lista 1 - MAT 105 - 2020-I

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Universidade Federal de Viçosa
Departamento de Matemática
MAT 105 – Fundamentos de Matemática Elementar I
1 a Lista (Linguagem, Aritmética e Conjuntos) – 2020/I
Atualizada em: 3 de março de 2020
1) Descreva o conjunto A por uma propriedade.
(a) A =
{
. . . ,
−1
32
,
−1
8
,
−1
2
,
1
4
,
1
16
,
1
64
, . . .
}
.
(b) A =
{
0, 1, 42 ,
9
6 ,
16
24 ,
25
120 ,
36
720 , ...
}
2) Reescreva a sentença abaixo em linguagem ma-
temática:
(a) Para todo número real x, existe um número
natural n de modo que n é maior ou igual
ao dobro de x.
(b) Para todo número inteiro positivo n a soma
de n com o seu quadrado é um número
ı́mpar.
3) Dê a negação das proposições:
(a) ∀x ∈ N, x+ 1 > 4.
(b) ∀x ∈ R, x(x− 2) = x2 − 2x.
(c) ∀x ∈ A, x é um número primo.
(d) ∃x ∈ R, x2 ≥ x.
(e) ∃x ∈ A tal que ∀y ∈ B, x+ y ≥ 4.
4) Para A = {1, 2, 3, 4}, determinar o valor lógico
(V ou F) das proposições:
(a) ∀x ∈ A, x+ 3 < 6
(b) ∃x ∈ A, x+ 3 < 6
(c) ∀x ∈ A, x2 − 10 ≤ 8
(d) ∃x ∈ A, 2x2 + x = 15
5) Calcule:
(a) (
√
2 + 3)2 +
1
2
+
1
3
− 6
√
2
(b)
(−5)2 − 42 + (15)
2
32 + 1
(c)
(
1
2
+
3
4
)
−
(
1
2
.
3
4
)
+
(
2
5
)2
.
25
4
+
3
5
÷ 1
5
(d) (
√
2)4 ÷ 2− 1 + 5.(
√
3)2
6) Usando propriedades dos números reais, coloque
em ordem crescente a seguinte lista de números.
7
50
,
−7
45
, −
√
28−
√
14
10
,
−7
50
,
√
14−
√
28
−10
,
7
45
7) Sabe-se que uma estimativa de π em um intervalo
de amplitude 0, 001 é 3, 141 < π < 3, 142.
(a) Encontre uma estimativa de
2
π
dentro de in-
tervalo com variação máxima de 0,01.
(b) Encontre uma estimativa de 3−π dentro de
intervalo com variação máxima de 0,001.
8) Sabe-se que 0, 21 < a < 0, 22. Encontre uma
estimativa para a2 − a+ 4.
9) Sabe-se que 2, 23 <
√
5 < 2, 24. Encontre uma
estimativa para
3
√
5− 8√
5
.
10) Determine k,m ∈ Z tais que 27 · 322 = 3−k e
25 · 52m+1
5−3
= 5−2.
11) Escreva 27
4
√
413915 na forma 2x3y.
12) Determine p, q ∈ Z tais que p
q
=
811/4
9−1/2
· 3
−3
30
.
13) Racionalize o denominador:
(a)
3
√
x+ 1
1 +
√
x
(b)
x− 1
3
√
x− 1
(c)
3
√
4− 1
3
√
2− 1
14) Determine os números reais x, y e z indicados pe-
las setas na reta numérica desenhada abaixo, sa-
bendo que os intervalos foram subdivididos em
partes iguais.
15) Na reta numérica abaixo, o intervalo [a, b]
encontra-se dividido em 7 partes iguais.
Sabendo-se que a = −2/3 e b = 3/10, deter-
mine o valor de x indicado na figura. Escreva x
na forma p/q, em que p e q números inteiros e
primos entre si.
16) Represente em uma reta numérica os conjuntos
indicados abaixo (cada conjunto deve ser repre-
sentado em uma reta numérica diferente).
(a) {x ∈ R : 3x+ 6 > 0 ou 8− 4x < 0}
(b) {x ∈ R : 2x− 6 < 0 e 4x+ 6 ≤ 0}
(c) {x ∈ R : x− 1 > 0 e x− 4 ≤ 0}
(d) {x ∈ R : 6x− 1 = 0 e 6x− 1 > 0}
Nos exerćıcios abaixo, considere x, y ∈ R.
17) Considere a seguinte proposição:
Se
2x− 1
x− 1
> 1, então x > −2.
(a) Qual a hipótese e qual a tese desta pro-
posição?
(b) x = −1 é um exemplo para a proposição?
Justifique.
(c) x = −1 é um contraexemplo para a pro-
posição? Justifique.
