9_matematica_2_volume_03

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265Volume 03 • 3ª Série • Pré-Vestibular
Ex.: Dadas as matrizes
 temos
•	 A	≠	B	pois	a23	=	6	≠	7	=	b23;
•	 A	≠	C	pois	A	e	C	são	de	tipos	diferentes.
Adição e SubtrAção de MAtrizeS
Dadas	as	matrizes	A	=	(aij)nxm	e	B	=	(bij)nxm, do mesmo 
tipo,
A	+	B	=	C	=	(cij)nxm		cij = aij	+	bij
A	–	B	=	C	=	(cij)nxm		cij = aij	–	bij
Ex.: Dadas as matrizes
MultiplicAção de MAtriz por eScAlAr
Dada	a	matriz	A=(aij)nxm e α	um	número	real,
αA	=	C	=	(cij)nxm		cij = αaij
Ex.: Dada a matriz ,
produto de MAtrizeS
Dadas	as	matrizes	A	=	(aij)nxp	e	B	=	(bij)pxm,	o	número	de	
colunas	de	A	igual	ao	número	de	linhas	de	B,
AB	=	C	=	(cij)nxm;	cij = ai1b1j	+	ai2b2j	+	...	+	aipbpj.
O	elemento	cij	da	matriz	produto		é	obtido	“multiplican-
do”	a	i-ésima	linha	de	A	pela	j-ésima	coluna	de	B.	Essa	matriz	
produto	será	do	tipo	nxm.	Se	o	número	de	colunas	de	A	for	
diferente	do	número	de	linhas	de	B,	então	o	produto	AB	não	
está	definido.
Ex.: Dadas as matrizes
reSuMo dA teoriA
MAtriz de tipo n x m
Tabela	de	números	com	n	linhas	e	m	colunas.
n	x	m
aij	é	o	elemento	situado	na	i-ésima	linha	e	j-ésima	coluna. 
Há	um	total	de	nm	elementos.
Ex.: , a23 = 6
MAtriz linhA
Toda	matriz	com	uma	só	linha.
Ex.: A	=	(1			2			3)1x3
MAtriz colunA
Toda	matriz	com	uma	só	coluna.
Ex.: 
MAtriz QuAdrAdA de ordeM n
Matriz	n	x	n,	isto	é,	matriz	com	número	de	linhas	igual	ao	
número	de	colunas.
Ex.: 
MAtriz nulA
Matriz	cujos	elementos	são	todos	zeros.
Ex.: 
iguAldAde de MAtrizeS
Dadas	as	matrizes	A=(aij)	e	B=(bij),
Matrizes
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propriedAdeS do produto
a. Propriedade Associativa 
	 (AB)C	=	A(BC),	desde	que	os	produtos	estejam	definidos.
b. Propriedade Distributiva 
	 (A+B)C	=	AC	+	BC	e	A(B+C)	=	AB	+	AC,	desde	que	os	
produtos	estejam	definidos.
 Observação:
i.		 Em	geral	não	vale	a	propriedade	comutativa,	i.e.,	AB	≠	
BA.	Por	exemplo,	dadas	as	matrizes:
ii.		 Matrizes	não	nulas	podem	ter	como	produto	uma	matriz	
nula.	Por	exemplo,	dadas	as	matrizes:
MAtriz trAnSpoStA
Dada	 a	 matriz	 A	=	 (aij)nxm,	 sua	 transposta	 é	 a	 matriz	 
At	=	(a’ij)nxm,	a’ij = aji.	Observe	que	a	i-ésima	coluna	de	A
t	é	
a	i-ésima	linha	de	A	e	que	se	A	é	matriz		então	At	é
Ex.: 
propriedAde dA MAtriz trAnSpoStA
(AB)t	=	Bt	At
diAgonAl principAl
São	os	elementos	da	forma	aij,	com	i	=	j	numa	matriz	
quadrada	A	=	(aij)nxn.
Ex.: 
MAtriz diAgonAl
Matriz	quadrada	A	=	(aij)nxn	com	aij	=	0	para	todo	i	≠	j,	
i.e.,	só	há	elementos	não	nulos	na	diagonal	principal.
Ex.: 
MAtriz identidAde
Matriz	 diagonal	 cujos	 elementos	 da	 diagonal	 principal	
são	 todos	 iguais	 a	1.	Denotamos	por	 In	a	matriz	 identidade	
de	ordem	n.
Ex.: 
propriedAde dA MAtriz identidAde 
Dadas	uma	matriz	A	de	ordem	n	e	a	matriz	identidade	I	
de	ordem	n,	então	AI = IA = A.
MAtriz SiMétricA
Matriz	quadrada	A	que	satisfaz	At	=	A.
Ex.: 
MAtriz Anti-SMétricA
Matriz	quadrada	A	que	satisfaz	At	=	–A.
Ex.: 
Observe	 que	 a	 diagonal	 principal	 de	 toda	matriz	 anti-
simétrica	só	tem	zeros.
MAtriz triAngulAr Superior
Matriz	 quadrada	 cujos	 elementos	 abaixo	 da	 diagonal	
principal	são	todos	iguais	a	zero.
Ex.: 
MAtriz triAngulAr inferior
Matriz	 quadrada	 cujos	 elementos	 acima	 da	 diagonal	
principal	são	todos	iguais	a	zero.
Ex: 
MAtriz inverSível
Matriz	quadrada	A	de	ordem	n	para	a	qual	existe	outra	
matriz	B	de	ordem	n	tal	que	AB = In.
Essa	matriz	B	é	chamada	de	matriz	inversa	de	A	e	é	de-
notada	por	A−1.
Ex.: 
deterMinAnte de MAtriz de ordeM 2
Ex: 
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propriedAde dAS MAtrizeS inverSíveiS de ordeM 2 
Uma	matriz	A,	de	ordem	2,	é	inversível	se	e	somente	se	det	
A	≠	0.	Nesse	caso,	se	
Ex.: 
	 det	A	=	1	≠	0,	e	daí,
 
01 Determine	as	matrizes	(2x2)	cujos	elementos	foram	dados:
a) 		 b)	
02 Considere	as	seguintes	matrizes:
	 Se	for	possível,	calcule:
a)	 2C	–	D
b)	 (2Dt	–	3Et)t
c)	 D2	–	DE
03 Caso	seja	possível	encontre	os	produtos	de	AB	e	BA.
a) 
b)	
c)	 A	=	[3			2			1			6]		e		
04 Seja	A–1	a	inversa	de	 .	Determine	A	+	A–1.
01 (FGV)	Considere	as	matrizes:
	 Seja	C	=	AB.	A	soma	dos	elementos	da	2ª	coluna	de	C	
vale:
a) 35
b)	 40
c)	 45
d) 50
e) 55
02 (UNIRIO)	Um	laboratório	farmacêutico		fabrica	3	tipos	
de	remédios	utilizando	diferentes		compostos.	Considere	
a	matriz	A	=	(aij)	dada	a	seguir,	onde	aij	representa	quan-
tas	unidades	do	composto	j	serão	utilizadas	para	fabricar	
uma	unidade	do	remédio	do	tipo	i.
	 Quantas	unidades	do	composto	2	serão	necessárias	para	
fabricar	3	remédios	do	tipo	1;	2	remédios	do	tipo	2	e	5	
remédios	do	tipo	3?
a) 18
b)	 21
c)	 24
d)	 27
e) 30
03 (UFF) Um	dispositivo	 eletrônico,	 usado	 em	 segurança,	
modifica	 a	 senha	 escolhida	por	um	usuário,	de	 acordo	
com	o	procedimento	descrito	abaixo.
	 A	 senha	 escolhida	 S1S2S3S4	 deve	 conter	 quatro	 dígitos,	
representados	por	S1,	S2,	S3	e	S4.
	 Esses	dígitos	 são,	 então,	 transformados	nos	dígitos	M1, 
M2, M3 e M4,	da	seguinte	forma:
	 onde	P	é	a	matriz	 .
	 Se	a	senha	de	um	usuário,	já	modificada,	é	0110,	isto	é,	
M1 = 0, M2 = 1, M3 = 1 e M4	=	0,	pode-se	afirmar	que	
a	senha	escolhida	pelo	usuário	foi:
a) 0011
b)	 0101
c)	 1001
d) 1010
e) 1100
04 (UFF) Em	uma	plantação,	as	árvores	são	classificadas	de	
acordo	com	seus	tamanhos	em	três	classes:	pequena	(P),	
média	(M)	e	grande	(G).
	 Considere,	inicialmente,	que	havia	na	plantação			árvores	
da	classe	P,			árvores	da	classe	M	e			árvores	da	classe	G.
	 Foram	cortadas	árvores	para	venda.
	 A	fim	de	manter	a	quantidade	total	de	árvores	que	ha-
via	na	floresta,	foram	plantadas	k	mudas	(pertencentes	à	
classe	P).
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	 Algum	tempo	após	o	replantio,	as	quantidades	de	árvo-
res	das	classes	P,	M	e	G	passaram	a	ser,	respectivamente,	
p1, m1	e	g1,	determinadas	segundo	a	equação	matricial:
	 Observando-se	que	p1	+	m1	+	g1	=	p0	+	m0	+	g0, 
pode-se	afirmar	que	k	é	igual	a:
a)		 5%	de	g0
b)		 10%	de	g0
c)		 15%	de	g0
d)		 20%	de	g0
e)		 25%	de	g0
05 (UERJ)	 Três	modelos	de	aparelhos	de	ar-condicionado,	
I,	II	e	III,	de	diferentes	potências,	são	produzidos	por	um	
determinado	fabricante.	Uma	consulta	sobre	intenção	de	
troca	de	modelo	foi	realizada	com	1000	usuários	desses	
produtos.	Observe	a	matriz	A,	na	qual	cada	elemento	aij	
representa	o	número	daqueles	que	pretendem	trocar	do	
modelo	i	para	o	modelo	j.
	 Escolhendo-se	aleatoriamente	um	dos	usuários	consulta-
dos,	a	probabilidade	de	que	ele	não	pretenda	trocar	seu	
modelo	de	ar-condicionado	é	igual	a:
a) 20% 
b)	 35%
c)	 40%
d) 65%
01 (FGV) As	meninas	1	=	Adriana;	2	=	Bruna	e	3	=	Carla	
falam	muito	ao	telefone	entre	si.	A	matriz	M	mostra	cada	
elemento	 aij	 representando	 o	 número	 de	 telefonemas	
que	“i”	deu	para	“j”	no	mês	de	setembro:
	 Quem	mais	telefonou	e	quem	mais	recebeu	ligações?
02 (UENF) A	temperatura	corporal	de	um	paciente	foi	me-
dida,	em	graus	Celsius,	três	vezes	ao	dia,	durante	cinco	
dias.	 Cada	 elemento	 	 	 da	matriz	 abaixo	 corresponde	 à	
temperatura	observada	no	instante	i	do	dia	j.
	 Determine:
a)	 o	instante	e	o	dia	em	que	o	paciente	apresentou	a	maior	
temperatura;
b)	 a	temperatura	média	do	paciente	no	terceiro	dia	de	ob-
servação.
03 (UEL-PR)	Uma	matriz	quadrada	A	é	simétrica	se	A	=	AT.	
Assim	se	a	matriz	 	é	simétrica,	calcule	x	
+	y	+	z.
04 Uma	matriz	A	é	do	tipo	3	x	5,	outra	matriz	B	é	do	tipo	5	
x	2	e	a	matriz	C	é	do	tipo	m	x	4.	Qual	o	valor	de	m	para	
que	exista	o	produto	(A.B).C?
Determinantes
deterMinAnte de MAtriz de ordeM 3
 Dada ,
 
