aula 12 ao cubo MAT 1

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Aula 12 – Função Exponencial
Matemática 1 – Prof. J.Carlos
“ É divertido fazer o impossível .” ( Walt Disney)
Função Exponencial
Observações:
(i) D(f) = 
(ii) Im(f) = 
(iii) f(x) será crescente sss a>1
(iv) f(x) será decrescente sss 0<a<1
(v) (0,1) sempre será ponto de f(x).
Exemplos:
(a) 
(b)
Exercícios
1. (Esc. Naval) O elemento químico Califórnio, emite partículas alfa, transformando-se no elemento Cúrio, Essa desintegração obedece à função exponencial onde é quantidade de partículas de no instante em determinada amostra; é a quantidade de partículas no instante inicial; e é uma constante, chamada constante de desintegração. Sabendo que em anos a concentração de é reduzida à metade, pode-se afirmar que o tempo necessário para que a quantidade de seja apenas da quantidade inicial está entre 
a) anos. 
b) anos. 
c) anos. 
d) anos. 
e) anos. 
 
2. (Ufg) No acidente ocorrido na usina nuclear de Fukushima, no Japão, houve a liberação do iodo Radioativo 131 nas águas do Oceano Pacífico. Sabendo que a meia-vida do isótopo do iodo Radioativo 131 é de 8 dias, o gráfico que representa a curva de decaimento para uma amostra de 16 gramas do isótopo é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
3. (Fgv) O valor de um carro decresce exponencialmente, de modo que seu valor, daqui a x anos, será dado por V = Ae–kx, em que em que e = 2,7182… . Hoje, o carro vale R$ 40 000,00 e daqui a 2 anos valera R$ 30 000,00.
Nessas condições, o valor do carro daqui a 4 anos será: 
a) R$ 17 500,00 
b) R$ 20 000,00 
c) R$ 22 500,00 
d) R$ 25 000,00 
e) R$ 27 500,00 
 
4. (Imed) Em relação à função real definida por é correto afirmar que corresponde a: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Para analisar o crescimento de uma bactéria, foram inoculadas 1 × 103 células a um determinado volume de meio de cultura apropriado. Em seguida, durante 10 horas, em intervalos de 1 hora, era medido o número total de bactérias nessa cultura. Os resultados da pesquisa estão mostrados no gráfico a seguir.
No gráfico da figura 1, o tempo 0 corresponde ao momento do inóculo bacteriano. 
Observe que a quantidade de bactérias presentes no meio, medida a cada hora, segue uma progressão geométrica até 5 horas, inclusive. 
5. (Uerj) 
Após 10 horas de crescimento, 1 × 103 bactérias vivas foram imediatamente transferidas para um novo meio de cultura, de composição e volume idênticos aos do experimento inicial.
No gráfico da figura 2, uma das curvas representa o crescimento bacteriano nesse novo meio durante um período de 5 horas. 
A curva compatível com o resultado do novo experimento é a identificada por: 
a) W 
b) X 
c) Y 
d) Z 
 
6. (Imed) Em um experimento no laboratório de pesquisa, observou-se que o número de bactérias de uma determinada cultura, sob certas condições, evolui conforme a função em que expressa a quantidade de bactérias e representa o tempo em horas. Para atingir uma cultura de bactérias, após o início do experimento, o tempo decorrido, em horas, corresponde a: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
7. (Pucrj) Seja 
a) Calcule 
b) Encontre todos os valores reais de para os quais 
c) Encontre todos os valores reais de para os quais 
 
8. (Fgv) Se é a fração irredutível que é solução da equação exponencial então, é igual a 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
9. (Unicamp) Considere a função definida para todo número real 
a) Mostre que é um número inteiro.
b) Sabendo que encontre os valores de para os quais 
 
10. (Uerj) Em um recipiente com a forma de um paralelepípedo retângulo com de comprimento, de largura e de altura, foram depositadas, em etapas, pequenas esferas, cada uma com volume igual a Na primeira etapa, depositou-se uma esfera; na segunda, duas; na terceira, quatro; e assim sucessivamente, dobrando-se o número de esferas a cada etapa.
Admita que, quando o recipiente está cheio, o espaço vazio entre as esferas é desprezível.
Considerando o menor número de etapas necessárias para que o volume total de esferas seja maior do que o volume do recipiente é: 
a) 15 
b) 16 
c) 17 
d) 18 
 
11. (Uerj) Um imóvel perde 36% do valor de venda a cada dois anos. O valor V(t) desse imóvel em t anos pode ser obtido por meio da fórmula a seguir, na qual V0 corresponde ao seu valor atual.
Admitindo que o valor de venda atual do imóvel seja igual a 50 mil reais, calcule seu valor de venda daqui a três anos. 
 
