Mecanica Particula 1

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Cinemática Escalar da Partícula - Conceitos
 
I - CINEMÁTICA ESCALAR
A cinemática é a parte da física, especificamente da mecânica, que estuda o movimento
de um objeto. As observações e análises descreverão as diferentes posições ocupadas
pelo objeto em função do tempo sem considerar o que provocou esse movimento. As causas
que colocam o objeto em movimento, como sua massa e as forças que atuam sobre ele
serão estudadas em dinâmica.
a) Partícula ou Ponto material
As expressões partícula ou ponto material são usadas fisicamente quando um objeto tem
suas dimensões desprezíveis comparadas às dimensões de um dado referencial. Exemplo:
Um trem com 500 m de comprimento se deslocando entre as cidades de São Paulo e Belo
Horizonte com distância em torno de 650 km (referencial). Por maior que o trem seja, o
seu comprimento é muito pequeno quando comparado à distância entre as duas cidades.
Nesse caso, o trem pode ser considerado uma partícula ou ponto material.
 
II - CONCEITOS
Alguns conceitos são necessários para a descrição do movimento como: trajetória,
posição, percurso ou deslocamento escalar, velocidade e aceleração.
a) Trajetória
Trajetória é a linha formada pela união de todos os pontos que podem ser ocupados por
um móvel durante o seu movimento. Essa trajetória depende do referencial adotado, ou
seja, são definidas arbitrariamente uma origem sobre a trajetória e sua orientação. De
uma forma simples, trajetória é o caminho descrito pelo móvel.
 
 Figura 1: Trajetória percorrida por um móvel.
b) Posição
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A posição ou espaço é o ponto que o móvel ocupa na trajetória em um certo instante,
medida com relação a uma origem previamente escolhida. Na FIG.1 observa-se que o móvel
ocupa a posição S0 (origem) no instante t0 e a posição S1 no instante t1. A unidade de
posição é qualquer unidade de distância. Nas rodovias, é o quilômetro (km) e, no
Sistema Internacional (SI) a unidade é o metro (m).
** Observações importantes:
 A posição não indica o quanto o móvel andou.
 Posição positiva não significa que o movimento seja necessariamente a favor da
orientação da trajetória. Da mesma forma, posição negativa também não significa
que o movimento seja obrigatoriamente contra a trajetória.
 Posição nula não significa que o móvel esteja obrigatoriamente em repouso.
 
c) Percurso ou Deslocamento Escalar
O percurso (ou deslocamento escalar) é a variação da posição do móvel em um certo
intervalo de tempo. Na FIG.1 o percurso é dado por: ΔS = S1 – S0 .
A distância total percorrida (d) corresponde à soma dos módulos de cada deslocamento
parcial:
Importante: Para a determinação da distância total percorrida, interessa por onde o
móvel passou no meio do caminho.
 
** Observações importantes:
 O fato do percurso ser positivo não significa que o movimento tenha sido sempre
a favor da trajetória.
 O percurso não é obrigatoriamente a distância percorrida. Isso só acontecerá
quando o movimento for sempre no mesmo sentido e a favor da orientação da
trajetória.
 Quando o percurso for nulo não significará que necessariamente o móvel tenha
ficado em repouso. O móvel pode ter se movido e retornado à posição inicial. 
 
d) Velocidade média (vm)
A velocidade média é definida pela relação entre o percurso e o correspondente
intervalo de tempo:
 
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No Sistema Internacional de Unidades (S.I.) a unidade de velocidade é metros por
segundo (m/s). É também muito comum o emprego da unidade quilômetros por hora (km/h).
 
Método prático de transformação de unidades:
 
 
** Observações importantes:
A velocidade média não é a simples média aritmética das velocidades.
Se o móvel retornar à posição inicial através da mesma trajetória, a velocidade
escalar média será nula.
A velocidade média é uma grandeza algébrica, ou seja, pode ser positiva, negativa
ou nula.
 
e) Velocidade Instantânea:
Velocidade instantânea (v) é a rapidez com que o móvel se desloca em um determinado
instante de tempo. Essa velocidade instantânea é o valor para o qual a velocidade
média se aproxima à medida que o intervalo de tempo torna-se progressivamente menor,
ou seja:
 
