Questões A3

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AULA 3 – APROFUNDAMENTO NAS FUNÇÕES
1. Considere a seguinte função:
O domínio e a imagem da função são, respectivamente:
a) 𝐷(𝑓)=ℝ e 𝐼𝑚(𝑓)=[0; +∞┤[.
b) 𝐷(𝑓) = [0; +∞┤[ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ.
c) 𝐷(𝑓) = ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ.
d) 𝐷(𝑓) = [0; +∞┤[ e 𝐼𝑚(𝑓) = [0; +∞┤[.
Repare que o ponto (0;0) ficou traçado como “bolinha aberta”, pois 𝑥=0 não pertence a essa parte do domínio da função.
2. (PETROBRAS - 2008) Considere que 𝑓 é uma função definida do conjunto 𝐷 em ℝ por: 𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥+8.
Sendo 𝐼𝑚 a imagem de 𝑓, é correto afirmar que, se:
a) 𝐷=[−2,0], então 𝐼𝑚(𝑓)=ℝ+.
b) 𝐷=[2,+∞[, então 𝐼𝑚(𝑓)=[0;4].
c) 𝐷=[2,+∞[, então 𝐼𝑚(𝑓)=ℝ+.
d) 𝐷=[0;2], então 𝐼𝑚(𝑓)=[4;8].
3. Observe os gráficos das funções 𝒚=𝒇(𝒙), 𝒚=𝒈(𝒙) e 𝒚=𝒉(𝒙):
No mesmo par de eixos, podemos afirmar que:
a) 𝑓(2)=2, 𝑔(2)=2 𝑒 ℎ(2)=−2.
b) 𝐷𝑜𝑚(𝑔)=[−3,3] 𝑒 𝐼𝑚(ℎ)=[−4,3].
c) 𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4,4] 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=[−4,3].
d) 𝐷𝑜𝑚(ℎ)=[−2,2] 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=[−4,3].
Observando o gráfico, temos: 𝑓(2)=2, 𝑔(2)=2 e ℎ(2)=2.
𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4,4] e 𝐼𝑚(𝑓)=[−4,3].
𝐷𝑜𝑚(𝑔)=[−3,3] e 𝐼𝑚(𝑔)=[−1,𝑔(3)]
𝐷𝑜𝑚(ℎ)=[−2,2] e 𝐼𝑚(ℎ)=[1,2].
4. Considere a função . Podemos afirmar que o domínio da função 𝑓 é:
a) Todo número real 𝑥.
b) Todo número real 𝑥, exceto os números positivos.
c) Todo número real 𝑥, exceto 𝑥=300.
d) Todo número real 𝑥, exceto os números negativos.
A função não está definida para 𝑥=300, pois este número anula o denominador.
Parte superior do formulário
5. Considere o gráfico da função 𝑓:
Após a análise do gráfico, podemos afirmar que:
a) A função não está definida em 𝑥=1,6.
b) 𝐼𝑚(𝑓)=[−4,5].
c) 𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4.5, 11].
d) 𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4.5, 2)∪(2,11].
Parte inferior do formulário
Projetando o gráfico da função no eixo -𝒙, vemos que o domínio da função 𝒇 é o conjunto no eixo -𝑥 indicado em vermelho na figura.
Seu domínio é a seguinte união de intervalos:[−𝟒.𝟓 , 𝟐) ∪ (𝟐 , 𝟏𝟏].
𝑫𝒐𝒎(𝒇)=[−𝟒.𝟓 , 𝟐) ∪ (𝟐 , 𝟏𝟏].
Projetando o gráfico da função no eixo -𝒚, vemos que a imagem da função 𝒇 é o intervalo no eixo -𝑦 indicado em vermelho na figura.
Sua imagem é o intervalo [−𝟒, 𝟖.𝟑].
𝑰𝒎(𝒇)=[−𝟒, 𝟖.𝟑].
6. Se a função real definida por  possui 𝐷 como domínio e 𝐷=[𝑎,𝑏], então, 𝑎+𝑏 vale:
a) 11
b) 5
c) 15
d) 13
1. (Adaptada de: LIVRO ABERTO - s.d.) Considere a função 𝑔:ℝ→ℝ tal que 𝑔(𝑥)=9−𝑥2. Assinale a alternativa correta:
a) Existe algum 𝑥∈ℝ cuja imagem é igual a 10.
b) A função 𝑔 é injetora.
c) A função 𝑔 é sobrejetora.
d) Restringindo o domínio da função 𝑔 para o intervalo [0,+∞), temos que 𝑔 é injetora.
