Estudo dirigido - Parábolas + gabarito

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d
F
PARÁBOLA
P
1 CURSOS DE ENGENHARIA 
 DISCIPLINA: GEOMETRIA ANALÍTICA 
 PROFESSORA: Rosely Bervian DATA: _____ / _____ / _____ 
 ALUNO(A):__________________________________________________________ 
 
ESTUDO DIRIGIDO - PARÁBOLA 
 
1) DEFINIÇÃO 
A parábola é o lugar geométrico1 dos pontos do plano eqüidistantes de uma reta fixa d e de um 
ponto fixo F não pertencente à referida reta. 
A reta fixa d é denominada diretriz e o ponto fixo F é denominado foco. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P pertence à parábola se, e somente se, d(P,F) = d(P,d). 
 
2) ELEMENTOS DA PARÁBOLA 
• A reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz é chamada _________________. 
• O ponto de interseção do eixo com a parábola é chamado _______________________. 
• Um segmento que liga um ponto da parábola ao foco é chamado _________________ 
desse ponto. 
 
1
 Lugar geométrico é o conjunto de pontos tais que todos eles e só eles possuem uma dada propriedade. 
 
 
 Profa. Rosely Bervian 
 
 
d
F
P
l
V
VV
A
B
D
C
L
R
• Um segmento que liga dois pontos distintos da parábola é chamado de ____________. 
• Uma corda que passa pelo foco é chamada _____________________. 
• A corda focal que é perpendicular ao eixo é chamada _____________________. 
• A distância entre o foco e a diretriz é chamada ___________________. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) EQUAÇÕES REDUZIDAS DA PARÁBOLA 
1º TIPO: Parábola de vértice na origem e eixo coincidindo com o eixo Ox. 
 
 Neste caso, o foco pertence ao eixo Ox; sejam (p,0) 
suas coordenadas. Deste modo, a equação da diretriz d é 
x = - p. 
 Seja P(x,y) um ponto qualquer da parábola. 
 Então, pela definição de parábola, o ponto P deve 
satisfazer à seguinte condição: 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
y
P(x,y) 
F(p,0) 
D(- p,y) 
d 
 Profa. Rosely Bervian 
 
 
 Logo, 
 
_______________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
Observação: 
Se 0, então a concavidade da parábola é voltada para a direita.
Se 0, então a concavidade da parábola é voltada para a esquerda.



p
p
 
 
 
2º TIPO: Parábola de vértice na origem e eixo coincidindo com o eixo Oy. 
 
 
Neste caso, o foco pertence ao 
eixo Oy; e assim suas 
coordenadas são (0,p). Deste 
modo, a equação da diretriz d 
é y = - p. 
De modo semelhante ao que 
foi feito anteriormente, 
obtemos a seguinte equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
Se 0, então a concavidade da parábola é voltada para cima.
Se 0, então a concavidade da parábola é voltada para baixo.
p
p



 
x
y
D(x,- p) 
P(x,y) 
F(0, p) 
d 
 Profa. Rosely Bervian 
 
 
3º TIPO2: Parábola de vértice no ponto (h,k) e eixo paralelo ao eixo Ox. 
 
 
 
 
 
 
O foco F tem coordenadas (h + p , k), a diretriz d tem 
equação x = h – p e o eixo focal l tem equação y = k. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos considerar um sistema auxiliar xOy, obtido 
por uma translação do sistema xOy, de modo que a 
nova origem O coincida com o vértice da parábola 
V(h,k). Observe que, agora, o eixo da parábola 
coincide com o eixo Ox. Com relação a esse novo 
sistema, a equação da parábola é 
 
 
 
 
 
 
 
As equações de translação são: 
'
'
x x h
y y k
 

 
. Substituindo na equação anterior, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
2 O 1º tipo é um caso particular do 3º. tipo, quando h = 0 e k = 0. 
x
y
F V 
d 
l 
x
y
V  O’ F x’ 
y’ 
h 
k 
 Profa. Rosely Bervian 
 
 
4º TIPO3: Parábola de vértice no ponto (h,k) e eixo paralelo ao eixo Oy. 
 
 
 
 
 
 
 
O foco F tem coordenadas (h, p+k), a diretriz d tem 
equação y = k – p e o eixo focal l tem equação x = h. 
 
 
 
 
 
 
 
 
De modo semelhante ao que foi feito anteriormente (3º. tipo), obtemos a seguinte equação: 
 
 
 
 
 
 
Observação: Comprimento do latus rectum 
 
 
 
 
 Considere uma parábola de equação y2 = 4px. Fazendo x = p, 
 obtemos y =  2p. Então, os extremos do latus rectum são os 
 pontos L(p,2p) e R(p,-2p) e, assim, o comprimento do latus 
 rectum (c.l.r.) é dado por: 
 
        
22 2
, 2 2 4 4d L R x x p p p p       
 
 
 Portanto, . 
 
 
 
 
 
3 O 2º tipo é um caso particular do 4º.tipo, quando h = 0 e k = 0. 
. . . 4c l r p
x
y
V 
F 
d 
l 
x
y
V F 
L 
R 
 Profa. Rosely Bervian 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
Questão 1. Em cada um dos seguintes itens, determine a equação reduzida da parábola a partir dos 
elementos dados: 
 
a) Um ponto da diretriz é (4,7), vértice na origem e o eixo focal é Ox. 
b) Diretriz d: x – 1 = 0, eixo focal l: y + 2 = 0 e o ponto L(–3,2) é uma das extremidades do seu 
latus rectum. 
c) V(1,2), eixo focal paralelo ao eixo Ox e P(–7, –6) é ponto da parábola. 
d) Extremidades do latus rectum L(–2,1) e R(6,1). 
e) Eixo focal l: x + 4 = 0, diretriz d: y = 3 e foco sobre a reta r: y = –x – 5. 
f) Diretriz d: y + 2 = 0 e V(–1,2) 
 
 
Questão 2.Determine as coordenadas do vértice, do foco, as equações da diretriz e do eixo focal e 
o comprimento do latus rectum de cada uma das seguintes parábola: 
 
a) (y – 2)2 = –4(x + 1) c) y2 – 8y – 16 y + 32 = 0 
b) x2 – 6x – 12y + 33 = 0 d) 4x2 – 48y – 20x – 71 = 0 
 
 
Questão 3. Um cometa se desloca numa órbita parabólica tendo o Sol como foco. Quando o 
cometa está a 4 x 104 km do Sol, a reta que os une forma um ângulo de 60 com o eixo da órbita. 
Determine a menor distância que o cometa estará do Sol. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Profa. Rosely Bervian 
 
 
Respostas 
 
Q1. a) y2 = –16x b) (y + 2)2 = –8(x + 1) c) (y – 2)2 = –8(x – 1) 
 d) (x – 2)2 = –8(y – 3) e) (x + 4)2 = –8(y – 1) f) (x + 1)2 = 16(y + 2) 
 
Q2. a) Vértice V(–1,2), Foco (–2,2), eixo focal: y = 2, diretriz: x = 0, latus rectum = 4 
 b) Vértice V(3,2), Foco (3,5), eixo focal: x = 3, diretriz: y = –1, latus rectum = 12 
 c) Vértice V(1,4), Foco (5,4), eixo focal: y = 4, diretriz: x = –3, latus rectum = 16 
 d) Vértice V
5
, 2
2
 
 
 
, Foco 
5
,1
2
 
 
 
, eixo focal: 2x – 5 = 0, diretriz y = –5, latus rectum = 12 
 
Q3. A distância é igual a 104 km.