A equação acima pode ser escrita em termos da derivada do deslocamento S em relação ao
tempo t. Sendo assim, pode-se escrever:
 
** Observações importantes:
 Quando a velocidade instantânea á positiva, nesse instante, o móvel se desloca a
favor da orientação da trajetória. O movimento é dito progressivo.
 Quando a velocidade instantânea é negativa, significa que, no instante
analisado, o móvel desloca-se contra a orientação da trajetória. O movimento é
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dito retrógrado.
 
f) Aceleração média (am):
São poucos os movimentos em que o móvel se desloca sempre com a mesma velocidade. A
aceleração mede com que rapidez acontecem as mudanças na velocidade. Sendo assim,
aceleração média é a relação entre a variação da velocidade instantânea e o
correspondente intervalo de tempo:
Como decorrência da definição, a unidade de aceleração no S.I. é m/s2 (lê-se metros por
segundo ao quadrado) . Assim, quando a aceleração de um carro é 5 m/s2, isso significa
que a velocidade varia de cinco metros por segundo a cada segundo.
 
** Observações importantes:
 Quando a aceleração e a velocidade tem o mesmo sentido, ou seja, em termos
algébricos, quando a aceleração e a velocidade são positivas (a favor da
trajetória), ou ambas são negativas (contra a trajetória), o movimento é dito
acelerado e a velocidade é crescente.
 No momento em que a aceleração e a velocidade tem sentidos contrários, sendo
algebricamente, quando a velocidade é positiva (a favor da trajetória) e a
aceleração é negativa; ou, quando a velocidade é negativa (contra a trajetória) e
a aceleração é positiva, o movimento é dito retardado e a velocidade é
decrescente. 
 
g) Aceleração instantânea (a)
Da mesma forma em que foi definida a velocidade instantânea, a aceleração instantânea
é a taxa de variação da velocidade em um intervalo de tempo infinitesimal:
Em Cálculo a equação acima é definida como a derivada da velocidade v em relação ao
tempo t. Sendo assim, pode-se escrever: 
III - Exercícios Resolvidos
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Exemplo 1: Uma partícula desloca-se de acordo com a seguinte equação de velocidade em função
do tempo: v(t) = 12.t - 6.t2 (em S.I). Sabe-se que no instante t = 0 s, o móvel passa pela
posição S(0) = 8 m. Determine:
a) a equação horária do movimento, S(t):
b) os intantes em que o móvel para:
c) as posições de parada do móvel:
d) os gráficos cartesianos (t,a), (t,v) e (t,S)
 
Resolução
a)
Para a determinação da equação horária, S(t), é necessário integrar a equação da velocidade
v(t):
Em razão de ser um integral indefinica, aparece uma constante C, denominada de constante de
integração. Para encontar a equação horária do movimento, o valor da constante C deve ser
conhecido. Como o problema forneceu uma condição de contorno, onde para o instante t = 0 s a
posição S(0) = 8 m, tem-se:
Portanto, a equação horário do movimento é:
b)
Os instante de tempo t em que o móvel se encontra parado (v = 0). Como a equação da
velocidade é conhecida, temos que igualar a zero:
Portanto, os instantes em que o móvel encontra-se parado são: t = 0 s e t = 2s.
c)
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As posições de parada do móvel corresponde as posições do móvel nos intantes t = 0 s, S(0), e
t = 2 s, S(2):
Portanto, as posições de parada do móvel são: S(0) = 8 m e S(2) = 16 m.
d)
A equação da horária da aceleração é obtida por meio da derivada da velocidade v em relação
ao tempo t:
Exemplo 2: O movimento de um ponto material é dado pela equação horária: S(t) = 5.t3 - 4.t2 +
8.t - 2 (em S.I.). Determine:
a) a posição da partícula nos instantes 1 e 4 s;
b) o percurso da partícula no intervalo de tempo de 1 a 4 s;
c) a velocidade escalar média da partícula no interbalo de tempo de 1 a 4 s;
d) a equação da velocidade em função do tempo;
e) a aceleração média no intervalo de tempo de 1 a 4 s; e
f) a equação da aceleração em função do tempo
 
