Livro 1 - Robortella Mecânica

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A coleção consta de 
oito volumes:
/Mecânica: Cinemática 
Mecânica: Dinâmica
^M ecân ica : Estática, Hidrostática e Gravitação 
Óptica Geométrica
r
O Termologia
6 Oscilações, Ondas e Acústica
/^Eletricidade: Eletrodinàmica
( 3 Eletricidade: Eletrostática e Eletromagnetismo
Cada capítulo apresenta as 
seguintes partes:
0. Introdução Teórica
ti. Questões Resolvidas
C Questões Propostas
d. Respostas
CfflïULO
1
s
A Física é o ramo da Ciência que, juntamente 
com a Matemática, a Biologia e a Química, 
procura explicar os fenômenos que ocorrem na 
Natureza, tais como os movimentos dos corpos, as 
trocas de energia entre sistemas, a 
propagação da luz, etc.
Introdução à Mecânica
• Mecânica — Para melhor analisar esses fenômenos, a Física é 
dividida em partes. A Mecânica é a parte da Física que estuda os 
movimentos dos corpos, bem como suas causas e conseqüências. 
Por sua vez, a Mecânica está subdividida em Cinemática. Dinâmica, 
Estática, Hidrostática e Gravitação.
10
(1571-1630)
Matemático e astrónomo alemão. 
Estabeleceu as leis cinemáticas do 
movimento dos planetas ao redor 
do Sol. Criou as bases para o 
futuro desenvolvimento da Mecânica.
(1564-1642)
Matemático o astrônomo italiano. 
Estabeleceu as leis do movimento dos 
projéteis e a Lei da Inércia. 
Introduziu o método científico na 
observação dos fenômenos e 
contribuiu decisivamente para o 
desenvolvimento da Mecânica.
Fisico e astrónomo inglês Fez a 
síntese das idéias de Kepler e 
Galileo. estabelecendo as Leis da 
Dmâmica e a Lei ca Gravitação 
Universal. Seus trabalhos modificaram 
a visão humana do Universo.
Unidade
Fundamentalmente. a solução de um problema de Física consiste 
em determinar as grandezas nele envolvidas. Medir uma grandeza 
é compará-la com outra de mesma espécie denominada unidade. 
Ouandc a unidade puder ser representada materialmente, teremos 
o padrão.
Sistemas de unidades mecânicas
Para medirmos as grandezas mecânicas, necessitamos de um 
conjunto de unidades denominado sistema de unidades mecânicas, 
definido pelas unidades das grandezas fundamentais: comprimento, 
massa ou força e tempo.
• Sistema Internacional (SI) — No Brasil, a partir de 1963, foi ado­
tado o Sistema Internacional (SI), cujas unidades mecânicas funda­
mentais estão representadas no quadro:
Grandeza Unidade Símbolo
comprimento metro m
massa quilograma kg
tempo segundo s
Devido às iniciais dos símbolos, este sistema de unidades também é 
conhecido como MKS.
12
• Sistema CGS — Com unidade® derivada» do Sistoma Interna* 
cional, podemos construir outro sistema de unidades mecânicas, o 
CGS. cujas unidades estão representadas no quadro:
Grandeza Unidade Símbolo
comprimento centímetro cm
massa grama g
tempo segundo s
• Sistema Técnico — É tradicionalmente utilizado em áreas téc­
nicas Suas unidades fundamentais são apresentadas no quadro:
Grandeza Unidade Símbolo
comprimento metro m
força quilograma-furça kgf
tempo segundo s
Usualmente adotam-se, ainda, as unidades quilômetro (compri­
mento) e hora (tempo), onde:
1 km = 1 000 m 
e
1 h = 3 600 s
Intensidade de uma grandeza
O resultado da comparação entre uma grandeza e a unidade é 
um número real (positivo ou nulo) denominado valor numérico da 
grandeza em relação àquela unidade.
O conjunto formado pelo valor numérico e pela unidade é deno 
minado intensidade da grandeza.
Exemplo:
( //////////#>/
-
Ao modlrmON u nlturo do um homom, obtemos 1.70 m.
Nosto cflHo, tomos:
grandeza medida: comprimento (altura): 
unidade: metro (m); 
valor numérico: 1.70; 
intensidade da grandeza: 1,70 m.
Assim, medir uma grandeza é, na realidade, determinar sua in­
tensidade
Ponto material
Quando as dimensões do objeto a ser analisado não interferem 
na solução do problema, dizemos que ele é um ponto material.
Um automóvel em viagem numa estrada pode ser considerado como um
ponto material.
Assim, um móvel em translação pode ser estudado como um 
ponto material.
Introdução à Cinemática
Movimento de translação de uma carga.
14
Na translação de um corpo, o comportamento de todos os seus 
pontos c o mesmo. Basta, então, estudar o comportamento de um 
único ponto (ponto material).
Resumindo:
Translação ■►o corpo pode ser considerado ponto material.
Durante uma rotação, as dimensões do objeto interferem na so­
lução co problema. Neste caso, não podemos considerá-lo como ponto 
material.
Na rotação de um corpo, cada ponto possui comportamento dis­
tinto dos demais, não podendo ser encarado como ponto material.
Resumindo:
Rotação ■►o corpo não pede ser considerado ponto material.
Observe que a Terra, juntamente com os demais planetas, pode 
ser considerada como ponto matéria em relação ao seu movimento 
de translação ao redor do Sol.
15
Porém, em relação ao movimento de rotação, em torno do seu 
próprio eixo. ela não pode ser considerada como ponto material.
ê$J& r/ac& 2.__________________________________ __________
Embora as dimensões do corpo estudado como ponto material não 
sejam consideradas, sua massa deverá ser levada em conta quando 
necessário.
Referencial
Os movimentos de um móvel devem ser analisados em relação 
a um sistema de referência, também denominado referencial.
O referencial está. em geral, associado a um outro corpo. Assim, 
por exemplo, o movimento do passageiro de um carro pode ser estu­
dado em relação ao “ referencial-carro" ou em relação ao “ referencial- 
-Terra
Dependendo do problema analisado, os referenciais tomados 
poderão ser uni. bi ou tridimensionais.
16
r rp • Aplicações
Referencial unidimensional: a localização de um móvel é feita 
através de um único número: Xp (coordenada).
Movimento de um corro numa estrada.
Referencial bidimensional: a localização do móvel é feita através 
dc dois números: Xp e Yp(coordenadas).
Referencial tridimensional: a localização do móvel P é feita através 
de três números: Xpf Y p e Zy (coordenadas).
Vôo de um pássaro num viveiro.
17
Movimento
Dizemos que um ponto materiai está em movimento em relação 
a um referencial quando sua posição se alterar ao longo do tempo 
neste referencial. Isso significa que, no mínimo, uma de suas co­
ordenadas varia com o tempo.
Mudança de posiçíío: movimento.
Aplicação
Um passageiro sentado está em movimento, 
juntamente com seu veiculo, em relação à Terra
Repouso
Dizemos que um ponto material está em repouso, em relação 
a um referencial, quando sua posição não se alterar ao longo do 
tempo, neste referencial. Ou seja. quando suas coordenadas neste 
referencial não sc alterarem com o tempo.
Posição inalterada: repouso.
18
i* Aplicações
1. Observe que um móvel pode se encontrar em repouso em relação 
a um referencial e em movimento em relação a outro.
Na figura abaixo:
• a caixa está em repouso em relação ao caminhão, pois sua po­
sição não varia em relação a ele (referencial B).
• a caixa está em movimento em relação à estrada, pois sua posi­
ção varia em relação a ela (referencial A).
Indica 3xposiçõo da caix3 
em relação ao caminhão.
a posição 
em 
à
estrada.
2. Na figura abaixo representamos a posição de um poste em relação 
a um carro. Se a posição do poste varia em relação ao carro, di­
zemos que o poste movimenta-se em relação ao carro.
V ® ®
Conclusão Movimento e repouso são conceitos relativos, depen­
dendo do referencial adotado. Ao descrevermos um movimento, é 
conveniente adotarmos um sistema de referência onde a descrição do 
fenômeno torne-se a mais simples possível.
& 19
Trajetória «
Denomina-se trajetória de um móvel a sucessão de posições
ocupadas por ele cm re ação ao referencial adotado.
Os sulcos deixados pelo veículo na areia indicam a trajetória do móvel.
trens percorrem uma trajetória previamente traçada.
A trajetória dos aviões a .ato pode ser observada através da fumaça que 
se origina da condensação do vapor dos gases liberados.
Geralmente, a trajetória é representada por uma função mate­
mática e sempre depende do referencial adotado.
Exemplo:
C .
Desprezandoas influências do ar, a trajetória de uma bomba, que 
cai de um avião em vôo horizontal com rapidez constante, será um 
arco ce parábola em relação ao solo e um segmento de reta vertical 
cm relação ao avião.
A orientação da trajetória e a escolha de uma origem sobre ela 
facilitam a análise do movimento, pois permitem a associação de 
sinais a algumas grandezas que o caracterizam.
Orientação da trajetória c escolha da origem (O)
Esquema simplificado:
Movimento progressivo «
O movimento de um móvel é progressivo quando efetuado a 
favor (no mesmo sentido) da orientação indicada no referencial.
©
Movimento retrógrado
0 movimento de um móvel é retrógrado quando efetuado contra 
(em sentido contrário) a orientação indicada no referencial.
©
Espaço
A posição P ocupada pelo móvel (M) num referencial, num dado 
instante t. pode ser determinada através da grandeza espaço.
p
e#>
c/*
/
22
0 espaço S é a medida algébrica do arco de trajetória que tem 
início na origem do referencial e extremidade na posição ocupada 
pelo móvel.
Ou seja: S = OP.
No Sistema Internacional, o espaço é medido em metros: no Sis­
tema CGS, em centímetros, e, no Sistema Técnico, em metros.
toî/zemdJim
Aplicações práticas
Marco quilométrico nas estradas:
Numeração das casas numa rua:
24
ü fó & va flfà L___________________________________________________
J. Ccnliecendo-se o espaço de um móvel não se tem Icéia se ele *va i\ 
“vem", ou simplesmente está em repouso. Se o móvel está no 
quilômetro 30. não significa que ele tenha andado 30 km.
i
2. Observe a figura seguinte Nela representamos um referencial associado
à própria estrada, onde se desenvolvem os movimentos dos móveis 
A. B C e D. Orientando-se este referencial, teremos as regiões positiva 
e negativa.
Podemos, então, escrever: móvel A: SA — — 30 km: 
móvel B: S „= + 2 0 k m ; móvel C (observador):
Sc = 0 .<m (origem): móvel D: SD = 0km (origem).
Para a mesma posição, três situações diferentes: o móvel A “vai", o móvel 
B ‘ vem’ e o observador C está em repouso.
L
Simpliíicadamente teremos:
í
I
Intervalo de tempo
Entre o início e o fim da análise de um movimento decorre um 
intervalo de tempo At definido como a diferença ent-e o instante 
final e o instante inicial
11. é sempre maior que tin: então, At será sempro positivo.
Um fenómeno f r \ 0 fenômeno
físico tem seu W r * seu término
início quando o quando o
cronômetro . i — ! cronômetro
registra 5 s. registra 15 s.
Logo: v Logo:
*»n = 5 S instante finai — tfh. = 15 s
à r
Duração do fenômeno
\ i ‘ s
Intérvalo de 
tompo At *"
/ I I v
At = tf,„ - t(ll = 15s — 5 s Logo |A> -0 s|
26
Deslocamento escalar
Deslocamento escalar AS de um móvel num dado intervalo de
tempo é a diferença entre o espaço final e o espaço inicial das 
posições que ele ocupa nos extremos deste intervalo.
Ou seja: AS — Srm — Sir,
Deslocamento escalar: AS = S,
Esquema simplificado: s .
Vejamos, agora, qual a interpretação física que devemos dar para 
os sinais do deslocamento escalar.