(d) x = −3 é um contraexemplo para a pro-
posição? Justifique.
(e) x = −4 é um exemplo para a proposição?
Justifique.
(f) x = 2 é um exemplo para a proposição? Jus-
tifique.
(g) A proposição é verdadeira ou falsa? Justifi-
que.
(h) Escreva a rećıproca da proposição. A
rećıproca é verdadeira ou falsa? Justifique.
18) Considere a seguinte proposição:
Se − 2 < x ≤ 3, então − 1/2 < x < 3.
(a) Qual a hipótese e qual a tese desta pro-
posição?
(b) x = −1 é um contraexemplo para a pro-
posição? Justifique.
(c) x = 3 é um exemplo para a proposição? Jus-
tifique.
(d) x = 0 é um exemplo para a proposição? Jus-
tifique.
(e) A proposição é verdadeira ou falsa? Justifi-
que.
(f) Escreva a rećıproca da proposição. A
rećıproca é verdadeira ou falsa? Justifique.
19) Considere a seguinte proposição:
Se x3 + x− 1 < 0, então x < −1.
(a) x = −1 é um contraexemplo para a pro-
posição? Justifique.
(b) x = 0 é um contraexemplo para a pro-
posição? Justifique.
(c) A proposição é verdadeira ou falsa? Justifi-
que.
20) Determine o mı́nimo múltiplo comum entre:
(a) 6x+ 6 e 2x3 + 4x2 + 2x
(b) x3 + 8 e x2 + 4x+ 4
(c) x2 − 3x+ xy − 3y e x2 − y2
21) Escreva a expressão na forma mais simplificada
posśıvel.
Lista 1 – MAT105 (2020/I) – p. 2/ 6
(a)
2y2 − 10y
y − 5
+
8− 2y2
y + 2
(b)
x3 + 8
x2 − 4
+
2x2 − 4x− 16
x2 − 2x− 8
(c)
x3 + 8
x2 − 4
+
x2 − 16
4− x
(d)
(x2 − 1) + (x+ 1)
(x2 − 1)− (x− 1)
(e)
1
x
− 1
y
1
x
+
1
y
+ 1
(f)
1
x− 1
+
1
x
2x− 1
(g)
1− x
2x− 1
1− 1
x2
(h)
x3 − 1
1− 1
x
×
x+
1
x
x2 + x+ 1
(i)
4x√
x− 2
− 4
√
x− 2
2− x
22) Determine o domı́nio de validade das expressões:
(a)
√
x2 − 1
x− 2
(b)
√
x− 2√
x+ 2
(c) 6
√
x2 + 3x− 4
(d)
√
|3 + x| − |4− x|
(e)
1
1−
√
x
(f)
√
1
x+ 1
− 2
x− 3
(g)
√
1− x2 +
√
x2 − 1
23) Considere a expressão algébrica: p =
2−
√
x+ 1
x− 3
(a) Determine o domı́nio de validade de p.
(b) Mostre que não existe x ∈ R tal que p ≥ 0.
(c) Mostre que se x 6= 3, então p = −1
2 +
√
x+ 1
.
24) Considere a expressão algébrica: p =
3
√
x− 1
x− 1
.
(a) Determine o domı́nio de validade de p.
(b) Mostre que p ≥ 0 para x 6= 1.
(c) Mostre que p =
1
x2/3 + x1/3 + 1
, para x 6= 1.
25) Considere a expressão algébrica: p =
√
x2 − x−x
(a) Determine o domı́nio de validade de p.
(b) Determine o conjunto solução de p = 1.
(c) Mostre que se x < 0, então
p = −x(
√
1− x−1 + 1).
26) Considere a expressão algébrica: p =
(x− 1)4
x4 − 1
.
(a) Determine o domı́nio de validade de p.
(b) Determine o conjunto solução de p ≥ 0.
(c) Mostre que se x 6= 1, então
p =
x3 − 3x2 + 3x− 1
x3 + x2 + x+ 1
.
27) Use um contraexemplo para mostrar que as
afirmações a seguir são falsas.
(a) 3x(x2 − 1) = 0⇒ x2 − 1 = 2x
(b) (x− 1)2 = (2x− 3)2 ⇒ x = 2
(c) xy2 > x(y + 1)⇒ y2 > y + 1
(d) (x− 1)(x− 2) > 4(x− 2)⇒ x− 1 > 4
28) Verifique se as seguintes afirmações são equi-
valências ou implicações lógicas. Para as que não
o são, exiba um contraexemplo. Para as que são,
escreva uma justificativa.