onde	Aij	é	o	determinante	da	matriz	obtida	de	A	elimi-
nando	sua	i-ésima	linha	e	sua	j-ésima	coluna.
Ex.: Dada ,
 
 Observação:
i.		 A	definição	acima	vale	para	qualquer	linha	ou	coluna,	p.	ex.,	
fixando	a	segunda	linha,
	 det	A	=	–a21A21	+	a22A22	–	a23A23.
 
	 O	sinal	“−”	aparece	em	cada	parcela	para	a	qual	a	soma	
dos	índices,	em	aij,	é	um	número	ímpar.
ii.		 Para	matriz	de	ordem	3,	det	A	também	pode	ser	calcula-
do	pela	Regra	de	Sarrus:
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	 Em	particular,	det	(kA)	=	kn	.	det	A,	onde	n	é	a	ordem	de	A.
d)	 Seja	B	uma	matriz	obtida	de	uma	matriz	quadrada	A	so-
mando	à	sua	i-ésima	linha	(coluna)	outras	linhas	(colunas)	
de	A	multiplicadas	por	constantes,	então	det	B	=	det	A.
e) Seja	 B	 uma	matriz	 obtida	 de	 uma	matriz	 quadrada	A	
trocando	entre	 si	duas	de	 suas	 linhas	 (colunas),	 então	
det	B	=	–	det	A.
f) det	(AB)	=	det	A	.	det	B
g) Uma	matriz	quadrada	A	é	inversível	se	e	somente	se	A	≠	0.	
	 Nesse	caso,	
h) det(A)	=	0	sempre	que:
i.		 A	tem	uma	linha	(coluna)	só	de	zeros;
ii.		 A	tem	duas	linhas	(colunas)	iguais;
iii.		 A	tem	uma	linha	(coluna)	igual	a	outra	linha	(colu-
na)	multiplicada	por	uma	constante;
iv.		 A	 tem	uma	 linha	 (coluna)	 igual	à	 soma	de	outras	
linhas	(colunas)	multiplicadas	por	constantes.
Obs.:	Em	geral,	det(A	+	B)	≠	det	A	+	det	B.
deterMinAnte de MAtriz de ordeM 4
Dada ,
	 det	A	=	a11A11	–	a12A12	+	a13A13	–	a14A14
 Observação:
i.		 Nesse	caso,	a	definição	acima	também	vale	quando	fixa-
mos	qualquer	outra	linha	ou	coluna,	p.	ex.,	com	respeito	
à	terceira	coluna,	temos
	 det	A	=	a31A31	–	a32A32	+	a33A33	–	a34A34
ii.		 det	In = 1
propriedAdeS do deterMinAnte 
a)	 det	At	=	det	A
b)	 Se	A	é	matriz	triangular,	det	A	=	a11	.	a22	...	anm
	 (produto	dos	elementos	da	diagonal	principal)
c)	 Seja	B	uma	matriz	obtida	de	uma	matriz	quadrada	A	mul-
tiplicando	uma	linha	(coluna)	por	uma	constante	k,	então
	 det	B	=	k	.	det	A.
01 Resolva	as	equações:
a) 
b)	
02 Encontre	o	valor	de	x	na	matriz	 	sabendo	que	
det	A–1	=	–	1/10.
03 Sabendo	que	 e ,	encontre	o	va-
lor	de:
a) 	 	 	 b)	
c)	 d) 
01 (UERJ)	Observe	a	matriz	abaixo:
	 Resolvendo	seu	determinante,	será	obtido	o	seguinte	re-
sultado:
a) 1 
b)	 sen	x
c)	 sen2	x
d)	 sen3	x
02 O	determinante	da	inversa	da	matriz	a	seguir	é:	
a)	 –	52/5
b)	 –	48/5
c)	 –	5/48
d)	 5/52
e)	 5/48
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03 (CEFET) Pode-se	afirmar	que	o	determinante	
	é:
a) 0 
b)	 1		
c)	 –4	log	2
d)	 –8	log	2
e)	 –4	log2 2
04 (UNIRIO) O	valor	de	 	é:
a)	 4	(cos	a	+	sen	a)
b)	 4
c)	 2	(cos2	a	–	sen	a)
d) 2
e) 0
01 (UNICAMP) Sejam	dados:	a	matriz	 , 
encontre	o	conjunto	solução	da	equação	det(A)	=	0.
02 (FGV)	 Considere	 a	 equação	 det(A	 –	 xI)	 =	 0	 onde	
 e .
	 Calcule	a	soma	das	raízes	dessa	equação.
03 (UFRJ)	Os	números	reais	a,	b,	c	e	d	 formam,	nesta	or-
dem,	uma	progressão	aritmética.	Calcule	o	determinante	
da matriz .
Sistemas Lineares
SiSteMA lineAr coM n eQuAçõeS e m incógnitAS
(SiSteMA lineAr n × m)
eleMentoS do SiSteMA lineAr
a. Coeficientes do sistema: aij’s	e	bi’s
b. Incógnitas:	x1,	x2,	...,	xm 
c. Sistema homogêneo:	b1	=	b2	=	...	=	bn = 0
d. Sistema não-homogêneo:	algum	bi	≠	0
e. Matriz associada do sistema:	A	=	(aij)nxm
f. Matriz completa do sistema:
 
g. Solução do sistema:	valores	de	x1,	x2,	…,	xm	que	satis-
fazem	todas	as	n	equações	(*).
h. Conjunto solução do sistema:	conjunto	de	todas	as	so-
luções	do	sistema	(*).
Ex.:	 Abaixo	temos	um	sistema	linear	2	×	3	não-homogêneo:
clASSificAção doS SiSteMAS lineAreS
a. Sistema impossível:	não	admite	solução.
b. Sistema possível:	admite	alguma	solução.
c. Sistema (possível) determinado:	 admite	 apenas	uma	
solução.
d. Sistema (possível) indeterminado: admite mais de 
uma	solução.	Nesse	caso,	admite	necessariamente	infini-
tas	soluções.
propriedAde do deterMinAnte pArA SiSteMAS lineAreS n × n 
a.		 Se	 o	 sistema	 é	 homogêneo,	 então	 o	 sistema	 é	 sempre	
possível	(admite	solução)	e
i.		 o	 sistema	 é	 indeterminado	 (admite	 infinitas	 solu-
ções)	se	det	A	=	0.
ii.		 o	sistema	é	determinado	(admite	apenas	uma	solu-
ção)	se	det	A	≠	0.
b.		 Se	o	sistema	é	não-homogêneo,	então
i.		 o	sistema	é	impossível	ou	indeterminado	(admite	ne-
nhuma	solução	ou	infinitas	soluções)	se	det	A	=	0.
ii.		 o	sistema	é	determinado	(admite	uma	única	solução)	se	 
det	A	≠	0.
regrA de crAMer pArA SiSteMAS 3 × 3
 Dado o sistema
	 com	D	=	det	A	≠	0,	denotamos
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Então	a	única	solução	do	sistema	é	dada	por:
01 Resolva	 os	 sistemas,	 classifique	 e	 indique	 o	 significado	
geométrico	das	soluções.
a) 
b)	
02 Determine	o	valor	de	a	para	que	o	sistema	 
seja	possível	e	determinado	(SPD).
03 Resolva	os	sistemas,	se	possível,	e	classifique-os.
a) 
b)	
c)	
d) 
04 (UFF) As	ligações	entre	as	cidades	A,	B	e	C	figuram	num	
mapa	rodoviário	conforme	ilustrado.	Seguindo	esse	mapa,	
uma	pessoa	que	se	deslocar	de	A	para	C,	passando	por	B,	
percorrerá	450km.	Caso	a	pessoa	se	desloque	de	A	para	B,	
passando	por	C,	o	percurso	será	de	600km.	Para	se	des-
locar	de	B	para	C,	passando	por	A,	a	pessoa	vai	percorrer	
800km.	Determine	quantos	quilômetros	esta	pessoa	per-
correrá	ao	se	deslocar	de	A	para	B,	sem	passar	por	C.
01 (PUC) A	 soma	dos	quadrados	das	 soluções	do	 sistema	
	é:
a) 9
b)	 25
c)	 34
d)	 40
e)	 45
02 (UFMG)Se	 a,	 b,	 e	 c	 são	 as	 soluções	 do	 sistema	
,	então	a.b.c	vale:
a) 3
b)	 4
c)	 5
d) 12
e) 60
03 Numa	loja,	os	artigos	A	e	B,	juntos	custam	R$70,00.	Dois	
artigos	A	mais	um	C	custam	R$105,00	e	a	diferença	de	
preços	entre	os	artigos	B	e	C,	nessa	ordem,	é	R$	5,00.	
Qual	o	preço	do	artigo	C?
a) 20,00
b)	 25,00
c)	 30,00
d)	 40,00
e)	 45,00
04 A	 soma	 das	 quantias	 que	 Fernando	 e	 Beth	 possuem	 é	
igual	à	quantia	que	Rosa	possui.	O	dobro	do	que	possui	
Fernando	menos	a	quantia	de	Beth	mais	a	de	Rosa	é	igual	
a	30	reais.	Sabendo	que	a	quantia	que	Fernando	possui,	
adicionada	a	1/3	da	quantia	de	Rosa,	vale	20	reais,	quan-
to	vale	a	soma	das	quantias	de	Fernando,	Beth	e	Rosa.
a) 10,00
b)	 25,00
c)	 30,00
d) 50,00
e) 60,00
05 (UERJ)	Muitas	 jóias	 são	 constituídas	por	 ligas	 feitas	de	
uma	mistura	de	ouro	puro	com	outros	metais.	Uma	jóia	é	
considerada	de	ouro	n	quilates	se	n/24	de	sua	massa	for	
de	ouro,	sendo	n	um	número	inteiro,	maior	ou	igual	a	1	
e	menor	ou	igual	a	24.
	 Uma	aliança	de	ouro	15	quilates	tem	massa	igual	a	4	g.
	 Para	transformar	essa	aliança	em	outra,	de	ouro	18	quila-
tes,	mantendo	a	quantidade	dos	outros	metais,	é	neces-
272 Volume 03 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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sário	acrescentar,	em	sua	liga,	uma	quantidade	de	gramas	
de	ouro	puro	equivalente	a:
a) 1,0
b)	 1,5
c)	 2,0
d) 3,0
06 (UERJ)	 Um	 conjunto	 de	 100	 copos	
descartáveis,	dispostos	em	um	supor-
te,	serão	usados	em	uma	festa.
 