Resolução
a)
Como foi fornecido pelo problema a equação horário do movimento, temos para t = 1 s,
S(1), e para t = 4 s, S(4):
b)
O percurso da partícula é obtido pela diferença entre a posição inicial S(1) e a
posição final S(4):
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c)
A velocidade escalar média do ponto material é calcula pela definição de velocidade
média (a razão entre o deslocamento e o intervalor de tempo):
d)
Para obter a equação horária da velocidade em função do tempo, tem que derivar a
equação horária do deslocamento:
e)
A aceleração média é obtida pela razão entre a variação de velocidade e a variação do
tempo. Assim, precisa-se calcular o valor da velocidade para o instante t = 1 s, v(1),
e intante t = 4 s, v(4):
Assim:
f)
A equação horária da aceleração é obtida pela derivada da velocidade, v(t), em relação
ao tempo, t:
Exercício 1:
A equação do espaço S (em m) em função do tempo t (em s) para uma partícula móvel é:
S(t) = 2.t3 - 2.t. A velocidade média (vm) da partícula entre os instantes 2 s e 5 s
vale, em m/s:
A)
54
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B)
100
C)
64
D)
76
E)
28
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Exercício 2:
Um móvel executa trajetória retilínea cuja equação do espaço S (em metros) em função
do tempo t (em segundos) é dada por: S(t) = t2-6.t + 12. A distância (d) percorrida
pelo referido móvel entre os instantes 1 s e 4 s vale, em metros:
A)
0
B)
-3
C)
3
D)
7
E)
-7
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Exercício 3:
A equação do espaço s (em m) em função do tempo t (em s) para uma partícula móvel é:
S(t) = t2 - 4.t. A distância percorrida (d) pela partícula entre os instantes 1 s e 3
s é, em m:
A)
0
B)
2
C)
3
D)
6
E)
10
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Exercício 4:
A equação do espaço S (em m) para uma partícula móvel em função do tempo t (em s) é:
S(t) = t2 - 4.t. O deslocamento da partícula entre os instantes 1 s e 3 s é, em m:
A)
3
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B)
-3
C)
6
D)
4
E)
0
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Exercício 5:
Um móvel executa dois percursos consecutivos. O primeiro tem extensão de 40 km e é
percorrido em 0,5 h. O segundo tem extensão de 100 km e é percorrido em 2 h. As
velocidades médias (vm) do móvel no primeiro trecho e no segundo trecho são,
respectivamente, em km/h:
A)
40 e 100
B)
80 e 50
C)
20 e 100
D)
50 e 50
E)
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80 e 100
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Exercício 6:
Um móvel percorre dois trechos consecutivos. O primeiro tem extensão de 40 km e é
percorrido em 0,5 h. O segundo trecho tem extensão de 100 km e é percorrido em 2 h. A
velocidade média (vm) do móvel no percurso total vale, em km/h:
A)
56
B)
65
C)
75
D)
100
E)
2,5
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Exercício 7:
A equação do espaço S (em m) em função do tempo t (em s) para uma partícula móvel é:
S(t) = t2 - 6.t + 12. A distância percorrida (d) pela partícula entre os instantes 1 s
e 5 s é, em m:
A)
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0
B)
4
C)
8
D)
16
E)
24
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Exercício 8:
A equação espaço S (em metros) em função do tempo t (em segundos) para um móvel que
descreve trajetória retilínea é dada por: S(t) = -5.t3 + 7.t2 + 15. A equação da
velocidade v (em m/s) em função do tempo t (em s) para o referido móvel é dada por:
A)
v(t) = - 15.t2 + 14.t + 15
B)
v(t) = - 15.t3
C)
v(t) = 7.t
D)
v(t) = - 15.t2 + 14.t
E)
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v(t) = 14.t
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Exercício 9:
Um objeto realiza um movimento unidimensional ao longo do eixo x. A sua função horária no SI
é dada por:
Determine:
I) a velocidade instantânea do objeto; e
II) velocidade do objeto passados dois segundos do início do movimento.
A)
I - v(t) = 8,6t - 2 m/s
II - v(2) = 15,2 m/s
B)
I - v(t) = 8,6t m/s
II - v(2) = 17,2 m/s
C)
I - v(t) = 8,6 - 4t m/s
II - v(2) = 0,6 m/s
D)
I - v(t) = -4t m/s
II - v(2) = -8 m/s
E)
I - v(t) = 10 - 2t m/s
II - v(2) = 6 m/s
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