19_1 - Compensador PID via Lug Raizes (1)

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Introdução
Projeto do Compensador P via Root-Locus
Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
Aula 12
Cristiano Quevedo Andrea1
1UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná
DAELT - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica
Curitiba, Outubro de 2011.
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Introdução
Projeto do Compensador P via Root-Locus
Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
Resumo
1 Introdução
2 Projeto do Compensador P via Root-Locus
3 Projeto PI via Root-Locus
4 Projeto PD via Root-Locus
5 Projeto PID via Root-Locus
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Introdução
Projeto do Compensador P via Root-Locus
Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
Podemos melhorar a resposta transitória pela modificação dos
pólos de malha fechada do sistema de controle. Considere as
seguintes condições.
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Introdução
Projeto do Compensador P via Root-Locus
Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
Podemos melhorar a resposta transitória, ou até mesmo corrigir
o erro de regime por meio da inclusão de um controlador na
configuração cascata ou na malha de realimentação.
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Introdução
Projeto do Compensador P via Root-Locus
Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
Projeto do Compensador P
Neste caso, o desempenho desejado do sistema em malha fechada
pode ser atingido apenas por um compensador proporcional.
Exemplo 1
Considere o seguinte sistema de controle:
O sistema opera inicialmente com P = 841. Neste caso, os pólos de malha
fechada são:
s1,2 = −10 ± j27, 2
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Introdução
Projeto do Compensador P via Root-Locus
Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
Para o sistema ilustrado anteriormente temos:
Te=0,4 segundos
Potencial de overshoot igual a 31, 5%.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tempo [seg.]
A
m
pl
itu
de
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Projeto do Compensador P via Root-Locus
Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
Entretanto, neste sistema de controle é necessária uma
porcentagem de overshoot de 6%, sem alterar o tempo de
estabelecimento. Neste caso temos que determinar os
pólos de malha fechada para a situação de 6% de
overshoot. Então, temos que:
Tempo de estabelecimento não muda:
Te =
4
ζωn
= 0,4 ⇔ ζωn = 10
P.O.=6% ⇔ ζ = 0,66, e deste modo: ωn
√
1 − ζ2 = 11,38
Portanto, os pólos de malha fechada para atender aos
critérios de desempenho são:
s1,2compensado = −10 ± j11, 38
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Projeto do Compensador P via Root-Locus
Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
Neste caso, a pergunta é: os pólos compensados pertencem ao root-locus do
sistema abordado?
Caso eles pertençam, temos que obter o ganho K que permite que os pólos de
malha fechada sejam −10 ± j11, 38. Caso estes pólos não pertençam ao
root-locus, não existe um controlador K que obtenha o desempenho desejado, e
neste caso temos que propor outro tipo de controlador.
Temos que verificar se estes pólos pertencem ao root-locus do sistema por meio
da condição de ângulo: θ = (2i + 1)180◦.
Pole-Zero Map
Real Axis
Im
a
g
in
a
ry
A
x
is
-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0
-15
-10
-5
0
5
10
15
θ1 θ2
s1 = −10 ± j11, 38
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Projeto do Compensador P via Root-Locus
Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
Então,
−θ1 − θ2 = (2i + 1)180◦
mas, θ1 = 49, 7◦ e θ2 = 130, 3◦, logo a condição anterior é
válida e este pólo pertence ao root-locus do sistema.
Por fim, temos que determinar o valor do ganho K que
leva os pólos de malha fechada em −10 ± j11, 38. Deste
modo temos:
|KG(s)H(s)|s=−10+j11,38 = 1
∣
∣
∣
∣
K
1
s(s + 20)
∣
∣
∣
∣
s=−10+j11,38
= 1
K = 227
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Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
Resultado do Projeto
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
X: 0.2639
Y: 1.06
Tempo [seg.]