	 Considere,	 agora,	 as	 seguintes	 infor-
mações:
–	 sempre	se	tenta	retirar	apenas	1	copo	
de	cada	vez	desse	suporte;
–	 quando	se	tenta	retirar	1	copo,	e	exatamente	2	saem	jun-
tos,	1	deles	é	desperdiçado;
–	 quando	se	tenta	retirar	1	copo,	e	exatamente	3	saem	jun-
tos,	2	deles	são	desperdiçados;
–	 quando	se	tenta	retirar	1	copo,	nunca	saem	4	ou	mais	de	
4	juntos;
–	 foram	retirados	 todos	os	copos	desse	suporte,	havendo	
desperdício	de	35%	deles.
–	 a	razão	entre	o	número	de	vezes	em	que	foram	retirados	
exatamente	2	copos	juntos	e	o	número	de	vezes	em	que	
foram	retirados	exatamente	3	juntos	foi	de	3/2.
	 O	número	de	vezes	em	que	apenas	1	copo	foi	retirado	do	
suporte	é	igual	a:
a)	 30	 	 	 	 b)	 35
c)	 40	 	 	 	 d)	 45
01 (USP)	Com	base	nos	dados	da	tabela,	um	mingau	com-
posto	 somente	 desses	 ingredientes	 e	 feito	 para	 suprir	
10%	das	necessidades	diárias	de	proteína	e	4%	das	ne-
cessidades	diárias	de	carboidratos	deverá	conter	quantos	
copos	de	leite	e	quantas	colheres	(de	sopa)	de	aveia,	res-
pectivamente?
Um copo 
de leite
Uma colher 
(de sopa) 
dee aveia
Necessidade
diária 
padrão
Proteína 6,4g 0,8g 88g
Carboidrato 10,0g 2,0g 400g
 
02 Alexandre	entrou	na	lanchonete	BOG	e	pediu	3	ham-
búrgueres,	 1	 suco	 de	 laranja	 e	 2	 cocadas,	 gastando	
R$21,50.	 Na	 mesa	 ao	 lado,	 algumas	 pessoas	 pedi-
ram	8	hambúrgueres,	3	sucos	de	laranja	e	5	cocadas,	
gastando	 R$57,00.	 Sabendo-se	 que	 o	 preço	 de	 um	
hambúrguer,	mais	o	de	um	suco	de	laranja,	mais	o	de	
uma	cocada	totaliza	R$10,00,	calcule	o	preço	de	cada	
um	desses	itens.
03 (CEFET-Adaptada) Em	 umalanchonete,	 o	 custo	 de	
3	 sanduíches,	 7	 refrigerantes	 e	 uma	 torta	 de	 maçã	 é	
R$22,50.	Com	4	sanduíches,	10	refrigerantes	e	uma	tor-
ta	de	maçã,	o	custo	vai	para	R$30,50.	Calcule	o	custo	de	
um	sanduíche,	um	refrigerante	e	uma	torta	de	maçã,	em	
reais.																																																																																							
04 (UERJ)	Observe	a	equação	química	que	representa	a	fer-
mentação	do	açúcar:
xC6H12O6 →	yCO2	+	zC2H5OH
	 Uma	das	formas	de	equilibrar	essa	equação	é	igualar,	em	
seus	dois	membros,	as	quantidades	de	átomos	de	cada	
elemento	químico.	Esse	processo	dá	origem	ao	seguinte	
sistema	linear:
	 Determine	 o	 conjunto-solução	 do	 sistema	 e	 calcule	 os	
menores	valores	inteiros	positivos	de	x,	y	e	z	que	formam	
uma	das	soluções	desse	sistema.
 01 (ENEM) Em	uma	viagem	ao	exterior,	o	carro	de	um	tu-
rista	brasileiro	consumiu,	em	uma	semana,	50	galões	de	
gasolina,	a	um	custo	total	de	152	dólares.	Considere	que	
um	dólar,	durante	a	semana	da	viagem,	valia	1,60	reais	
e	que	a	 capacidade	do	galão	é	de	3,8	L.	Durante	essa	
semana,	o	valor,	em	reais,	de	1L	de	gasolina	era	de:
a) 1,28
b)	 1,40
c)	 1,75
d) 1,90
e) 2,00
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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273Volume 03 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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 2reSuMo dA teoriA
plAno cArteSiAno
	 (a)	coordenada-x	ou	abscissa	do	ponto	P
	 (b)	coordenada-y	ou	ordenada	do	ponto	P
biSSetriz do 1º e 3º QuAdrAnteS
P(a,	b)	∈ r1 ⇔	b	=	a
biSSetriz do 2º e 4º QuAdrAnteS
P(a,	b)	∈ r2 ⇔	b	=	–a
ponto Médio de SegMento
Dados	os	pontos	P(x1,	y1)	e	Q(x2,	y2),
M(a,	b)	é	ponto	médio	de	
bAricentro de triângulo
Dado	um	triângulo	de	vértices	A(x1,	y1),	B(x2,	y2)	e	C(x3,	y3), 
G(a,	b)	é	baricentro	do	∆ABC.
diStânciA entre doiS pontoS
	 Dados	os	pontos	A(x1,	y1)	e	B(x2,	y2),
pontoS colineAreS
	 Dados	os	pontos	A(x0,	y0),	B(x1,	y1)	e	C(x2,	y2),
	 A,	B	e	C	são	colineares	
	 Se	A,	B	e	C	são	não	colineares,	então
 
