Algarismos Significativos e Erros em Cálculo Numérico

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Cálculo Numérico
Aula 02 - Erros
Prof.ª Ms. Mara Cynthia
Algarismos Significativos e Duvidosos
➢ Os algarismos significativos são os algarismos que têm 
importância na exatidão de um número, por exemplo, o 
número 5,42 tem três algarismos significativos. 
➢ No número 5,4200 , temos cinco algarismos significativos, os 
zeros à direita dão maior exatidão para o número.
➢ Em números que contenham potência de dez, todos os 
algarismos são considerados significativos , exceto a própria 
potência: 925,5 = 9,255 x 102, tem 4 algarismos 
significativos.
Algarismos Significativos e Duvidosos
➢ Zeros à esquerda não são algarismos significativos: 
000000000005 tem apenas um algarismo significativo.
➢ Ao realizar a medição de algum objeto, nunca teremos a 
medida exata do objeto, utilizando uma régua, por mais 
precisa que seja. Isso porquê o último algarismo dessa 
medição, será duvidoso.
Algarismos Significativos e Duvidosos
➢ Portanto, em qualquer número decimal, o algarismo 
duvidoso será o último algarismo significativo, contando da 
esquerda para direita.
Exemplos
1. Todos esses números têm 4 algarismos significativos:
27,00
0,5041
00000,00007000
2405
2. Têm o último algarismo duvidoso: 
5,555559 = o algarismo duvidoso é o 9
6,00000 = o algarismo duvidoso é o último zero
234,8543330 = o algarismo duvidoso é o 0
Observação
Para que o resultado da adição dos dois 
números contenha apenas números 
significativos, é necessário reescrever os 
dois números de maneira que contenham o 
número de casas decimais do número 
menos preciso. 
Exemplo
1. Uma árvore é medida até uma parte do tronco por um instrumento 
de grande precisão, e obtém-se 15,35587 metros, a outra parte da 
árvore é medida com fita métrica, e obtém-se 12,2 metros. Qual é o 
tamanho total da árvore com o número correto de algarismos?
São apenas os significativos, então, devemos somar as duas partes 
do tronco, apenas com o mesmo número de algarismos.
15,35587 deve ser arredondado para 3 algarismos significativos 
porque 12,2 tem apenas 2 algarismos significativos
Assim temos: 15,4 + 12,2 = 27,6 metros. 
Então, o tamanho da árvore é de: 27,6 metros. 
Aritmética de ponto flutuante 
➢Um número é representado, internamente, 
num computador ou máquina de calcular 
através de uma sequência de impulsos 
elétricos que indicam dois estados: 0 ou 1, ou 
seja, os números são representados na base 
binária. 
➢Nem todo número real na base decimal possui 
uma representação finita na base binária. 
Sistema de aritmética de ponto flutuante 
➢ Com d1  0, pois é o primeiro algarismo significativo de x.
Um número real x no sistema de aritmética de ponto 
flutuante pode ser escrito também na forma: 
𝑥 = ± 0, 𝑑1𝑑2𝑑3…𝑑𝑡 . 𝛽
𝑒
➢ 𝛽 é a base do número,10 ou 2.
➢ Se houver zeros a direita da vírgula, teremos e negativo.
➢ 𝑒 é o número de algarismos significativos antes da vírgula.
Exemplos:
1) Escrever o número x =-3,283 em notação de 
um sistema de aritmética de ponto flutuante. 
Está na base 10, portanto devemos seguir regra:
Mantemos o sinal e colocamos 0 na frente, copiando 
todos os outros algarismos e multiplicamos pela base, 
elevada a tantos dígitos quantos existirem antes da 
vírgula.
−3,283 = −0,3283. 101
𝑥 = ± 0, 𝑑1𝑑2𝑑3…𝑑𝑡 . 𝛽
𝑒
Exemplos:
2. Escrever o números x = 0,25 em notação de um 
sistema de aritmética de ponto flutuante. 
0,25 = 0,25. 100
3. Escrever o números x = 0,0213 em notação de um 
sistema de aritmética de ponto flutuante. 
0,0213 = 0,213. 10−1
Exemplos:
6371,4 = 0,63714.104
4. Escrever o números x = 6371,4 em notação de um 
sistema de aritmética de ponto flutuante. 
5. Escrever o números x = 0,0004 em notação de um 
sistema de aritmética de ponto flutuante. 