1) Se, por exemplo, no instante 4 s um móvel ocupa a posição inicial 
determinada por Si„ — 10 m e num instante 12 s ele ocupa a po­
sição final determinada por Sn« — 30 m. seu deslocamento escalar 
será:
à
I
I
Intervalo de tempo 
Deslocamento escalar
A' — tfi„— tj,,
At = 12 s 4 s — 8 s
AS = Sflll S|M
AS 30 m — 10 m = +20 m
^ Conclusão : Durante o intervalo de tempo de 8 s, o móvel teve um 
^ des ocamento escalar de +20 m. ,
O sinal “ mais” significa que, se o móvel manteve sempre o mes­
mo sentido de percurso, seu movimento desenvolveu-se a favor 
do sentido do referencial unidimensional adotado.
Assim, nos movimentos progressivos, o deslocamento escalar é 
positivo.
2) Se no instante 15 s o móvel ocupa a posição inicial determinada 
por $ i;, = 35m e no instante 25 s ele ocupa a posição final deter­
minada por Sun — 20 m. seu deslocamento escalar será:
AS = Sm, — Si„ = 20 m — 35 m => AS = —15 m
s n„ - 20 m
Intervalo dc tempo A* tfin — *iii
At = 25s — 15s = 10 s
Deslocamento escalar AS = SflI(- S iuAS = 20 m — 35 m = 15 m
Conclusão: Durante o intervalo de tempo de 10 s. o móvel teve um 
deslocamento escalar de —15 m.
O sinal "menos" significa que, se o móvel manteve sempre o mes­
mo sentido de percurso, seu movimento desenvolveu-se contra o 
sentido do referencial unidimensional adotado.
Assim, nos movimentos retrógrados, o deslocamento escalar é 
negativo.
Movimentos progressivos - ► AS > 0
Movimentos retrógrados AS < 0
Ouando o móvel retorna ao ponto de partida ou permanece em repouso, 
o deslocamento escalar é nulo.
posição
inicial
Distância percorrida
A distância percorrida por um móvel é a soma dos módulos dos 
deslocamentos escalares realizados por ele durante seu movimento, 
acrescida da unidade correspondente.
Assim, por exemplo, a distância percorrida por um automóvel 
corresponde à quilometragem feita por ele durante uma viagem. 
Resumindo:
d = |ASi| + |AS»| + . . . + |ASn|
Exemplo:
Para um móvel que parte da posição A, atinge B e retorna, che­
gando ao ponto C, teremos:
1) AS = So — S a = 0 m — 10 m — 10m
2) d — AB + BC = 10m + 20m = 30 m
O « inholo ,\ S dovo anr entendido como módulo da grandeza AS e 
corroapondo ao valor rtumórico da grandeza AS rjue ó um número real 
positivo ou nulo.
Exemplo:
AS n -2 m - ► AS| =4-2
Velocidade escalar
Velocidade é a grandeza física que permite medir a rapidez com 
que um móvel varia sua posição.
• Velocidade escalar média — Define-se velocidade escalar média 
de um móvel como o quociente do deslocamento escalar pelo intervalo 
de tempo correspondente.
Como o intervalo de tempo At é sempre positivo a velocidade 
escalar media V„, terá o mesmo sinai do deslocamento escalar AS.
Ou seja: VnJ =
At tfin tin
©
30
• Velocidade escalar instantânea — Ouando o intervale de tempo 
At tende a zero. a velocidade escalar média tende à velocidade escalar 
instantânea.
Ou seja:
Posições sucessivas do um móvel entre dois instantes muito próximos.
velocidade média do 
móvel entre dois instantes 
muito próximos
velocidade
instantânea
• Unidades de velocidade
No Sistema Internacional, a velocidade é medida em m/s; no Sis­
tema CGS, em cm/s; no Sistema Técnico, em m/s. e, usualmente, 
mede-se também a velocidade em km/h.
Aplicações práticas
Velocidade escalar média: guarda rodoviário controlando o limite 
de velocidade de um veículo através de binóculo e cronômetro.
31
• Sinais da velocidade escalar — Nos movimentos progressivos a 
velocidade escalar instantânea é sempre positiva.
Nos movimentos retrógrados a velocidade escalar instantânea é
Ouando a velocidade de um móvel é instantaneamente nula, dize­
mos que ele está parado naquele instante.
Isto ocorre, por exemplo, no ponto mais alto do lançamento ver­
tical de uma pedra.
áà v = o
"" No instante em 
que atinge o 
ponto mais alto da 
J sua trajetória, o 
| móvel pára Porém, 
não permanece 
nessa posição com 
V. V = 0.
í
Quando a velocidade escalar instantânea de um móvel perma­
nece nula durante um intervalo de tempe At, dizemos que ele está 
em repouso naquele intervalo.
i Complementos
• A intensidade da velocidade escalar instantânea pode ser regis­
trada num instrumento denominado tacómetro (velocímetro).
O velocímetro do automóvel registra a intensidade tía velocidade escalar instartãrea
(rapidez do movimento).
• Algumas velocidades significativas:
Velocidade da luz no vácuo ............................................... 300 000 km/s
Velocidade do som no ar à temperatura de 20“ C . . 344 m/s 
Velocidade média de translação da Terra ao redor
do Sol .................................................................................... 30 km/s
Importante: A velocidade é grandeza que depende do referencial ado­
tado. Assim, uma pessoa dormindo em sua casa possui velocidade 
nula em relação à Terra, mas está dotada de velocidade não-nula em 
relação ao Sol.
\
-
»
I Ct*
33
Aceleração escalar
Aceleração é o grandeza físicaque permite medir a rapidez com 
que um móvel varia suei velocidade.
• Aceleração escalar média — Num intervalo de tempo M. um 
móvel var a sua velocidade escalar de V.n a Vfln.
©
km. h
r 7 sV©'
km.h
Define-se aceleração escalar média do móvel como o quociente 
da variação de sua velocidade escalar pelo intervalo de tempo cor­
respondente.
Ou seja:
O sinal da velocidade 
só indica o sentido 
do movimento.
V,0 - 4C km/h Vf,u 4 85 krn - h
No exemplo:
85 40 45
= ------------= -----
30 - 15 15
34
• Aceleração escalar instantânea — Quando o intervalo de tempo 
At tende a zero, a aceleração escalar média tende à aceleração escalar 
instantânea. At —o
Ou seja: a == lim a.-„ 
a:-» ü
• Unidades de aceleração
AV
Lembrando que a,u = ----- , então podemos concluir que:
At
unidade de 
unidade de velocidade
aceleração unidade de
tempo
Assim, no Sistema Internacional teremos:
unidade de 
velocidade
unidade de 
tempo
No Sistema
unidade de 
velocidade
unidade de 
tempo
No Sistema
unidade de 
velocidade
unidade de 
tempo
km/h
Uma unidade usual é
s
Aplicação prática
Análise do desempenho de um automóvel: a velocidade de um 
Corcel GT varia de 0 a 100 km/h num intèrvalo de tempo de 17,15 s: 
a velocidade de um Passat TS varia de 0 a 100 km/h num intervalo 
de tempo de 15,30s. (Dados extraídos ca revista Quatro Rodas de 
junho de 1979.)
• Sinais da aceleração escalar — Analisemos o movimento de um 
veículo onde, em cada um dos casos abaixo, o motorista procura 
manter a leitura no velocímetro ou permanentemente crescente ou 
permanentemente decrescente. Lembre-se de que o velocímetro só 
registra as intensidades das velocidades; os sinais serão dispostos 
de acordo com o sentido do movimento do móvel.
1} As velocidades do veículo crescem algebricamente:
Instante t«„ - 5s tf n - 10s
Velocidade Vj,, — —5 m/s Vf| „ - 4-15 m/s
A velocidade final é algebricamente maior que a velocidade n ciai.
1 5 - 5
a... -
1 0 - 5
a,, - + 2 m/s*
I
Velocidade Vh: — 15 m/s
A velocidade ̂
está 
crescendo 
algebricamente-. 
a ( I ). Instante
A ve ocidade final é algebricamente maior que a velocidade inicia!.
= —
( -15)
10 5
a„ - - 2 m/s
O sinal da velocidade só indica o sentido do movimento
Conclusão: A aceleração escalar do móvel é positiva sempre que 
-- sua velocidade escalar crescer algebricamente.
2) As velocidades do veículo decrescem algebricamente:
A velocidade está 
decrescendo 
algebricamente: a ( )
Instante ti» - 5 s tr.„ = 10 s
Velocidade V,., - +15 m/s v n. “ +5 m/s
A velocidade final é algebricamente menor que a velocidade inicial. 
5 - 1 5 aai = —2 m/s-
Instante t,» “ 5 s Win — 10 s
Velocidade V;1I - - 5 m/s Vr.i. ™ -1 5 m/s
A velocidade final 6 algebricamente menor que a velocidade inicial. 
-1 5 - ( - 5 )
am — a„ = —2 m/s-
O sinal da veiocidade só indica o sentido do movimento.
Conclusão: A aceleração escalar do móvel é negativa sempre 
que sua velocidade escalar decrescer algebricamente.
% //M /n ã /à n 37
Movimentos acelerado e retardado
Quando a intensidade da velocidade escalar de um móvel cresce 
num intervalo de tempo, o movimento é denominado acelerado.
Movimento acelerado
A velocidade aumenta em intensidade.
Corresponde á situação em que as leituras do velocímetro 
assumem valores crescentes.
Quando a intensidade da velocidade escalar de um móvel decresce 
num intervalo de tempo, o movimento é denominado retardado.
Movimento retardado
A velocidade diminui em intensidade.
Corresponde à situação em que as leituras do veloe metro 
assumem valores decrescentes.
Resumo geral — Observe, nas duas pranchas a seguir, que o 
sinal da aceleração de um móvel nada tem a ver com o fato de seu 
movimento ser acelerado ou retardado. Assim, o fato de a aceleração
38
ser positiva não implica necessariamente que o movimento seja ace­
lerado. bem como o fato de a aceleração ser negativa não implica 
necessariamente que o movimento seja retardado.
MOVIMENTO ACELERADO
Cálculo tía aceleração
Entre Os e 5 s:
km/h
Entre 5 s e 10 s:
8 0 - 6 0 km/h
$ 1 0 - 5 s
ACELERAÇÃO POSITIVA 
VELOCIDADE POSITIVA MOVIMENTO ACELERADO
MOVIMENTO ACELERADO
Cálculo da aceleração
Entre Os e 5 s:
- 6 0 - (-40 )
a — -----------------
5 - 0
ACELERAÇÃO NEGATIVA 
VELOCIDADE NEGATIVA
Entre 5 s e 10 s : .
30 - (—60)
a ------------------
1 0 - 5
MOVIMENTO ACELERADO
O sinal da velocidade só indica o sentido do movimento.
Movimento acelerado: velocidade c aceleração tém o IVESMO SINAL!
f
Cálculo da aceleração
Entre 0 s e 5 s
60 80
a —------ -—
3 - 0
l km/h
Entre 5 s e 10 s:
40 - 60 km/h
s 1 0 - 5 s
ACELERAÇÃO NEGATIVA 
VELOCIDADE POSITIVA MOVIMENTO RETARDADO
MOVIMENTO RETARDADO
Cálculo da aceleração
Entre 0 s e 5 s:
-60 - (-80)
a ------------------
5 - 0
km/h
a .. T-4------ -
Entre 5 s e 1C s:
-40 - (-60) km/h
s 1 0 - 5 s
ACELERAÇAO POSITIVA 
VELOCIDADE NEGATIVA MOVIMENTO RETARDADO
O sinal da velocidade só indica o ser*, do do movimento
Movimento retardado: velocidade e aceleração têm SINAIS OPOSTOS!
40
Portanto:
Movimento acelerado
Velocidade e aceleração têm o mesmo sinal. - v
. a > 0
Movimento retardado
Velocidade e aceleração têm sinais opostos. - V . a < 0
Representação gráfica
A variação de uma grandeza em 
visualizada através ce um diagrama.
função do tem oo pode ser
Assim, o comportamento das ondas cerebrais de um homem pode 
ser estudado através de um eletroencefalograma: um tremor de terra 
pode ser analisado através de seu registro num sismógrafo.
'W
ft
Analogamente, podemos analisar as variações do espaçe S. da 
velocidade V e da aceleração a através de seus diagramas horários 
S X t . V X t e a X t .
A leitura direta de um diagrama horário informa-nos sobre o com­
portamento da grandeza ern estudo ao longo do tempo.