12. (Fuvest) Quando se divide o Produto Interno Bruto (PIB) de um país pela sua população, obtém-se a renda per capita desse país. Suponha que a população de um país cresça à taxa constante de 2% ao ano. Para que sua renda per capita dobre em 20 anos, o PIB deve crescer anualmente à taxa constante de, aproximadamente,
Dado: 
a) 4,2% 
b) 5,2% 
c) 6,4% 
d) 7,5% 
e) 8,9% 
 
13. (Uerj) Considere uma folha de papel retangular que foi dobrada ao meio, resultando em duas partes, cada uma com metade da área inicial da folha, conforme as ilustrações.
Esse procedimento de dobradura pode ser repetido n vezes, até resultar em partes com áreas inferiores a 0,0001% da área inicial da folha.
Calcule o menor valor de n. Se necessário, utilize em seus cálculos os dados da tabela.
	x
	2x
	9
	102,70
	10
	103,01
	11
	103,32
	12
	103,63
 
 
14. (Fuvest) Uma substância radioativa sofre desintegração ao longo do tempo, de acordo com a relação , em que a é um número real positivo, t é dado em anos, m(t) a massa da substância em gramas e c, k são constantes positivas. Sabe-se que gramas dessa substância foram reduzidos a 20% em 10 anos. A que porcentagem de ficará reduzida a massa da substância, em 20 anos? 
a) 10% 
b) 5% 
c) 4% 
d) 3% 
e) 2% 
 
15. (Pucrj) A equação tem duas soluções reais. A soma das duas soluções é: 
a) – 5 
b) 0 
c) 2 
d) 14 
e) 1024 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Hemácias de um animal foram colocadas em meio de cultura em vários frascos com diferentes concentrações das substâncias A e B, marcadas com isótopo de hidrogênio. Dessa forma os pesquisadores puderam acompanhar a entrada dessas substâncias nas hemácias, como mostra o gráfico apresentado a seguir.
 
16. (Unicamp) Seja x a concentração de substância B no meio extracelular e y a velocidade de transporte. Observando-se o formato da curva B e os valores de x e y em determinados pontos, podemos concluir que a função que melhor relaciona essas duas grandezas é 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
17. (Fuvest) Seja , em que a, b e c são números reais. A imagem de f é a semirreta e o gráfico de f intercepta os eixos coordenados nos pontos (1, 0) e (0, -3/4). Então, o produto abc vale 
a) 4 
b) 2 
c) 0 
d) - 2 
e) - 4 
 
18. (Unicamp) Em uma xícara que já contém certa quantidade de açúcar, despeja-se café. A curva a seguir representa a função exponencial M(t), que fornece a quantidade de açúcar não dissolvido (em gramas), t minutos após o café ser despejado. Pelo gráfico, podemos concluir que
 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
19. (Unifesp) A figura 1 representa um cabo de aço preso nas extremidades de duas hastes de mesma altura h em relação a uma plataforma horizontal. A representação dessa situação num sistema de eixos ortogonais supõe a plataforma de fixação das hastes sobre o eixo das abscissas; as bases das hastes como dois pontos, A e B; e considera o ponto O, origem do sistema, como o ponto médio entre essas duas bases (figura 2). O comportamento do cabo é descrito matematicamente pela função , com domínio [A, B].
a) Nessas condições, qual a menor distância entre o cabo e a plataforma de apoio?
b) Considerando as hastes com 2,5 m de altura, qual deve ser a distância entre elas, se o comportamento do cabo seguir precisamente a função dada? 
 