Observe o gráfico da função 𝑔(𝑥)=9−𝑥2:
Ao traçarmos a reta horizontal 𝑦=10, ela não intersecta o gráfico da função 𝑔. Logo, não existe 𝑥∈ℝ, cuja imagem é igual a 10.
Além disso, utilizando o teste da reta horizontal para saber se a função 𝑔 é injetora em todo o seu domínio, notamos que existem vários números diferentes com imagens iguais. Por exemplo: 𝑔(−1)=8 e 𝑔(1)=8. Assim, 𝑔 não é injetora em ℝ.
Em contrapartida, ao restringir o domínio da função 𝑔 ao intervalo [0,+∞), o gráfico da função 𝑔 é dado por:
Utilizando o teste da horizontal, observamos que a função é injetora nesse intervalo.
2. Considere a função bijetora 𝑓:[1,∞)→(−∞,3] definida por 𝑓(𝑥)=−3𝑥2+2𝑥+2 e seja (𝑎,𝑏) o ponto de interseção de 𝑓 com sua inversa 𝑓−1. O valor numérico da expressão 𝑎+𝑏 é:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
	
a) 1 e 0
b) 2 e 0
c) 3 e 0
d) 4 e 0
Parte superior do formulário
4. Considere a função 𝑓:(−1,2]→ℝ, dada por:
Nestas condições, é correto afirmar que:
a) 𝑓 é sobrejetora.
b) 𝑓 é injetora.
c) 𝑓 é bijetora.
d) 𝐼𝑚(𝑓)=[0,1].
Parte inferior do formulário
Observe o gráfico da função 𝑓:
Utilizando o teste da horizontal, vemos que a função não é injetora e, consequentemente, não é bijetora. Em contrapartida, 𝐼𝑚(𝑓)=[0,1]≠ℝ. Logo, a função 𝑓 não é sobrejetora.
Parte superior do formulário
5. Seja a função 𝑓: ℝ\2→ℝ\3, definida por, cujo gráfico é este: 
Com os conhecimentos adquiridos no exemplo do vídeo deste módulo, construa o gráfico da função inversa da 𝑓 antes de responder à atividade.
Sobre a sua inversa, podemos garantir que:
a) Não está definida, pois 𝑓 não é sobrejetora.
b) O gráfico da função inversa de 𝑓 é dado pelo gráfico:
c) O gráfico da função inversa de 𝑓 é dado pelo gráfico:
d) O gráfico da função inversa de 𝑓 é dado pelo gráfico:
Parte inferior do formulário
O gráfico da função inversa é dado por:
6. Seja 𝑓 a função 𝑓:[𝑡,+∞)→ℝ, definida por 𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥2+1. O menor valor de 𝑡 para que a função seja injetora é:
a) -1
b) 0
c) 1
d) 2
1. (Adaptada de: UFPE - 2017) No gráfico a seguir, temos o nível da água armazenada em uma barragem ao longo de três anos:
De acordo com o gráfico, podemos afirmar que:
a) O nível de 70 m foi atingido uma única vez.
b) O nível da água armazenada cresce em todo tempo.
c) O nível da água armazenada é estritamente decrescente.
d) O nível de 40 m foi atingido 2 vezes nesse período.
Traçando uma reta horizontal paralela ao eixo x (tempo), vemos que o nível de 40 m foi atingido 2 vezes no período de 3 anos. Isso já mostra que a função, cujo gráfico tem a representação da figura, não é injetora. Além disso, como existem oscilações no nível da água armazenada, em alguns instantes ela cresce e em outros decresce. Assim, a função em questão não é crescente nem decrescente.
2. No ano de 2020, o mundo foi assolado por uma pandemia, causada pelo vírus SAR-COV-2, conforme mostra o gráfico a seguir:
De acordo com o gráfico, podemos afirmar que:
a) De 03 a 12 de fevereiro, a número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 12 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer.
b) De 03 a 18 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 18 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer.
c) De 03 a 12 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 24 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer.
d) De 03 a 12 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 18 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer.
Fazendo uma análise do gráfico, ou seja, traçando uma reta vertical paralela ao eixo y (correspondente ao número de casos com o vírus SAR-COV-2) e perpendicular às retas 𝑦=20𝑘 e 𝑦=40𝑘, vemos que essas retas intersectam o eixo x (correspondente ao tempo) em 03 e 12 de fevereiro, respectivamente. Assim, o número de casos passa de 20k para 40k de 03 a 12 de fevereiro. Além disso, a partir do dia 18 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer.