Exemplo:
Da leitura direta do gráfico V X t abaixo, podemos concluir que:
• De Os a 5 s . V > 0 (movimento progressivo) e V cresce (movi­
mento acelerado).
• De 5 s a 10s, V > 0 (movimento progressivo) e V decresce 
(movimento retardado).
• De 10 s a 15 s, V < 0 (movimento retrógrado) e jV| cresce (mo­
vimento acelerado).
• De 15 s a 20 s. V < 0 (movimento retrógrado) e V decresce 
(movimento retardado).
42
' f ln
Gin
G
y\<x ! AGi
~A At 1
/ a ; ii
/ "■
*fln t
Elementos gráficos
Além da leitura direta, há dois outros elementos de interesse 
no estudo de um diagrama horário: o declive da curva e a área sob 
o gráfico.
• Declive de uma curva * —
Dado um diagrama horário de 
uma grandeza G (S. V ou a), cha­
mamos de declive do gráfico a 
tangente trigonométrica do ân­
gulo formado pelo gráfico e o 
eixo horizontal, medido no sen­
tido anti-horário a partir do eixo
t. Ou seja: | dec = tgõ~ .
Gráfico retilíneo: dec = tg a =
AG _ Gfln — G|n
At trtn — tln
Gráfico curvilíneo:
• declive médio 
deCm — dec ĵ^p. ̂ tg &
• declive num ponto 
deci» = tg a
Sinais do declive:
• para 0o < a < 90°, dec > 0.
Exemplo:
6 — 3
dec (o» m j»)-----------— “M ,5 —>
2 - 0
dec«)» mi‘») — 4-1.5 
• para 90° < a < 180°, dec < 0.
Exemplo:
dec. s - h 7») =
0 - 6
7 - 5
= - 3 = >
dec <5. W 7 •! = —3
• Para a = 0\ dec = 0. 
Exemplo:
6 - 6
dec (2 « H 5 •) = 0
_________ 5 — 2
j dec<2 ■h »»i — 0
* Pera maior facllidace. ver Apêndice (Pranchas Matemática») no lina l deste liv ro
Admite-se que a escala de representação da grandeza G e da grandeza t
seja a mesma. f
Exemplo:
eixo da grandeza G (ordenada): 1 cm representa 1 m/s;
eixo da grandeza t (abscissa): 1 cm representa 1 s._________________________
• Área sob o gráfico — Mui­
tas vezes a área entre o gráfico 
e o eixo dos tempos é numerica­
mente igual a uma certa gran­
deza física G, ou seja, A *? G .
Por outro lado, em muitos 
casos, o sinal desta grandeza 
está associado ao fato de o grá­
fico estar acima ou abaixo do 
eixo dos tempos. Podemos, en­
tão. adotar a seguinte conven­
ção:
• área calculada acima do eixo 
dos tempos: G > 0;
• área calculada abaixo do 
eixo dos tempos: G < 0.
Exemplos:
8 + 4
D A IO» H2 «) . 2 —
= 12 — > Ato» h 2») = 12 
A ;2« m * h) — 2 . 8 = 16 = 
—> A(2«h i >0 = 16 
2 . 8
A h «h 6») =•--------= 8 :
==> A « « MA») — 8
Portanto, A(0, h 6*j = 12 +■ 
+- 16-h 8 = 36
Sendo A 5 G, vem: |G = -f36 
4 .8
2) A(«. mio») 16
Sendo A ̂G. vem: | G = —16
1. CESCEA — Um homem, ao inclinar-se sobre a janela do vagão 
de um trem que .se move com velocidade constante, deixa cair 
seu relógio. A trajetória do relógio, vista pelo homem do trem. 
é (despreze a resistência do ar):
a) uma reta.
b) uma parábola.
c) um quarto de circunferência.
d) uma hipérbole.
e) Nenhuma das anteriores.
Resolução: Embora caia verticalmente, aproximando-se do chão, hori- 
zontalmcntc o relógio acompanha o trem, devido ao seu embalo inicial. 
Assim, em relação a uni referencial fixo no trem, a trajetória do objeto 
será um segmento de reta vertical.
O mesmo ocorre quando um avião, voando horizontalmente com velo­
cidade constante, abandona um objeto que cai livre da resistência do ar.
— O ----
\
Resposta: alternativa a.
45
2. CESCEA — Na questão anterior, a trajetória vista por uma pessoa 
no solo é:
a) uma reta.
b) uma parábola. f
c) uma hipérbole.
d) um quarto de circunferência.
e) Nenhuma das anteriores.
Resolução: Fm relação a uni referencial fixo no solo, o relógio será 
dotado de dois movimentos simultâneos: queda vertical e deslocamento 
lateral. A combinação desses movimentos resulta em um arco de pará­
bola, conforme você pode observar no exemplo do avião.
Resposta: alternativa b.
3. ITA — Um homem sobe uma escada que se apóia contra um edi­
fício. A escada tem seu topo a 8 m do solo e a base está a 6 m 
do edifício, conforme figura abaixo. Ele sobe ao topo em 4 s e. 
daí, cai ao ponto B no próximo segundo. A velocidade escalar 
média entre A e B é de:
Cv a) 3.2 m/s.
b) 1.2 m/s.
c) 3,6 m/s.
d) 5.25 m/s.
Bl_______________- N .a e) Nenhuma das respostas anteriores.
Resolução: Do enunciado da questão, temos:
CB = 8 m, AB = 6m , AtAC = 4 s e Atou = 1 s
C
Por Pitágoras, podemos escrever: 
(AB)2 + (CB)2 = (AC)2 
(6)2 -4- (8)2t= (A C )2
(AC)2 = 1 0 0 = > AC = 10 m
Lembrando a definição dc velocidade escalar média, vem: 
. . AS AC + CB 10-f-8 18
" 6
■ât AtAC -j- AtfB 4 -f- 1 5
Logo: Vrn = 3 ,6m /s
Resposta: alternativa c.
46
4. MACKENZIE — Sejam M e N dois pontos de uma reta e P o ponto 
médio de MN. Um homem percorre MP com veloc dade constante 
de 4,0 m /s e PN com velocidade constante de 6,0 m /s. A velo­
cidade média do homem entre M e N é de:
a) 4,8 m /s.
b) 5,0 m/s.
c) 5.2 m /s.
d) 4.6 m/s.
e) Nenhuma das anteriores.
Resolução: Quando um móvel mantém sua velocidade constante, as 
velocidades media e instantânea tem o mesmo valor.
y © g © a
At, At,
Ou seja:
velocidade
constante
V = V,
Assim, para o trecho MH podemos escrever:
AS, AS
Vm, = 4 m/s = > --------- = 4 = > At, = ------
* At, 4
Para o trecho PN, teremos:
AS2
Vrn = 6 m / s = > --------- = 6 = >
Ata
A velocidade media total será:
ASp AS, -{- ASaV — —
At? At, -}- Ato
Ata
ASa
6
(UI)
Substituindo-sc
AS,
AS,
(I) e (II) em (III), vem: 
-I- AS. _ AS, + AS*
ASo ~ 3 AS, + 2ASa
(D
( I I )
12(AS, + AS-.) 
3AS, -f- 2ASo
4 6 12
47
Pelo enunciado, sendo P o ponto niédio do trecho MN, então MP — PN 
ou AS, - AS,.
Portanto:
12(AS, + AS,) 2 4 # ,
~~ '
V«
24
3AS, -f 2AS, 
Conclusão:
4,8
VmT — 4,8 m/s
Resposta: alternativa a.
5. MAPOFEI — Um automóvel percorre a distância entre São Paulo 
e São José des Campos (90 km) com a velocidade média de 
60 km/h; a distância entre São José dos Campos e Cruzeiro 
(100 km) é percorrida com a velocidade média de 100 km/h e entre 
Cruzeiro e Rio de Janeiro (210 km) com a velocidade média de 
60 km/h. Calcule a velocidade média do automóvel entre São 
Paulo e Rio de Janeiro.
Resolução: Para o trecho (1) (São Paulo— São José dos Campos):
AS, AS, 90
Vm = ------ = > At, = -----— = > A t, = ------ = 5
1 At, V». 60
At, = 1,5 h
Para o trecho (2) (São José dos Campos—Cruzeiro):
AS2 AS2 100
V„, = ----i = > Ata = ---- — = > At. = --------- = >
Ato 100
Ato = 1,0 h
Para o trecho (3) (Cruzeiro— Rio de Janeiro):
AS» AS3 4 210
At3 —--------- — ̂At:, —V« = - 
1 At: 60
At:, = 3,5 h
Assim, o intervalo de tempo total para ir de São Paulo ao Rio de
Janeiro será: _________
At = At, 4 Ato 4- At:, = 1,5 4- 1,0 4 3,5 = > At = 6,0 h
48
O deslocamento total do automóvel será: 
áS = AS, 4 AS . 4 AS3 = 90 4 100 4 210 = > 
Portanto:
AS = 400 km
V,
400
6
Vm — 66,6" km/h
Resposta: A velocidade média do automóvel em todo o trecho foi de 
66,67 km/h.
6. CESGRANRIO — Numa avenida longa, os sinais são sincronizados 
de tal forma que os carros, trafegando a uma determinada velo­
cidade, encontram sempre os sinais abertos (onda verde). Sa­
bendo que a distância entre sinais sucessivos (cruzamentos) é 
de 200 m e que o intervalo de tempo entre a abertura de um sinal 
e o seguinte c de 12 s. com que velocidade os carros devem 
trafegar para encontrarem os sinais abertos?
a) 30 km/h
b) 40 km/h
c) 60 km/h
d) 80 km/h
e) 100 km/h
Resolução: Suponhamos que um carro esteja chegando num sinal 
vermelho.
Quando o sinal abrir, ele terá 12 s para percorrer 200 m até o próximo 
sinal, que deverá estar passando do vermelho para o verde.
At
Calculemos, então, com que velocidade média o carro deverá fazer 
este percurso.
Sendo AS = 200 m c At = 12 s, vem: 
AS 200 50
V ... —— ■ ■ ■ ■ v m =
50
At 12 3
Lembrando que I m/s = 3,6 km/h, ternos: 
50
m/s
V,„ = . 3,6 km/h V'n-, = 60 km/h
Resposta: alternativa c.
49% /s/ £ m d / ü r/ '
7. UNIVERSIDADE DE TAUBATé — Uma bicicleta move-se sobre 
uma estrada curvilínea com velocidade escalar instantânea igual 
a — 4 rn./s. O sinal negativo indica que:
a) a bicicleta tem velocidade decrescente.
b) a bicicleta se move em marcpa a ré.
c) o movimento tem sentido contrário ao da orientação positiva 
da trajetória.
d) é impossível tal situação; não há significado físico para velo­
cidade negativa.
Resolução: A velocidade escalar negativa indica que o objeto se move 
contra a orientação do referencial.
Assim, diremos que o movimento da bicicleta é retrógrado.
)
Resposta: alternativa c.
8. UNIVERSIDADE DA BAHIA — O maquinista aciona os freios de 
um trem, reduzindo sua velocidade de 80 km/h para 6C km/h, no 
intervalo de 1 min. Neste intervale, a aceleração do trem foi de:
a) 20 km/h-’.
b) —20 km/h2.
c) —0.3 km/h2.
d) 1.2 . 103 km/h-.
e) —1.2 . 103 km/h2.
Resolução: Lembrando que a„, AV Vfla — V|n
At At
podemos es-
crcver:
&B) —
Logo: 
3iu — —
60 km/h — 80 km/h 
1 min
20 km/h km/h
1 min
a» = - 2 0
mm
50
Ou seja, o trem reduz sua velocidade, cm média, de 20km/h em cada 
minuto.
Como 1 min = ------h, entào:
60
am = - 2 0 . 60 km — => am = —1 200 km/h2 
h
Assim:
a,3 : 1.2 . 103 km/h2|
O sinal menos (—) significa que a velocidade escalar do móvel diminui 
algebricamente.
Resposta: alternativa e.