20. (Ufmg) O valor de x que satisfaz a equação 24x - 6(22x) = 16 é tal que: 
a) 1 < x ≤ 2 
b) 2 < x ≤ 3 
c) 3 < x ≤ 4 
d) 4 < x ≤ 5 
 
21. (Ufmg)Observe a figura. 
Nessa figura, está representado o gráfico de f(x) = káx, sendo k e á constantes positivas. O valor de f(2) é: 
a) 
b) 
c) 
d) 1 
 
22. (Uff) Resolva o sistema
 
 
23. (Fuvest) A equação 2x = - 3x + 2, com x real, 
a) não tem solução. 
b) tem uma única solução entre 0 e 2/3. 
c) tem uma única solução entre - 2/3 e 0. 
d) tem duas soluções, sendo uma positiva e outra negativa. 
e) tem mais de duas soluções. 
 
24. (Uerj) Pelos programas de controle de tuberculose, sabe-se que o risco de infecção R depende do tempo t, em anos, do seguinte modo R=R0 e-yt em que R0 é o risco de infecção no início da contagem do tempo t e y é o coeficiente de declínio.
O risco de infecção atual em Salvador foi estimado em 2%. Suponha que, com a implantação de um programa nesta cidade, fosse obtida uma redução no risco de 10% ao ano, isto é, y=10%.
Use a tabela abaixo para os cálculos necessários:
O tempo, em anos, para que o risco de infecção se torne igual a 0,2%, é de: 
a) 21 
b) 22 
c) 23 
d) 24 
 
25. (Ufmg) Suponha que a equação
seja válida para todo número real x, em que a, b, e c são números reais.
Então, a soma a + b + c é igual a 
a) 
b) 
c) 
d) 12 
 
26. (Unicamp) Considere a equação 2x + m22-x - 2m - 2 = 0, onde m é um número real.
a) Resolva essa equação para m = 1.
b) Encontre todos os valores de m para os quais a equação tem uma única raiz real. 
 
27. (Uff) a) Ao resolver uma questão, José apresentou o seguinte raciocínio:
"Como > tem-se > e conclui-se que 2>3."
Identifique o erro que José cometeu em seu raciocínio, levando-o a essa conclusão absurda.
b) Sem cometer o mesmo erro que José, determine o menor número m, inteiro e positivo, que satisfaz à inequação: 
 
28. (Fuvest) Seja f(x) = 22x+1. Se a e b são tais que f(a) = 4f(b), pode-se afirmar que: 
a) a + b = 2 
b) a + b = 1 
c) a - b = 3 
d) a - b = 2 
e) a - b = 1 
 
29. (Uerj) A inflação anual de um país decresceu no período de sete anos. Esse fenômeno pode ser representado por uma função exponencial do tipo f(x) = a.bx, conforme o gráfico a seguir. 
Determine a taxa de inflação desse país no quarto ano de declínio. 
 
30. (Unicamp) O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por:
onde T(t)é a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t, dado em minutos, TA é a temperatura ambiente, suposta constante, e á e â são constantes. O referido corpo foi colocado em um congelador com temperatura de -18°C. Um termômetro no corpo indicou que ele atingiu 0°C após 90 minutos e chegou a -16°C após 270 minutos.
a) Encontre os valores numéricos das constantes á e â.
b) Determine o valor de t para o qual a temperatura do corpo no congelador é apenas C superior à temperatura ambiente. 
 
31. (Uerj) Segundo a lei do resfriamento de Newton, a temperatura T de um corpo colocado num ambiente cuja temperatura é T0 obedece à seguinte relação:
Nesta relação, T é medida na escala Celsius, t é o tempo medido em horas, a partir do instante em que o corpo foi colocado no ambiente, e k e c são constantes a serem determinadas. Considere uma xícara contendo café, inicialmente a 100°C, colocada numa sala de temperatura 20°C. Vinte minutos depois, a temperatura do café passa a ser de 40°C.
a) Calcule a temperatura do café 50 minutos após a xícara ter sido colocada na sala.
b) Considerando ℓn 2 = 0,7 e ℓn 3 = 1,1, estabeleça o tempo aproximado em que, depois de a xícara ter sido colocada na sala, a temperatura do café se reduziu à metade. 
 
32. (Ufscar) Se a área do triângulo retângulo ABC, indicado na figura, é igual a 3n, conclui-se que f(n) é igual a
 
a) 2. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 3. 
e) 4. 
 