(a) x5 < 0⇔ x < 0
(b) x > 2⇒ x ≥ 3
(c) x3 + y4 = 0⇒ x ≤ 0
(d) x− y > 0⇒ x > 0
(e) x ∈ {3} ⇒ x ∈ {3, π}
(f) x > 2⇒ x ≥ 2
(g) x3 = y3 ⇔ x = y
(h) x ≥ 2⇒ x > 2
(i) a2 = b2 ⇒ (a+ 1)2 = (b+ 1)2
(j)
√
x = y ⇔ x = y2
Lista 1 – MAT105 (2020/I) – p. 3/ 6
(k) y ≤
√
x⇒ y2 ≤ x
29) Qual número é maior? 23000 ou 32000. Justifique.
30) Encontre o erro:
4
√
a4
(1)
= (a4)
1
4
(2)
= a4.
1
4
(3)
= a1
(4)
= a.
31) Sabemos que se a e b são números naturais, então
(xa)b = xa.b = (xb)a, para todo x ∈ R. Mostre
(com um exemplo) que esta identidade é falsa se
a e b são números racionais.
32) Dado a, b ∈ R, use a definição ou propriedades de
módulo para determinar se as afirmações a seguir
são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta
(isto é, prove as verdadeiras e dê contraexemplo
para as falsas).
(a) Se a, b ∈ R e a < b, então |a| < |b|.
(b) Se a ∈ R, então |a+ 1| = |a|+ 1.
(c) Se a, b ∈ R e |ab| ≥ 1, então |ab2| < b.
(d) |ab| − |a||b| ≥ 0
(e) a < 0 se, e somente se, a+ |a| = 0
33) Se f(x) = 2x, mostre que se |x − 1| < 1, então
|f(x)− f(1)| < 2.
34) Mostre que se |x+3| ≤ 1, 12 então |4x+13| ≤ 11
2
.
35) Determine o conjunto solução das equações:
(a) |3x− 7| = x+ 2
(b) |x− 5| = |3x− 1|
(c) x4 − 5x2 + 4 = 0
(d) x3 − 6x2 + 11x− 6 = 0
(e) |x2 − 3| = 13
(f) |x|2 − 5|x|+ 6 = 0
36) Determine o conjunto solução das inequações:
(a) |2x− 5| < 1
(b) |3x+ 5| ≤ |2x+ 1|
(c) 3 < 5x ≤ 2x+ 11
(d)
5
3− x
≥ 2
(e)
x+ 2
x− 1
≤ x
x+ 4
(f) (x− 2)(−2x− 4)(x− 4) ≤ 0
(g)
3x
x+ 1
+
5
2
≤ 7
2x+ 2
(h) −6 ≤ x2 − 5x < 6
(i) (x2 + 2x− 3)(3x2 − 4x+ 8) < 0
(j) |x2 − x| > 2
(k) |x+ 2| − |x− 3| > x
37) Determine o conjunto solução:
(a) x− 1 +
√
2x− 2 ≥ 0
(b)
√
x2 − 8√
x+ 4
≥ 1
(c) x4 − 2x2 − 3 = 0
(d)
x+ 2
3− |x2 − 1|
= 1
(e)
x2
2x+ |x−2|
= 1
(f) x− 1 +
√
2x− 2 ≥ 0
(g)
√
x− 1 = x− 3
(h)
√
x2 − 3 =
√
x− 3
(i) x+
√
x− 2 = 4
(j)
5− |x|
x2 − 9
≥ 0
(k)
√
x
x− 1
=
√
−x√
1− x
(l)
1 +
x
2x− 1
1− 1
x2
> 0
(m)
1 +
x
2x− 1
1− 1
x2
=
−1
18
(n)
1
x2 − 1
<
1
x3 − 1
(o)
4x√
x− 2
− 4
√
x− 2
2− x
= −1
(p)
√
8− 2|x| − x2 =
√
5
(q) x3 − x2 − 2x+ 2 = 0
Lista 1 – MAT105 (2020/I) – p. 4/ 6
Gabarito
1) (a) A = {(−12 )
n/n ∈ N}
(b) A =
{
n2
n!
: n ∈ N
}
2) (a) ∀x ∈ R,∃n ∈ N tal que n ≥ 2x.
(b) ∀n ∈ N,∃k ∈ mathbbZ tal que n2 + n =
2k + 1.
3) (a) ∃x ∈ N, x+ 1 ≤ 4.
(b) ∃x ∈ R, x(x− 2) 6= x2 − 2x.
(c) ∃x ∈ A, x não é um número primo.
(d) ∀x ∈ R, x2 < x.
(e) ∀x ∈ A ∃y ∈ B tal que x+ y < 4.