9. MEDICIMA DE LONDRINA — A tabela abaixo dá a velocidade es­
calar (V) de um corpo em função do tempo (t):
t(s) 0 2 4 6 8
V(cm's) -3 4 11 18 25
A pa-tir destes dados, assinale o gráfico que melhor representa
am «o *ih 2 (| = ---------------- — H--------- — -f-3,5 cm/ s
2 - 0 2
B in <2 « H < *1 = ----------------- - = H------------— - j - 3 , 5 c m / s - '
4 - 2 2
|-------= -f 3,5 cm/s*
. 2
a.-ii <4 a H 6 sl —
6 - 4
51
3m(uHM8 *) — ---------------- — H--------- — + 3 ,5 cm /s2
8 - 6 2
Portanto, a aceleração media é constante c sua representação gráfica 
é uma reta paralela ao eixo dos tempos (eixo horizontal).
Resposta: alternativa a.
10. ITA — No estudo do movimento de um móvel (em trajetória reti­
línea), medindo-se a velocidade a cada segundo a partir de um 
instante t — 0 s e de um ponto x0 ob:eve-se a seguinte tabela:
V(m/s) 1.0 2.0 6.0 8.0 9.0 10.0 12.0 13.0 14.0 15.0 15,0 15.0 14.0 10,0 5.0 2.0
t(s) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 80 9.0 10.0 110 12.0 13 0 14,0 15.0
As acelerações médias do móvel entre es instantes 4 s h 5 s , 
10s m 11s e 13 s m 14s foram, respectivamente (em m/s2):
a) 1.0: 0.0 e 4.0.
b) 4.0; 0,5 e -4 .0 .
c) 2.0; 2.0 e -2 .0 .
d) 2.0; 0.0 e -4 ,0 .
e) 1.0; 0.0 e —4.0.
n . . » ^ fin ^ :nResolução: Como am — --------------- , temos:
tíin — tin
(4,0 » H ’».O *) —
1 0 ,0 -9 ,0 
5,0 - 4,0
am(4«HG«) — 1,0 m/S-
am : 10.0 & H 11,0-a» —
15,0 — 15,0
1,0
1,0
0,0
— 1,0 m/s2
3.H 113.0 1 H 14,0 s) —
1 1 ,0 -1 0 ,0 1,0
am(to « HM «) = 0,0 m/s*
6 ,0— 10,0 -4 ,0
= 0,0 m/s*
14,0— 13,0 *1,0
— —4,0 m/s*
amíl3sHHj) — —4,0 m/s*
Resposta: alternativa c.
11. MEDICINA DE SANTOS — Um ponto material desloca-sc com uma 
certa velocidade segundo um eixo orientado, adquirindo, na ori­
gem deste, uma aceleração constante de —15 cm/s2. Após 6,0 s 
sua velocidade é de 30 cm/s, dirigida segundo o sentido negativo 
do eixo. A velocidade do ponto material no instante cm que lhe 
foi comunicada a aceleração é de:
52
a) 15 cm/s.
b) 30 cm/s.
c) 45 cm/s.
d) 60 cm/s.
e) Nenhuma das anteriores.
Resolução: Do enunciado, temos a informação:
Vfu = — 30 cm /s (velocidade contrária à orientação do referencial). 
VfIn — V ,0
Lembrando que aw
t = 0,0 s V,„ = ?
t = 6,0 s
'fii>
At
•©
■©
vem:
- 1 5
- 3 0 - V,
- 9 0 = - 3 0 - V,B 
= > Vla = 9 0 - 3 0 = >
Viu = 00 cm/s
Resposta: alternativa d.
12. FEI — O gráfico da velocidade de um ponto material em função 
do tempo é o que se vê na figura abaixo. Pode-se dizer que:
a) o movimento é acelerado durante todo o tempo.
b) o movimento é retardado nos trechos AB, CD e DE.
c) o movimento só é retardado no trecho AB.
d) o movimento é retardado nos trechos AB e CD.
e) nenhuma das afirmações anteriores está correta.
53
Resolução: As grandezas físicas escalares podem ter suas variações 
com o tempo ilustradas através de uma representação gráfica. A leitura 
de um gráfico nos permite tirar conclusões a respeito do movimento 
do móvel.
No caso cm questão, o gráfico V X t nos informa que:
Trecho AB: V| decresce = > movimento c retardado.
Trecho BC: velocidade se mantem constante.
Trecho CD: V| decresce = > movimento c retardado.
Trecho DE: V cresce = > movimento é acelerado.
Resposta: alternativa d.
13. MEDICINA DA SANTA CASA — O gráfico abaixo representa o 
espaço S de um móvel em função do tempo t. Pode-se dizer que 
a velocidade média no intervalo de Os a 7 s foi igual a:
c) 23 m/s.
d) 6,6 m /s.
e) 0 m/s.
«j, __^
Resolução: Lembrando que Vm — -------------, através da leitura direta
t f In t j n
do diagrama horário S X t podemos concluir que S() — 0 m e S7 = 0 m. 
Portanto:
Vai (0 * H 7 s)
Sv - So
7 - 0
0 - 0 0
------- = ------= 0 =>
7 7
—̂ ̂ai :o* h T«> — 0 m; S
Observe que o fato dc a velocidade média ser nula não implica que o 
móvel esteja cm repouso. No caso em questão, a velocidade média é 
nula porque o móvel ocupa a mesma posição nos instantes inicial e final. 
Resposta: alternativa e.
54
14. MEDICINA DO ABC — O gráfico abaixo representa a velocidade 
escalar em função do tempo de um veículo que se movimenta 
sobre uma trajetória retilínea.
O módulo da aceleração escalar média, no intervalo de 0 s a 10.0 s.
b) 2.0.
c) 2.5.
d) 5.0.
e) 10.0.
Resolução: Lendo o gráfico, concluímos que: 
para t = 0,0 s, Vrt — 20 m/s 
para t = I0,0s, V10 = Om/s
c . AV V|0 — V„
benao a*. = ------= ---------------- , vem:
At At
0 — 20
âjiMOHHio*.)----------------. . am(o,sH»'»*) — —2,0 m/s*
1 0 - 0
A velocidade final é aleebricamcnte menor que a velocidade inicial. 
Logo, em m/s2:
Resposta: alternativa b.
<<f s H 10 *1 - 2.0
55
1. MEDICINA DE 1TAJUBÁ — Um menino parado numa estação deixa 
cair uma pedra. Um observador, situado num trem que se desloca com 
movimento retilíneo para a esquerda, vê a pedra seguindo qual das traje­
tórias abaixo?
2. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — lodo movimento é relativo. Então, 
podc-sc dizer que, cm relação a um mesmo sistema de referência:
I) Sc A está em movimento em relação a B e B está em movimento em 
relação a C, então A está em movimento em relação a C.
II) Se A está parado em relação a B c B está parado em relação a C, então 
A está parado em relação a C.
Responder mediante o seguinte código:
a) I está certa e II está errada.
b) I está errada e II está certa. d) I e II estão erradas.
c) I c II estão corretas. c) Nada se pode afirmar.
3. MEDICINA DO ABC — A velocidade escalar média de um móvel é me­
lhor definida como sendo:
a) a média das velocidades escalares do móvel, ao longo do movimento.
b) o resultado da divisão do espaço percorrido pelo móvel pelo intervalo 
de tempo empregado em percorrer esse espaço.
c) o produto da aceleração pelo tempo.
d) o quociente da aceleração pelo tempo.
c) a media aritmética das velocidades inicial c final, relativas ao mesmo 
percurso.
56
4. ENGENHARIA DF. UBERLÂNDIA — Um passageiro dc ônibus verifi­
cou que o mesmo andou 10 km nos 10 primeiros minutos de observação c 
8 km nos 10 minutos seguintes. A velocidade média do ônibus foi:
a) pouco menor que 60 km/h.
b) igual a 60 km/h.
c) pouco maior que 60 km/h.
d) igual a 120 km/h.
c) impossível dc ser calculada.
5. PUC (CAMPINAS) Lm carro move-se com velocidade de 2 m/s durante 
10 s (l.a marcha): cm seguida, com 5 m/s durante 10 s (2.a marcha) e, de­
pois, com II m/s durante 10 s (3.a marcha). Desprcza-se a duração das 
mudanças de marcha.
a) A velocidade média do carro c dc 6 m/s.
b) A aceleração do carro é sempre nula.
c) A aceleração media do carro na duração do fenômeno é de 0,45 m/s-.
d) Nenhum dos resultados anteriores.
6. MEDICINA DF. CATANDUVA — Um automóvel percorre um trecho
retilíneo dc estrada, indo da cidade A ate a cidade B, distante 150 km da
primeira. Saindo às 10:00 h dc A. pára às ll:00h em um restaurante situa­
do no ponto médio do trecho AB, onde o motorista gasta exatamente uma 
hora para almoçar. A seguir, prossegue viagem e gasta mais uma hora 
para chegar à cidade B. A velocidade media do automóvel no trecho AB 
foi dc:
a) 75 km/h. d) 60 km/h.
b) 50 km/h. c) 90 km/h.
c) 150 km/h.
7. ITA — Um motorista deseja perfa?er a distância de 20 km com a veloci­
dade média de 80 km/h. Se viajar durante os primeiros 15 minutos com a 
velocidade de 40 km/h, com que velocidade média deverá fazer o percurso 
restante?
a) 120 km/h.
b) 160 km/h.
c) É impossível estabelecer a velocidade mcd:a desejada nas circunstâncias 
apresentadas.
d) Nula.
e) Nenhuma das afirmações c correta.
8. UNESP — Um ônibus dirige-sc dc São Paulo ao Rio dc Janeiro.
0 ) Ao passar pelo marco quilométrico A dc espaço 150 km, um passa­
geiro lê cm seu relógio o tempo 15 horas. Com esses dados, a veloci­
dade é calculada cm 10 km/h.
(2) Às 17 horas, o veículo passa por um marco B no qual se lê 50 km. 
Entro A e B o percurso é —100 km. a duração é dc 2 horas e a velo­
cidade média é dc —50 km/h.
*
4
k
*
‘4
(3) O sinal negativo na velocidade do item (2), suposto correto, indica que 
o veículo faz marcha à ré.
a) Somente (1) c correta.
b) Somente (2) é correta.
c) Somente (3) c correta.
d) Há mais de uma afirmativa correta.
e) Não há nenhuma afirmativa correta.
9. UNIVERSIDADE DE SÂO CARLOS — Um móvel se desloca de um 
ponto A até um ponte B. a uma velocidade constante igual a 80,0 km/h. 
Depois, se desloca do ponto B ate um ponto C, a uma velocidade constante 
igual a 30,0 km/h. Se a trajetória é retilínea desde o ponto A até o ponto 
C. c as distâncias de A até B c de B até C são iguais, podemos dizer que 
a velocidade escalar média do móvel é de:
a) 55,0 km/h. d) 50,2 km/h
b) 43,6 km/h. e) 71.7 km/h.
c) 60.8 km/h.
10. PUC (RIO GRANDE DO SUL) — A velocidade média de um automóvel 
na primeira metade de um determinado percurso é de 10 km/h c. na se­
gunda metade desse mesmo percurso, é de 30 km/h. Pode-se afirmar que 
a velocidade média desse automóvel cm todo o percurso vale:
a) 15 km/h. d) 30 km/h.
b) 20 km/h. e) 40 km/h.
c) 25 km/h.
11. ENGENHARIA DE UBERLÂNDIA — Um ponto material move-se em 
linha reta. percorrendo dois trechos consecutivos MN c NP O trecho MN 
c percorrido com uma velocidade media igual a 20 km/h, e o trecho NPcom uma velocidade média igual a 60 km/h. O trecho NP é o dobro do 
trecho MN. Pode-se afirmar que a velocidade média no trecho MP foi de:
a) 36 km/h. d) 42 km/h.
b) 40 km/h. e) Nenhuma das respostas anteriores.
c) 37,3 km/h.
12. MEDICINA DE ITAJUBÁ Um trem viaja durante 2h a 50,0 km/h; 
depois, passa a viajar a 60,0 km/h durante 1,5 h e, finalmcntc. passa a 
80,0 km/h durante 0,5 h. Sua velocidade média, neste trajeto, será de:
a) 80.0km/h. d) 57,5 km/h.
c) 63,3 km/h.