33. (Unicamp) A função L(x) = aebx fornece o nível de iluminação, em luxes, de um objeto situado a x metros de uma lâmpada.
a) Calcule os valores numéricos das constantes a e b, sabendo que um objeto a 1 metro de distância da lâmpada recebe 60 luxes e que um objeto a 2 metros de distância recebe 30 luxes.
b) Considerando que um objeto recebe 15 luxes, calcule a distância entre a lâmpada e esse objeto. 
 
34. (Uerj) Em 1772, o astrônomo Johann Elert Bode, considerando os planetas então conhecidos, tabelou as medidas das distâncias desses planetas até o Sol.
A partir dos dados da tabela, Bode estabeleceu a expressão a seguir, com a qual se poderia calcular, em unidades astronômicas, o valor aproximado dessas distâncias:
		
Atualmente, Netuno é o planeta para o qual n = 9, e a medida de sua distância até o Sol é igual a 30 unidades astronômicas. A diferença entre este valor e aquele calculado pela expressão de Bode é igual a d.
O valor percentual de , em relação a 30 unidades astronômicas, é aproximadamente igual a: 
a) 29% 
b) 32% 
c) 35% 
d) 38% 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos.
 
35. (Enem) Suponha que o modelo exponencial y = 363 e0,03x, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre 
a) 490 e 510 milhões. 
b) 550 e 620 milhões. 
c) 780 e 800 milhões. 
d) 810 e 860 milhões. 
e) 870 e 910 milhões. 
 
36. (Uff) O gráfico da função exponencial f, definida por f (x) = k ax, foi construído utilizando-se o programa de geometria dinâmica gratuito GeoGebra (http://www.geogebra.org), conforme mostra a figura a seguir:
Sabe-se que os pontos A e B, indicados na figura, pertencem ao gráfico de f. Determine:
a) os valores das constantes a e k;
b) f (0) e f (3). 
 
37. (Ufscar) Para estimar a área da figura ABDO (sombreada no desenho), onde a curva AB é parte da representação gráfica da função f(x) = 2x, João demarcou o retângulo OCBD e, em seguida, usou um programa de computador que "plota" pontos aleatoriamente no interior desse retângulo.
Sabendo que dos 1.000 pontos "plotados", apenas 540 ficaram no interior da figura ABDO, a área estimada dessa figura, em unidades de área, é igual a 
a) 4,32. 
b) 4,26. 
c) 3,92. 
d) 3,84. 
e) 3,52. 
 
38. (Fgv) A raiz da equação (5x - 5) (5x + 5) = 50 é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
39. (Ufg) As curvas de logística são usadas na definição de modelos de crescimento populacional quando fatores ambientais impõem restrições ao tamanho possível da população, na propagação de epidemias e boatos em comunidades. Por exemplo, estima-se que decorridas t semanas, a partir da constatação da existência de uma forma de gripe, o número N de pessoas contaminadas (em milhares) é aproximadamente N =.
De acordo com essa estimativa, pode-se afirmar que 
( ) menos de 500 pessoas haviam contraído a doença quando foi constatada a existência da gripe.
 
( ) menos de 6 mil pessoas haviam contraído a doença, decorridas duas semanas da constatação da existência da gripe.
 
( ) são necessárias mais de quatro semanas para que 18 mil pessoas sejam infectadas.
 
( ) o número de pessoas infectadas atingirá 20 mil.
 
