aula 11 com soluções

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Polinômios 
1) UNESP - Transforme o polinômio P(x) ≡ x5 + x2 – x – 1 em um produto de dois polinômios, sendo um deles do 3.º grau.
SOLUÇÃO
2) UFC -Considere a expressão x4 – x3 – 5x2 – x – 6. Pede-se: 
A) encontrar o valor numérico da expressão para x = – 2. 
B) obter todas as raízes complexas do polinômio p(x) = x4 – x3 – 5x2 – x – 6
SOLUÇÃO
1. Fazendo x = - 2 temos (- 2)4 – (- 2)3 – 5(-2)2 – ( - 2) – 6 = 16 + 8 - 20 + 2 – 6 = 0
	O valor numérico para x = - 2 é 0, portando - 2 é raiz do polinômio.
 
2. Dividindo o polinômio por (x + 2) temos:
 -2 1 -1 -5 -1 -6
 1 -3 1 -3 0
Logo p(x) = (x + 2) . (x3 – 3x2 + x - 3)
 p(x) = (x + 2) . (x2(x – 3) + x – 3)
 p(x) = (x + 2) . (x - 3).(x2 + 1)
calculando as raízes temos
 	x + 2 = 0 x = - 2
 	x - 3 = 0 x = 3
 	x2 + 1 = 0 x = i ou x = - i 
3) UNIRIO - Determine o valor dos coeficientes reais a, b e c do polinômio P(X)=x³+ax²+bx+c, sabendo que as raízes deste polinômio estão em progressão geométrica de razão 2 e que . p(0)= -8 .
SOLUÇÃO
4) UNIRIO – Considere o polinômio p(x) = x4 – 2x3+18x²-32x+32. Sabendo que 4i é raiz de p(x), resolva, no conjunto C dos números complexos, a equação p(x)=0.
SOLUÇÃO
5) UNIRIO – Determine k de modo que a equação polinomial x³+kx²-6x-8=0 tenha as raízes em progressão geométrica.
SOLUÇÃO
6) UFF - Considere o polinômio p(x) = x3 - 1. 
a) Encontre, em c , todas as raízes do polinômio p(x).
b) Calcule a área do polígono cujos vértices são os pontos que representam as raízes do polinômio p(x), no plano complexo.
c) Sejam z1 e z2 as raízes complexas, não reais, do polinômio p(x). Determine o valor de (z13000 + z23000)
SOLUÇÃO
7) UERJ -Observe o gráfico da função polinomial de em definida por .
Determine o conjunto solução da inequação . 
SOLUÇÃO
8) 	UERJ -O gráfico abaixo representa a função polinomial P do 3° grau que intersecta o eixo das abscissas no ponto (-1, 0). 
Determine o resto da divisão de por .
SOLUÇÃO
O divisor é x2 – 1 (grau 2). O resto será, no máximo, de grau 1. Isto é, R(x) = ax + b. Pelo gráfico temos que P(– 1) = 0 e P(1) = 2.
.
O resto é R(x) = x + 1.
9) UERJ -	Uma sequência de três números não nulos está em progressão harmônica se seus inversos , nessa ordem, formam uma progressão aritmética. 
As raízes da equação a seguir, de incógnita x, estão em progressão harmônica
	 Considerando o conjunto dos números complexos, apresente todas as raízes dessa equação. 
SOLUÇÃO
10) UERJ -
Admita a possibilidade de contar objetos de duas maneiras, uma na base e outra na base . 
Ao empregar essas duas maneiras de contar um determinado grupo de objetos, obtemos .
Calcule o valor da base e as outras raízes da equação resultante.
SOLUÇÃO
Escrevendo as contagens nas respectivas bases, temos:
2.x3 + 3.x2 + 4.x1 + 3.x0 = 5.(x + 3)2 + 3.(x + 3)1 + 4.(x + 3)0 2x3 + 3x2 + 4x + 3 = 5(x + 3)2 + 3(x + 3) + 4 
 2x3 + 3x2 + 4x + 3 = 5(x2 + 6x + 9) + 3x + 9 + 4 2x3 + 3x2 + 4x + 3 = 5x2 + 33x + 58 
 2x3 – 2x2 – 29x – 55 = 0.
Essa equação algébrica possui uma raiz inteira e positiva, pois representa a base. Pela pesquisa de raízes as possibilidades são: {±1; ±5; ±11; ±55; ±1/2; ±5/2; ±11/2; ±55/2}. Destas opções para a base, o valor 5 é o mais indicado. Verificando se é raiz, temos: 2(5)3 – 2(5)2 – 29(5) – 55 = 250 – 50 – 145 – 55 = 250 – 250 = 0. 
Logo, x = 5 é a base. Para encontrar as outras raízes, aplicamos o dispositivo Briot-Ruffini. 
O quociente é Q(x) = 2x2 + 8x + 11 = 0. Resolvendo, vem: 
. 
11) UERJ -Considere a equação a seguir, que se reduz a uma equação do terceiro grau: 
Uma de suas raízes é real e as outras duas são imaginárias.
Determine as três raízes dessa equação. 
SOLUÇÃO
12) UERJ -
O gráfico acima representa uma função polinomial P de variável real, que possui duas raízes inteiras e é definida por: 
Determine o valor da constante representada por m e as quatro raízes desse polinômio. 
SOLUÇÃO
13) UERJ -As figuras abaixo representam as formas e as dimensões, em decímetros, de duas embalagens: um cubo com aresta x e um paralelogramo retângulo com arestas x, x e 5
A diferença entre as capacidades de armazenamento dessas embalagens, em dm³, é expressa por x³ - 5x² = 36.
Considerando essa equação, 
A) Demonstre que 6 é uma de suas raízes;
B) Calcule as suas raízes complexas
SOLUÇÃO
	A)
	
