA DETERMINAÇÃO DA 
DEFORMABILIDADE DOS SOLOS
• Ensaio de Compressão Axial
– O módulo de deformação do solo depende ainda 
da pressão confinante a que o solo está submetido.
– Em uma camada de solo, o módulo de deformação
varia com a profundidade.
– Para os casos mais comuns, admite-se um módulo
constante como representativo do comportamento
da camada de solo.
– Para problemas especiais, pode-se expressar o
módulo de elasticidade em função do nível de
tensões atuante (confinamento).
ENSAIOS PARA DETERMINAÇÃO DA 
DEFORMABILIDADE DOS SOLOS
• Ensaio de Compressão Axial
– Equação de Janbu:
Onde pa é a pressão atmosférica, K e n são constantes, e c é
a tensão de confinamento.
n
a
c
a p
K
p
E








=

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ENSAIOS PARA DETERMINAÇÃO DA 
DEFORMABILIDADE DOS SOLOS
• Ensaio de Compressão Edométrica
 
ENSAIOS PARA DETERMINAÇÃO DA 
DEFORMABILIDADE DOS SOLOS
• Ensaio de Compressão Edométrica
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ENSAIOS PARA DETERMINAÇÃO DA 
DEFORMABILIDADE DOS SOLOS
• Ensaio de Compressão Edométrica
– Consiste na compressão do solo dentro de um
molde que impede qualquer deformação lateral.
– Simula o comportamento do solo quando ele é
comprimido pela ação do peso de novas
camadas que sobre ele se depositam.
– É representativo de situações em que se pode
admitir que o carregamento feito na superfície,
ainda que em área restrita (sapatas), provoca no
solo uma deformação vertical sem haver
deformações laterais.
ENSAIOS PARA DETERMINAÇÃO DA 
DEFORMABILIDADE DOS SOLOS
• Ensaio de Compressão Edométrica
– No ensaio, uma amostra é colocada num anel rígido
ajustado entre duas pedras porosas.
– Os anéis que recebem o corpo de prova têm diâmetro
cerca de três vezes a altura, com o objetivo de reduzir
o efeito do atrito lateral durante os carregamentos.
– O carregamento é feito em etapas através de uma
prensa. Para cada estágio de carga aplicada, registra-
se a deformação a diversos intervalos de tempo, até
que as deformações tenham praticamente cessado.
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ENSAIOS PARA DETERMINAÇÃO DA 
DEFORMABILIDADE DOS SOLOS
• Ensaio de Compressão Edométrica
– Cessados os recalques, um novo estágio de carga é
aplicado. As carga é então elevada para o dobro do
seu valor anterior.
– Considerando-se a altura final do corpo-de-prova ao
final de cada estágio de carga, pode-se representar a
variação de altura ou os recalques em função das
tensões verticais atuantes. Os índices de vazios finais
de cada estágio de carregamento são calculados a
partir do índice de vazios inicial do corpo de prova e
da redução de altura.
ENSAIOS PARA DETERMINAÇÃO DA 
DEFORMABILIDADE DOS SOLOS
• Resultado típico de compressão
edométrica em areia
 
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User
Realce
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ENSAIOS PARA DETERMINAÇÃO DA 
DEFORMABILIDADE DOS SOLOS
• Resultado típico de compressão
edométrica em argila mole
 
ENSAIOS PARA DETERMINAÇÃO DA 
DEFORMABILIDADE DOS SOLOS
( ) vv mea += 01
v
v
d
de
a

−=
v
v
v
d
d
m


−=
v
v
d
d
D


−=
Coeficiente de Compressibilidade
Coeficiente de Variação Volumétrica
Módulo de Compressão Volumétrica
01 e
de
v
+
−= vmD 1=
 Parâmetros da Compressão Edométrica:
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ENSAIOS PARA DETERMINAÇÃO DA 
DEFORMABILIDADE DOS SOLOS
ENSAIOS PARA DETERMINAÇÃO DA 
DEFORMABILIDADE DOS SOLOS
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CÁLCULO DE RECALQUES
 Cálculo pela Teoria da Elasticidade:
( )20 1  −=
E
B
I
 
o é a pressão uniformemente 
distribuída na superfície;
E e  são os parâmetros do solo já 
definidos;
B é a largura (ou o diâmetro) da área 
carregada, e
I é um coeficiente de forma.
CÁLCULO DE RECALQUES
 Coeficientes de forma para o cálculo dos
recalques:
Flexível 
Tipo de Placa Rígida 
Centro Borda/Canto 
Circular 0,79 1,00 0,64 
Quadrada 0,86 1,11 0,56 
L/B = 2 1,17 1,52 0,75 
L/B = 5 1,66 2,10 1,05 Retangular 
L/B = 10 2,00 2,54 1,27 
 