Geometria Analítica
274 Volume 03 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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01 Determine	os	valores	de	x	e	y	que	tornam	A	e	B	o	mesmo	
ponto:
a)	 A(1+	x,	y	–	2x	+	2)	e	B	(–3,	–1	+	3y)
b)	 A(x	–	y	–	3,	x	+	y	–	3)	e	B(2x,	3y)
02 Dados	os	pontos	A(1,	2)	e	C(2,	6),	determinar	as	coorde-
nadas	de	um	ponto	B	(sobre	a	reta	que	contém	AC),	tal	
que	 .
03 Seja	o	triângulo	ABC,	A(0,0),	B(4,2)	e	C(6,4).	Determine	
o	valor	da	base	média	relativa	ao	lado	AB.	
04 Sejam	os	pontos	A(1,3)	e	C(2,5).	Determine	as	coordena-
das	de	um	ponto	B	tal	que	B	divida	o	segmento	AC	nas	
seguintes	proporções:
a) 
b)	
c)	
01 (PUC)	Os		pontos		A(–1,	2),		B(3,1)		e		C(a,	b)	são		coli-
neares.		Para	que	C	esteja	sobre	o	eixo	das	abscissas,	a	e	
b	devem	ser,	respectivamente	iguais	a:
a)	 0	e	4		 	 	 b)	 0	e	7
c)	 4	e	0		 	 	 d)	 7	e	0
e) 0 e 0
02 (IBEMEC)	Ache		as		coordenadas		do		baricentro		do		tri-
ângulo	ABC.
a) 
b)	
c)	
d) 
e) 
03 (FGV)	Em	um	triângulo	ABC,	A(4,2)	é	um	vértice,	B(-3,2)	
outro	 vértice	 e	G(1,1)	 é	 o	baricentro.	 Então,	 o	 terceiro	
vértice	de	triângulo	ABC	é:
a)	 (2,–1)
b)	 (1.5,0)
c)	 (3,–3)
d)	 (–1,–2)
e)	 (5,0)
04 (ESPM) Dois	vértices	de	um	triângulo	ABC	são	os	pontos	
A(2,–1)	e	B(5,3),	e	o	seu	baricentro	é	o	ponto	G(1,3).	Po-
demos	afirmar	que	o	comprimento	da	mediana,	relativa	
ao	vértice	C,	mede:
a) 
b)	
c)	 9
d) 
e) 
05 Se	o	triângulo	de	vértices	nos	pontos	P1(0,0),	P1(3,1)	e	
P3(2,	 K)	 é	 retângulo,	 com	o	 ângulo	 de	 vértice	 P1	 reto.	
Então,	K	é	igual	a:
a)	 5	 	 	 	 b)	 6
c)	 3	 	 	 	 d)	 4
e) 8
06 Seja	o	triângulo	de	vértices	A(2,	x),	B(x,3)	e	C(1,	5).	Se	a	
área	do	triângulo	ABC	é	máxima,	então	x	é	igual	a:
a)	 1	 	 	 	 b)	 –3
c)	 4	 	 	 	 d)	 3
e)	 –4
275Volume 03 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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01 (USP) Se	P	e	M	são	pontos	de	interseção	dos	gráficos	de	
f(x)		=		x2	–	3	e	 ,	então	determine	a	medida	
do	comprimento	do	segmento	PM.
02 Os	pontos	A	e	B	pertencem	ao	gráfico	das	curvas	y	=	ex 
e		respectivamente	se	A	tem	abscissa	1	e	B	tem	ordenada	
1,	podemos	Encontre	a	distância	AB.
03 O	triângulo	retângulo	ABC	está,	inicialmente,	na	posição	
representada	na	figura	ao	lado.	Após	sofrer	uma	rotação	
em	torno	do	vértice	C,	de	modo	que	o	vértice	A	passe	
para	 a	posição	A’,	 determine	 as	novas	 coordenadas	do	
vértice	B.
04 Determine	os	vértices	B	e	C	de	um	triângulo	equilátero	
ABC	sabendo	que	o	ponto	médio	do	lado	AB	é	 e 
A	é	a	origem	do	sistema.
Equação Geral e Reduzida da reta,
condição de paralelismo e perpendicularidade
eQuAção gerAl dA retA
Se	r	é	a	reta	determinada	pelos	pontos	A(x0,	y0)	e	B(x1,	
y1),	então	observe	que:
	 P(x,	y)	∈ r ⇔	P,	A	e	B	são	colineares
 ⇔ 
 ⇔	ax	+	by	+	c	=	0
Assim,	
	 	 r	:	ax	+	by	+	c	=	0
	 	 é	a	equação	geral	da	reta	r.
a)	 Quando	b	=	0,	então	a	≠	0	e	r	é	uma	reta	vertical,	 .
b)		 Quando	b	≠	0,	temos
ou,
r	:	y	=	mx	+	n,
	 que	é	a	equação	reduzida	da	reta	r.
	 No	caso	em	que	a	=	0,	temos	m	=	0	e
r	:	y	=	n	constante,
	 o	que	dá	uma	reta	horizontal.
eQuAção reduzidA dA retA
R	:	y	=	mx	+	n
a)		 n	é	o	coeficiente	linear	de	r.
b)		 (0,	n)	é	o	ponto	do	eixo-y	onde	a	reta	corta	este	eixo.
c)		 m	=	tg	θ	é	o	coeficiente	angular	de	r	ou,	a	inclinação	da	
reta.
d)		 (–n/m,	0)	é	o	ponto	do	eixo-x	onde	a	reta	corta	este	eixo.
e)		 Dados	dois	pontos	A(x0,	y0)	e	B(x1,	y1)	de	r,	temos:
r	:	y	=	m(x	–	x0)	+	y0.
276 Volume 03 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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retAS pArAlelAS
	 Dadas	as	retas	r	:	y	=	mx	+	n	e	s	:	y	=	m’x	+	n’
r	//	s	⇔ θ = θ’	⇔	m	=	m’
retAS perpendiculAreS
	 Dadas	as	retas	r	:	y	=	mx	+	n	e	s	:	y	=	m’x	+	n’
r ⊥ s ⇔	m	.	m’	=	–1
01 Determine,	 em	 cada	 caso,	 os	 pontos	 de	 interseção	das	
retas	dadas.
a)	 y	=	2x	+	3					e					y	=	1	–	2x
b)	 x	–	2y	=	3					e					2x	+	y	=	6
c)	 1	–	x	–	y	=	0					e					x	+	y	=	4
d)	 y	=	1	–	1/3	x					e					y	=	–x	–	3
02 Encontre	a	equação	da	reta	que	passa	pelo	ponto	P	=	(3,0)	
e	tem	coeficiente	angular	igual	a	2.	
03 Encontre	a	equação	da	reta	que	passa	pelo	ponto	P	=	(2,3)	
e	é	paralela	à	reta	de	equação	x	+	y	+	2	=	0.
04 Encontre	a	equação	da	reta	que	passa	pelo	ponto	P	=	(2,3)	
e	é	perpendicular	à	reta	de	equação	x	+	y	+	2	=	0.
05 Determine	a	equação	da	reta	que	passa	pelo	ponto	P	=	(2,0)	
e	é	perpendicular	à	reta	que	passa	pelos	pontos	A	=	(–2,1)	
e	B	=	(3,–1).
01 (UNIFICADO)	ABCDEF	é	um	hexágono	regular	de	lado	4.	
Encontre	a	equação	da	reta	que	contém	o	lado	AF.
a)	 y	+	 x	–	2 	=	0	 	 b)	 x	+	y	+	2	=	0
c)	 3x	–	y	–	17	=	0			 	 d)	 1	–	x	–	y	=	0
e)	 x	–	1	=	3
02 (ESPM) Observe	a	figura	mostrada	e	 calcule	a	área	da	
região	hachurada.		
a)	 2,7	 	 	
b)	 2,8
c)	 2,9
d) 3,0
e) 3,1
03 (IBEMEC) As	 coordenadas	 do	 ponto	 P	 pertencentes	 à	
reta	3x	–	y	–	17	=	0		cuja		distância		ao		ponto	Q(2,	3)	é	
mínima,	são:
a)	 (6,1)
b)	
c)	
d) 
e)	 (–1,–20)
04 (UNIFICADO)	As	retas	x	+	ay	–	3	=	0	e	2x	–	y	+	5	=	0	
são	paralelas.	Qual	o	valor	de	a?
a) 0,5 
b)	 1,0																	
c)	 1,5						
d) 3,0
e) 3,5
277Volume 03 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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01 Determine	a	equação	da	retaque	passa	pelo	ponto	P(3,	4)	
e	é	paralela	à	bissetriz	do	2º	quadrante.	
02 (COVEST)	Num	triângulo	ABC,	retângulo	em	A,	de	vérti-
ces	B(1,	1)	e	C(3,	–2),	o	cateto	que	contém	o	ponto	B	é	
paralelo	à	reta	(r)	3x	–	4y	+	2	=	0.	Determine	a	equação	
da	reta	que	contém	o	cateto	AC.	
03 Considere	o	quadrilátero	ABCD	tal	que	A(–1,	2),	B(1,	3),	
C(2,–2)	e	D(0,–3).	Determine	as	coordenadas	do	ponto	
de	encontro	das	suas	diagonais.
04 (UFC)	Determine	a	equação	da	reta	que	é	perpendicular	
à	reta	4x	+	y	–	1	=	0	e	que	passa	pelo	ponto	de	interse-
ção	das	retas	2x	–	5y	+	3	=	0	e	x	–	3y	–	7	=	0	é:
Distância de Ponto a Reta e Regiões do 
Plano Determinadas por uma Reta
diStânciA entre ponto e retA regiõeS do plAno deterMinAdAS por uMA retA
a)		 R1	:	y	<	mx	+	n	 região	abaixo	da	reta	r
b)		 R2	:	y	>	mx	+	n	 região	acima	da	reta	r
c)		 r	:	y	=	mx	+	n	 	 a	reta	r
01 Calcule	a	distância	do	ponto	P	=	(–1,2)	à	reta	de	equa-
ção	2x	+	y	–	1	=	0.
02 Calcule	a	distância	do	ponto	P	=	(4,–2)	à	reta	que	passa	
pelos	pontos	A	=	(–2,3)	e	B	=	(2,1).
03 Calcule	a	distância	entre	as	retas	paralelas	2x	+	3y	+	1	=	0	
e	2x	+	3y	–	1	=	0.
01 (UFF) O	elenco	de	um	filme	publicitário	é	composto	por		
pessoas	com	cabelos	louros	ou	olhos	verdes.	Sabe-se	que	
esse	 elenco	 tem,	 no	 máximo,	 vinte	 pessoas	 dentre	 as	
quais,	pelo	menos,	doze	possuem	cabelos	 louros	 e,	 no	
máximo,	cinco	possuem	olhos	verdes.	No	gráfico	a	seguir,	
pretende-se	marcar	um	ponto	P(L,V),	em	que	L	represen-
ta	o	número	de	pessoas	do	elenco	que	têm	cabelos	louros	
e	V	o	número	de	pessoas	do	elenco	que	têm	olhos	verdes.
	 O	ponto	P	deverá	ser	marcado	na	região	indicada	por:
a)	 R1
b)	 R2
c)	 R3
d)	 R4
e)	 R5
278 Volume 03 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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01 (UFRJ) Determine	a	área	da	região	R	definida	por	R	=	R1 
∩	R2 ∩	R3,	sendo:
	 R1	=	{(x,	y)	∈	R
2;	4x	+	5y	–	16	< 0}
	 R2	=	{(x,	y)	∈	R
2;	4x	–	3y	> 0}
	 R3	=	{(x,	y)	∈	R
2;	y	> 0}
Circunferência
eQuAção reduzidA dA circunferênciA
γ	:	Circunferência	de	centro	C(x0,	y0) e raio r
γ	:	(x	–	x0)
2	+	(y	–	y0)
2 = r2
	 Se	a	circunferência	tem	centro	na	origem,
γ	:	x2	+	y2 = r2
eQuAção gerAl dA circunferênciA
Desenvolvendo	a	equação	reduzida,	(x	–	x0)
2	+	(y	–	y0)
2 = r2, 
obtemos	a	chamada	equação	geral	da	circunferência:
x2	+	y2	+	ax	+	by	+	c	=	0			onde,	
coMpletAndo o QuAdrAdo
Essas	fórmulas	são	muito	úteis	para	transformar	a	equa-
ção	geral	da	circunferência	na	equação	reduzida	desta	circun-
ferência.
Exemplo:
	 x2	+	6x	=	(x	+	3)2	–	9
 