4) (a) F
(b) V
(c) V
(d) F
5) (a)
71
6
(b)
113
125
(c)
39
8
(d) 16
6)
−7
45
,−
√
28−
√
14
10
,
−7
50
,
7
50
,
√
14−
√
28
−10
,
7
45
7) (a) 0, 31 <
1
π
< 0, 32
(b) −0, 142 < 3− π < −0, 141
8) 3, 8241 < a2 − a+ 4 < 3, 8384
9) −0, 584 < 3
√
5− 8√
5
< −0, 568
10) k = −25,m = −4
11) x = 13/2, y = 21/2
12) p = 1, q = 3
13) (a)
−3x+ s
√
x+ 1
1− x
(b) x2/3 + x1/3 + 1
(c) 3
√
2 + 1
14) x = −2.575, y = −2.45, z = −2.325
15) x = −41/105
16)
17) (a) Hipótese:
2x− 1
x− 1
> 1 Tese: x > −2
(b) F
(c) F
(d) V
(e) F
(f) V
(g) F
(h) Rećıproca: se x > −2 então 2x− 1
x− 1
> 1.
A rećıproca é falsa: x = 0 é um contraexem-
plo.
18) (a) Hipótese:−2 < x ≤ 3 Tese: −1/2 < x < 3
(b) V
(c) F
(d) V
(e) F
(f) Rećıproca: se −2 < x ≤ 3 então −1/2 <
x < 3. A rećıproca é verdadeira.
19) (a) F
(b) V
(c) F
20) (a) 6x(1 + x)2
(b) (x+ 2)2(x2 − 2x+ 4)
21) (a) 4, para y 6= −2, 5
(b)
x2
x− 2
, para x 6= −2, 2, 4
(c) −4(x− 3)
x− 2
, x 6= −2, 2,−4, 4
(d)
x+ 1
x− 1
, para x 6= −1, 1
(e)
2y
x+ y
, para x, y 6= 0 e x 6= −y
(f)
1
x(x− 1)
, para x 6= 0, 12 , 1
Lista 1 – MAT105 (2020/I) – p. 5/ 6
(g)
x2
(x+ 1)(2x− 1)
, para x 6= −1, 0, 12 , 1
(h) x2 + 1, para para x 6= 0, 1
(i)
8
(2− x)
√
x− 2
para x > 2
22) (a) [−1, 1] ∪ (2,∞)
(b) [2,∞)
(c) (−∞,−4) ∪ (1,∞)
(d) [
1
2
,∞)
(e) (0,∞)
(f) (−∞,−5] ∪ (−1, 3)
(g) {−1, 1}
23) (a) [−1, 3) ∪ (3,∞)
24) (a) R− {1}
25) (a) (−∞, 0] ∪ [1,∞)
(b) −1
3
26) (a) R− {1}
(b) (−∞,−1) ∪ (1,∞)
27) (a) x = 0
(b) x = 4/3
(c) x = −1, y = 1
(d) x = 0
28) (a) V
(b) F
(c) V
(d) F
(e) V
(f) V
(g) V
(h) F
(i) F
(j) F
29) 32000
30) Somente o passo 2 é falso.
31) Tome x = −1, a = 2, b = 1/2.
32) (a) F
(b) F
(c) V
(d) V
(e) V
33) Suponha que |x− 1| < 1. Temos então que
|f(x)− f(1)| = |2x− 2| = |2(x− 2)| = 2|x− 1| <
2(1) = 2
34)
35) (a) S = {9
2
,
5
4
}
(b) S = {3
2
,−2}
(c) S = {−2,−1, 1, 2}
(d) S = {1, 2, 3}
(e) S = {−4, 4}
(f) S = {−3,−2, 2, 3}
36) (a) S = (2, 3)
(b) S = [−4,−5
3
]
(c) S = (
3
5
,
11
3
]
(d) S = [
1
2
, 3)
(e) S = (−∞,−4) ∪ [−8
7
, 1)
(f) S = [−2, 2] ∪ [4,∞)
(g) S = (−1, 2
11
]
(h) S = (−3, 1)
(i) S = (
−5−
√
13
2
,−2) ∪ (−1, −5 +
√
13
2
)
(j) S = (−∞,−1) ∪ (2,∞)
(k) S = (−∞,−5) ∪ (1, 5)
37) (a) [1,∞)
(b) (−4,−3] ∪ [4,∞)
(c) {−
√
3,
√
3}
(d) {0, 1}
(e) {−1, 2}
(f) [1,∞)
(g) {5}
(h) ∅
(i) {3}
(j) [−5,−3) ∪ (3, 5]
(k) (−∞, 0]
(l) [−∞,−1) ∪ (12 ,∞)
(m)
{
−1
4
,
1
5
}
(n) (−1, 0) ∪ (0, 1)
(o) {6}
(p) {−1, 1}
(q) {1,−
√
2,
√
2}
Lista 1 – MAT105 (2020/I) – p. 6/ 6