aula 12 COM SOLUÇÕES

Prévia do material em texto

Geometria Plana
1) UNESP -A figura representa duas raias de uma pista de atletismo plana. Fábio (F) e André (A) vão apostar uma corrida nessa pista, cada um correndo em uma das raias. Fábio largará à distância FB da linha de partida para que seu percurso total, de F até a chegada em C', tenha o mesmo comprimento do que o percurso total de André, que irá de A até D'.
Considere os dados: - ABCD e A'B'C'D' são retângulos. - B ', A' e E estão alinhados. - C, D e E estão alinhados. - A'D e B'C são arcos de circunferência de centro E. Sabendo que AB= 10 m, BC = 98 m, ED = 30 m, ED' = 34 m e α 72 , calcule o comprimento da pista de A até D' e, em seguida, calcule a distância FB. Adote nos cálculos finais π 3.
SOLUÇÃO
2) UNESP - Em um plano horizontal encontram-se representadas uma circunferência e as cordas AC e BD. Nas condições apresentadas na figura, determine o valor de x.
SOLUÇÃO
3) UNESP - A figura, fora de escala, representa o terreno plano onde foi construída uma casa.
· Sabe-se do quadrilátero ABEF que:
Seus ângulos ABE e AFE são retos.
· AF mede 9 metros e BE mede 13 metros.
· O lado EF é 2 metros maior que o lado AB.
Nessas condições, quais as medidas, em metros, dos lados AB e EF?
SOLUÇÃO
4) UNESP - No futebol, um dos gols mais bonitos e raros de se ver é o chamado gol olímpico, marcado como resultado da cobrança direta de um escanteio.
Suponha que neste tipo de gol:
1.º) a projeção da trajetória da bola descreva um arco de circunferência no plano do gramado;
2.º) a distância (d) entre o ponto da cobrança do escanteio e o ponto do campo em que a bola entra no gol seja 40 m;
3.º) a distância máxima (h) da projeção da trajetória da bola à linha de fundo do campo seja 1 m.
Determine o raio da circunferência (R), em metros, do arco descrito pela trajetória da bola, com uma casa decimal de aproximação.
SOLUÇÃO
5) Unesp -Uma bola de tênis é sacada de uma altura de 21 dm, com alta velocidade inicial e passa rente à rede, a uma altura de 9 dm. Desprezando-se os efeitos do atrito da bola com o ar e do seu movimento parabólico, considere a trajetória descrita pela bola como sendo retilínea e contida num plano ortogonal à rede. Se a bola foi sacada a uma distância de 120 dm da rede, a que distância da mesma, em metros, ela atingirá o outro lado da quadra?
SOLUÇÃO
6) UERJ - Observe a figura abaixo, que representa um quadrado ABCD, de papel, no qual M e N são os pontos médios de dois de seus lados. Esse quadrado foi dividido em quatro partes para formar um jogo.
O jogo consiste em montar, com todas essas partes, um retângulo cuja base seja maior que a altura. O retângulo PQRS, mostrado a seguir, resolve o problema proposto no jogo.
Calcule a razão PS/PQ	
Solução
Observando as medidas correspondentes no quadrado e no retângulo formado, temos:
.
.
7) UNIRIO - Desenha-se numa folha de papel uma circunferência C e dois hexágonos regulares, chamados de H1 e H2, de modo que H1 está inscrito à circunferência C e H2 está circunscrito à C. Determine, nesta ordem, a razão entre as áreas dos hexágonos H1 e H2.