01 Determine	o	centro	e	o	raio	de	cada	circunferência	dada.	
a)	 x2	+	(y	–	3)2 = 16
b)	 (x	+	2)2	+	y2	–	12	=	0
c)	 3x2	+	3y2	–	6x	+	12y	+	14	=	0
02 Escreva	as	equações	das	circunferências	mostradas.
a) 
279Volume 03 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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b)	 03 (COVEST)	Determinar	a	equação	da	circunferência	que	
tem	 um	 de	 seus	 diâmetros	 determinado	 pelos	 pontos	
A(5,	–1)	e	B(–3,	7).
04 (COVEST)	Calcule	o	raio	da	circunferência	tangente	à	reta	
3x	+	4y	 –	 60	=	0	 e	 concêntrica	 à	 circunferência	 	 de	
equação	x2	+	y2	=	9	é:	
01 Se	θ ∈	IR,	então,	os	pontos	(x,	y)	tais	que	x	=	cos	θ e 
y	=	sen	θ	estão	sobre:
a)	 uma	reta.
b)	 uma	circunferência	de	raio	1.
c)	 um	segmento	de	reta.
d)	 uma	semicircunferência.
e)	 um	par	de	retas	paralelas.
02 A	circunferência	concêntrica	a	x2	+	y2	–	8x	+	12y	=	0	e	
tangente	à	reta	5x	+	12y	=	0	tem	raio	igual	a:
a) 1
b)	 1/2
c)	 3
d)	 4
e) 5
03 (MACk-SP)	A	curva	x2	+	y2	–	2x	–	2y	+	1	=	0	tem	um	
único	ponto	comum	com	a	 reta	x	+	y	=	k,	k	∈	 IR.	A	
soma	dos	possíveis	valores	de	k	é:
a)	 4
b)	 –2
c)	 –4
d) 2
e) 0
04 (FATEC)	Seja	C	a	circunferência	de	equação	x2	+	y2	–	6x	
–	4y	+	9	=	0.	Um	quadrado,	cujos	lados	são	paralelos	
aos	eixos	cartesianos,	está	inscrito	em	C.	O	perímetro	des-
se	quadrado	é:
a) 2
b)	 4
c)	 4
d) 8
e) 8
05 (UFF)	Um	arquiteto	deseja	desenhar	a	fachada	de	uma	
casa	e,	para	isto,	utiliza	um	programa	de	computador.	Na	
construção	do	desenho,	tal	programa	considera	o	plano	
cartesiano	e	traça	curvas	a	partir	de	suas	equações.
	 Na	 fachada,	a	 janela	 tem	a	 forma	do	retângulo	MNPQ	
encimado	pela	semicircunferência	PRQ,	conforme	mostra	
a	figura:
 
	 Para	 desenhar	 a	 janela	 o	 arquiteto	 precisa	 da	 equação	
da	semicircunferência	PRQ.	Sabe-se	que	o	segmento	MN	
é	paralelo	ao	eixo	Ox	e	tem	comprimento	igual	a	2	cm,	
que	MQ	tem	comprimento	igual	a	1	cm	e	que	o	ponto	M	
tem	coordenadas		.	Uma	possível	equação	da	semicircun-
ferência	é	dada	por:
a) 
b)	
c)	
d) 
e) 
06 (UNI-RIO 2000)	 Considerando	 uma	 circunferência	 de	
centro	 (2,	1),	 que	passa	pelo	ponto	 (2,	 –2),	 assinale	 a	
opção	correta.
a)	 A	equação	da	circunferência	é	(x	–	2)2	+	(y	–	1)2	=	3.
b)	 O	interior	da	circunferência	é	representado	pela	inequa-
ção	x2	+	4x	+	y2	+	2y	<	4.
c)	 O	interior	da	circunferência	é	representado	pela	inequa-
ção	x2	–	4x	+	y2	–	2y	<	4.
d)	 O	exterior	da	circunferência	é	representado	pela	inequa-
ção	x2	–	4x	+	y2	–	2y	>	–2.
e)	 O	ponto	(5,	–1)	pertence	à	circunferência.
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02 (UFF) Cada	ponto	P(x,	y)	de	uma	curva	C	no	plano	xy	
tem	suas	coordenadas	descritas	por:
,	0	<	t	<	p
	 Escreva	uma	equação	de	C	relacionando,	somente,	as	va-
riáveis	x	e	y.
	 Calcule	o	comprimento	de	C.
03 Se	M	é	o	ponto	médio	do	segmento	AB	e	P	é	o	ponto	
médio	do	 segmento	OM,	determinar	a	equação	da	cir-
cunferência	de	centro	P	e	raio	OP.
04 (PUC)	Se	o	raio	da	circunferência	2x2	+	2y2	+	4x	–	y	+	
k	=	0	é	igual	a	1,	calcule	o	valor	de	k.
01 (UFRJ)	A	reta	y	=	x	+	k,	k	fixo,	intercepta	a	circunferên-
cia	x2	+	y2	=	1	em	dois	pontos	distintos,	P1	e	P2,	como	
mostra	a	figura	a	seguir.
a)	 Determine	os	possíveis	valores	de	k.
b)	 Determine	o	comprimento	do	segmento	 	em	função	
de	k.
Elipse
elipSe
A	elipse	de	focos	F1 e F2	e	eixo	maior	2a	(2a	>	F1F2	>	0)	é	
o	lugar	geométrico	E	dos	pontos	P	tais	que	dP,F1
 + dP,F2
 = 2a.
eleMentoS dA elipSe
a)		 Focos:	F1 e F2 
b)		 Distância	focal:	F1F2	=	2c
c)		 Eixos	de	simetria
	 Eixo	maior:	A1A2 = 2a
	 Eixo	menor:	B1B2	=	2b
d)		 Centro	da	elipse:	C
e)		 Relação	Fundamental:	a2	=	b2	+	c2
f)		 Excentricidade:	e	=	c/a	(0	<	e	<	1)
eQuAção dA elipSe
a)		 Eixo	maior	no	eixo-x	e	Eixo	menor	no	eixo-y:
P(x,y)	∈	Elipse	⇔ 
b)		 Eixo	maior	no	eixo-y	e	Eixo	menor	no	eixo-x:
P(x,y)	∈	Elipse	⇔ 
c)	 Eixo	maior	//	eixo-x	,	Eixo	menor	//	eixo-y	e	centro	C(x0,	y0):
P(x,y)	∈	Elipse	⇔ 
d)	 Eixo	maior	//	eixo-y	,	Eixo	menor	//	eixo-x	e	centro	C(x0,	y0):
P(x,y)	∈	Elipse	⇔ 
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01 Calcular	a	distância	focal,	a	excentricidade	e	a	área	das	
elipses	abaixo:
a)	 2x2	+	y2 = 2
b)	 3x2	+	4y2 = 12
02 Dada	a	elipse	de	equação	 ,	determinar:
a)	 o	centro;
b)	 o	eixo	maior;
c)	 o	eixo	menor;
d)	 a	distância	focal;
e)	 a	excentricidade;
f)	 a	área.
03 Verifique	 se	 representam	 elipses	 as	 equações	 abaixo	 e,	
em	caso	afirmativo,	encontre	o	centro,	a	excentricidade	e	
a	área:
a)	 x2	+	3y2	–	8x	–	6y	+	16	=	0
b)	 3x2	+	2y2	+	12x	+	8y	+	14	=	0
04 (UNIRIO)	 Determine	 a	 equação	 da	 elipse	 cujo	 centro	
é	C(1,–2),	a	qual	passa	pelos	pontos	A(2,–2)	e	B(1,–4),	
possuindo	os	seus	eixos	paralelos	aos	eixos	cartesianos.
01 (UFPE)	Considere	dois	pontos	distintos	A	e	B	de	um	pla-
no.	O	lugar	geométrico	dos	pontos	P	deste	plano	tal	que	
a	soma	das	distâncias	de	P	aos	pontos	A	e	B	é	constante,	
é	uma	curva	denominada:
a)	 circunferência;
b)	 parábola;
c)	 hipérbole;
d)	 elipse;
e)	 reta.
02 Em	 uma	 praça	 dispõe-se	 de	 uma	 região	 retangular	 de	
20m	de	comprimento	por	16	m	de	largura	para	construir	
um	 jardim.	A	exemplo	de	outros	canteiros,	este	deverá	
ter	 a	 forma	 elíptica	 e	 estar	 inscrito	 nessa	 região	 retan-
gular.	Para	aguá-lo,	serão	colocados	dois	aspersores	nos	
pontos	que	correspondem	aos	focos	da	elipse.	Qual	será	
a	distância	entre	os	aspersores?
a)	 4	m	 	 	 	 b)	 6	m
c)	 8	m	 	 	 	 d)	 10	m
e) 12 m
03 A	distância	focal	da	elipse	abaixo	é:
a) 6 
b)	 8
c)	 10
d) 12
e) 16
04 (UFF)	O	conjunto		dospontos	P(x,y)	∈	IR2	que	satisfa-
zem	à	equação	x2	+	4xy	+	4y2	=	1/4	representa:
a)	 um	par	de	retas	paralelas.
b)	 uma	parábola.
c)	 uma	elipse.
d)	 um	par	de	retas	perpendiculares.
e)	 uma	circunferência.
05 O	gráfico	que	melhor	representa	a	curva	de	equação	
x2	+	16y2	=	16	é:
a) 
b)	
c)	
d) 
e) 
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06 (UERJ)	Um	holofote	 situado	na	posição	 (–5,0)	 ilumina	
uma	região	elíptica	de	contorno	x2	+	4y2	=	5,	projetan-
do	sua	sombra	numa	parede	representada	pela	reta	x	=	3,	
conforme	ilustra	a	figura	ao	lado.
	 Considerando	 o	metro	 a	 unidade	 dos	 eixos,	 o	 compri-
mento	da	sombra	projetada	é	de:
a) 2
b)	 3
c)	 4
d) 5
01 (UFRJ)	Sejam	F1 e F2	os	pontos	do	plano	cartesiano	de	
coordenadas	 e .	 Determine	 as	
coordenadas	dos	pontos	da	reta	r	de	equação	x	–	y	=	1	
cuja	soma	das	distâncias	a	F1 e F2	sejam	iguais	a	4	(isto	
é:	determine	as	coordenadas	dos	pontos	P	sobre	a	reta	r	
que	satisfazem	 ).
02 (UFRJ)	Uma	elipse	cuja	distância	focal	mede	1	cm	está	
inscrita	 em	um	 retângulo	 (de	 lados	paralelos	 aos	 eixos	
principais	da	elipse)	de	área	igual	a	 	cm2.	Determine	
as	medidas	dos	lados	do	retângulo.
03 (UERJ) Uma	porta	colonial	é	formada	por	um	retângulo	
de	100cm	x	200cm	e	uma	semi-elipse.	Observe	as	figuras:
	 Na	semi-elipse	o	eixo	maior	mede	100	cm	e	o	semi-eixo	
menor,	30	cm.	Calcule	a	medida	da	corda	 ,	paralela	ao	
eixo	maior,	que	representa	a	largura	da	porta	a	224	cm	
de	altura.
04 (UERJ)	O	logotipo	de	uma	empresa	é	formado	por	duas	
circunferências	 concêntricas	 tangentes	 a	 uma	 elipse,	
como	mostra	a	figura	abaixo.
	 A	elipse	tem	excentricidade	0,6	e	seu	eixo	menor	mede	
8	unidades.	A	área	da	região	por	ela	limitada	é	dada	por	
a	.	b	.	p,	em	que	a	e	b	são	as	medidas	dos	seus	semi-ei-
xos.	Calcule	a	área	da	região	definida	pela	cor	cinza.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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01 (UERJ) Um	 raio	 de	 luz	 incide	 em	 um	 espelho	 plano,	
como	indica	a	figura	abaixo:
	 O	espelho	perpendicular	ao	eixo	Y	contém	o	eixo	X.	A	
equação	da	reta	suporte	desse	raio	é	y	=	–1/2	x	+	k.	A	
equação	da	reta	suporte	do	raio	refletido	é	y	=	ax	+	b.	
Portanto	a	+	b	é	igual	a:
a)	 –	3/2		 	 	 b)	 –2
c)	 –1	 	 	 	 d)	 –	1/2
02 (UFF) A	figura	abaixo	representa	um	retângulo	MNPQ.
	 O	produto	dos	coeficientes	angulares	das	retas	suportes	
de	todos	os	seus	lados	é:
a)	 1	 	 	 	 b)	 1/2
c)	 0	 	 	 	 d)	 –	1/2
e)	 –1
03 (UNIRIO)	Dentre	os	gráficos	abaixo,	o	que	melhor	repre-
senta	a	circunferência	de	equação	x2	+	y2	=	4x	é:
a) 	 b)	
c)	 d) 
e) 
04 (FUVEST)	Das	 regiões	hachuradas	na	 sequência,	 a	que	
melhor	representa	o	conjunto	dos	pontos	(x,y),	do	plano	
cartesiano,	satisfazendo	ao	conjunto	de	desigualdades
	é:
 