 216 180 = 36 
Logo, 6 é raiz, já que torna a igualdade verdadeira.6
1
 5
0
36
1
1
6
0
	B)
	
x = 6 é raiz ()() = 0
	
	
= 0 = 23 x = x1 = e x2 = 
14) UERJ -Para fazer uma caixa, foi utilizado um quadrado de papelão de espessura desprezível e 8 dm de lado, do qual foram recortados e retirados seis quadrados menores de lado x. Observe a ilustração
Em seguida, o papelão foi dobrado nas linhas pontilhadas, assumindo a forma de um paralelepípedo retângulo, de altura x, como mostram os esquemas 
Quando x = 2 dm, o volume da caixa é igual a 8 dm³. Determine outro valor de x para que a caixa tenha volume igual a 8 dm³.
SOLUÇÃO
Observe a figura com as dimensões finais após a dobradura.
Igualando o valor do volume ao produto das dimensões, temos:
.
Como x = 2, já é raiz, aplicamos o dispositivo Briot-Ruffini.
O quociente de grau 2 é: Q(x) = 3x2 – 14x + 4. Encontrando os zeros, temos:
. 
15) Fuvest - Um polinômio de grau 3 possui três raízes reais que, colocadas em ordem crescente, formam uma progressão aritmética em que a soma dos termos é igual a 9/5. A diferença entre o quadrado da maior raiz e o quadrado da menor raiz é 24/5. 
Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau do polinômio é 5, determine 
a) a progressão aritmética.
 b) o coeficiente do termo de grau 1 desse polinômio.
SOLUÇÃO
16) Fuvest – As raízes da equação do terceiro grau 
são todas reais e formam uma progressão geométrica. Determine 
a) as raízes da equação;
 b) o valor de k.
SOLUÇÃO
17) Fuvest - Considere o polinômio P(x) = x4+1 . 
a) Ache todas as raízes complexas de P(x). 
b) Escreva P(x) como produto de dois polinômios de segundo grau, com coeficientes reais.
SOLUÇÃO
18) Fuvest - Os coeficientes a, b e c do polinômio P(x) = x³ + ax² + bx + c são reais. Sabendo que -1 e 1+αi, com α>0, são raízes da equação P(x)=0 e que o resto da divisão de P(x) por (x-1) é 8, determine
a) o valor de α
b) o quociente de P(x) por (X+1)
SOLUÇÃO
19) UFSP -Seja . Elevando ambos os termos ao cubo, teremos x³ = 4 – 3x. Seja p(x) = x³ + 3x – 4. Como p(1) = 0, p(x) é divisível por x – 1 e, então, p(x) = (x – 1).q(x), onde q é um polinômio. 
a) Mostre que q(x) possui como zeros somente números complexos não reais e, portanto, que o número x = 1 é o único zero real de p(x). 
b) Mostre que é um número inteiro.
SOLUÇÃO
20) Unicamp – Considere o polinômio cúbico P(x) = x³ - 3x + a, onde a é um número real.
a) No caso em que p(1)=0, determine os valores de x para os quais a matriz A abaixo não é inversível.
b) Seja b um número real não nulo e i a unidade imaginária, isto é, i² = -1. Se o número complexo z = 2+bi é uma raíz de p(x), determine o valor de lZl.
SOLUÇÃO
(
)
(
)
(
)
1
a
,
Logo
.
1
b
2
b
2
2
a
a
2
b
a
b
a
2
b
a
0
b
a
)
iii
2
b
a
2
b
)
1
(
a
)
1
(
q
.
1
1
2
)
1
(
P
)
ii
0
b
a
0
b
)
1
(
a
)
1
(
q
.
1
)
1
(
0
)
1
(
P
)
i
b
ax
)
x
(
q
.
1
x
)
x
(
P
2
2
2
=
=
Þ
=
Þ
=
+
Þ
î
í
ì
=
+
=
Þ
î
í
ì
=
+
=
+
-
=
+
Þ
=
+
+
-
Þ
=
=
+
-
Þ
=
+
-
+
-
-
-
Þ
=
-
+
+
-
=
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
-
-
=
-
-
=
+
-
=
+
-
=
Þ
-
±
-
=
-
±
-
=
2
6
i
4
4
6
i
2
8
x
2
6
i
4
4
6
i
2
8
x
4
24
8
)
2
(
2
)
11
)(
2
(
4
)
8
(
8
x
2
=
´
-
=
´
-
36
5
216
6
5
6
2
3
6
x
-
6
x
x
2
+
+
2
23
i
1
±
-
2
23
i
1
+
-
2
23
i
1
-
-
(
)
0
8
x
32
x
20
x
3
0
16
x
64
x
40
x
6
0
16
x
64
x
16
x
24
x
6
16
x
2
x
8
).
x
3
8
(
8
)
x
).(
x
2
8
.(
2
x
3
8
2
3
2
3
2
2
3
2
=
-
+
-
Þ
Þ
=
-
+
-
Þ
=
-
+
-
-
Þ
=
-
-
Þ
=
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
3
37
7
x
:
medida
Outra
3
37
7
x
3
8
x
el
incompatív
3
8
3
37
7
x
6
37
2
14
6
148
14
)
3
(
2
)
4
)(
3
(
4
196
14
x
0
4
x
14
x
3
2
1
2
-
=
Þ
ï
ï
î
ï
ï
í
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-
=
÷
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öç
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+
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Þ
Þ
±
=
±
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-
±
=
Þ
=
+
-