mat 1 - aula 18

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Mat 2 – Apostila 18 – Sistemas Lineares
1. Equação Linear:
Toda equação da forma a1x1 a2x2 ... an.xn b é denominada equação linear, em que: 
a1, a2, ..., an são coeficientes
x1, x2, ..., xn são as incógnitas 
b é um termo independente
2. Sistema de Equações:
Um sistema de equações é uma associação de duas ou mais equações onde o objetivo é encontrar a solução simultânea para todas as equações. Podemos ter três situações nos sistemas. Independentemente do número de equações do sistema, se trabalharmos com substituições e operações entre as equações, teremos um sistema com duas equações. O conjunto de soluções da primeira equação será representado por uma reta e o mesmo acontece com a segunda equação. A solução do sistema será o ponto comum a essas duas retas. Eis um exemplo de um sistema de duas equações e duas incógnitas:
2.1: Sistema Possível Indeterminado (SPI): É aquele onde há solução, porém não podemos determiná-la. Isso acontece porque esse sistema possui infinitas soluções. Pensando nas retas que apresentamos no conceito anterior, temos duas retas que se encontram infinitas vezes, ou seja, são coincidentes, como na figura a seguir.
Para que as duas retas tenham a mesma posição no sistema de eixo cartesianos, os coeficientes devem ser proporcionais, ou seja:
2.2: Sistema Impossível: É aquele onde não há solução. Isso acontece porque as retas em questão não se encontram. Observe a figura:
Duas retas não se encontram quando são paralelas e para isso, devemos ter a seguinte relação:
2.3: Sistema Possível e Determinado (SPD): É aquele onde há solução e podemos determina-la, pois a solução é única. 
Nesse sistema, as retas encontram-se apenas uma vez (retas coincidentes).Para isso acontecer, devemos ter a seguinte relação:
EXERCÍCIOS
01) (UERJ) Um comerciante deseja totalizar a quantia de R$ 500,00 utilizando cédulas de um, cinco e dez reais, num total de 92 cédulas, de modo que as quantidades de cédulas de um e de dez reais sejam iguais. Neste caso, a quantidade de cédulas de cinco reais de que o comerciante precisará será igual a:
a) 12		b) 28		 c) 40		d) 92
02) (UERJ) Numa granja há patos, marrecos e galinhas num total de 50 aves. Os patos são vendidos a R$12,00 a unidade, as galinhas a R$ 5,00 e os marrecos a R$15,00. Considere um comerciante que tenha gastado R$ 440,00 na compra de aves desses três tipos e que tenha comprado mais patos do que marrecos. O número de patos que esse comerciante comprou foi igual a:
a) 25		b) 20		c) 12		d) 10
03) (UERJ) Para a realização de um baile, foi veiculada a propaganda no cartaz. 
Após a realização do baile, constatou-se que 480 pessoas pagaram ingressos, totalizando uma arrecadação de R$3.380,00. O número de damas e de cavalheiros que pagaram ingresso nesse baile, respectivamente, foi:
a) 160 e 200	b) 250 e 230	c) 200 e 300	d) 230 e 250
04) (UERJ) Um conjunto de 100 copos descartáveis, dispostos em um suporte, será usado em uma festa.
Considere, agora, as seguintes informações:
– sempre se tenta retirar apenas 1 copo de cada vez desse suporte;
– quando se tenta retirar 1 copo, e exatamente 2 saem juntos, 1 deles é desperdiçado;
– quando se tenta retirar 1 copo, e exatamente 3 saem juntos, 2 deles são desperdiçados;
– quando se tenta retirar 1 copo, nunca saem 4 ou mais de 4 juntos;
– foram retirados todos os copos desse suporte, havendo desperdício de 35% deles.
– a razão entre o número de vezes em que foram retirados exatamente 2 copos juntos e o número de vezes em que foram retirados exatamente 3 juntos foi de 3/2.
O número de vezes em que apenas 1 copo foi retirado do suporte é igual a:
a) 30		b) 35		c) 40		d) 45
05) (UERJ) Uma família comprou água mineral em embalagens de 20 L, de 10 L e de 2 L. Ao todo, foram comprados 94 L de água, com o custo total de R$ 65,00.