A
m
pl
itu
de
Sistema Compensado
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Projeto do Compensador P via Root-Locus
Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
Existe projeto de controle no qual os critérios de desempenho são
determinados por faixa, por exemplo:
P.O. < 20%, Te < 2 segundos
Neste caso temos que verificar se apenas o controle proporcional
soluciona o problema. Considere para planta anterior a seguinte
condição: P.O. < 16%, Te < 0, 8 segundos (Existe um K factível)
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Projeto do Compensador P via Root-Locus
Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
Existe projeto de controle no qual os critérios de desempenho são
determinados por faixa, por exemplo:
P.O. < 20%, Te < 2 segundos
Neste caso temos que verificar se apenas o controle proporcional
soluciona o problema. Considere para planta anterior a seguinte
condição: P.O. < 16%, Te < 0, 8 segundos (Existe um K factível)
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Projeto do Compensador P via Root-Locus
Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
Considerando ainda o mesmo exemplo anterior, temos as
seguintes condições: P.O. < 10%, Te < 0, 19 segundos.
Neste caso não existe um K factível, e temos que propor
outro tipo de controlador.
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Projeto do Compensador P via Root-Locus
Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
Podemos obter erro nulo meio da inclusão de um pólo em s = 0 na
malha direta.
O controlador PI pode atuar em regime permanente sem alterar as
características do regime transitório.
Considere o sistema ilustrado a seguir com uma resposta transitória
adequada mas com erro em regime permanente.
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Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
A primeira idéia para corrigir o erro de regime é inserir um pólo em
s = 0 (integrador) na malha direta, considerando que a entrada é
degrau.
Entretanto neste procedimento, existe a correção do erro de regime,
mas a resposta transitória é alterada, e este efeito não é desejado.
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Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
Para solucionar este problema, devemos inserir um pólo na
origem e também um zero bem próximo ao pólo (PI), conforme
visto na figura a seguir:
O compensador com um pólo na origem e um zeroCristiano, Curitiba Sistema de Controle
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Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
Exemplo
Considere sistema ilustrado abaixo. Neste caso deve-se corrigir o erro de
regime sem alterar a resposta transitória:
O sistema opera com um coeficiente de amortecimento de 0, 174, e a figura
seguinte ilustra a adição de um compensador integral ideal para corrigir o
erro de regime sem alterar a resposta transitória.
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Projeto do Compensador P via Root-Locus
Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
O compensador apresenta um pólo na origem e um zero
em −0,1. Deste modo a contribuição angular do
compensador para os pólos dominantes do sistema é
praticamente nula, o que demonstra que a resposta
transitória nãosofre alteração.
Gc(s) =
s + 0,1
s
PROCEDIMENTO DE PROJETO
Analisa-se os pólos de malha fechada do sistema sem
compensação.
Avalia-se o erro de regime estacionário do sistema sem
compensação para uma entrada degrau unitária.
Analisa-se o root-locus do sistema sem compensação
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Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
Neste contexto, o root-locus do sistema não compensado
é:
√
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Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
Neste contexto, o root-locus do sistema não compensado
é:
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Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
Neste contexto, o root-locus do sistema não compensado
é:
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Projeto do Compensador P via Root-Locus
Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
Para o sistema não compensado, o terceiro pólo de malha
fechada é: −11, 61. Calculando-se a constante de erro de
posição, Kp, temos que:
Kp = 8,23
Deste modo o erro de regime estacionário para uma
entrada degrau unitário é:
e(∞) = 1
1 + 8,23
= 0,108
Para levar o erro a zero, foi inserido o compensador
integral ideal descrito anteriormente.
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Projeto do Compensador P via Root-Locus
Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
O root-locus do sistema compensado é:
O root-locus do sistema não compensado e compensado
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Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
Resultado do Projeto PI
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Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
O resposta transitória de um sistema pode ser ajustada
pela escolha adequada dos pólos de malha fechada.
Se este pólo pertence ao root-locus, então um simples
ajuste do ganho fornece a resposta transitória desejada.