0,0004 = 0,4.10−3
Exemplos:
(101,01)2 = 0,10101. 2
11
6. Escrever o números x = (101,01)2 em notação de 
um sistema de aritmética de ponto flutuante. 
Erro de arredondamento e truncamento 
➢ Uma solução numérica é tanto mais precisa 
quanto mais próxima estiver da solução exata, 
isto é, quanto menor for o erro que lhe estiver 
associado. 
➢ Há dois tipos principais de erros que afetam 
uma solução numérica: o erro de 
arredondamento e o erro de truncamento.
Erro de arredondamento 
➢ Na prática, podemos utilizar a representação decimal 
com um número finito de algarismos. 
➢ Para arredondar um número devemos observar o 
algarismo que se encontra após ao valor que 
desejamos arredondar, se este for maior ou igual a 
cinco, acrescentamos 1 ao algarismo desejado, se 
não, deixamos o algarismo como está.
➢ Exemplo: 2,3456, para arredondarmos para 2 dígitos 
após a virgula, o número ficará: 2,35.
Erro de Truncamento
➢ O erro de truncamento é inerente ao processo 
matemático; 
➢ Para truncar um número, basta copiar apenas 
a parte desejada do número, sem se 
incomodar com o algarismo seguinte.
➢ Exemplo: 2,3456, para truncarmos para 2 
dígitos após a virgula, o número ficará: 2,34.
Exemplo:
➢ Considere uma máquina de 3 dígitos, e base 10, como 
ficaria o número 234,79 arredondado e truncado
Primeiro devemos transformar o número para a aritmética de 
ponto flutuante:
234,79 = 0,23479.103
Para 3 dígitos, temos: arredondamento: 234,79 = 0,235.103
Para 3 dígitos, temos: truncamento: 234,79 = 0,234.103
Erros Overflow e Underflow
➢ Um erro de overflow ocorre quando o 
número é muito grande para ser 
representado pela máquina.
➢ Um erro de underflow ocorre na condição 
contrária, ou seja, quando um número é 
pequeno demais para ser representado 
pela máquina. 
Erros Overflow e Underflow
➢ A aritmética de ponto flutuante pode ser 
escrita em função:
➢ Da base do número (B);
➢ Do número de dígitos (t); 
➢ Do intervalo do expoente (m,M).
➢ F(B,t,m,M)
Exemplos:
7. Considerando agora que estamos diante de 
uma máquina que utilize apenas três dígitos 
significativos e que tenha como limite inferior e 
superior para o expoente, respectivamente, -2 e 2, 
como seriam representados nesta máquina os 
números, na base 10, utilize o truncamento? 
F(10,3,-2,2)
Exemplos:
−0,328. 101
0,213. 10−1
0,637.104
0,400.10−3
F(10,3,−2,2)
Não pode ser 
representado por esta 
máquina.
Erro de overflow. 
Não pode ser representado por 
esta máquina. 
Erro de underflow.
−3,283 = −0,3283. 101
0,0213 = 0,213. 10−1
6371,4 = 0,63714.104
0,0004 = 0,4.10−3
Representação – 16 bits – em Aritmética de Ponto 
Flutuante
➢ Exemplo: 5,375(10) = 101,011(2) = 0,101011.2
11
0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0
Sinal do número: 
(+ = 0), (- = 1)
Sinal do 
expoente
Expoente Mantissa
Mantissa
Transformação decimal para Binário
(5,375)10 = (?)2
Parte Inteira
Divisões Sucessivas 
5 2
21 2
10
(5,375)10 = (101,011)2
Parte Decimal Multiplicações Sucessivas 
0,375
X 2
0,750
X 2
1,500
0,750
X 2
1,000
0,500
Expoente: (3)10 = (?)2
3 2
11
(3)10 = (11)2(5)10 = (101)2
(0,375)10 = (011)2
Observação:
➢O mesmo procedimento é utilizado 
para 32 e 64 bits 
RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. D. R. Cálculo
Numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais. 2ª. ed.
São Paulo: Pearson Makron Books, v. único, 1996.
SALVETTI, D. D. Elementos de Cálculo Numérico. 2ª.
ed. São Paulo: Companhia Editora Nacional, 1976.
Bibliografia
Cálculo Numérico
Aula 02 - Erros
Profª Ms. Mara Cynthia