13. MEDICINA DE SANTOS — Um móvel, descrevendo um movimento pro­
gressivo, certamcnte está em:
b) 65,0 km/h. e) 47,5 km/h.
a) rotação.
b) oscilação.
c) movimento retilíneo.
d) movimento uniforme.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
58
14. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Medindo-se, no sistema CGS dc 
unidades, a velocidade de um corpo, obteve-se o vaíor de 12,3 cm/s. Que 
valor expressa esta mesma velocidade no sistema de unidades MKS?
a) 1,23 . 10-3 m/s d) 1,23 . 10* m/s
b) 1,23 . 10-* m/s e) 1,23 . IO3 m/s
c) 1,23 . 10-» m/s
15. PUC (CAMPINAS) — A aceleração escalar média de um automóvel que 
aumenta sua velocidade de 36 km/h para 108 km/h em 10 s c de:
a) 7,2 m/s2. d) 4,2 m/s2.
b) 72 m/s2. e) 3,0 m/s2.
c) 2,0 m/s2.
16. UNIVERSIDADE DE SÄO CARLOS Um carro, movendo-se no sen­
tido positivo do eixo x com velocidade de 100 km/h. freia de modo que 
após 1.0 min sua velocidade passa a ser dc 40 km/h. A aceleração média 
do carro será dc:
a) —1,0 km/min2. d) —0,66 km/min2.
b) 1.0 km/min2. c) 0.66 km/ s2.
c) 1,0 m/s2.
17. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — O quociente entre velocidade c ace­
leração c uma grandeza que pode ser medida em:
a) cm/s2. d) s.
b) cm/s3. e) s-1.
c) cm2/s3.
18. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — O gráfico abaixo representa o espaço 
S de um ponto em função do tempo t de percurso. A maior velocidade 
média, relativa a um intervalo de tempo igual a um segundo, é obtida 
entre:
•I
a) 0 s e Is.
b) I s e 2 s.
c) 3 s e 4 s.
d) 4 s e 5 s.
e) 5 s e 6 s.
59v i& n d á a z &
19. MEDICINA DE TA UB ATÉ O gráfico S X t de um móvel c desenhado
abaixo. Esse móvel tem um movimento:
t
a) aederado. d) retrógrado.
b) retardado. e) ü móvel está parado.
c) progressivo.
20. MEDICINA DE SANTOS O diagrama abaixo representa a velocidade 
escalar de um ponto material em função do tempo.
Podemos afirmar que:
a) entre os instantes 0 s e 5 s o movimento c progressivo c retardado.
b) entre os instantes 15 se 20s a aceleração escalar é negativa.
c) entre os instantes 5 se 10s o movimento c progressivo retardado.
d) no instante 15 s a aceleração é nula.
c) nos instantes 10 s c 20 s a aceleração atinge seus valores máximos.
S I
21. CESCEA — Dois corpos, distantes entre si 100 m. partem simultaneamente 
um em direção ao outro, ao longo ca reta que os une. O gráfico abaixo 
marca a posição de cada um dos corpos no decorrer do tempo; (1) rcfcre-se 
ao primeiro e (2) ao segundo corpo.
Considere as proposições:
I) Os corpos se encontram no instante t = 4 s.
II) Os espaços percorridos pelo corpo (1) e pelo corpo (2) desde o mo­
mento da partida até o instante de encontro são. respectivamente. 
— f>() m c 40 m.
III) A velocidade média do corpo (1), em módulo, durante os primeiros 
6 s. é maior que a do corpo (2).
São corretas as proposições:
a) I e II. d) Todas são verdadeiras.
b) I c III. c) Todas são falsas.
c) II e III.
22. CESGRANRIO — Um mau motorista percorre uma avenida onde os su­
cessivos sinais dc tráfego são eqüidistantes e estão sincronizados para que 
um bom motorista possa cruzar todos os sinais no verde, dirigindo com 
uma determinada velocidade constante.
No entanto, o mau motorista não aproveita essa chamada "onda verde . 
Ele arranca subitamente, “queimando borracha", na abertura de um sinal, 
acelera a fundo e depois freia violentamente de modo a parar no sinal 
seguinte, onde aguarda a abertura, c assim por diante.
Qual dos seguintes gráficos posição x tempo melhor representa o movimento 
do carro desse mau motorista? <
Tempo
Posição
Tempo
62
23. UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO NORTE — Ao fa^er uma 
viagem de carro entre duas cidades, um motorista observa que sua velo­
cidade escalar média foi de 70 km/h, e que, em média, seu carro consu­
miu 1,0 litro de gasolina a cada 10 km. Se. durante a viagem, o motorista 
gastou 35 litros de gasolina, quantas horas demorou a viagem entre as 
duas cidades?
a) 3 h d) 4 h e 30 min
b) 3 h c 30 min e) 5 h
c) 4 h
2. I) Imagino um observador A dotado dc velocidade V em relação a uma
escada rolante B, que sobe também com velocidade V. em reiação à Terra 
(C). Se A subir a escada B. a velocidade de A com relaçáo a C será 2V 
(movimento).
Se A descer a escada B. a velocidade de A em relação a C será zero 
(repouso).
Conclusão: I está errada
II) Estando A oarado em relação a B. então A c B estão permanentemente 
unidos, podendo ou não o conjunto estar em movimento.
Sc B está parado em relação a C, então B e C estão permanentemente 
unidos.
Então, A. B e C estão formando um único sistema rígido (um triângulo, 
por exemplo), onde cada um dos pontos está em repeuse em relação 
aos outros.
Conclusão: II está certa.
Rosposta: b.
3. b (Por espaço percorrido entenda-se deslocamento escalar AS.)
4. a (Vm := 54 km/h)
5. a 6. b 7. c 8. b 9. b 10. a 11. a 12. d
13. e (Movimento progressivo^- movimento descrito a favor da orientação dc
referencial.)
14. c 15. c 16. a 17. d 18. b 19. d
20. c (Importante: não se define aceleração quando há formação de “bico" 
no gráfico V x t. Isto. por exemplo, ocorre nos instantes t = 5 s e 
t = 15 s.)
21. a 22. b 23. c
Definição de movimento uniforme
O movimento de um móvel é uniforme quando sua velocidade 
escalar é constante e não-nula.
Assim, um automóvel dotado de movimento uniforme terá seu 
velocímetro indicando sempre o mesmo valor:
Movimento
uniforme
• Rap dez constante em qualquer trajetória.
• Sentdo do movimento sempre constante
• A indicação do velocímetro é sempre a mesma.
Movimento uniforme em trajetória curvilinea.
RAPIDEZ CONSTANTE
Resumindo: MU V constante e não-nula
• Conseqüências da definição — Como conseqüência dessa defi­
nição. podemos concluir que. no movimento uniforme, a aceleração 
escalar é constante e nula.
Ou seja: MU => aceleração escalar é nula
Como a velocidade escalar é constante, o valor da velocidade 
escalar instantânea, no movimento uniforme, coincide com o da velo­
cidade escalar média.
Isto é: MU •=> V = V™
66
Instante qualquer (t)
Instante inicial (t 0)
Função horária do movimento uniforme
A expressão matemática que relaciona os espaços S de um móvel 
(indicativos de suas posições) e os correspondentes instantes t é 
denominada função horária do movimento, sendo representada gene­
ricamente por S = f(t).
S indica a posição do nevei num instante 
t quaiquer.
§o mdica a posição do móvel para trrO .
e . w w AS S - S „ S - S .Sendo V — Vm — -----= ----------- , então: V = --------
At t - 0 t
=> S = S » -f Vt (função horária do movimento).
Conclusão: A função horária do movimento uniforme é do 1.° grau
na variável t, sendo expressa por: S — So 4- Vt
i S0 (espaço inicial) indica a posição ocupada pelo móvel no 
onde ' instante inicial do movimento (instante zero)-.
! V é a velocidade escalar constante e não-nula.
Exem p lo s :
S = 6 + 2t (SI)
S = - 3 - 8t (SI)
í Sm = +6 m
[V = +2 m/s (movimento progressivo] 
í Sm = —3 m
[ V — — 8 m/s (movimento retrógrado)
S — 5t (SI)
(wô0VO(tft%L____
S<i = 0
V = 5 m/s (movimento progressivo]
1. A funçãc horária informa sobre o tipo de movimento desenvolvido pelo 
móvel mas nada informa a respeito da trajetória seguida pelo corpo.
2. É importante o conhecimento das posições ocupadas pelo móvel ao longo 
do tempo. Onde estará o móvel nos instantes t = 10 s. t = 20 s e t = 30 &?
A função horária respondo a esta pergunta!
68
3. Observo que o espaço S de um móve pode obedecer a uma corta função 
horária, porém em trajetórias diferentes. A função horária ntíica como 
o móvel caminha e não onde o movei caminha Com apenasa função 
horária não podemos prever a trajetória co movei.
S
Diagramas do movimento uniforme
• Diagrama S X t — A representação gráfica da função horária do 
movimento uniforme é uma reta inclinada em relação ao eixo hori­
zontal, pois é uma função matemática do 1.° grau em t.
g __g(
Lembrando que S = S.. 4 Vt. então V = -------- — (1).
t
Observando-se o diagrama S X t seguinte, podemos escrever:
S - Sn
dec = tg a
t
( 2).
Comparando (1) e (2), concluímos: o declive do gráfico S X t no 
movimento uniforme é numericamente igual à velocidade escalar do 
móvel.
Ou seja: dec ( S X t ) N=V
v irapidez constante
STZ I j
• Diagrama V X t — O diagrama V X t referente ao movimento 
uniforme será representado por uma reto paralela ao eixo dos tempos, 
já que a velocidade escalar neste movimento é constante e não-nula.
Neste gráfico, calculando a área sob a reta, podemos escrever: 
A 3 V t (1).
Como S = So + Vt, então S — So = Vt => AS = Vt (2).
Comparando (1) e (2). concluímos: a área sob o gráfico V X t 
no movimento uniforme é numericamente igual ao deslocamento 
escalar do móvel, no intervalo de tempo considerado.
Ou seja: 
(M terrxjfâú-___
A (V X t) 2 AS
Como no movimento uniformo a aceleração escalar ó constantemente nula. 
o diagrama a X t será representado por uma reta coincidente com o eixo 
dos tempos.
70
Exemplo:
Seja a função horária S - 
— 2 + 1 .5 t, no SI:
para t — 0 s, S,. — 2 m; 
para t — 4 s. S í _ 8 m.
Podemos, então, construir o 
diagrama S X t.
Nesse gráfico, notamos que
dec
8 - 2
(«» H « «> —
4 — 0
= 1,5 => dec = 1,5
Da função horária, temos
V - 1,5 m/s
Logo. o declive do gráfico 
S X t é numericamente igual à 
velocidade escalar do móvel.
Neste gráfico, notamos que 
A(o«h íh » — 4 . 1,5 = 6 — >
L(0» H-» «>= 6
Da função horária, temos 
S4 — 8 m e So — 2 m.
Logo: ASm« h i »i — —
- So = 8 - 2 = 6 =>
AS :o R h t •) — 6 m 0 1 2 3 4 tis)
Portanto, a área sob o gráfico V X t é numericamente igual ao 
deslocamento escalar do móvel.
Como a aceleração escalar é constantemente nula. o gráfico a X t 
será uma reta coincidente com o eixo dos tempos.
Encontro de móveis
Quando dois móveis percorrem a mesma trajetória orientada, 
poderá ocorrer encontro entre eles. Isto acontecerá quando suas 
posições coincidirem, ou seja, quando seus espaços forem iguais, 
desde que referidos à mesma origem.
Instante
inicial
Instante cm que ocorre 
encontro dos móveis
71
\
Encontro 
de móveis
• ü s móveis ocupam a mesma posição 
no referencial.
• Ocupar a mesma posição não 
quer dizer que tenham realizado 
o mesmo deslocamento.
Graficamente, o encontro de dois móveis corresponde è inter- 
secção das retas representativas das funções horárias:
72
Apêndice
A propriedade referente à área do diagrama V X t pode ser 
generalizada para qualquer tipo de movimento. Todavia, a demons­
tração desta propriedade envolve uma matemática mais refinada que 
será desenvolvida no volume referente à Dinâmica.