Veja na tabela os preços da água por embalagem:
Nessa compra, o número de embalagens de 10 L corresponde ao dobro do número de embalagens de 20 L, e a quantidade de embalagens de 2 L corresponde a n. O valor de n é um divisor de:
a) 32		b) 65		c) 77		d) 81
06) (UERJ) Três barracas de frutas, B1, B2 e B3, são propriedades de uma mesma empresa. Suas vendas são controladas por meio de uma matriz, representada a seguir, na qual cada elemento bij representa a soma dos valores arrecadados pelas barracas Bi e Bj, em milhares de reais, ao final de um determinado dia de feira:
Determine, para esse dia, o valor, em reais, arrecadado a mais pela barraca B3 em relação à barraca B2.
a) R$1200,00	b) R$2100,00	c) R$1210,00	d) R$2010,00
07) (UERJ) Uma família deseja organizar todas as fotos de uma viagem em um álbum com determinado número de páginas, sem sobra de fotos ou de páginas. Para isso, foram testados dois critérios de organização. O primeiro critério, que consistia na colocação de uma única foto em cada página, foi descartado, uma vez que sobraram 50 fotos. Com a adoção do segundo critério, a de uma única foto em algumas páginas e de três fotos nas demais, não sobraram fotos nem páginas, e o objetivo da família foi alcançado. O número total de páginas em que foram colocadas três fotos é igual a:
a) 15		b) 25		c) 50		d) 75
08) (UERJ) Em uma viagem ao exterior, o carro de um turista brasileiro consumiu, em uma semana, 50 galões de gasolina, a um custo total de 152 dólares. Considere que um dólar, durante a semana da viagem, valia 1,60 reais e que a capacidade do galão é de 3,8L. Durante essa semana, o valor, em reais, de 1L de gasolina era de: 
a) 1,28		b) 1,40		c) 1,75		d) 1,90
09) (FGV-SP) Num pátio existem automóveis e bicicletas. O número total de rodas é 130 e o número de bicicletas é o triplo do número de automóveis. Então, o número total de veículos que se encontram no pátio é: 
a) 50 		b) 42 		c) 52 		d) 54 		e) 62
10) (FGV-SP) Em uma prova de 20 questões, o candidato recebe 4 pontos por cada resposta certa e perde 1 ponto por cada questão não respondida corretamente. André obteve 20 pontos. Qual seria a nota de André, se cada resposta certa valesse 6 pontos e cada resposta errada fizesse com que ele perdesse 2 pontos? 
a) 12 		b) 16 		c) 20 		d) 22 		e) 24
11) (UFF-RJ) Um jogador de basquete fez o seguinte acordo com o seu clube: cada vez que ele convertesse um arremesso, receberia R$ 10,00 do clube e cada vez que ele errasse, pagaria R$ 5,00 ao clube. Ao final de uma partida em que arremessou 20 vezes, ele recebeu R$ 50,00. Pode-se afirmar que o número de arremessos convertidos pelo jogador nesta partida foi: 
a) 0 		b) 5 		c) 10 		d) 15 		e) 20
12) (UFSM) Duas vacas e um touro foram trocados por oito porcos. Em outra ocasião, uma vaca foi trocada por um touro e um porco. De acordo com a regra desses dois “negócios”, uma vaca deve ser trocada por ___ porcos; um touro, por ___ porcos. Assinale a alternativa que preenche corretamente os espaços. 
a) 3 e 2 		b) 2 e 5 	c) 2 e 3 		d) 3 e 4
13) (EXPCEX) Os valores de K para que o sistema linear 
seja possível e tenha uma única solução são:
a) K = R - {-1, 2} 			b) K = R - {-2, 2} 		c) K = R - {1, 2} 
d) K = R - {3, 4} 			e) K = R - {1, -2}
14) (UEL) O sistema abaixo, de incógnitas x e y, é:
a) impossível, para todo k real diferente de -21;
b) possível e indeterminado, para todo k real diferente de -63;
c) possível e determinado, para todo k real diferente de -21;
d) possível e indeterminado, para todo k real diferente de -3;
e) possível e determinado, para todo k real diferente de -1 e -63.