Solução
8) UFF -Na figura ao lado, os pontos D, E e F pertencem, respectivamente, aos lados AB, BC e AC do triângulo ABC. Eles foram escolhidos de tal forma que o quadrilátero ADEF é um losango. Sabe-se que o perímetro deste losango é 20 cm e que o segmento AB mede 7 cm. Determine:
FIGURA FALTANDO NO ORIGINAL !!!
a) a medida do lado AD do losango ADEF;
b) a medida do segmento AC;
c) a área do losango ADEF, sabendo-se que 
Solução
9) UFF - A figura a seguir é uma variante de uma tabuleta matemática em exposição na prefeitura de Saitama (Japão).
Sabe-se que:
o triângulo ABC da figura é retângulo em A;
I e J são pontos médios, respectivamente, dos lados AB e AC;
AB = 8 cm; AC = 6 cm;
o quadrilátero IJKL é retângulo;
os círculos de raios r1, r2 e r3 são tangentes aos lados dos respectivos triângulos que os circunscrevem.
Determine:
a) Tg (CJK)
b) As medidas de r1, r2 e r3
Solução
10) UERJ -Uma embalagem em forma de prisma octagonal regular contém uma pizza circular que tangencia as faces do prisma
Desprezando a espessura da pizza e do material usado na embalagem, determine a razão entre a medida do raio da pizza e a medida da aresta da base do prisma.
Solução 1. Considere a aresta do octógono valendo “a”. Observando a figura e identificando o quadrado externo ao octógono, temos:
 .
Solução 2. O ângulo central do octógono mede 45º.
No triângulo com ângulo de 22º30’ calculamos tg(2x) = tg(45º) = 1.
 .
11) UERJ -No toldo da barraca se Antônio, decorado com polígonos coloridos, destaca-se um dodecágono cujos vértices são obtidos a partir de quadrados construídos em torno de um hexágono regular, conforme mostra o desenho abaixo.
A) Demonstre que o dodecágono ABCDEFGHIJKL é um polígono regular.
B) Tomando o quadrado de lado como unidade de área, calcule a área desse dodecágono.
Solução
12) UERJ -Para construir a pipa representada na figura abaixo pelo quadrilátero ABCD, foram utilizadas duas varetas, linha e papel.
As varetas estão representadas pelos segmentos e . A linha utilizada linha utilizada liga as extremidades A, B, C e D das varetas, e o papel reveste a área total da pipa. 
Os segmentos e são perpendiculares em E, e os ângulos e são retos.
Se os segmentos e medem, respectivamente, 18cm e 32cm, determine o comprimento total da linha, representada por .
Solução
Os triângulos ABC e ADC são congruentes e as medidas 18cm e 32cm representam as projeções da altura x sobre a hipotenusa AC. Utilizando as relações envolvendo triângulos retângulos, temos:
.
13) UERJ -Observe a curva AEFB desenhada abaixo.
Analise os passos seguidos em sua construção
Determine o comprimento, em centímetros, da curva AEFB.
Solução
O triângulo ABD é retângulo isósceles, pois AB é diâmetro. Assim x + y = 4. Os arcos AE e BF são congruentes e limitados por ângulos de 45º. O arco EF, limitado pelo ângulo de 90º.
.
14) UERJ -Considere um setor circular AOC, cujo ângulo central é medido em radianos. A reta que tangencia o círculo no extremo P do diâmetro CP encontra o prolongamento do diâmetro AB em um ponto Q, como ilustra a figura. 