Resumindo, para qualquer tipo de movimento: A {V X t ) ? A S
1. UNIVERSIDADE DO PARANÁ 
— Três móveis A. B e C par­
tem, simultaneamente, em 
movimento uniforme e reti­
líneo, dos pontos a, b e c. 
com velocidades constantes, 
respectivarnente iguais a V* = 15 m/s, VB = 4,5 m/s e 
Vc = 7.5 m/s. Pede-se o instante em que o móvel A estará entre 
os móveis B e C e a gual distância de ambos.
Resolução: Lembrando que no movimento uniforme S = S„ -|- Vt, no 
instante inicial, adotando o ponto A como origem dos espaços e orien­
tando a trajetória conforme a figura, temos:
Situaçãc inicial
Situação final
L a
Sda = ü m 
VA = 15 m/s = > SA = 151
B
S,)]( = 20 m
= > Sr - 20 -f- 4,5t
C
V» — 4,5 m/s 
Soc = 40 m
Sc- = 40 + 7,5tV0 = 7,5 m/s
Nas condições do enunciado, podemos cscrcvcr: S.v — Sn = Sc — SA. 
Logo, 2S.v — Sii -|- So.
Substituindo as funções horárias dos móveis, teremos:
2(15 t ) = (20 -f 4,51) -f (40 + 7 ,5 t) = > 30t = 60 + 12t = >
=> I8t = 60 = > L = ------=>
18
Resposta: O móvel A estará equidistante de B e C ------s após o início
da contagem dos tempos.
2. AMAN — Para passar uma ponte de 50 m de comprimento, um 
trem de 200 m, a 60 km/h, leva:
a) 0,35 s.
b) 1.5 s.
c) 11,0 s.
d) 15,0 s.
e) 30,0 s.
Resolução: Adotando o início da ponte como origem do referencial, 
orientando-o no sentido do movimento e observando o esquema abaixo, 
podemos escrever, para a dianteira do trem:
74
Instante zero
So = 0 m
V = 60
km
Portanto, S = S„ | Vt
h
S =
60 m 
3,6 s
60
3,6
. t.
Completada a travessia, teremos S = L — d = 200 -|- 50 = 250 m.
Assim: 250 =
60
. t t = .-
25 . 3,6
3,6
t = 25 . 0,6
t = 15 s
Resposta: alternativa d.
3. MEDICINA DE VASSOURAS Um móvel A com movimento reti­
líneo uniforme parte do ponto a cm direção a b, com velocidade 
de 90 km/h. No mesmo instante, sai de b um móvel B, também 
com MRU. A distância retilínea ab é de IG km. A velocidade do 
móvel B, para que ambos sc cruzem a 6 km de a. deve ser igual a:
a) 80 km/h.
b) 16.67 m/s.
c) 37.5 m/s.
d) 25 m/s.
e) 22,22 m/s.
Resolução: Adotando como origem dos espaços o ponto a c orientando 
a trajetória conforme o esquema a seguir, notamos que:
Móvel A: SoA= 0 k m
V A =: 90 km/h
Móvel B: SoH= 10 km
T o w é m O fà a 75
Assim, podemos escrever:
SA = SoA - f VAt = > SA = 901 (1)
S„ = Son + V„t = > SB = 10 + V„t (2)
Condição de encontro: SA = SB = 6 km. 
Logo, substituindo em (1),
66 - 901 = > t = ------= >
90
Voltando cm (2), temos:
vem:
I
t = ------h
15
(instante de encontro)
6 = 1 0 - * VB Y'u — 60km/h
O sinal menos (—) indica que o movimento é retrógrado.
Então:
km J 000 m
V„! = 60-----= 60 . ----------- = í 6,67 m/s = >
h 3 600 s
Conclusão: o móvel B deverá ter velocidade escalar de intensidade 
16,67 m/s.
Resposta: alternativa b.
|VB| = 16,67 m/s
4. MEDICINA DE ITAJUBA — O 
gráfico ao lado descreve o 
movimento retilíneo de 2 
carros A e B que viajam na 
mesma direção. Podemos 
afirmar com certeza que:
a) o carro A está perdendo 
velocidade enquanto o 
carro B ganha velocidade.
b) o carro A parou no ins­
tante t = 100 s.
c) os dois carros estão ro­
dando na mesma d reção 
e em sentidos contrários.
d) o carro A está mais ace- 
lerado que o carro B.
e) no instante t = 50 s os 
dois carros têm a mesma 
velocidade.
Resolução: Lembrando que o declive do gráfico S — f(t) é numerica­
mente igual à velocidade escalar do móvel, observamos que tanto o
76
carro A como o B possuem velocidades constantes e nâo-nulas (uma 
reta tem declive constante). Podemos, então, escrever:
1) carro A: 90« < a < 180° decA < 0 = > VA < 0 
(movimento retrógrado)
2) carro B: 0° < j3 < 90° decB > 0 VB > 0 
(movimento progressivo)
Note que, no instante t = 60 s, os 
móveis ocupam a mesma posição, 
e que, no instante t = 100 s, o mó­
vel A está na origem do referencial 
(S = 0 m).
Resposta: alternativa c.
5. IMS — Uma partícula percorre, durante 10 segundos, uma tra­
jetória "etilínea com uma velocidade que varia com o tempo se­
gundo o gráfico abaixo. Pode-se afirmar que a velocidade média 
da partícula nesses 10 segundos é. em m/s, igual a:
V(m/s)
10]
8
6-
iiiii
2
1 1 1
0 2 4 6 8 10
a) 6.
b) 5.6. d) 0.8.
c) 1.3. e) 0.4.
Resolução: Como no gráfico V - í(t) a área sob a curva é numerica­
mente igual ao deslocamento escalar do móvel, podemos escrever:
A(0-m i ,> = 4 . 8 = 32 —r ASm» h •» ~ 32 m _
A(4 hm i<> s) = 6 . 4 = 24 > AS(.j.. m io »i = 24 m
——̂ AS,0 ü io i) — 3z -f- 24 = 56 m
AS((| 10 Ml
) --
( O f lH lO i )
56
Sendo V„ vem:
At (0 » H 10 * í
V..(0 • w 1 0 M) 10
V,„ — 5,6 m/s
lO * H 10 “
Resposta: alternativa b.
1. UNIVERSIDADE DO ESPÍRITO SANTO — Um móvel percorre o 
segmento de reta AC com velocidade constante, onde AB ^ BC. Se t, c t» 
são os tempos gastos, respectivamente, nos percursos AB e BC, é verda­
deira a seguinte relação:
A E C
a) AB/t, = BC/to d) AC = AB/t, + BC/t2
b) AB/BC = t2/t, e) AC = (AB + BC)t,to
c) AB/BC = (ta/t,)2
2. I-ElA luz demora 10 min para vir do .Sol à Terra. Sua velocidade é 
3 . 103 km/s. Qual a distância entre o Sol e a Terra?
3. FAAP — Qual c a distância da Terra a uma estrela cuja luz é recebida 
após 5 anos?
4. FACULDADES DO INSTITUTO ADVENTISTA — O tempo gasto por 
um trem de 100 m para atravessar um túnel de 200 m. deslocando-se com 
uma velocidade escalar constante dc 72 krn/h, é de:
a) 5 s. d) 15 s.
b) 15 h. e) 20 s.
c) 10 s.
5. CTA (COMPUTAÇÃO) — Um móvel descreve uma trajetória retilínea com 
velocidade constante dc 2 m/s. Nessas condições, o gráfico cartesiano de 
sua velocidade em função do tempo será:
a) uma reta paralela ao eixo dos tempos.
b) uma reta paralela ao eixo das velocidades.
c) uma reta que passa pela origem.
d) uma reta com coeficiente angular 2 e coeficiente linear 4.
e) Nenhuma das respostas anteriores está correta.
78
6. CESGRANRIO — Analisando-se c movimento de um automóvel, obteve-se 
a tabela seguinte, onde se lê a posição do automóvel em vários instantes 
do movimento:
posição
(m) 0 60 120 180 240
tempo
(»1 0 3 6 9 12
Qual dos gráficos a seguir representa a velocidade do automóvel (ordenada) 
em função da posição (abscissa) para o trecho analisado?
d) e)
7. CESGRANRIO — Ainda na questão anterior, qual dos gráficos propostos
a seguir representa a posição cio automóvel (ordenada) em função do tempo 
(abscissa)?
d) c)
8. FEI — O gráfico dos espaços para um móvel é dado pela figura:
O gráfico das velocidades correspondente é o dado por:
9. UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA — Um móvel desloca-se ern linha reta 
de um ponto X a um ponto Z, passando pelos pontos Y c S. A distância 
entre cada ponto é a mesma e o movimento ó assim descrito: de X para Y 
6 gasta 1 h, à velocidade constante; de Y para S o móvel desloca-se com 
metade da velocidade do trecho XY e de S para Z com o quádruplo da 
velocidade do trecho YS. 0 tempo total gasto no percurso c dc:
a) 4 h. c) 3 h 30 min.
b) 6 h. d) Nenhuma dessas.
80
10. UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA — Na questão anterior, se o trecho XY 
tem 70 km, a velocidade média no percurso de X a Z é de:
a) 35 km/h. c) 60km/h.
b) 52,5 km/h. d) 70 km/h.
11. CESCEA — O gráfico representa, cm forma aproximada, o movimento de
um carro durante certo percurso.
A velocidade média do carro 
nesse percurso é de:
a) 20 km/h.
b) 30 km/h.
c) 32km/h.
d) 40 km/h.
c) Não há dados suficientes para 
o cálculo.
12. CESCEA Um cachorro encontra-se entre seu esconderijo e o laçador, 
a 50 m do primeiro e a 100 m do segundo, numa mesma reta. Inicia-se a 
perseguição, o cão com velocidade constante de 3 m/s, dirigindo-se ao 
- esconderijo, o homem, com velocidade, também constante, de 8 m/s, no 
encalço do cão.
a) O laçador alcançará o cão 15 m antes do esconderijo.
b) O laçador alcançará o cão 1 s antes do esconderijo.
c) O laçador está a 15 m do cão quando este alcanÇa o esconderijo.
d) O laçador alcançaria o cão até o esconderijo se sua velocidade fosse, no 
mínimo, três vezes a do cão.
e) O laçador alcançaria o cão sc dispusesse de mais 1 s antes de o cão entrar 
no esconderijo.
13. MEDICINA DO ABC Dois foguetes espaciais são enviados, a partir da 
Terra, com 48 h de intervalo. O primeiro a scr enviado tem velocidade 
constante dc 30 000 km/h c o segundo, de 40 000 km/h. Ambas as velo­
cidades têm o mesmo sinal. O sistema de referência é a Terra.
Para que o primeiro foguete seja ultrapassado pelo segundo, este último 
deverá voar durante o seguinte número de horas:
a) 96. d) 192.
b) 144. c) 288.
c) 168.
14. FUVEST — Numa estrada, andando de caminhão, com velocidade cons­
tante, você leva 4 s para ultrapassar um outro caminhão, cuja velocidade 
é também, constante. Sendo de 10 m o comprimento dc cada caminhão, a 
diferença entre sua velocidade e a do caminhão que você ultrapassa c, apro­
ximadamente, igual a:
a) 0,2 m/s. d) 5.0 m/s.
b) 0.4 m/s. c) 10 m/s.
c) 2,5 m/s.
fâ s im id / im
15. PUC (SAO PAULO) — l)o;s automóveis partem, no mesmo instante, das 
cidades A e B. percorrendo uma estrada retilínea AB com velocidades de 
50km/h e XOkm/h. um em direção ao outro. Ao fim de 2h eles estão a 
uma distância dc 40 km um do outro. A distância AB vale:
a) 200 km. d) 160 km.
b) 300 km. e) 240 km.
c) 400 km.
16. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Dois trens (A c B) movem sc em tri­
lhos paralelos, deslocando-se em sentidos opostos. As velocidades escalares 
dos trens são constantes e iguais a 30km/h. Cada trem mede 100 in dc 
comprimento. Quando os trens se cruzam, durante quanto tempo um obser­
vador no trem B vê passar o trem A?
a) 96 s d) 12 s
b) 48 s e) 6,0 s
c) 24 s
17. FAAP — Dois ciclistas distanciados de 60 m um do outro possuem funções 
horárias S, = 20 + 2t e S2 — —40 + 3t, em relação a um mesmo referen­
cial. Verificar quando e onde os dois ciclistas se encontrarão. (Considerar 
S| e Sa em metros e t em segundos.)
