medidas de dispersão

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ESTATÍSTICA
5- Medidas de Dispersão
Prof. Dra. Denise Candal
ESTATÍSTICA
Conteúdo Programático desta aula
Medidas de Dispersão:
Amplitude total, 
Variância, 
Desvio padrão,
Coeficiente de variação. 
 
Medidas de Dispersão 
ESTATÍSTICA
Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração
	Elementos
	Medidas de Posição
	Medidas de Variabilidade ou Dispersão
	Medidas de Assimetria
	Medidas de Curtose
ESTATÍSTICA
Elementos Típicos da Distribuição
Conceitos que nos ajudam a determinar as tendências de concentração
	Elementos
	Medidas de Posição
	Medidas de Variabilidade ou Dispersão
	Medidas de Assimetria
	Medidas de Curtose
ESTATÍSTICA
Medidas de Variabilidade ou Dispersão
É a tendência dos valores de se afastarem da medida de tendência central (média, mediana, moda). 
Utilizadas para avaliar o grau de variabilidade ou dispersão dos valores em torno de um valor central; geralmente as médias. 
Servem para medir a representatividade das medidas de tendência central.
ESTATÍSTICA
A medida de tendência central nos fornece o valor que representa uma série de valores. 
A medida de dispersão reflete o quanto de “erro” ocorre na média como medida de descrição do fenômeno. 
ESTATÍSTICA
Quanto mais os dados diferem uns dos outros, maior o seu grau de variabilidade.
Quanto mais os dados se afastam da medida central, menos essa medida pode ser considerada representativa desses dados. 
ESTATÍSTICA
Consideremos as notas de três turmas X, Y e Z.
Turma “X” = { 6,0; 6,0; 6,0; 6,0; 6,0}
Turma “Y” = { 5,8; 5,9; 6,0; 6,1; 6,2}
Turma “Z” = { 1,0; 4,0; 6,0; 9,0; 10,0}
Embora as tumas X, Y e Z, apresentem a mesma média aritmética, é fácil notar que o grupo X é mais homogêneo em relação as notas, que os grupos Y e Z, já que todas as notas são iguais a média.
ESTATÍSTICA
Consideremos as notas de três turmas X, Y e Z.
Turma “X” = { 6,0; 6,0; 6,0; 6,0; 6,0}
Turma “Y” = { 5,8; 5,9; 6,0; 6,1; 6,2}
Turma “Z” = { 1,0; 4,0; 6,0; 9,0; 10,0}
O grupo Y é mais homogêneo que o grupo Z, pois há menor diversificação entre cada um dos seus valores.
Podemos dizer que a grupo X apresenta dispersão ou variabilidade nula e que o grupo Y apresenta uma dispersão ou variabilidade maior que o grupo Z.
ESTATÍSTICA
	Medidas
De
Variabilidade
Ou 
Dispersão	Amplitude Total
		Variância
		Desvio Padrão
		Coeficiente de Variação
As medidas de dispersão mostram o grau de afastamento dos valores observados em relação àquele valor representativo.
Medidas de Dispersão
ESTATÍSTICA
Amplitude Total
A amplitude nos fornece informação quanto ao grau de concentração dos valores. 
Quanto maior a amplitude total, maior a dispersão ou variabilidade dos valores. 
A amplitude só leva em consideração os dois valores extremos da série.
ESTATÍSTICA
Dados não agrupados e agrupados sem intervalos de classe
AT=diferença entre o maior e o menor valor observado. 
AT= x(max)-x(min)
Dados agrupados com intervalos de classe
AT=diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe.
AT= L(max)-l(min)
Amplitude Total
ESTATÍSTICA
Desvio em relação a Média
Desvio em relação a média (di): diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média aritmética .
ESTATÍSTICA
Exemplo: Vaca
A produção leiteira diária de uma vaca, durante uma semana, foi de 10,14,13,15,16,18 e12 litros. 
Determine a produção média da semana.
Determine também o desvio em relação a média dos valores dados. 
ESTATÍSTICA
Exemplo: Vaca
ESTATÍSTICA
ESTATÍSTICA
Desvio em relação a Média
Propriedade: A soma algébrica dos desvios tomados em relação à média é nula
ESTATÍSTICA
ESTATÍSTICA
A variância e o desvio padrão levam em consideração todos os valores da variável.
	Amplitude Total
	Variância
	Desvio Padrão
A amplitude só leva em consideração os dois valores extremos da série.
ESTATÍSTICA
Variância: Dados não agrupados
A variância (s2) 
se baseia nos desvios em relação a média aritmética
determina a média aritmetica dos quadrados dos desvios. 
ESTATÍSTICA
Desvio Padrão
Desvio Padrão ( s ) é a medida de variabilidade mais utilizada como índice de dispersão, sendo também a mais confiável no sentido de uma generalização da amostra para a população da qual a amostra foi retirada. 
ESTATÍSTICA
Raiz quadrada positiva da variância.
Raiz quadrada positiva da média aritmética dos quadrados das diferenças entre cada valor e a média aritmética do conjunto. 
Desvio Padrão: Dados Não Agrupados
ESTATÍSTICA
A média custuma ser um número fracionário e o cálculo do quadrado das diferenças se torna complicado.
Forma alternativa para o calculo do desvio padrão
Desvio Padrão: Dados Não Agrupados
ESTATÍSTICA
Exemplo 1: Dados Não Agrupados
Durante determinada semana, os nove vendedores de uma agência de turismo venderam as seguintes quantidades de passagens aéreas: 20,25,28,31,37,42,45,49,53
Calcule o desvio padrão.
ESTATÍSTICA
20,25,28,31,37,42,45,49,53
			