3. Após várias experiências em laboratórios, observou-se que a concentração de certo antibiótico no sangue de cobaias varia de acordo com a função 𝑓(𝑥)=12𝑥−2𝑥2, em que 𝑥 é o tempo decorrido, em horas, após a ingestão do antibiótico.
Nessas condições, a partir de qual momento a concentração desse antibiótico começa a decrescer?
a) 0
b) 6
c) 3
d) 18
4. Uma função 𝑓:ℝ+→ℝ+ é crescente e satisfaz a seguinte condição: 𝑓(3𝑥)=3𝑓(𝑥), para todo 𝑥∈ℝ+. Se 𝑓(9)=27, qual o valor de 𝑓(1)?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
5. Sabendo que 𝑑 é um número real, o maior valor de 𝑑, tal que a função 𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥+3, para x < d, seja decrescente, é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
6. (Adaptada de: ENEM - 2010) As sacolas plásticas sujam florestas, rios e oceanos, e quase sempre acabam matando por asfixia peixes, baleias e outros animais aquáticos. No Brasil, em 2007, foram consumidas 18 bilhões de sacolas plásticas. Os supermercados brasileiros se prepararam para acabar com as sacolas plásticas até 2016.
Sabemos que a função:
𝑁(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏
Onde:
𝑎,𝑏∈ℝ;
𝑁 = número de sacolas (em bilhões);
𝑥 = número de anos (após 2007).
Observe o gráfico a seguir, que considera a origem como o ano de 2007:
Fonte: LUCENA, 2010
De acordo com as informações, quantos bilhões de sacolas plásticas serão consumidas em 2011?
a) 4,0
b) 6,5
c) 7,0
d) 10
Parte superiordo formulário
1. Observe o gráfico da função a seguir:
Assinale a resposta correta:
a) É uma função periódica de período 2.
b) É uma função periódica de período 1.
c) É uma função periódica de período 4, e se o gráfico continuar com esse comportamento, 𝑓(14)=2.
d) É uma função periódica de período 4, e se o gráfico de da função 𝑓 continuar com o mesmo comportamento, 𝑓(17)=0.
Parte inferior do formulário
Observe que a função é periódica de período 4, porque:
𝑓(𝑥+4)=𝑓(𝑥), ∀ 𝑥∈𝐷𝑜𝑚(𝑓)
Assim:
• 𝑓(14)=𝑓(10+4)=𝑓(10)=𝑓(6)=𝑓(2)=1;
• 𝑓(17)=𝑓(13+4)=𝑓(13)=0.
Parte superior do formulário
2. Sendo 𝑓:ℝ→ℝ uma função periódica de período 2, podemos afirmar que:
a) A função 𝑔(𝑥)=𝑓(2𝑥) é periódica de período 4.
b) A função 𝑔(𝑥)=𝑓(2𝑥) é periódica de período 1.
c) A função ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥/2) é periódica de período 1.
d) A função ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥+𝑞), onde 𝑞 é uma constante positiva, não é periódica.
Parte inferior do formulário
Note que a função 𝑔(𝑥)=𝑓(2𝑥) é periódica de período 1, pois:
𝑔(𝑥+1)=𝑓(2(𝑥+1))=𝑓(2𝑥+2)=𝑓(2𝑥)=𝑔(𝑥).
A função ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥/2) é periódica de período 4.
A função ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥+𝑞) é periódica de período 4.
Parte superior do formulário
3. Considere que a função 𝒇:[𝟒, +∞[ →[−𝟑,𝟕] seja periódica com período 6 e seja crescente no intervalo [4,10[. Logo, podemos afirmar que:
a) 𝑓(10)=𝑓(25) 𝑒 𝑓(4)<𝑓(8).
b) 𝑓(12)=𝑓(24) 𝑒 𝑓(15)<𝑓(16).
c) 𝑓(15)=𝑓(21) 𝑒 𝑓(21)<𝑓(22).
d) 𝑓(18)=𝑓(24) 𝑒 𝑓(28)<𝑓(27).
Parte inferior do formulário
Inicialmente, vamos entender os dados e a situação da função dada. Sabemos que a função é periódica com período 6. Isso significa que:
𝒇(𝒙)=𝒇(𝒙+𝟔), 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒙 ∈[𝟒, +∞[.