45
46
24
CÁLCULO DE RECALQUES
– A grande variação dos
módulos de cada solo, em
função do nível de tensão
aplicado (não linearidade)
e do nível de
confinamento do solo.
– Os solos são constituídos
de camadas de diferentes
compressibilidades.
 Dificuldades para a aplicação da Teoria da
Elasticidade:
 
CÁLCULO DE RECALQUES
 Cálculo pela compressibilidade edométrica:
 
47
48
25
CÁLCULO DE RECALQUES
 Cálculo pela compressibilidade edométrica:
( )101 1 eHH += ( )202 1 eHH +=
( )
( )
1
2
12
1
1
e
e
HH
+
+
=
 
( )
( )
( )
1
11
21
1
1
21
1
111
11
H
e
e
e
ee
H
e
ee
H 
+

=
+
−
=
+
−−+
=
 
 
O ADENSAMENTO DAS ARGILAS 
SATURADAS
 
( )
( )12
21
loglog  −
−
=
ee
CC
Reta de Compressão Virgem







+

=
1
2
1
1 log
)1( 


e
HCC
Trecho de Recompressão
49
50
26
O ADENSAMENTO DAS ARGILAS 
SATURADAS
 Tensão de Pré-Adensamento
 
O ADENSAMENTO DAS ARGILAS 
SATURADAS
 Tensão de Pré-Adensamento
⚫ É a máxima tensão que um elemento de solo já
sofreu em toda sua história. É determinada no
ensaio edométrico como o ponto de mudança de
gradiente na curva de adensamento.
 Razão de Sobre-Adensamento
⚫ É a razão entre a tensão de pré-adensamento e
a tensão efetiva atuante no solo.
v
vmRSA




=
51
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27
O ADENSAMENTO DAS ARGILAS 
SATURADAS
 De acordo com a sua história de tensões os solos
são classificados em:
⚫ Solos Normalmente Adensados
• RSA = 1
⚫ Solos Sobre-Adensados
• 1 < RSA < 4 (levemente sobre-adensados)
• RSA > 4 (fortemente sobre-adensados)
⚫ Solos Parcialmente Adensados
• RSA < 1
O ADENSAMENTO DAS ARGILAS 
SATURADAS
 Determinação da tensão de pré-adensamento:
Método de Casagrande Método PachecoSilva
 
 
53
54
28
O ADENSAMENTO DAS ARGILAS 
SATURADAS
 Cálculo do recalque em solos inicialmente
sobre-adensados:
 










+



+
=
vm
f
c
i
vm
r CC
e
H




 loglog
1 0
Cr - Índice de Recompressão
Exemplo de cálculo do recalque por 
adensamento:
⚫ No terreno indicado será construído um aterro que transmitirá
uma pressão uniforme de 40 kPa. De acordo com dados
geológicos, o terreno foi sobre-adensado pelo efeito de uma
camada de um metro da areia superficial, que teria sido
erodida. Desta forma, sabe-se que a tensão de pré-
adensamento é de 18 kPa superior à tensão efetiva existente
em qualquer ponto.
⚫ Calcular o recalque por adensamento que sofrerá a camada de
argila.
⚫ Índice de compressão da argila = 1,8
⚫ Índice de recompressão da argila = 0,3.
55
56
29
 
Exemplo de cálculo do recalque por 
adensamento:
 Cálculo das tensões na camada de argila:
Ponto na 
camada 
Tensão 
efetiva 
inicial 
(kPa) 
Tensão 
efetiva 
final 
(kPa) 
Tensão de pré-
adensamento 
(kPa) 
A 54,5 94,5 72,5 
B 69,5 109,5 87,5 
C 84,5 124,5 102,5 
 
Exemplo de cálculo do recalque por 
adensamento:
57
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