a) 	 	 b)	
c)	 d) 
e) 
05 (UNIRIO) O	menor	valor	inteiro	de	m	para	que	a	equa-
ção	x2	+	y2	+	8x	–	2y	–	m	=	0	represente	uma	circunfe-
rência	é:
a)	 –17
b)	 –16
c)	 0
d) 16
e)	 17
06 (CESGRANRIO)	 Para	 delimitar	 um	 gramado,	 um	 jardi-
neiro	traçou	uma	elipse	 inscrita	num	terreno	retangular	
de	20	m	por	16	m.	Para	isto,	usou	um	fio	esticado	preso	
por	suas	extremidades	M	e	N,	como	na	figura.	A	distância	
entre	M	e	N	é:
a) 10 m 
b)	 12	m
c)	 12,5	m
d) 15 m
e) 18 m
07 (UFRJ) Um	satélite	é	colocado	em	órbita	elítica	em	torno	
da	Terra	(suposta	esférica),	tendo	seus	pólos	como	focos.	
Em	um	certo	sistema	de	medidas,	o	raio	da	Terra	mede	
três	unidades.	Ao	passar	pelo	plano	de	Equador,	o	saté-
lite	está,	no	mesmo	sistema	de	medidas,	a	uma	unidade	
acima	da	superfície	terrestre.
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	 Determine	a	que	altura	h	o	satélite	estará	quando	passar	
diretamente	sobre	o	polo	Norte.
08 (UFF) Um	grande	poluente	produzido	pela	queima	de	
combustíveis	fósseis	é	o	SO2	(dióxido	de	enxofre).	Uma	
pesquisa	 realizada	 na	 Noruega	 e	 publicada	 na	 revista	
“Science”	em	1972	concluiu	que	o	número	(N)	de	mor-
tes	 por	 semana,	 causadas	 pela	 inalação	 de	 SO2	 estava	
relacionado	com	a	concentração	média	(C),	em	mg/m3, 
do	SO2	conforme	o	gráfico	abaixo:	os	pontos	(C,N)	dessa	
relação	estão	sobre	o	segmento	de	reta	da	figura.
	 Com	base	nos	dados	apresentados,	a	relação	entre	N	e	
C(100	≤	C	≤	700)	pode	ser	dada	por:
a)	 N	=	100	–	700C	 b)	 N	=	94	+	0,03C
c)	 N	=	97	+	0,03C	 d)	 N	=	115	–	94C
e)	 N	=	97	+	600C
09 (FUVEST)	O	conjunto	dos	pontos	(x,	y)	do	plano	cartesiano,	
cujas	coordenadas	satisfazem	a	equação	(x2	+	y2	+	1)
(2x	+	3y	–	1)(3x	–	2y	+	3)	=	0,	pode	ser	representado,	
graficamente,	por:
a) 	 	 b)	
c)	 d) 
e) 
10 (UFF) Na	figura	a	seguir	estão	representadas	as	retas	r	e	s.
	 Sabendo	que	a	equação	da	 reta	 s	 é	 x	=	3	e	que	 ( ) 
mede	5	cm,	a	equação	de	r	é:
a)	 y	=	3x/4	 	 	 b)	 y	=	4x/3
c)	 y	=	5x/3	 	 	 d)	 y	=	3x
e)	 y	=	5x
11 (UFF)	Considere	o	sistema	 .
	 A	região	do	plano	que	melhor	representa	a	solução	do	
sistema	é:
a) 
b)	
c)	
d) 
e) 
 
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12 (UFF) Considere	o	gráfico:
	 S	representa	o	conjunto	solução	do	sistema:
a) 	 	 	 b)	
c)	 d) 
e) 
13 (UFF)	Considere	o	triângulo	equilátero	MPQ,	de	lado	L,	
inscrito	na	circunferência	centrada	na	origem	do	sistema	
de	eixos	coordenados,	conforme	a	figura	abaixo:
	 A	equação	da	reta	que	contém	o	lado	MP	é:
a)	 y	+	x	=	L 	 	 b)	 y	–	 x	=	L
c)	 y	+	3x	=	L	 	 d)	 y	–	3x	=	L
e) 2 y	+	6x	=	L
14 (FUVEST)Na	figura	 ao	 lado	o	 ângulo	 	mede	90º,	
o	ângulo	CÔA	mede	45º	e	o	segmento	OC	mede	 .	A	
equação	da	reta	AB	é:
a)	 x	+	y	–	2	=	0	 	 b)	 x	+	y	–	1	=	0
c)	 x	–	y	+	2	=	0	 	 d)	 x	–	y	+	1	=	0
e)	 x	–	y	–	1	=	0
15 (UNIFICADO)
	 A	equação	da	circunferência	cuja	representação	cartesia-
na	está	indicada	pela	figura	acima	é:
a)	 x2	+	y2	–	3x	–	4y	=	0
b)	 x2	+	y2	+	6x	+	8y	=	0
c)	 x2	+	y2	+	6x	–	8y	=	0
d)	 x2	+	y2	+	8x	–	6y	=	0
e)	 x2	+	y2	–	8x	+	6y	=	0
16 (OGLOBO) Considerando	todos	pares	de	números	reais	
(x,	y)	que	satisfazem	a	x2	+	y2	–	6x	–	6y	+	12	=	0,	o	
maior	valor	possível	de	y/x	é:
a)	 3	+	2 	 	 	 b)	 2	+	
c)	 3 d) 6
e)	 6	–	
17 (UERJ) Sejam	x	e		y	números	naturais	(x	≥	0;	y	≥	0).	
A	quantidade	de	pares	ordenados	(x,	y)	tais	que	0	<	x2 
+	y2	<	25	é	igual	a:
a)	 19	 	 	 	 b)	 20
c)	 21	 	 	 	 d)	 23
e) 25
18 (UNIRIO)	A	melhor	representação	de	x2	+	y2	–	6|x|=7,	
no	plano	XOY,	é:
a) 	 b)	
c)	 d) 
e) 
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19 (PUC) Sejam	R	e	S	as	regiões	do	plano	delimitadas	pelos	
círculos	de	equações	x2	+	y2	=	1	e	(x	–	1)2	+	y2 = 1, 
respectivamente.	A	área	de	R∩S	é:
a) 		 	 b)	 p/2
c)	 d) 
e) 
20 A	transmissão	de	mensagens	codificadas	em	tempos	de	
conflitos	militares	é	crucial.	Um	dos	métodos	de	cripto-
grafia	mais	antigos	consiste	em	permutar	os	símbolos	das	
mensagens.	Se	os	símbolos	são	números,	uma	permuta-
ção	pode	ser	efetuada	usando-se	multiplicações	por	ma-
trizes	 de	permutação,	 que	 são	matrizes	 quadradas	 que	
satisfazem	as	seguintes	condições:
•	 cada	coluna	possui	um	único	elemento	igual	a	1	(um)	e	
todos	os	demais	elementos	são	iguais	a	zero;
•	 cada	 linha	possui	um	único	elemento	 igual	a	1	 (um)	e	
todos	os	demais	elementos	são	iguais	a	zero.
	 Por	 exemplo,	 a	 matriz	 	 permuta	 os	 ele-
mentos	 da	 matriz	 coluna	 ,	 transformando-a	 na	
matriz ,	pois	P	=	M	.	Q.
	 Pode-se	afirmar	que	a	matriz	permuta	 ,	transforman-
do-a em ,	é:
a) 	 	 	 b)	
c)	 d) 
e) 
 