Sabendo que o ângulo satisfaz a igualdade , calcule a razão entre a área do setor AOC e a área do triângulo OPQ.
Solução
O triângulo OPQ é retângulo em P, pois é ponto de tangência. Encontrando as áreas respectivas e a razão pedida, temos:
15) Uerj -Um terreno retangular tem 800 m de perímetro e será dividido pelos segmentos e em TRE partes, como mostra a figura. 
Admita que os segmentos de reta e estão contidos nas bissetrizes de dois ângulos retos do terreno e que a área do paralelogramo PAQC tem medida S.
Determine o maior valor, em m², que S pode assumir.
Solução
O perímetro vale 800m. Considerando as dimensões do terreno como x e y, temos que:
i) 2x + 2y = 800 => x + y = 400 => x = 400 – y.
ii) Área S = (x – y).y = xy – y2.
A expressão da área S é uma função quadrática. Substituindo (i) em (ii) e calculando o valor máximo, temos:
16) Uerj -
No esquema acima estão representadas as trajetórias de dois atletas que, partindo do ponto X, passam simultaneamente pelo ponto A e rumam para o ponto B por caminhos diferentes, com velocidades iguais e constantes. Um deles segue a trajetória de uma semicircunferência de centro O e raio 2R. O outro percorre duas semicircunferências cujos centros são P e Q. 
Considerando , quando um dos atletas tiver percorrido do seu trajeto A para B, determine a distância entre eles nesse exato momento.
Solução
Os três quartos do trajeto serão realizados pelo que percorre duas semicircunferências. Esse ponto está indicado pela letra N. O correspondente na semicircunferência maior é o ponto M. ON é diagonal de um quadrado de lado R. Mede . A distância OM vale 2R. Logo, a distância MN entre os dois atletas será: 2R – 1,4R = 0,6R.
17) Uerj -Dois terrenos, A e B, ambos com a forma de trapézio, têm as frentes de mesmo comprimento voltadas para a Rua Alfa. Os fundosdos dois terrenos estão voltados para a Rua Beta. Observe o esquema: 
As áreas de A e B são, respectivamente, proporcionais a 1 e 2 e a lateral menor do terreno A mede 20 m.
Calcule o comprimento x, em metros, da lateral maior do terreno B.
Solução
O segmento y é base média do trapézio de bases 20 e x, pois as frentes (lados não paralelos) possuem a mesma medida. Identificando as medidas na figura e utilizando a fórmula do trapézio, temos:
18) UERJ -João recorta um circulo com 10 cm de raio. Em seguida, dobra esse recorte ao meio várias vezes, conforme ilustrado abaixo.
Depois de fazer diversas dobras, abre o papel e coloca o número 1 nas duas extremidades da primeira dobra. Sucessivamente, no meio de cada um dos arcos formados pelas dobras anteriores, João escreve a soma dos números que estão nas extremidades de cada arco.
As figuras a seguir ilustram as quatro etapas iniciais desse processo.
Considere que João recortou a dobradura à figura da etapa 3 na linha que corresponde à corda AB indicada abaixo.
Ele verificou, ao abrir o papel sem pedaço recortado, que havia formado o seguinte polígono: 
Calcule a área da parte do círculo que foi retirada pelo corte.
Solução
	Ângulo  45o 
	