Como a função é crescente no intervalo [4,10[, então, sempre teremos que:
𝑥,𝑦 ∈[4,10[ 𝑐𝑜𝑚 𝑥<𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥)<𝑓(𝑦).
Sendo 𝒇 uma função periódica com período 6 e valendo a desigualdade anterior, então, o mesmo vale para os intervalos:
• 𝑥,𝑦 ∈[10,16[ 𝑐𝑜𝑚 𝑥<𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥)<𝑓(𝑦);
• 𝑥,𝑦 ∈[16,22[ 𝑐𝑜𝑚 𝑥<𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥)<𝑓(𝑦);
𝑥,𝑦 ∈[22,28[ 𝑐𝑜𝑚 𝑥<𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥)<𝑓(𝑦);
𝑥,𝑦 ∈[28,34[ 𝑐𝑜𝑚 𝑥<𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥)<𝑓(𝑦).
E assim sucessivamente para os intervalos seguintes com tamanho 6 (que é o período).
Agora vamos analisar cada alternativa:
a) Como 𝒇 é uma função periódica com período 6, então:
𝒇(𝟏𝟎)=𝒇(𝟏𝟎+𝟔)=𝒇(𝟏𝟔) 𝒆 𝒇(𝟏𝟔)=𝒇(𝟏𝟔+𝟔)=𝒇(𝟐𝟐)
⇒ 𝒇(𝟏𝟎)=𝒇(𝟐𝟐).
Assim, como 22 e 25 estão no intervalo [22,28[, pelo terceiro item anterior, temos:
𝒇(𝟏𝟎)=𝒇(𝟐𝟐)<𝒇(𝟐𝟓).
Portanto, a letra A é falsa.
b) Como 𝒇 é uma função periódica com período 6, então:
𝒇(𝟏𝟐)=𝒇(𝟏𝟐+𝟔)=𝒇(𝟏𝟖) 𝒆 𝒇(𝟏𝟖)=𝒇(𝟏𝟖+𝟔)=𝒇(𝟐𝟒)
⇒ 𝒇(𝟏𝟐)=𝒇(𝟐𝟒).
Agora, vamos analisar 𝒇(𝟏𝟓) e 𝒇(𝟏𝟔). Como vimos na letra A, 𝒇(𝟏𝟎)=𝒇(𝟏𝟔). Como 10 e 15 estão no intervalo [10,16[, pelo primeiro item listado anteriormente, temos:
𝒇(𝟏𝟔)=𝒇(𝟏𝟎)<𝒇(𝟏𝟓).
Portanto, a letra B é falsa.
c) Como 𝒇 é uma função periódica com período 6, então:
𝒇(𝟏𝟓)=𝒇(𝟏𝟓+𝟔)=𝒇(𝟐𝟏).
Agora, vamos analisar 𝒇(𝟐𝟏) e 𝒇(𝟐𝟐). Na letra A, vimos que 𝒇(𝟏𝟎)=𝒇(𝟐𝟐). Como 10 e 15 estão no intervalo [10,16[, pelo primeiro item listado anteriormente, temos:
𝒇(𝟐𝟐)=𝒇(𝟏𝟎)<𝒇(𝟏𝟓)=𝒇(𝟐𝟏).
Portanto, a letra C é falsa.
d) Como 𝒇 é uma função periódica com período 6, então:
𝒇(𝟏𝟖)=𝒇(𝟏𝟖+𝟔)=𝒇(𝟐𝟒).
Agora, vamos analisar 𝒇(𝟐𝟖) e 𝒇(𝟐𝟕). Note que:
𝒇(𝟐𝟐)=𝒇(𝟐𝟐+𝟔)=𝒇(𝟐𝟖).
Como 22 e 27 estão no intervalo [22,28[, pelo terceiro item listado anteriormente, temos:
𝒇(𝟐𝟖)=𝒇(𝟐𝟐)<𝒇(𝟐𝟕).
Portanto, a letra D é verdadeira.
a) 4 e [-2,2].
b) 4 e [-5,1].
c) 8 e [-2,2].
d) 8 e [-5,1].
a)
b)
c)
d)
a) A função 𝒇 é periódica com período 2.
b) A imagem de 𝒇 é o intervalo [-2,2].
c) A função 𝒇 é bijetora.
d) Existe 𝑥 ∈ℝ, tal que 𝒇(𝒙)= −𝟏,𝟓.
Parte superior do formulário