21 Em	computação	gráfica,	o	sistema	RGB	identifica	uma	cor	a	
partir	de	três	números	R,	G	e	B	que	especificam,	respectiva-
mente,	as	quantidades	de	vermelho	(Red),	verde	(Green)	e	
azul	(Blue)	que	compõem	a	cor.	Outro	sistema	de	identifica-
ção	de	cores	é	o	NTSC	(usado	em	TV).	Nesse	sistema,	uma	
cor	 também	é	definida	por	 três	números:	Y	(luminância),	
I	 (sinal	em	fase)	e	Q	(quadratura).	Os	dois	sistemas	estão	
relacionados	através	da	seguinte	equação	matricial:
	 Se	0	<	R	< 1, 0 <	G	< 1 e 0 <	B	<	1,	então:
a) 0 <	Y	< 1, 0 <	I	< 1 e 0 < Q < 1
b)	 0	<	Y	<	1,	–0,596	<	I	<	0,596	e	–0,523	< Q < 0,523
c)	 0	<	Y	< 0,299, 0 <	I	< 0,596 e 0 < Q < 0,211
d)	 0,114	<	Y	<	0,587,	–0,322	<	I	<	0,596	e	–0,523	< Q < 0,312
e) 0,211 <	Y	<	0,596,	–0,523	<	I	<	0,587	e	–0,322	< Q < 0,312
22 A	palavra	“perímetro”	vem	da	combinação	de	dois	ele-
mentos	gregos:	o	primeiro,	perí,	significa	“em	torno	de”,	
e	o	segundo,	metron,	significa	“medida”.
	 O	perímetro	do	trapézio	cujos	vértices	têm	coordenadas	
(–1,	0),	(9,	0),	(8,	5)	e	(1,	5)	é:
a)	 10	+	 	+	
b)	 16	+	 	+	
c)	 22	+	 
d)	 17	+	2
e)	 17	+	 	+	
23	 Na	década	de	1940,	o	estatístico	P.	H.	Leslie	propôs	um	
modelo	usando	matrizes	para	o	estudo	da	evolução	de	
uma	 população	 ao	 longo	 do	 tempo.	 Se,	 por	 exemplo,	
x(t)	 e	 y(t)	 representam	 a	 distribuição	 de	 indivíduos	 no	
ano	t	em	duas	faixas	etárias,	no	modelo	de	Leslie,	a	dis-
tribuição	de	indivíduos	x(t	+	1)	e	y(t	+	1)	no	ano	t	+	1,	
nessas	mesmas	duas	faixas	etárias,	é	dada	por:
	 As	constantes	a e b	representam	as	fertilidades	em	cada	
faixa	etária	e	a	constante	p	representa	a	taxa	de	sobrevi-
vência	da	primeira	faixa	etária.
	 Se	a	=	0;	b	=	10;	p	=	0,1;	e	sabendo	que	x(0)	=	2000	
e	y(0)	=	200;	então	a	distribuição	de	indivíduos	no	ano	
t	=	10	é	dada	por:
a)	 x(10)	=	20	000	e	y(10)	=	2	000
b)	 x(10)	=	2	000	e	y(10)	=	200
c)	 x(10)	=	2	00010	e	y(10)	=	20010
d)	 x(10)	=	2	000	.	1010	e	y(10)	=	200	.	1010
e)	 x(10)	=	2	000	.	1010	e	y(10)	=	200	.	1010
24	 Embora	não	compreendam	plenamente	as	bases	 físicas	
da	vida,	os	cientistas	são	capazes	de	fazer	previsões	sur-
preendentes.	 Freeman	 J.	Dyson,	por	 exemplo,	 concluiu	
que	a	vida	eterna	é	de	fato	possível.	Afirma	que,	no	en-
tanto,	para	que	tal	fato	se	concretize	o	organismo	inteli-
gente	precisa	reduzir	a	sua	temperatura	interna	e	a	sua	
velocidade	de	processamento	de	informações.	Conside-
rando-se	v	a	velocidade	cognitiva	(em	pensamentos	por	
segundo)	e	T	a	temperatura	do	organismo	(em	graus	
Kelvin),	Dyson	explicitou	a	relação	entre	as	variáveis	
x	=	log10T	e	y	=	log10v	por	meio	do	gráfico	a	seguir:
287Volume 03 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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 2
 
	 Sabendo-se	que	o	gráfico	da	figura	está	contido	em	uma	
reta	que	passa	pelos	pontos	A	=	(5/2,0)	e	B	=	(–15,–17),	
assinale	a	alternativa	que	contém	a	equação	que	descre-
ve	a	relação	entre	x	e	y.
a)	 y	=	34/35	x	–	17/7
b)	 y	=	x	–	5/2
c)	 y	=	34/30	x	–	17/5
d)	 y	=	5/2	x	–	17/5
e)	 	y	=	34/35	x	+	5/2
25	 A	Segunda	Guerra	Mundial	motivou	o	estudo	de	vários	
problemas	 logísticos	 relacionados	 com	o	 transporte	e	a	
distribuição	 de	 recursos.	 Muitos	 destes	 problemas	 po-
dem	ser	modelados	como	um	programa	linear.	Como	um	
exemplo	 de	 programa	 linear,	 considere	 o	 problema	de	
encontrar	o	par	ordenado	(x,y)	que	satisfaz	simultanea-
mente	as	condições:	–2x	+	y	>	0,	x	>	0,	x	–	y	>	–2.
	 Se	 (x0,y0)	 é	 a	 solução	deste	 programa	 linear,	 é	 correto	
afirmar	que:
a)	 x0	+	y0	=	7
b)	 x0	+	y0 = 6
c)	 x0	+	y0 = 8
d)	 x0	+	y0 = 2
e)	 x0	+	y0 = 0
26	 A	adição	de	biodiesel	ao	óleo	promove	pequenas	modifi-
cações	nas	propriedades	do	combustível	as	quais,	apesar	
de	causarem	redução	na	quantidade	de	energia	fornecida	
ao	motor,	promove	um	aumento	na	eficiência	com	que	
esta	é	convertida	em	potência	de	saída.
	 O	gráfico	a	seguir,	representado	por	um	segmento	de	reta	
que	une	o	ponto	(30,–8)	à	origem	(0,0),	apresenta	a	va-
riação	V	da	energia	fornecida	ao	motor	com	relação	ao	
padrão	diesel	 (em	%)	como	função	da	proporção	P	de	
adição	de	biodiesel	na	mistura	(em	%).
Adaptado de Scientific American,
Ano 5, Número 53, Outubro de 2006.
	 Assinale	a	única	opção	correta:
a)	 V(22)	=	[V(2)]2 b)	 V(2)	<	V(8)
c)	 V(8)	=	4V(2)	 	 d)	
e)	 V(8)	=	V(2)	.	V(4)
 
27	 Toda	media	 de	 desigualdade	 é	 uma	 forma	 de	 agregar	
diferenças	de	renda	entre	toda	a	população	em	um	indi-
cador	escalar.	Um	dos	índices	de	desigualdade	mais	utili-
zado	é	o	Coeficiente de Gini.	Sua	construção	é	baseada	
numa	curva	denom	Curva de Lorenz,	a	qual	é	obtida	a	
partir	da	ordenação	das	pessoas	segundo	o	seu	nível	de	
renda.	As	pessoas	são	dispostas	de	forma	crescente	com	
suas	rendas.	A	figura	a	seguir	 ilustra	uma	Curva	de	Lo-
renz,	relacionando	a	fração	acumulada	da	renda	(Φ)	com	
a	fração	acumulada	da	população	(p).
 