Setor circular S1   cm2
	
Triângulo S2   25 cm2
	
Área retirada 8 (S1 S2)  8 cm2
19) UERJ -Uma ferramenta utilizada na construção de uma rampa é composta pela seguinte estrutura:
Observe o esquema que representa essa estrutura:
Quando o fio passa pelo ponto M, a travessa BC fica na posição horizontal. Com isso, obtém-se, na reta que liga os pontos D e E, a inclinação desejada.
Calcule , supondo que o ângulo AÊD mede 85°.
solução
20) UFRJ -Tangram é um antigo quebra-cabeça chinês formado por um quadrado decomposto em sete peças: cinco triângulos, um paralelogramo e um quadrado, como mostra a figura A. 
A figura B é obtida a partir da figura A por meio de translações e rotações de seis dessas peças. 
 Determine a razão entre a área da figura A e a área da figura B.
solução
(
)
(
)
5
.
5
2
5
2
2
.
2
2
)
).(
(
2
)
).(
2
(
:
5
5
2
)
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
w
y
x
w
y
w
x
z
t
w
x
x
ADM
y
z
t
x
x
y
x
x
y
i
=
=
Þ
=
Þ
=
Þ
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
+
=
D
=
+
=
=
Þ
+
=
5
x
.
5
2
5
.
x
.
5
2
5
x
.
5
2
x
.
5
2
w
y
2
PQ
PS
)
ii
=
=
=
=
2
1
2
)
1
2
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
.
2
2
2
2
2
2
2
2
+
=
Þ
+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
=
+
=
=
=
=
Þ
=
Þ
+
=
a
R
a
a
a
x
a
R
a
a
a
x
a
x
x
x
a
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
1
2
)
1
2
(
2
1
2
1
2
1
2
.
1
2
2
1
1
2
2
1
2
/
'
30
º
22
)
(
1
2
2
2
2
2
2
)
1
)(
1
(
4
2
2
0
1
2
1
2
1
1
2
)
2
(
2
2
2
2
+
=
-
+
=
+
+
-
=
-
=
Þ
=
®
-
=
±
-
=
-
-
±
-
=
=
-
+
Þ
-
=
Þ
-
=
a
R
R
a
tg
positivo
tgx
tgx
x
tg
x
tg
tgx
x
tg
tgx
x
tg
(
)
(
)
cm
140
80
60
)
40
(
2
)
30
.(
2
DA
DC
BC
AB
)
iv
cm
40
1600
576
1024
BC
DC
24
32
BC
BC
DC
)
iii
cm
30
900
576
324
AD
AB
24
18
AD
AB
AD
)
ii
cm
24
8
.
3
2
.
3
2
.
3
2
.
2
.
2
.
3
x
)
32
).(
18
(
x
)
i
2
2
2
2
3
6
2
4
2
2
=
+
=
+
=
+
+
+
=
=
+
=
=
Þ
ï
î
ï
í
ì
+
=
=
=
=
+
=
=
Þ
ï
î
ï
í
ì
+
=
=
=
=
=
=
=
Þ
=
(
)
(
)
(
)
(
)
cm
2
4
2
4
2
2
)
AEBF
(
Arco
2
2
2
2
2
.
2
2
2
)
EF
(
Arco
rad
2
º
90
2
2
2
2
2
4
x
4
y
)
ii
4
.
4
)
AE
(
Arco
)
BF
(
Arco
rad
4
º
45
2
2
8
2
2
x
)
i
2
2
-
p
=
p
-
p
=
p
-
p
+
p
+
p
=
Þ
Þ
ï
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
ï
í
ì
p
-
p
=
p
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-
=
Þ
ï
î
ï
í
ì
p
=
-
=
-
=
-
=
p
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
=
=
Þ
ï
î
ï
í
ì
p
=
=
=
+
=
(
)
(
)
(
)
(
)
2
1
2
.
2
.
2
2
2
.
2
2
.
2
.
2
)
2
2
.
2
.
)
(
2
)
).(
.
(
.
2
)
).(
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
=
=
=
=
Þ
î
í
ì
-
-
=
=
=
Þ
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
Þ
=
=
q
q
q
q
q
p
q
p
q
p
p
q
q
q
q
q
R
R
R
R
A
A
R
R
A
A
R
ii
R
tg
OP
OP
tg
OP
A
tg
OP
QP
OP
QP
tg
OP
QP
A
i
OQP
AOC
AOC
AOC
OQP
OQP
2
2
Max
2
2
m
20000
8
160000
)
2
(
4
)
0
).(
2
(
4
)
400
(
a
4
S
y
400
y
2
y
).
y
400
(
y
)
y
(
S
=
-
-
=
-
-
-
-
=
D
-
=
+
-
=
-
+
-
=
R
4
,
1
)
4
,
1
.(
R
2
R
=
=
(
)
m
100
x
20
80
x
x
2
x
20
80
x
2
40
x
2
x
20
2
x
20
)
média
base
(
y
40
x
y
)
iii
40
x
y
y
2
40
x
y
y
20
2
x
y
h
.
2
y
20
.
2
h
2
x
y
A
2
B
2
1
B
A
)
ii
h
.
2
x
y
B
;
h
.
2
y
20
A
)
i
=
Þ
+
=
-
Þ
Þ
+
=
-
Þ
-
=
+
Þ
ï
î
ï
í
ì
+
=
-
=
-
=
Þ
+
=
+
Þ
Þ
+
=
+
Þ
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
Þ
=
Þ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
2
p
r
8
1
8
100
p
4
2
100
sen
ab
2
1
 
=
 
q
2
(
)
2
2
100
4
2
100
8
100
-
p
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
p