15) (UFU) Por causa de maus hábitos alimentares, um cardiologista nota que os seus pacientes com hipertensão são cada vez mais jovens e fazem uso de medicamentos cada vez mais cedo. Suponha que Pedro, Márcia e João sejam pacientes, com faixas etárias distintas e que utilizam um mesmo remédio em comprimidos. Sabe-se que João utiliza comprimidos de 2 mg, Márcia de 4 mg e Pedro de 10 mg. Além disso, mensalmente, Pedro toma o triplo de comprimidos de Márcia e os três consomem 130 comprimidos, totalizando 780 mg da droga. Isto posto, podemos afirmar que Márcia, mensalmente, ingere a seguinte quantidade de comprimidos: 
a) 50b) 20		c) 60 		d) 30 		e) 40 
16) (PUC-PR) Como está próximo o término do desconto do IPI para a linha branca dos eletrodomésticos, uma determinada loja de departamentos, para vender uma geladeira, uma máquina de lavar e uma secadora, propôs a seguinte oferta: a geladeira e a máquina de lavar custam juntas R$ 2.200,00; a máquina de lavar e a secadora, R$ 2.100,00; a geladeira e a secadora, R$ 2.500,00. Quanto pagará um cliente que comprar os três produtos anunciados? 
a) R$ 2.266,00 			b) R$ 6.800,00 			c) R$ 3.200,00 
d) R$ 3.400,00 			e) R$ 4.800,00
17) (UFC) Se um comerciante misturar 2 kg de café em pó do tipo I com 3 kg de café em pó do tipo II, ele obtém um tipo de café cujo preço é R$ 4,80 o quilograma. Mas, se misturar 3 kg de café em pó do tipo I com 2 kg de café do tipo II, a nova mistura custará R$ 5,20 o quilograma. Os preços do quilograma do café do tipo I e do quilograma do café do tipo II são respectivamente: 
a) 5 e 3 reais 			b) 6,40 e 4,30 reais	 	c) 5,50 e 4,00 reais 
d) 5,30 e 4,50 reais 		e) 6,00 e 4,00 reais
18) (UNESP) A agência Vivatur vendeu a um turista uma passagem que foi paga, à vista, com cédulas de 10, 50 e 100 dólares, num total de 45 cédulas. O valor da passagem foi 1.950 dólares e a quantidade de cédulas de 10 dólares foi o dobro das de 100. O valor, em dólares, recebido em notas de 100, foi: 
a)1.800		b)1.500		c) 1.400	d)1.000		e) 800
19) (UNIR-RO)Considere o sistema de equações lineares abaixo. 
Qual deve ser o valor de a para que o sistema tenha infinitas soluções? 
a) –2 		b) 0 		c) 1 		d) –1 		e) 2
20) (CEFET-PR) O valor de m para que o sistema 
seja possível e indeterminado é: 
a) 6		b) –2		c) 5		d) –7		e) 4
21) (FUVEST) Os estudantes de uma classe organizaram sua festa de final de ano, devendo cada um contribuir com R$135,00 para as despesas. Como 7 alunos deixaram a escola antes da arrecadação e as despesas permaneceram as mesmas, cada um dos estudantes restantes teria de pagar R$ 27,00 a mais. No entanto, o diretor, para ajudar, colaborou com R$630,00. Quanto pagou cada aluno participante da festa? 
a) R$136,00 	b) R$138,00 	c) R$140,00 	d) R$142,00 	e) R$144,00	
22) (UNIUBE) Ao descontar um cheque, recebi somente notas de R$ 10,00 e R$ 50,00, em um total de 14 notas. Quando fui conferir, descobri que o caixa havia se enganado, pois recebi tantas notas de R$ 50,00 quanto as de R$ 10,00 que deveria ter recebido e vice-versa. Percebido o erro, verifiquei que se gastasse R$ 240,00 da importância recebida, ainda ficaria com o valor do meu cheque. Qual era o valor do meu cheque? 