 O coeficiente de Gini	é	definido	como	o	dobro	da	área	
da	região	α	limitada	pela	curva	de	Lorenz	(a	que	forma	
um	arco	na	figura)	e	a	diagonal	Φ	=	p	do	quadrado	de	
vértices	(0,0),	(1,0),	(1,1)	e	(0,1).
	 Considerando	que	a	Curva	de	Lorenz	na	figura	acima	é	
o	arco	de	círculo	com	centro	no	ponto	(0,1),	que	une	os	
pontos	(0,0)	e	(1,1),	pode-se	afirmar	que	o	Coeficiente	
de	Gini	é	igual	a:
a) p/2
b)	 p	–	1
c)	 7p/4
d) p/4
e) p/2	–	1
28	 Nos	 processos	 de	digitalização,	 imagens	 podem	 ser	 re-
presentadas	por	matrizes	cujos	elementos	são	os	algaris-
mos	0	e	1.
	 Considere	que	a	matriz	linha	L	=	(1	0	1	0	0	1)	representa	
a	figura	a	seguir:
	 onde	1	representa	“quadrinho”	vermelho	e	0	representa	
“quadrinho”	branco.
	 Seja	X	a	matriz	linha	dada	por	X	=	LM,	onde	M	é	a	ma-
triz	M	=	(mij)	com:
288 Volume 03 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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	 Dessa	forma,	a	matriz	X	representa	a	figura	da	opção:
a)
b)
c)
d)
e)
29 Um	dispositivo	eletrônico,	usado	em	segurança,	modifica	
a	senha	escolhida	por	um	usuário,	de	acordo	com	o	pro-
cedimento	descrito	abaixo.
	 A	 senha	 escolhida	 S1S2S3S4	 deve	 conter	 quatro	 dígitos,	
representados	por	S1,	S2,	S3	e	S4.
	 Esses	dígitos	 são,	 então,transformados	nos	dígitos	M1, 
M2, M3	e	M4,	da	seguinte	forma:
 
	 Se	a	senha	de	um	usuário,	já	modificada,	é	0110,	isto	é,	
M1 = 0, M2 = 1, M3 = 1 e M4	=	0,	pode-se	afirmar	que	
a	senha	escolhida	pelo	usuário	foi:
a) 0011
b)	 0101
c)	 1001
d) 1010
e) 1100
30 Em	um	sistema	de	coordenadas	cartesianas	retangulares	
Oxy,	a	curva	plana	de	equação ,	sendo	R	uma	
constante	 real	 positiva,	 é	 conhecida	 como	 feiticeira	 de	
Agnesi	em	homenagem	à	cientista	Maria	Gaetana	Agnesi.
	 Pode-se	afirmar	que	esta	curva:
a)	 está	situada	abaixo	do	eixo	x;
b)	 é	simétrica	em	relação	ao	eixo	y;
c)	 é	simétrica	em	relação	à	origem;
d)	 intercepta	o	eixo	x	em	dois	pontos;
e)	 intercepta	o	eixo	y	em	dois	pontos.
Módulo 17
exercícioS de fixAção
01	 A	matrix	2x2	apresenta	1	< i < 2 e 1 < j <	2.
02	 a)	Não	é	possível	efetuar	2C	–	D,	pois	a	ordem	de	C	é	2x3	e	a	ordem	de	
D	é	3x3.
	 b)	2Dt	–	3Et = 
	 c)	D2	–	DE	=	
03 a) 
	 b)	 	Não	é	possível	calcular	BA.
	 c)	
04 
QueStõeS objetivAS
01	 Letra	A.	 	 	 02	 Letra	B.
03	 Letra	C.	 	 	 04	 Letra	A.
05	 Letra	B.
QueStõeS diScurSivAS
01	 Quem	mais	telefonou	foi	Bruna	e	quem	recebeu	mais	ligações	foi	Adriana.
02	 a)	instante	3	do	dia	5.	 b)	37,3ºC
03	 x	+	y	+	z	=	–1	+	2	+	4	=	7
04 m = 2
Módulo 18
exercícioS de fixAção
01	 a)	x	=	9/4	 	 	 b)	–3/2
02	 x	=	4
03	 a)	20	 	 	 	 b)	–100
	 c)	40	 	 	 	 d)	–60
QueStõeS objetivAS
01	 Letra	D.	 	 	 02 
03	 Letra	E.	 	 	 04	 Letra	D.
QueStõeS diScurSivAS
01 
02	 x1	+	x2 = 5 03	 det	A	=	e
a+d	–	eb+c = 0
Módulo 19
exercícioS de fixAção
01 a) 
	 b)	–12	→	Im	possível	→	S	=	{	}
02 a ≠	–1/2
03	 a)	S	=	{1,	1,	1}.	O	sistema	é	possível	e	determinado.
	 b)	S	=	1,	2,	3}	O	sistema	é	possível	e	determinado.
	 c)	Sistema	não	possui	solução.
 d) .	O	sistema	é	possível	e	determinado.
04	 325km.
QueStõeS objetivAS
01	 Letra	C.	 	 	 02 
03	 Letra	B.	 	 	 04	 Letra	E.
05	 Letra	C.	 	 	 06	 Letra	C.
QueStõeS diScurSivAS
01	 1	copo;	3	colheres
02	 Hamburguer:	R$	4,00;	Suco:	R$	2,50;	Cocada:	R$	3,50
03	 R$	6,50	 	 	 04	 S	=	{(1,	2,	2)}
QueStõeS eneM
01	 Letra	A.
Módulo 20
exercícioS de fixAção
01	 a)	(–3,	31/2)	 	 	 b)	(–2,	–6)
289Volume 03 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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02	 (5/3,	14/3)	 	 	 03 
04	 a)	(7/4;	9/2)	 	 	 b)	(7/6;	10/3)
	 c)	(11/7;	29/7)
QueStõeS objetivAS
01	 Letra	D.	 	 	 02	 Letra	B.
03	 Letra	A.	 	 	 04	 Letra	A.
05	 Letra	D.	 	 	 06	 Letra	D.
QueStõeS diScurSivAS
01 
02 
03	 (4,8;	2,4)
04	 B	=	(2 ,	2)	e	C	=	(0,	4)
Módulo 21
exercícioS de fixAção
01	 a)	P(–1/2,	2)	 	 	 b)	P(3,0)
	 c)	P(–6,3)
02	 y	=	2x	–	6	 	 	 03	 y	=	–x	+	5
04	 y	=	x	+	1	 	 	 05	 y	=	5/2	x	–	5
QueStõeS objetivAS
01	 Letra	A.	 	 	 02	 Letra	C.
03	 Letra	D.	 	 	 04	 Letra	A.
QueStõeS diScurSivAS
01	 y	=	–x	+	7			ou			y	+	x	–	7	=	0
02	 y	=	–	4x/3	+	2			ou			4x	+	3y	–	6	=	0
03	 P	=	(1/2,	0)
04	 y	=	x/4	–	6			ou			x	–	4y	–	24	=	0
Módulo 22
exercícioS de fixAção
01 /5
02	 4 /5
03 2 13
QueStõeS objetivAS
01	 Letra	D.
QueStõeS diScurSivAS
01	 4	u.a.
Módulo 23
exercícioS de fixAção
01 a) 
	 b)	
	 c)	
02	 a)	Reduzida:	(x	+	2)2	+	(y	–	2)2 = 22
	 Geral:	x2	+	4x	+	4	+	y2	–	4y	+	4	–	4	=	0
	 x2	+	y2	+	4x	–	4y	+	4	=	0
	 b)	Reduzida:	(x	–	1)2	+	(y	+	4)2 = 12
	 Geral:	x2	–	2x	+	1	+	y2	+	8y	+	16	–	1	=	0
	 x2	+	y2	–	2x	+	8y	+	16	=	0
03	 x2	+	y2	–	2x	–	6y	–	22	=	0
04 12
QueStõeS objetivAS
01	 Letra	B.
02	 Letra	D.
03	 Letra	C.
04	 Letra	E.
05	 Letra	C.
06	 Letra	C.
QueStõeS diScurSivAS
01 a) 
	 b)	
02	 a)	(x	–	1)2	+	(y	–	2)2	=	1,	0	<	x	<	2	e	2	<	y	< 3
	 b)	p
03	 (x	–	1)2	+	(y	–	1)2	=	( )2			ou			(x	–	1)2	+	(y	–	1)2 = 2
04	 k	=	1/8
Módulo 24
exercícioS de fixAção
01	 a)	distância	focal	=	2;	excentricidade	=	 /2;	Área	=	 p.
	 b)	distância	focal	=	2;	excentricidade	=	1/2;	Área	=	2 p.
02	 a)	(2,1)	 	 	 b)	eixo	x.
	 c)	eixo	y.	 	 	 d)	24
	 e)	12/13	 	 	 f)	65p
03	 a)	Centro:	(4,1);	excentricidade	=	 /3;	Área	=	 p.
	 b)	Não	representa	uma	elipse.
04 
QueStõeS objetivAS
01	 Letra	D.
02	 Letra	A.
03	 Letra	B.
04	 Letra	A.
05	 Letra	C.
06	 Letra	C.
QueStõeS diScurSivAS
01	 a)	(0,	–1)	ou	(8/5,	3/5)
02 cm	e	1cm
03	 60cm
04 21p	u.a.
QueStõeS coMpleMentAreS
01	 Letra	A.
02	 Letra	A.
03	 Letra	E.
04	 Letra	A.
05	 Letra	B.
06	 Letra	B.
07	 h	=	2	unidades
08	 Letra	B.
09	 Letra	D.
10	 Letra	B.
11	 Letra	B.
12	 Letra	D.
13	 Letra	C.
14	 Letra	C.
15	 Letra	C.
16	 Letra	A.
17	 Letra	C.
18	 Letra	C.
19	 Letra	A.
20	 Letra	A.
21	 Letra	B.
22	 Letra	E.
23	 Letra	B.
24	 Letra	A.
25	 Letra	B.
26	 Letra	C.
27	 Letra	E.
28	 Letra	B.
29	 Letra	C.
30	 Letra	B.
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290 Volume 03 • 3ª Série • Pré-Vestibular
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