AULA ESPECIAL SEGUNDA SERIE AO CUBO 02 04 2018

Prévia do material em texto

Exercícios de Matemática – Turma Especial 2a Série – Prof. J.Carlos(Jô)
4
Triângulos
 Elementos
 Classificação
 Congruência de triângulos
 Casos
[1] ALA :
[2] LAL :
[3] LLL :
 Triângulos retângulos
[1]
[2]
 Desigualdades (Condição de Existência )
Exercícios
[1] Na figura, o triângulo PCD é congruente ao triângulo PBA. Determine o valor de x e y e a razão entre os perímetros dos triângulos PCA e PBD.
[2] (a) Demonstre que a mediana relativa à base de um triângulo isósceles é também bissetriz.
(b) Prove que a bissetriz relativa à base de um triângulo isósceles é também mediana.
[3] (a) Prove que as bissetrizes relativas aos lados congruentes de um triângulos isósceles são congruentes.
(b) Prove que, se a bissetriz relativa a um lado de um triângulo é também mediana relativa a esse lado, então esse triângulo é isósceles.
[4] Determine o intervalo de variação x, sabendo que os lados de um triângulo são expressos por (x + 10), (2x+4) e (20 – 2x).
[5] Mostre que a hipotenusa de um triângulo retângulo é maior que a semissoma dos catetos.
[6] Prove que qualquer lado de um triângulo é menor que o semiperímetro.
 [7] Se P é um ponto interno de um triângulo ABC, mostre que é maior que .
[8] Se P é um ponto interno de um triângulo ABC e x = PA, y = PB e z = PC, mostre que x + y + z está entre o semiperímetro e o perímetro do triângulo.
[9] Se a mediana relativa ao lado de um triângulo de lados mostre que:
[10] Prove que a soma das medidas das medianas de um triângulo é menor que o perímetro e maior que o semiperímetro.
[11] [PUC/RJ – Adaptada] Observe a figura abaixo:
Com base nos dados dessa figura, determine justificando matematicamente qual o maior segmento.
[12] Considerando todos os triângulos de perímetro 15, mostre que em nenhum deles pode haver um cujo lado mede 8.
[13] (Torneio das cidades) Sejam as medidas dos lados de um triângulo ABC. 
Mostre que 
	Retas paralelas cortadas por uma transversal
Teorema: Se = r // s ( e são chamados de alternos internos).
Observação: O símbolo representa uma equivalência, ou seja, podemos inverter a hipótese e a tese.
1. = r // s
1)	Supondo r não paralelo a s temos:
2)	Obtemos o ABC e é ângulo externo, assim > (volte 2.2 item b), o que contradiz a hipótese.
1. r // s = 
1)	Seja = , traçamos u tal que = 
2)	Como = temos u // s
3)	Por hipótese temos r // s e concluímos u // s, mas este fato contraria o postulado das paralelas, logo, r u e = (cqd)
Teoremas angulares num triângulo qualquer
1. A soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180.
1. Qualquer ângulo externo de um triângulo, é a soma dos dois ângulos internos não adjacentes.
BACrs
 


t
s
A
u
BC
A



ˆaˆb
r
B
C
A



ˆaˆb
X
r