Se este pólo não pertence ao root-locus do sistema,
então, deve-se realizar uma compensação do sistema de
controle por meio da utilização de um controlador PD.
O controlador PD pode ser representado pela seguinte
função de transferência:
Gc(s) = s + zc
Este controlador é denominado de controlador derivativo
ideal, ou simplesmente controlador PD.
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Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
Exemplo
Considere o seguinte sistema de controle dado pela figura
abaixo:
projetar um compensador derivativo ideal que mantenha o P.O.
de 16%, com redução de três vezes tempo de estabelecimento.
Primeiramente, analisando o desempenho do sistema não
compensado temos o seguinte root-locus.
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Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
P.O.=16% ⇐⇒ ζ ⇒ 0,504
Seguindo a linha para ζ = 0,504 e analisando-se a condição de
ângulo ((2i + 1)180◦) para o cruzamento da linha de ζ com o
root-locus temos os pólos de malha fechada:
s = −1,205 + j2,064.
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Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
Neste caso, o tempo de estabelecimento é:
Te =
4
ζωn
=
4
1,205
= 3,32
Assumi-se que o sistema responde de acordo com uma
planta de segunda ordem, pois o terceiro pólo para
K = 43,35 é −7,59.
Assim, Te−compensado = Te/3 = 3,32/3 = 1,107.
Te =
4
ζωn
⇐⇒ ζωn =
4
1,107
= 3,613
Mas, ζ = 0, 504, então, ωn = 7,16. Portanto os pólos de
malha fechada de projeto são:
s1,2 = −ζωn ± jωn
√
1 − ζ2 = −3,613 ± j6,19
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Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
Analisando-se o root-locus do sistema não compensador observa-se
que os pólos de malha fechada de interesse estão fora conforme
visualizado na figura abaixo:
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Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
Assim, temos que inserir um compensador derivativo que faça o
root-locus do sistema passe exatamente sobre o pólo desejado de
projeto.
A questão é: aonde alocar este zero do compensador. Neste caso,
temos que inserir um zero de tal modo que a somatório de ângulos do
sistema considerando o pólo desejado tem que ser (2i + 1)180◦.
Assim aloca-se o zero em 3006.
θp − θz = 180 ⇐⇒= −275, 6 + θz = 180 =⇒ θz = 95,6
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Projeto do Compensador P via Root-Locus
Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
Assim, o root-locus do sistema compensado é:
O ganho K que resulta nos pólos de malha fechada de
projeto é obtido pela condição
|KG(s)H(s)|s=−3,613+j6,19 = 1
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Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
Resultado do Projeto PD
Uma vez projetado o controlador PD, podemos
implementar este controlador como:
Gc(s) = K1s + K2 = K1
(
s +
K2
K1
)
Neste exemplo: K1 = 1 e K2 = 3,006.Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
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Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
Considere o controlador PID com a seguinte função de transferência.
O diagrama de blocos do sistema de controle via PID é descrito a
seguir:
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Projeto do Compensador P via Root-Locus
Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
PROCEDIMENTOS PARA O PROJETO PID
1 Analise o sistema não compensado e avalie o quanto a
resposta do sistema deve ser alterada para atingir critérios
de desempenho.
2 Projete o controlador PD para atingir o desempenho
desejado em projeto.
3 Simule o sistema para verificar se as especificações de
projeto foram atingidas.
4 No caso das especificações de projeto serem obtidas,
projete o controlador PI para corrigir o erro de estado
estacionário.
5 Determine os ganhos K1, K2 e K3.
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Projeto do Compensador P via Root-Locus
Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
Exemplo
Considere o sistema de controle dado abaixo:
Projeto um controlador PID que proporcione a saída do
sistema com o tempo de pico de 2/3 o tempo de pico do
sistema não compensado e ainda que tenha 20 % de
overshoot. Adicionalmente o sistema deve apresentar erro nulo
de estado estacionário para entrada do tipo degrau.