18. FUNDAÇAO CARLOS CHAGAS — A distância entre dois automóveis 
é de 225 km. Se eles andam, um ao encontro do outro, com 60km/h e 
90 km/h. ao fim de quantas horas sc encontrarão?
a) Uma hora.
b) Uma hora c quinze minutos.
c) Uma hora c meia.
d) Uma hora c cinquenta minutos,
c) Duas horas c meia.
19. PUC (SÂO PAULO) — Duas partículas cncontram-se inicial mente nas posi­
ções x, = 10 cm, y, = 0 cm. x._. = Ocm c y2 = 20 cm. com velocidades 
V, — 4 . 10‘ cm/s segundo x c Va dirigida ao longo dc y. conforme in­
dica a figura. O valor da velocidade Va para que elas colidam deve ser:
c) -8 . 10** cm/s.
82
20. CESCEA — Dois corpos deslocam-sc ortogonal mente entre si, com veloci­
dades uniformes V, 1.5 m/s e V2 2.0 m/s. No instante t = 0s eles 
se encontram na origem de um sistema de referencia xOy. Considerando 
que o corpo (I) se desloca ao longo do eixo x c o corpo (2) ao longo do 
eixo y. qual a distância que os separa no instante t 2 s?
a) 7.0 m d) 1.0 m
b) 5,0 m e) 0,5 m
c) 3.5 m
21. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Um pouco de tinta é colocado na 
banda de rodagem do pneu de um carro. Quando o carro se movimenta, 
a mancha de tinta deixa marcas no chão. Se estas marcas tiverem a dispo­
sição abaixo, o que se pode concluir sobre a velocidade e a aceleração do 
carro?
0 2 4 6 8 10 12 I
a) A velocidade é constante e a aceleração é nula.
b) A velocidade é crescente e a aceleração é constante.
c) A velocidade é decrescente e a aceleração é constante.
d) A velocidade e a aceleração são variáveis.
e) Nada se pode concluir, porque os dados são insuficientes.
9. c 10. c 11. c 12. d 13. b 14. d 15. b 16. e
17- = 140 m: t ,#walfo = 60 s.
18. c 19. c 20. b
21. e (Observe que. qualquer oue seja o movimento do carro, as marcas 
deixadas no châo soráo sempre as mesmas.)
cmïuD
3
Movimento
Uniformemente Variado
04
Instante inicial (t - 0)
velocidade escalar co móvel 
para t = 0.
velocidade escalar do móve! 
num instante t qualquer
Definição de movimento uniformemente variado
O movimento de um móvel é uniformemente variado quando sua 
aceleração escalar é constante e não-nula.
Instante qualquer (t)
Ou seja: escalar é constante e não-njla
III
• Consequência da definição — Como conseqüência dessa defi­
nição, podemos concluir que, no movimento uniformemente variado, 
o valor da aceleração escalar instantânea coincide com o da acele­
ração escalar média.
Isto é: MUV a - a„
Funções horárias do movimento 
uniformemente variado
*
Y
k
• Função velocidade
y
É importante o conhecimento da rapidez e do sentido do movimento em 
cada instante A função velocidade da essas duas informações.
A intensidade da velocidade indica a leitura do velocímetro.
O sinal de velocidade indica o sentido do movimento
Seja um móvel cujo movimento é uniformemente variado de tal 
forma que V0 é sua velocidade inicial (instante zero), Vé sua velo­
cidade no instante t e a é sua aceleração escalar constante.
V = Vo -h at (função horária da velocidade)
Ç g ; Conclusão: A função veloci­
dade do MUV é dada pela ex­
pressão
v
V — Vo H” at
A representação gráfica da 
função velocidade desse movi­
mento será uma reta inclinada 
em relação ao eixo horizontal,pois é uma função horária do 
1.° grau em t.
V — Vo
.Neste gráfico, pocemos escrever dec = tg a = ---------- (1).
V - Vo
Como V — Vo -r at, então a = ---------- (2).
Comparando (1) e (2), concluímos: o declive do gráfico V X t 
no movimento uniformemente variado é numericamente igual à ace­
leração escalar do movimento.
Ou seja: dec(V X t)1 a
• Função horária — Lembrando que a área sob o gráfico V X t é 
numericamente igual ao deslocamento escalar efetuado por um móvel, 
podemos escrever:
A(V X t ) s AS, onde AS = S - So.
sendo
í So o espaço inicial do móvel (instante zero). 
[ S o espaço do móvel no instante t.
Assim, temos A(V X t ) = S - S<. (1).
87
• No instante inicia t = 0. o espaço inicial e a velocidade inicial do 
móvel são. respectivamente. S0 e Vo
• Num instante qualquer t. o espaço e a velocidade do móvel são. 
respectivamente. S e V
• No intervalo de tempo lA t — t - 0 ). AS é o deslocamento escalar da móvel.
Observando-se o gráfico acima, concluímos:
V + Vo _
A ( V X t ) = ---------- 1 (2).
Comparando (1) c (2). vem:
V • V o V - f V o
----- - — t = S - S o = > S = So + ---------- - t
Sendo V = Vo ■+■ at, decorre:
s = s ,1 + ^ ± ü ± ^ t ^ s = s0 + ^ l± ^
S = So + Vot-f----— at2 (função horária do movimento)
2
Conclusão: A função horária do movimento uniformemente 
variado é do 2.° grau na variável t. sendo expressa por
S - S., f V.,t |------ at-
2
88
onde
So (espaço inicial) indica a posição ocupada pelo móvel no 
instante inicial do movimento (instante zero).
Vo (velocidade inicial) é a velocidade do móvel no instante 
I inicial do movimento (instante zero).
{ a é a aceleração escalar constante e não-nula.
Exemplos:
S = 10 — 8t -f- 9t2 (SI) 
Logo. V = — 8 -f 18t
S = — 2 + 6t — t2 (SI) 
Logo, V — 6 — 2t
S = 5ta (SI)
Logo. V = iOt
So = -HO m 
< Vo = - 8 m/s 
l a = -f 18 m/s2
So = —2 m 
Vo = +6 m/s 
a = —2 m/s2
So = 0 m 
V., = 0 m/s 
a = 4-10 m/s2
Equação de Torricelli
Extraindo o valor de t na função velocidade (V = Vo -f at) e subs­
tituindo-o na função horária ( S — So 4- Vot 4------ at2 ) cotemos a
expressão Va — V: 4- 2aAS .denominada equação de Torricelli.
Diagramas horários do movimento 
uniformemente variado (MUV)
A representação gráfica da função horária do MUV é uma pará­
bola cuja concavidade é voltada para cima (se a > 0) ou para baixo 
(se a < 0).
Conforme já fo visto, o diagrama V X t será representado por 
uma reta inclinada em relação ao eixo t.
Como a aceleração escalar é constante e não-nula, o diagrama 
a X t será representado por uma reta paralela ao eixo dos tempos.
Observando-se a área sob o gráfico a X t, podemos escrever 
A = at (1).
Como V = V,. 4- at, então V - Vo = at => AV = at (2).
Comparando (1) e (2). concluímos: a área sob o gráfico a X t 
é numericamente igual à variação da velocicade do móvel, no inter­
valo de tempo considerado.
Ou seja: A(a X t ) U V
,1
<
t
t
1*
i
Diagramas horários do MUV
____________________________________ t t
o
aceleracào esca lar constante
90
Exemplo:
Seja S — 4 — 5t -f- t2 (SI) a 
função horária dc um móvel:
para t = 0 s, Sn = 4 m:
para t = 1 s . S i = 0 m (raiz):
para t = 4 s, Si = 0 m (raiz).
Podemos, então, construir o 
gráfico S X t.
Observe que quando t = 2,5 s 
a parábola atinge seu vértice, 
instante em que o móvel muda 
o sentido de seu percurso.
Da função S = 4 — 5t + t2 
concluímos que. Vo = — 5 m/s e
a = -f 2 m/s2.
Logo. V = —5 -f- 2t.
Para t = 0 s , Vo = —5 m/s; 
para t = 4 s . V, = 3 m/s.
Podemos, então, construir o 
gráfico V X t.
Nesse gráfico notamos que. para t — 2,5 s, V — 0 m/s, instante 
correspondente ao vértice do gráfico S X t.
Examinemos, agora, o. declive do gráfico V X t.
3 - ( - 5 ) _ 8
4 - 0 4
Temos: deCi.. h ^ i = — = > dec<o»M4»i — 2
Assim, observamos que tíecfV X O i a
Como a aceleração escalar é constante, o gráfico a X t será uma 
reta paralela ao eixo dos tempos.
Esta reta cortará o eixo das acelerações cm a ~ 2 m/s*. 
Observando a área sob o gráfico, concluímos:
A<o«h 4» — 4 . 2 = 8 —^ Ao >1 M-» *>= 8
Sabemos que V* = 3 m/s e V.» = —5 m/s. 
Logo:
AV<0 s m '• — 8 m/sAV,;om h * ») — Vi - V o = 3 - (—5) = 8 ==
Assim, a área sob o gráfico a X t é numericamente igual à va­
riação da velocidade escalar do móvel.
91
Velocidade média no MUV
Lembrando que A(V X t ) í AS, no gráfico V X t abaixo temos:
A = . V3 + V~ At => AS = V- + V' A t ^ A ! _ =
2
V ■ + Vi
At
Conclusão: No MUV. a velocidade média de um móvel é igual 
à media aritmética das velocidades escalares instantâneas inicial e 
final, no intervalo de tempo considerado.
92
1. ENGENHARIA DE SANTOS — Um ponto material realiza um mo­
vimento sobre uma trajetória retilínea que obedece à função ho­
rária S = t2 — 6t + 8. em que S é o espaço dado em metros e 
t é o tempo dado em segundos. Podemos afirmar que, a partir 
do instante t = 0 s:
a) o movimento é sempre acelerado.
b) o movimento muda de sentido no instante t = 3 s.
c) o ponto material passa pela origem dos espaços apenas no 
instante t = 2 s .
d) a aceleração do movimento tem intensidade igual a 4 m/s*.
e) a velocidade do ponto material no instante t — 7 s tem inten­
sidade igual a 9 m/s.
Resolução: Do enunciado, podemos escrever S = 8 — 6 t -f 1 . t2.
Da teoria, sabemos que S S., -f V0t -f----at2.
Assim, concluímos: S.;i = 8 m; V„ = 6 m/s; a = 2 m/s2.
Podemos, então, determinar a função velocidade deste móvel:
V = V„ -f at = > fv _ - 6 f 2~t|-
Construindo os gráficos S X t e V X t. chegamos às seguintes con­
clusões:
• O móvel possui movimento ini­
cialmente retrógrado (0 s a 3 s), 
parando no instante 3 s para, em 
seguida, iniciar movimento pro­
gressivo.
• O móvel passa pela origem nos 
instantes t = 2 s c t = 4 s.
• O movimento é inicialmente 
retardado (0 s a 3 s) c, em seguida,
acelerado.
Resposta: alternativa b.
I
2. MEDICINA DE CATANDUVA — Um automóvel desloca-se com a 
velocidade de 20 m/s. A partir do instante t = 0 s, seu motorista 
aplica os freios até o carro parar. Admitindo uma aceleração 
constante igual a 4 m/s2, a distância percorrida desde a aplicação 
dos freios até a parada do carro é de:
a) 50 m.
b) 5 m.
c) 75 m.
d) 90 m.
e) 25 m.
Resolução: Vamos orientar o referencial associado à trajetória no 
sentido do movimento do automóvel.
Neste caso, a distância percorrida ( d ) tem o mesmo valor do desloca­
mento escalar (AS).
Assim: d - A S
Como a velocidade do móvel está diminuindo algebricamente, sua ace 
leração será negativa, ou seja. a = 4 m/s2.
Pela equação de Torricelli,' vem:
V/In = V?« + 2aAS = > AS =
2a
AS =
0 = - 2 0 - 
2 . ( - 4 )
4(X)
AS — -------
8
= > AS = 50 m : d — 50 m
Resposta: alternativa a.