	1	20	
	2	25	
	3	28	
	4	31	
	5	37	
	6	42	
	7	45	
	8	49	
	9	53	
		∑=330	
Exemplo 1: Dados Não Agrupados
ESTATÍSTICA
ESTATÍSTICA
20,25,28,31,37,42,45,49,53
			
	1	20	400
	2	25	625
	3	28	784
	4	31	961
	5	37	1369
	6	42	1764
	7	45	2025
	8	49	2401
	9	53	2809
		∑=330	∑=13138
Exemplo 1: Dados Não Agrupados
ESTATÍSTICA
Observe os dois conjuntos de dados.
A: 5, 4, 8, 9, 2, 1
B: -10, -8, -6, 16, 18, 19 Média?
Exemplo 2
ESTATÍSTICA
Observe os dois conjuntos de dados.
A: 5, 4, 8, 9, 2, 1
B: -10, -8, -6, 16, 18, 19 Média?
Exemplo 2
ESTATÍSTICA
A: 5, 4, 8, 9, 2, 1 B: -10, -8, -6, 16, 18, 19
			
	5	0,17 	0,03
	4	-0,83	0,69
	8	3,17	10,05
	9	4,17	17,39
	2	-2,83	8,01
	1	-3,83	14,67
		∑=0,02	∑=50,83
ESTATÍSTICA
Média
Média + Desvio
Média - Desvio
ESTATÍSTICA
Série A
5	4	8	9	2	1	
A: 5, 4, 8, 9, 2, 1 B: -10, -8, -6, 16, 18, 19
			
	-10	-14,83	219,93
	-8	-12,83	164,61
	-6	-10,83	117,29
	16	11,17	124,77
	18	13,17	173,45
	19	14,17	200,79
			∑=1000,83
ESTATÍSTICA
Média + Desvio
Média - Desvio
Média
ESTATÍSTICA
Série B
-10	-8	-6	16	18	19	
Duas séries, 
mesma média,
desvios diferentes
ESTATÍSTICA
5	4	8	9	2	1	-10	-8	-6	16	18	19	
Desvio Padrão: Dados Agrupados Sem Intervalos de Classe
ESTATÍSTICA
Exemplo 3. Agrupados sem intervalos de classe
Considere a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, considerando como variável o número de filhos do sexo masculino. Determine o desvio padrão da distribuição.
	meninos	f i
	0
1
2
3
4	2
6
10
12
4
		∑=34
ESTATÍSTICA
					
	0
1
2
3
4	2
6
10
12
4			
		∑=34	∑=		∑=
Exemplo 3. Agrupados sem intervalos de classe
ESTATÍSTICA
					
	0
1
2
3
4	2
6
10
12
4	0
6
20
36
16	0
1
4
9
16	0
6
40
108
64
		∑=34	∑=78		∑=218
Exemplo 3. Agrupados sem intervalos de classe
ESTATÍSTICA
					