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Projeto do Compensador P via Root-Locus
Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
PROCEDIMENTO 1
O P.O. de 20% implica em um ζ = 0,456. No processo de
determinação do ângulo da reta que implica em um P.O.
20% temos:
tan(θ) =
√
1 − ζ2
ζ
=
√
1 − 0,4562
0,456
⇐⇒ θ = 117,13◦
Utilizando esta informação, e ainda realizando-se uma
análise geométrica, pode-se determinar os pólos de malha
fechada do sistema, deste modo tem-se:
s1,2 = −5,415 ± j10,57
neste contexto o ganho necessário para atingir estes pólos
dominantes de malha fechada é 121,5.
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Projeto do Compensador P via Root-Locus
Projeto PI via Root-LocusProjeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
O root-locus do sistema não compensado é ilustrado a seguir:
Neste caso o tempo de pico baseado nos pólos dominantes é:
Tp =
π
ωn
√
1 − ζ2
=
π
10, 57
= 0, 297
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Projeto do Compensador P via Root-Locus
Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
O root-locus do sistema não compensado é ilustrado a seguir:
PROCEDIMENTO 2
Neste caso o tempo de pico baseado nos pólos dominantes é:
Tp =
π
Imag(s1,2) = 10,57
=
π
10,57
= 0,297
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Projeto do Compensador P via Root-Locus
Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
O tempo de pico para o sistema compensado será 2/3 do
tempo de pico do sistema não compensado. Assim:
Tp =
π
ωd
ωd =
π
(2/3)0,297
ωd = 15,87 ⇐⇒ Imag. dos pólos dominantes do sis. compens.
Como o sistema deve apresentar P. O. igual a 20%, temos
que o ângulo do pólo dominante deve ser de 117,3◦.
Logo, utilizando a parte imaginária do pólo de malha
fechada dominante do sistema compensado e o ângulo de
117,3◦ podemos calcular a parte real destes pólos
complexo conjugado.
σ =
ωd
tan(117,3◦)
= −8,13
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Projeto do Compensador P via Root-Locus
Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
Estrutura geométrica utilizada no projeto do PD.
Neste contexto:
−
∑
θpólos + θz = 180
−198,37 + θz = −180
θz = 18,37
Então:
15,87
zc − 8,13
= tan(18,37)
zc = 55,92
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Projeto do Compensador P via Root-Locus
Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
Assim, o controlador PD é dado por
Gc(s) = (s + 55,92)
O root-locus do sistema compensado com o PD é ilustrado
a seguir:
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Projeto do Compensador P via Root-Locus
Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
PROCEDIMENTO 3
Depois do projeto do controlador PD deve-se determinar o
controlador PI para corrigir o erro de regime do sistema
para uma entrada degrau.
Qualquer integrador ideal irá funcionar, desde que o zero
seja alocado próximo a origem. Deste modo, utiliza-se o
seguinte integrador ideal.
Gp(s) =
s + 0,5
s
Neste caso, para um coeficiente de amortecimento igual a
0,456 temos que os pólos de malha fechada do sistema
compensado pelos controlador PD e PI é:
−7,516 ± j14,67, com um ganho associado de 4,16.
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Projeto do Compensador P via Root-Locus
Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
Root-locus do sistema compensador pelo controlador PID
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Projeto do Compensador P via Root-Locus
Projeto PI via Root-Locus
Projeto PD via Root-Locus
Projeto PID via Root-Locus
PROCEDIMENTO 4
Temos que determinar os ganhos para a implementação
do controlador PID, assim,
GPID(s) =
K (s + 55,2)(s + 0,5)
s
=
K (s2 + 56,42s + 27,96)
s
(1)
Portanto podemos ter:
K1 = 259,5
K2 = 128,6
K3 = 4,6
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Projeto PID via Root-Locus
Resultado do Projeto PID
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