a) R$ 540,00 	b) R$ 300,00 	c) R$ 480,00 	d) R$ 240,00
23) (CPCAR) Assinale a alternativa que preenche corretamente a lacuna abaixo. Numa prova de matemática, um aluno deve responder a 60 itens do tipo verdadeiro ou falso. Para cada item respondido corretamente, o aluno vai ganhar 2 pontos e, para cada item que errar, vai perder 1 ponto. A nota do aluno é função do número de itens que ele acertar. Se o aluno obteve 30 pontos, ele acertou ____ itens. 
a) 20 		b) 25 		c) 30 		d) 35
24) (FUVEST) Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do casal? 
a) 3 		b) 4 		c) 5 		d) 6 		e) 7
25) (UNIFOR) Um grupo de amigos comprou um presente por R$ 6.300,00. Pretendiam dividir essa quantia entre si, em partes iguais. Como 2 membros do grupo não puderam cumprir o compromisso, cada um dos restantes teve sua parcela aumentada de R$ 360,00. O número de pessoas do grupo era, inicialmente:
a) 11 		b) 10 		c) 9 		d) 8 		e) 7
26) (UERJ) A ilustração abaixo mostra seis cartões numerados organizados em três linhas. Em cada linha, os números estão dispostos em ordem crescente, da esquerda para a direita. Em cada cartão, está registrado um número exatamente igual à diferença positiva dos números registrados nos dois cartões que estão imediatamente abaixo dele. Por exemplo, os cartões 1 e Z estão imediatamente abaixo do cartão X. 
Determine os valores de X, Y e Z.
27) (UERJ) Ao final de um campeonato de futebol, foram premiados todos os jogadores que marcaram 13, 14 ou 15 gols cada um. O número total de gols realizados pelos premiados foi igual a 125 e, desses atletas, apenas cinco marcaram mais de 13 gols. Calcule o número de atletas que fizeram 15 gols.
28) (ITA – SP) Seja a um número real. Considere os sistemas lineares em x, y e z. Calcule o valor de a para que o sistema admita infinitas soluções.
29) (UERJ) Um feirante separou um número inteiro de dúzias de tangerinas (t), de maçãs (m) e de peras (p). Observou que para cada maçã arrumada, havia 2 tangerinas. Com 90 dúzias, ele fez lotes de 6 tangerinas, lotes com 6 maçãs e lotes com 4 peras. Colocou em cada lote, indistintamente, o preço de R$0,50. Arrecadou R$105,00 na venda de todos eles. Calcule t, m, e p.
30) (UNICAMP) Retiraram x litros de vinho de um barril de 100 litros e adicionam-se, ao mesmo barril, x litros de água. Da mistura resultante no barril, retiram-se outros x litros e adicionam-se outros x litros de água. Agora o barril contém 64 litros de vinho e 36 de água. Calcule o valor de x.
31) (FGV) Determine os valores de a para os quais o sistema linear abaixo admita solução não trivial.
32) (UFF RJ) Um biscoito é composto por açúcar, farinha de trigo e manteiga, sendo a quantidade de farinha o dobro da quantidade de açúcar. Os preços por quilograma do açúcar, da farinha e da manteiga são, respectivamente, R$ 0,50, R$ 0,80 e R$ 5,00. O custo por quilograma de massa do biscoito, considerando apenas esses ingredientes, é R$ 2,42. Calcule a quantidade, em gramas, de cada ingrediente presente em 1 kg de massa do biscoito.
33) (UNICAMP SP) Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$5,00, o quilo da castanha de caju, R$20,00 e o quilo de castanha-do-pará, R$16,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$5,75. Além disso, a quantidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas. Escreva o sistema linear que representa a situação descrita acima e resolva-o, determinando as quantidades, em gramas, de cada ingrediente por lata.