	0
1
2
3
4	2
6
10
12
4	0
6
20
36
16	0
1
4
9
16	0
6
40
108
64
		∑=34	∑=78		∑=218
Exemplo 3. Agrupados sem intervalos de classe
ESTATÍSTICA
Exemplo 4: Agrupados com intervalos de classe
Determine o desvio padrão das alturas.
	ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007	
	ESTATURAS
(cm)	FREQUÊNCIA
	150 ׀— 154
154 ׀— 158
158 ׀— 162
162 ׀— 166
166 ׀— 170
170 ׀— 174	4
9
11
8
5
3
	total	40
	Dados fictícios.	
ESTATÍSTICA
	ESTATURAS
(cm)					
	150 ׀— 154
154 ׀— 158
158 ׀— 162
162 ׀— 166
166 ׀— 170
170 ׀— 174	4
9
11
8
5
3				
	total	∑=40		∑=		∑=
ESTATÍSTICA
	ESTATURAS
(cm)					
	150 ׀— 154
154 ׀— 158
158 ׀— 162
162 ׀— 166
166 ׀— 170
170 ׀— 174	4
9
11
8
5
3	152
156
160
164
168
172	608
1404
1760
1312
840
516	23104
24336
25600
26896
28224
29584	92416
219024
281600
215168
141120
88752
	total	∑=40		∑=6440		∑=1038080
ESTATÍSTICA
	ESTATURAS
(cm)					
	150 ׀— 154
154 ׀— 158
158 ׀— 162
162 ׀— 166
166 ׀— 170
170 ׀— 174	4
9
11
8
5
3	152
156
160
164
168
172	608
1404
1760
1312
840
516	23104
24336
25600
26896
28224
29584	92416
219024
281600
215168
141120
88752
	total	∑=40		∑=6440		∑=1038080ESTATÍSTICA
Exercício: Salários
Os salários (em salário mínimo) de 160 professores de uma escola estão distribuídos conforme a tabela a seguir. 
	k	salário	No prof.
fi
	1
2
3
4
5	1 ׀— 3
3 ׀— 5
5 ׀— 7
7 ׀— 9
9 ׀— 11	20
40
60
30
10
		total	∑=160
Determine o desvio padrão 
da distribuição.
ESTATÍSTICA
	PESOS
					
	1 ׀— 3
3 ׀— 5
5 ׀— 7
7 ׀— 9
9 ׀— 11	20
40
60
30
10				
	total	∑=160				
ESTATÍSTICA
	PESOS
					
	1 ׀— 3
3 ׀— 5
5 ׀— 7
7 ׀— 9
9 ׀— 11	20
40
60
30
10	2
4
6
8
10	40
160
360
240
100	4
16
36
64
100	80
640
2160
1920
10000
	total	∑=160		∑=900		∑=5800
ESTATÍSTICA
	PESOS
					
	1 ׀— 3
3 ׀— 5
5 ׀— 7
7 ׀— 9
9 ׀— 11	20
40
60
30
10	2
4
6
8
10	40
160
360
240
100	4
16
36
64
100	80
640
2160
1920
10000
	total	∑=160		∑=900		∑=5800
ESTATÍSTICA
Coeficiente de Variação de Pearson
Coeficiente de Variação: caracterização da dispersão ou variabilidade dos dados em termos relativos a seu valor médio. 
ESTATÍSTICA
Voltemos ao problema das notas das três turmas X, Y e Z.
Turma “X” = { 6,0; 6,0; 6,0; 6,0; 6,0}
Turma “Y” = { 5,8; 5,9; 6,0; 6,1; 6,2}
Turma “Z” = { 1,0; 4,0; 6,0; 9,0; 10,0}
ESTATÍSTICA
			
	6	0	0
			∑=0
Turma “X” : { 6,0; 6,0; 6,0; 6,0; 6,0}
ESTATÍSTICA
			
	5,8	-0,2	0,04
	5,9	-0,1	0,01
	6,0	0	0
	6,1	0,1	0,01
	6,2	0,2	0,04
			∑=0,1
Turma “Y” = { 5,8; 5,9; 6,0; 6,1; 6,2}
ESTATÍSTICA
			