3. MEDICINA DE SANTOS — 
Ao longo de um eixo orien­
tado. um ponto se movimenta 
segundo o gráfico ao lado. 
Sendo sua velocidade no 
instante t — 0 s de 4 m/s, no 
sentido positivo do eixo. de­
terminar a distância percor­
rida pelo ponto entre os ins­
tantes t = 0 s c t — 8 s.
Resolução:
• Intervalo 0s h 2 s (MUV) 
V2 = V„ + at = »
= 4 + 2 .2 = »
Vo =
Vo = 8 m/s
intervalo 2 s m 4 s (MUV) 
V, = Vo + at = > V« = 8 4
+ 4 . 2= > |V 4 = 16 m/s
• Intervalo 4 sm 6 s (MU)
Vc = V, = > Vç = 16 m/s
• Intervalo 6 s m 8 s (MUV)
V* = Ve + at =>
= 16 — 2 . 2 = >
Podemos, então, construir o gráfico 
V X t, onde A ^ AS.
V„ =
V« = 12 m/s
Logo, A fos i_i $ si — A ((», H 3 ,| + A.o
+ A<t(li-!»*) — 12 + 24 + 32 + 28 :—) A 
Assim, AS<„,h 8 » = Aio«m h,, -—) AS
= 96
íO i Mb ' __ 96 m
Resposta: A distância percorrida d coincide, neste caso, com o deslo­
camento escalar AS. Portanto, d = 96 m.
4. FFCLUSP — Dois pontos mater ais Pi e P? movem-se sobre a mes­
ma reta, obedecendo às segu ntes expressões:
S , = —10t + St2 e S_- = 30 + 5t - lOt2.
Os símbolos S i e S„* representam os espaços em centímetros a 
partir de uma origem comum; o tempo t é medido em segundos.
Pedem-se:
a) o instanteem que os dois móveis se encontram.
b) as velocidades e acelerações de ambos nesse instante.
c) a posição do ponto de encontro.
Resolução:
\ a) Condição de encontro: S, = S>.
Logo: - I 0 t -I- 5t2 = 30 4- 5t — 1 ()t2 => 15t2 - 15t - 30 = 0 => 
=> t2 — t — 2 = 0
(D
- L
O
O
I-
tt) (2 )
Resolvendo esta equação, obteremos t — 2 s e t = — 1 s. Portanto, 
ocorreram dois encontros: o primeiro, 1 s antes de iniciar a con­
tagem dos tempos, e o segundo, 2 s depois de iniciada essa contagem. 
Consideraremos como resposta “oficial” o encontro ocorrido no 
instante t _ 2 s, pois o estudo dos movimentos é realizado a partir 
de t = 0 s.
b) Das funções horárias dadas.podemos concluir:
{S0l = 0 cm V, ) 1 = — 1 0 cm/s ai = 1 0 cm/s2
Logo, V, = V0j -f a,t => V, = —10 + 10t.
| So2 = 30 cm
So = 30 -f- 5t — 10t- I V0;! = 5 cm/s
. a2 = — 2 0 cm/s2
Logo, V2 = Vd 2 -J- a31 => V , — 5 — 20t.
Para t = 2s, vem:
V , = —10+ 10 . 2= > V , — -f 10 cm/s e at = 10 cm/s2
V2 = 5 - 20 . 2 = > V 2 — —35 cm/s c aa = — 20 cm/s2
96
c) Sendo Si — — 10t -f- 5t2, no instante do encontro (t - 2 s) vem: 
St = - 10 . 2 -f 5 . 22 => St = - 20 + 20 => St - 0 cmSt = 2 0 • 2 0 =
Assim, o encontro ocorre na origem do referencial.
Diagramas
horários
Resposta: Os dois móveis se encontram no instante t = 2 s. na origem 
do referencial, com velocidades de + 10 cm/s e — 35 cm/s c com ace­
lerações iguais a 1 0 cm/s2 e — 2 0 cm/s2.
5. PUC (CAMPINAS) — Dois carros A e B movem-se no mesmo sen­
tido com velocidades V3 e Vb, respectivamente. Quando o carro 
A está à distância d atrás de B, o motorista do carro A pisa no 
freio, o que causa uma desaceleração constante a. Para não haver 
colisão entre os carros é necessário que:
а) V„ - Vb = \ Í2 ã S .
б) V, - Vb > V 2ad .
c) V* — Vb < V 2ad .
d) V . - Vb = 2ad.
e) Vt — Vb = 0.
Resolução: Adotaremos a origem dos espaços no ponto em que o carro 
A se encontra quando o motorista começa a frear, e orientaremos a 
trajetória no sentido dos movimentos.
B
J » ©
I
O carro B possui movimento uniforme. Logo, sua função horária será 
S» = Son -f- Vjjt, onde S«B = d e V# = VV
Assim, Sn — d -f- Vbt.
O carro A é dotado de movimento uniformemente retardado, cuja fun­
ção horária será SA = S„A -f- V0 v------ — at2, onde S„A = 0 c V0a = V„.
Assim, SA _ V.t - at-.
A distância D entre os móveis será dada por D = S v — SA.
Logo, D = d -j- Vbt — V„t -j----L at2 = >
2
= > D = d - f (Vb — Va)t H-----— at2.
2
Para que não haja encontro, 1) não poderá se anular, ou seja, a equa­
ção d - f (Vb — V.)t — at* = 0 não deverá ter solução real.
Assim, o delta (discriminante) da equação deverá ser negativo. 
Portanto:
1
(Vb - Va)2 - 4 . ---- ad < 0 = > (Vb — V.)2 - 2ad < 0 = ;
2
= > (Vb - V.)2 < 2ad = > (V. - Vb)2 < 2ad 
Resposta: alternativa c.
v , . Vb < v-^ãa
6. PUC (SÀO PAULO) — A velocidade de um carro é. no instante 
em que o motorista nota que o sinal fechou. 72 km/h. O tempo 
de reação do motorista é de 0.75 s (tempo de reação: tempo de­
corrido entre o instante em que o motorista vê o sinal fechar até 
aquele em que aplica os freios) e os freios aplicam ao carro um 
retardamento uniforme de 5 m/s*. A distância percorrida pelo 
carro desde o instante em que o motorista nota que o sinal fechou 
até que o carro pare é de:
a) 54 m.
b) 20 m.
c) 14 m.
d) 10 m.
e) 44 m.
Resolução: Do enunciado, temos:
72
V0 = 72 km/h => V0 = ----- m/s => V,> = 20 m/s
‘ 6
98
Durante 0,7 s o movimento do móvel é uniforme, mantendo velocidade 
constante dc 20 m/s.
Em seguida, o móvel adquire movimento uniformemente retardado, com 
aceleração —5 m/s2.
20
Assim, V = V0 + at = > 0 = 20 — 5t = > t = ------=>
5
Portanto, podemos construir o gráfico V x t referente ao comporta­
mento do veículo.
Lembrando que a área sob o gráfico V x t é numericamente igual ao 
deslocamento escalar AS, vem:
4,7 _j_ o,7 5 , 4
AS ä A = — — :— -— . 20 = — . 20 = 10 . 5,4 - 54 = >
2 2
= > | AS — 54~m~
No caso, o deslocamento escalar é igual à distância percorrida. 
Logo, ;d — 54 m.j 
Resposta: alternativa a.
7. UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES — Um ciclista A inicia 
uma corrida a partir do repouso com uma aceleração constante 
de 0,5 m /s2. Nesse mesmo instante, um outro ciclista B passa 
por ele com velocidade constante de 3 m/s e no mesmo sentido 
que o ciclista A. Os dois ciclistas irão se emparelhar novamente 
depois de um tempo igual a:
a) 2 s .
b) 5 s.
c) 8 s .
d) 10 s.
e) 12 s.
ir
h
& 99
I
Resolução: Adotando como origem dos espaços o ponto onde A 6 
ultrapassado por B. como início da contagem dos tempos o instante 
em que isto ocorre c orientando as trajetórias no sentido dos movi­
mentos, teremos:
Sa = S„ -f- V0 t -f- — aAt2, ondeA A 2
S ,. =: 0 m
V,> 0 m/s
A
aA = 0,5 m/s2 = ---- m/s2
2
Logo, SA= — . — t2 = > SA = — t2 (1) 
2 2 4
S,>ti - Dmü
Móvel B: movimento uniforme.
Sii = S„i{ -f- Vj,t f onde
v V» = 3 m/s
Logo, S„ = 3t (2)
Os dois ciclistas irão se emparelhar novamente quando SA = S».
De (I) e (2), vem:
I) t = 0 s (instante inicial)
1 / 1 \ 1
t2 = 3t = > t I ---- t - 3 ) = 0 = > ID — t - 3 = 0 = >
4 V 4 / 4 .
= > | t = 12 s
Resposta: alternativa e.
100
8. MAPOFEI — O diagrama abaixo representa, em função do tempo, 
a velocidade de um objeto.
Trace o diagrama da aceleração em função do tempo.
Resolução: Neste caso, temos uma combinação de movimentos unifor­
memente variados. Como o gráfico apresentado c composto por seg­
mentos de reta oblíquos, as correspondentes funções horárias da velo­
cidade representadas são do l.° grau (movimentos uniformemente va­
riados).
Portanto:
1) Intervalo OswlOs:
Levantando-se o gráfico da aceleração em função do tempo, teremos 
a seguinte representação:
V(m/s)
4 - 1 0
20 aím/s2)
0 10
-20
¥
' ----------------------
9. MAPOFEI — Retomar o enunciado do exercício precedente. De­
terminar o percurso total do objeto.
Resolução: Lembrando que A(V X O = ^ S , temos:
2 0 .2 0
1) A (o * h ao k ) — ------------ — 200
fr 2
Logo, AS fu R H 2ô *) = 200 m
2 ) A !2ú )—| :ím « I —
10 . 20
= 100
Logo, AS (ao h (_̂ so m — — 100 m
V
Assim sendo, o deslocamento escalar total no intervalo de O s a 30 s 
vale:
AS,0 ,1 H 3ü s) =: AS(0 , _j 2o “f- AS 120 » m :10 «I
A S ,0 » H .10 »> = (2 0 0 ) -j- ( — 1 00 )
ASii) , h 3u») — 100 tu
Entretanto, por percurso total entendemos distância percorrida pelo 
móvel no referido intervalo, ou seja:
d = |AS,o, H 2on) “j- AS(2o• h só *ií — 200 -f- 100 
d = 300 m
Resposta: C) percurso total do objeto é de 300 m.
1. CESCEA — Observando-se o movimento retilíneo de um corpo, fazem-se 
medidas de seu deslocamento, velocidade e aceleração para sucessivos va­
lores do tempo, o que é mostrado na tabela abaixo:
Tempo(s) Dcslocamento(m) Velocidadcfm/s) Acclcraçãolnv s'-’)
0 1 2 2
1 4 4 2
2 9 6 2
3 16 8 2
4 25 1 0 2
A partir dessa tabela, podemos concluir que a equação horária que descrevo 
o movimento entre os instantes t = 0 s e t = 4 s tem a forma algébrica:
a) y = t2 - 3t + 1. d) y = - 2 t 2 + 2.
b) y = t2 + 2 t - 2 . e) y = t2 + 2 t + 1 .
c) y = 2 l2 -+- 2 t -f 2 .
2. UNIVERSIDADE DO RIO GRANDE DO SUL — Numa experiência para 
analisar o movimento de um móvel, i.m aluno identificou as três posições 
(O. P e S) indicadas na figura, obtidas em intervalos de tempo iguais.
-f-
O
H--- *---- h
X Y 2
X
As distâncias entre os pontos identificados por letras consecutivas são iguais 
e o móvel partiu do repouso em O. Considerando que as três posições 
caracterizam o movimento, qual será a posição do móvel no f:m de um 
mesmo intervalo dc tempo seguinte, contado a partir do instante cm que 
o móvel estava em S?
a) U
b) V
c) X
d) Y
c) Z
103
3. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Na figura seguinte estão assinaladas 
as posições (1,2, 3, 4, 5 e 6 ) de um corpo que está em movimento unifor- 
mcmentc acelerado sobre uma mesa horizontal. O intervalo de tempo entre 
duas posições