34) (UFV) Em uma urna vazia são colocadas 20 bolas nas cores vermelha e branca. Se acrescentássemos uma bola vermelha à urna, o número de bolas brancas passaria a ser igual à metade do número de bolas vermelha. Quantas bolas vermelhas e quantas bolas brancas existem na urna?
35) (UNICAMP) O IBGE contratou um certo número de entrevistadores para realizar o recenseamento em uma cidade. Se cada um deles recenseasse 100 residências, 60 delas não seriam visitadas. Como, no entanto, todas as residências foram visitadas e cada recenseador visitou 102, quantas residências tem a cidade?
36) (PUC RJ) Resolva o sistema abaixo:
Descreva geometricamente o seu conjunto de soluções.
37) (UNB) A distância entre duas cidades, A e B, é de 156 km. De A para B, a extensão das descidas e 0,7 vezes a extensão das subidas. Um ciclista pedala a 25 km/h, nas partes planas da estrada, a 15 km/h, nas subidas, e a 30 km/h, nas descidas. A diferença entre o tempo de ida e o tempo de volta do ciclista é de 48 minutos. Calcule, em quilômetros, a extensão da parte plana do trajeto, desconsiderando a parte fracionária de seu resultado, caso exista.
38) (UNB) Em uma corrida de motocross, os competidores devem seguir um percurso de um ponto A até um outro ponto B e, em seguida, retornar ao ponto A pela mesma trilha. Um dos motociclistas desenvolve uma velocidade constante de 12km/h em trechos de subida, 30km/h em trechos planos e 60km/h em trechos de descida. Um segundo motociclista desenvolve uma velocidade de 10km/h em trechos de subida, 40km/h em trechos planos e 80km/h em trechos de descida. O primeiro gasta 1h para ir de A até B e 1h e 10 min para ir de B até A, enquanto o segundo gasta 1h e 3minpara ir de A até B. Calcule, em quilômetros, a distância que, no sentido de A para B, corresponde ao trecho de subida. Despreze a parte fracionária de seu resultado, caso exista.
39) (UFF RJ) Em um restaurante existem mesas de 3, 4 e 6 cadeiras, num total de 16 mesas. Ocupando todos os lugares nas mesas de 3 e 4 cadeiras, 36 pessoas ficam perfeitamente acomodadas. Sabendo-se que o restaurante acomoda, no máximo, 72 pessoas, quantas mesas de cada tipo existem?
40) (UFPR) Disponho de certa quantia para fazer compras. Para comprar um par de tênis, uma camisa e uma calça, faltarão R$ 30,00. Se eu comprar a calça e a camisa, sobrarão R$ 90,00; e se eu comprar a calça e o par de tênis, sobrarão R$ 10,00. Nessas condições, é correto afirmar: 
01. Se eu comprar só a calça, sobrarão R$ 130,00. 
02. Se eu comprar o par de tênis e a camisa, gastarei R$ 160,00. 
03. O par de tênis custa R$ 110,00. 
04. A camisa custa R$ 50,00.
GABARITO
01) A	02) B	03) D	04) C	05) C	06) A	07) B	08) A	09) C	10) E
11) C	12) A	13) D	14) C	15) B	16) D	17) E	18) D	19) D	20) D
21) E	22) B	23) C	24) E	25) E
26) X = 5, Y = 9 e Z = 6
27) 3 jogadores
28) a = 1/2
29) 40 dúzias de tangerinas, 20 dúzias de maçãs e 30 dúzias de peras.
30) x = 20 litros
31) a = π/4 + kπ, k ϵ Z
32) Açúcar: 200g; Manteiga: 400g e Farinha: 400g
33) 250g de amendoim, 125g de castanha de caju e 125g de castanha-do-Pará
34) 13 vermelhas e 7 brancas
35) 3060 residências
36) x = 0, y = z. O conjunto solução é a reta y = z no plano x = 0.
37) 46
38) 08
39) 4 mesas de 3 lugares; 6 mesas de 4 lugares e 6 mesas de 6 lugares
40) V-V-F-F
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
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c
d
0
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2
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0
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1
x
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-
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-
+
a
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y
z
y
x
z
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2
1
3
0