	1,0	-5	25
	4,0	-2	4
	6,0	0	0
	9,0	3	9
	10,0	4	16
			∑=54
Turma “Z” = { 1,0; 4,0; 6,0; 9,0; 10,0}
ESTATÍSTICA
Comparando
	Turma	Média	Desvio Padrão	CV	Amplitude
	X	6,0	0	0%	0
	Y	6,0	0,1	1,7%	0,4
	Z	6,0	3,3	55%	9,0
Turma “X” = { 6,0; 6,0; 6,0; 6,0; 6,0}
Turma “Y” = { 5,8; 5,9; 6,0; 6,1; 6,2}
Turma “Z” = { 1,0; 4,0; 6,0; 9,0; 10,0}
ESTATÍSTICA
Analisando os resultados obtidos com o cálculo das variâncias e dos desvios
padrões, observa-se que o grupo X apresenta menor dispersão dos valores em torno da
média e o grupo Z foi o que apresentou maior variabilidade em torno da média
53
Observação
Alguns analistas sugerem a seguinte classificação do coeficiente de variação.
Baixa variabilidade:
Média variabilidade:
Alta variabilidade:
ESTATÍSTICA
	Turma	Média	Desvio Padrão	CV	Amplitude
	X	6,0	0	0%	0
	Y	6,0	0,1	1,7%	0,4
	Z	6,0	3,3	55%	9,0
Turma “X” = { 6,0; 6,0; 6,0; 6,0; 6,0}
Turma “Y” = { 5,8; 5,9; 6,0; 6,1; 6,2}
Turma “Z” = { 1,0; 4,0; 6,0; 9,0; 10,0}
Baixa 
Variabilidade
Comparando
ESTATÍSTICA
	Turma	Média	Desvio Padrão	CV	Amplitude
	X	6,0	0	0%	0
	Y	6,0	0,1	1,7%	0,4
	Z	6,0	3,3	55%	9,0
Turma “X” = { 6,0; 6,0; 6,0; 6,0; 6,0}
Turma “Y” = { 5,8; 5,9; 6,0; 6,1; 6,2}
Turma “Z” = { 1,0; 4,0; 6,0; 9,0; 10,0}
Alta
Variabilidade
Comparando
ESTATÍSTICA
6
=
=
=
Z
Y
X
x
x
x
x
x
d
i
i
-
=
14
7
98
7
12
18
16
15
13
14
10
=
=
+
+
+
+
+
+
=
=
å
x
x
x
n
x
x
i
14
=
x
2
14
12
4
14
18
2
14
16
1
14
15
1
14
13
0
14
14
4
14
10
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
-
=
-
=
-
=
=
-
=
-
=
=
-
=
-
=
=
-
=
-
=
-
=
-
=
-
=
=
-
=
-
=
-
=
-
=
-
=
x
x
d
x
x
d
x
x
d
x
x
d
x
x
d
x
x
d
x
x
d
(
)
0
=
-
=
å
å
x
x
d
i
i
0
2
4
2
1
1
0
4
=
-
+
+
+
-
+
-
=
å
i
d
(
)
n
x
x
s
i
å
-
=
2
2
(
)
n
x
x
s
i
å
-
=
2
(
)
å
å
-
=
i
i
f
x
x
s
2
2
2
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
å
å
n
x
n
x
s
i
i
2
2
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
å
å
n
x
n
x
s
i
i
i
x
2
i
x
2
9
330
9
13138
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
s
74
,
10
=
s
83
,
4
6
29
6
1
2
9
8
4
5
=
=
+
+
+
+
+
=
A
x
83
,
4
6
29
6
19
18
16
6
8
10
=
=
+
+
+
-
-
-
=
B
x
83
,
4
=
=
B
A
x
x
91
,
2
6
83
,
50
=
=
s
x
x
i
-
(
)
2
x
x
i
-
i
x
91
,
12
6
83
,
1000
=
=
s
91
,
2
=
A
s
91
,
12
=
B
s
2
2
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
å
å
n
x
f
n
x
f
s
i
i
i
i
2
2
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
å
å
n
x
f
n
x
f
s
i
i
i
i
2
i
x
2
i
i
x
f
i
i
x
f
i
f
i
x
2
34
78
34
218
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
s
24
,
5
41
,
6
-
=
s
29
,
2
=
s
2
2
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
å
å
n
x
f
n
x
f
s
i
i
i
i
2
2
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
å
å
n
x
f
n
x
f
s
i
i
i
i
57
,
5
40
6446
40
1038080
2
2
2
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
å
å
n
x
f
n
x
f
s
i
i
i
i
2
160
900
160
5800
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
s
2
160
900
160
5800
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
s
21
,
2
89
,
4
36
,
31
25
,
36
=
=
-
=
s
%
100
´
=
x
s
CV
6
=
X
x
0
=
s
%
0
=
CV
6
=
Y
x
1
,
0
5
1
,
0
=
=
s
%
7
,
1
%
100
6
1
,
0
=
´
=
CV
6
=
Y
x
3
,
3
5
54
=
=
s
%
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