 
40. (Unicamp) Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função: F(t)=a.2-bt, onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes.
a) Encontre as constantes a e b de modo que a população inicial (t=0) seja igual a 1024 indivíduos e a população após10 anos seja a metade da população inicial.
b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial?
c) Esboce o gráfico da função F(t) para t∈[0,40]. 
GABARITO:
Resposta da questão 1:
 [C]
Resposta da questão 2:
 [D]
[Resposta do ponto de vista da disciplina de Química]
Teremos:
Resposta da questão 3:
 [C]
Resposta da questão 4:
 [E]
Resposta da questão 5:
 [B] 
Resposta da questão 6:
 [E]
Resposta da questão 7:
 a) 
b) 
Resolvendo a equação temos:
 (não convém)
Portanto, 
c) 
Portanto, 
Resposta da questão 8:
 [D]
Resposta da questão 9:
 a) 
b) são e 
Resposta da questão 10:
 [B]
Resposta da questão 11:
25 600,00
Resposta da questão 12:
 [B]
Resposta da questão 13:
Portanto, o menor valor de n que satisfaz a condição do enunciado é 20. 
Resposta da questão 14:
 [C]
Resposta da questão 15:
 [B]
Resposta da questão 16:
 [C]
Resposta da questão 17:
 [A]
Resposta da questão 18:
 [A]
Resposta da questão 19:
 a) 2 m
b) 2 m
Resposta da questão 20:
 [A] 
Resposta da questão 21:
 [A] 
Resposta da questão 22:
 x = 2, y = 3 ou x = 3, y = 2 
Resposta da questão 23:
 [B] 
Resposta da questão 24:
 [C] 
Resposta da questão 25:
 [C] 
Resposta da questão 26:
 a) 1
b) m = 1 ou m ≤ 0 
Resposta da questão 27:
 a) José cometeu o erro na última etapa do seu raciocínio, uma vez que a função exponencial dada por f(x) = é decrescente.
Resposta da questão 28:
 [E] 
Resposta da questão 29:
 taxa de inflação = 60% 
Resposta da questão 30:
 a) α = 54 e β = -
b) 360 minutos 
Resposta da questão 31:
 a) 22,5 °C
b) aproximadamente 15 min 
Resposta da questão 32:
 [C] 
Resposta da questão 33:
 a) a = 120 e b = -ℓn 2
b) 3 m 
Resposta da questão 34:
 [A] 
Resposta da questão 35:
 [E]
Resposta da questão 36:
 a) k = 2
b) 
 
Resposta da questão 37:
 [A] 
Resposta da questão 38:
 [C] 
Resposta da questão 39:
 F F V F 
Resposta da questão 40:
 a) a = 1024 e b = 1/10
b) t(min) = 30 anos
xx1
991944,
-
-=
mn
-
2.
3.
4.
5.
6.
1x1x
f(x)1010,
+-
=+
x.
10
f(log(23))
+
251
Cf,
10
log20,3,
@
x
f(x)52.
=
40cm
25cm
20cm
3
0,5cm.
10
21000,
@
(
)
(
)
t
2
0
t
VV0,64
=´
20
21,035.
@
247
Cm.
kt
m(t)ca
-
=
0
m
2
x14
1
2
1024
-
=
2
4log(x)
y
2
+
=
2
y1log(x1)
=-+
2x
8
y(12)
3
-
=-
x
y31
=-
(
)
bxc
fxa2
+
=+
]
[
1,
-¥
t
0
N(t)Ne,
α
-
=
t
4
75
M(t)2.
-
=
t
4
50
M(t)2.
-
=
t
5
50
M(t)2.
-
=
t
5
150
M(t)2.
-
=
(
)
x
x
1
fx2
2
æö
=+
ç÷
èø
3
8
1
2
3
4
N(t)
xy
xy
3 3 36
3 243
+
ì
+=
ï
í
=
ï
î
5
3
17
3
28
3
1
4
1
8
2
1
2
æö
ç÷
èø
3
1
2
æö
ç÷
èø
251
Cf
2
3
æö
ç÷
èø
o
2
2
(
)
n2
3 . 2 4
10
-
+
|d|
×
3
t
2
3
-
3
2
-
3
2
2
3
1
2
0,5t
20
11910
-
+×
00
f(0)46283
=-×+=
xxxxx2x
46281684621600(2)621600
-×==Þ-×-=Þ-×-=
xx
216x4ou210
=Þ==-
x4
=
0
N
x2x
f(x)(2)628
=-×+
x/1x2.
Î<<
¡
10
f(log(23))40.
+=Î
¢
0,7
0,7.
-
x
1
2
æö
ç÷
èø
1
90
x
x
f
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
2
3
.
2
)
(
2
2
3
.
2
)
0
(
0
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
f
4
27
2
3
.
2
)
3
(
3
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
f
α
898
251
Cf
251
Cf
25%
500e1000
1000e1500
1500e2000
2000e2500
2500e3000
131
53
I
x
g(x)21,
=+
g(g(0))
1.
2.
3.
4.
5.
t1
B(t)103,
-
=×
B(t)
t
810
1.
2.
3.
4.
5.
xx
f(x)4628.
=-×+
f(0).
x
f(x)168.
=
x
f(x)0.
<
m
n