RESUMO DAS QUESTOES DE CALCULO III

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Determine a parametrização da cicloide 
 
 
(-sent, cos t) 
Determine a parametrização da circunferencia centrada na origem e raio r 
x(t) = r cos t y(t) = r sen t 
Determine a parametrização para y = x2 - 4 (use a parametrização natural) 
f (t) = (t, t2 -4) 
Seja a função σ(t) contínua no intevalo I, o ponto final P do vetor σ(t)=(x(t),y(t),z(t)) descreve a cuva 
C no R3 para cada t ∈ I . Obtemos um ponto P= (x,y,z) ∈ C onde x= x(t), y = (t) e z = z(t). Esta 
equação é dita equação parametrica da curva C e t é o parâmetro. Podemos afirmar sobre a 
parametrização de uma curva que: 
A parametrização de uma curva não é única. 
Determine a parametrização natural da equação da reta y = 6x + 9. 
(t) = (t ,6t+9). 
Determine a parametrização da hélice circular sabendo que é a curva descrita por um ponto P = 
(x,y,z) que se move em torno do eixo z mantendo uma distância constante a > 0 desse eixo. 
Sabemos também que simultaneamente ela se move paralelamente ao eixo z de modo que sua 
terceira componente é proporcional ao ângulo de rotação com constante de proporcionalidade b≠ 0. 
Considerando o início do movimento em P = (0,0,0). 
 
 
Determine o comprimento do caminho percorrido por um carro que se move ao longo de uma 
estrada cuja equação vetorial é (et cos t, et sen t) durante o tempo t1 = 0 a t2 = 3. 
(2)1/2(e3 -1) 
Dada a função  (t) = (t2 , cos t, t3) então o vetor derivada será? 
 (2t , - sen t, 3t2) 
Sabendo que a parametrização da hélice C é determinada por r(t) = (cos 2t, sem 2t, 4t), t ∈ [0,4π], 
determine o comprimento da hélice C. 
4 √20 π 
Sabendo que s(t) = ( cos t , sen t, 2) representa o vetor posição de uma partícula que se move em 
cada instante t. Determine o vetor velocidade V(t) e o vetor aceleração A(t). 
V(t) = (- sen t, cos t, 0) e A(t) = ( - cos t, - sen t, 0) 
Determine o limite da função (t , cos t, (8-t3)/(4-t2)) quando t tende a 2. 
(2,cos 2, 3) 
Sabendo que s(t) = ( 5 + cos 3t , 5 + sen 3t) representa o vetor posição de uma partícula que se 
move em cada instante t. Determine o vetor velocidade V(t) e o vetor aceleração. 
V(t) = ( - 3 sen 3t , 3 cos 3t) e A(t) = ( - 9 cos 3t, - 9 sen 3t) 
Dada a seguinte equação Z=((3t)²−4t)i+(1+2t)j+2tk , as equações paramétricas que representa ela 
são: 
 x = ((3t)²−4t) e y = (4t)²+2t e Z = 2t 
Sabendo que a circunferencia de raio r tem como parametrização s = ( r cos t, r sen t) , 0 ≤ t ≤ 2 π. 
Determine o comprimento desta circunferência. 2π r 
Determine respectivamente os vetores velocidade, velocidade escalar e aceleração correspondes a 
função (4 + cos 2t, 2 + sen 2t) esta representa a posição de uma partícula. 
V(t) = (-2 sen 2t, 2 cos 2t), v(t)= 2 e A(t) = (-4cos 2t, -4 sen 2t) 
 
 
 
 
 
Dada a função  (t) = (t2 , cos t, t3) então o vetor derivada será? (2t , - sen t, 3t2) 
 
 N(t) = -senti-costj 
Dois carros R1 e R2 percorrem, respectivamente , as estradas A e B, tendo seus movimentos 
descritos por s1(t) = (10 t , 50 t^2 ) e s2(t) ( 7 t , 70 t - 50) , t >= 0 (maior ou igual a zero). 
Observandol o tempo que cada carro chega ao ponto P conclua quem chega primeiro. 
O carro R1 chega primeiro de que o carro R2 
Calcular a reta tangente para a curva (t) = (t3,t2, t) no ponto P=(1,1,1) 
x(t) = 3t+1 y(t)= 2t+1 z(t)= t+1 
Dois carros R1 e R2 percorrem, respectivamente , as estradas A e B, tendo seus movimentos 
descritos por s1(t) = (10 t , 50 t^2 ) e s2(t) ( 7 t , 70 t - 50) , t >= 0 (maior ou igual a zero). Sabendo 
que o limite de velocidade na estrada onde os carros estão percorrendo é de 80 Km/h, determine se 
algum dos carros será multado e se for o caso qual deles será multado. 
O carro R1 será multado. 
Analisando a equação z = sen y podemos afirmar que: 
I - O gráfico é um plano. 
II - o gráfico é um cilindro. 
III - A diretriz do cilindro no plano yz tem como equação z = sen y. 
IV - A geratriz do cilindro paralela ao eixo x. 
 Podemos afirmar que I é falsa e II, III e IV são verdadeiras. 
 
Analisando a equação 2x + 3 y + 4z = 12 podemos afirmar que: 
I - o traço no plano xy é dada por 2x+ 3y = 12. 
II - o traço no plano yz é dado por 3y + 4z= 12 
III - o traço no plano xz é dado por 2x + 4z = 12 
IV - Temos (6,0,0) como interseção com o eixo x, (0,4,0) interseção com o eixo y e (0,1 , 3) 
interseção com o eixo z. 
I, II, III são verdadeiras e IV é falsa 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( -3, 2, 5 ) e tem N = < 6, -3, -2 
> como vetor normal? 
6x - 3y - 2z + 34 = 0 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos ( 3, 0, 0 ), ( 0, 3, 0 ) e ( 0, 
0, 3 ) ? 
 x + y + z - 3 = 0 
 
Seja 4y + 2z - 12 = 0. Esta equação define 
Um plano paralelo ao eixo x, interceptando o eixo y em (0,3,0) e z em (0,0,6). 
 
Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos ( 4, 0, 0 ), ( 0, 2, 0 ) e ( 0, 
0, 1 ) ? x + 2y + 4z - 4 = 0 
Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( 0, -1, 2 ) e tem N = < 0, 1, -1 
> como vetor normal? y - z + 3 = 0 
Determine o traço do elipsóide no plano xy Plano xy - Elipse 
Considere a superfície de revolução obtida pela rotação de z = x2 em torno do eixo z. Podemos 
afirma que: 
I - z = x2 é uma parábola e a superfície de revolução obtida pela rotacao desta parábola em torno do 
eixo z é um parabolóide circular. 
II - z = x2 é uma parábola e a superfície de revolução obtida pela rotacao desta parábola em torno 
do eixo z é um cone. 
III - z = x2 é uma reta e a superfície de revolucoa obtida pela rotacao desta parábola em torno do 
eixo z é um cone. 
 I é verdadeira . II e III são falsas 
Qual das equações abaixo representa um hiperbolóide elíptico de uma folha? 
9x2 - 4y2 + 36z2 = 36 
Identifique a superfície quadrática representada pela equação: 2 x2 + 4 y2 + z2 - 16 = 0 
Elipsoide 
 
Qual das parametrizações abaixo é a parametrização da elipse (x/a)2 +(y/b)2= 1, x maior ou igual a 
zero. 
(a cos t, b sen t) x > = -pi/2 e x < = pi/2 
 
Identifique a opção que relaciona figura e equação de forma correta 
 
 
Podemos afirmar que: 
I - (x2 / a2) +(y2 / b2) - (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy é a elipse x2 / a2) +(y2 / 
b2)= 1 
 II - (x2 / a2) +(y2 / b2) + (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xy é a elipse x2 / a2) 
+(y2 / b2)= 1 . 
III- (x2 / a2) +(y2 / b2) - (z2 / c2) = 1 é um hiperbolóide de uma folha e o traço xz é a hiperbole x2 / a2) 
-(z2 / c2)= 1 
I e III sao verdadeiras e II falsa. 
 
A representação grafica do domínio da função f dada por 
f(x,y) = (y-x)1/2 + (1-y)1/2 
 
 
 
Descreva o domínio da função z=(x+y-2)1/2 
 
Determine caso exista o limite da função (-x3+y3)/(x3+y3) quando (x,y) tende a (0,0). 
O limite não existe 
 
Determine caso exista o limite da função (x2y)/(x2+y2) quando (x,y) tende a (0,0). 
tende a zero 
Considere a função de produção P = L 0,5 K 0,5 , em que L representa o trabalho envolvido e K o 
capital. As curvas de nível c = 1 e c = 2 são: 
 
 
Seja f(x,y) = 5xy + 3 x2 . Verifique o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende a (1,1). 
O limite será 8. 
Determine caso exista o limite da função (-x3+y3)/(x3+y3) quando (x,y) tende a (1,2). 
7/9 
Seja f(x,y) = xy + 3 xy2. Verifique o limite da função f(x,y) quando (x,y) tende a (1,2). 
O limite será 14. 
Sabendo que a função que satisfaz a equação de Laplace é dita harmônica. Com base nessa 
definição analise a função f(x,y) = ln (x2 + y2) e conclua se f(x,y) é harmônica. 
A função é harmonica pois satisfaz a equacao de Laplace 
Seja f(x,y) = 2xy - 4y. Calcule fx e fy 
 fx = 2y e fy = 2x - 4 
Um trem sai de SP. A equação que representa a posição dos trens são TRJ=(-t,t2) com t maior ou 
igual a zero. Determine a velocidade escalar mínima do trem v(t) = 1 
Dada a função de várias váriáveis f(x,y) = 2 x2 y2 - 3y, determine o limite de f(x,y) quando (x,y) tendea (-1,2). 
O limite será 2. 
Suponha f(x,y) ≤ g(x,y) ≤ h(x,y) e o limite de f(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) e o limite de 
h(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) podemos afirmar que: 
 limite de g(x,y) é igual a 5 quando (x,y) tende a (0,0) 
Podemos afirmar sobre a parametrização de uma curva que: 
A parametrização de uma curva não é única. 
Determine as derivadas parciais fxx e fxy da função f(x,y) = 
 
Seja a função f(x,y) = (3 y2 ) / (x+ y). Calcule o limite da função f(x,y) quando (x, y) tende a (-1,2). 
o Limite será 12. 
F = (x+y)/(x-y) tem domínio D todos os pares ordenados (x,y)  R2 , tais que: 
 
Determine a taxa e variação de f (x,y,z) = xz/ (x2+y2 + 1) no ponto (1,0, -1) na direção do vetor u = r ' 
(t) onde r(t) = (t, 1 + 2t, -1 + t). √6 /12 
Determine a taxa de variação da função f(x,y,z) = xyz + e(2x+y) no ponto P = (-1,2,1) na direção do 
vetor u =(1,1, √2 ). 2 - √2 
Determine a taxa e variação de f (x,y,z) = xz/ (x2+y2 + 1) no ponto (1,0, -1) na direção do vetor u = r ' 
(t) onde r(t) = (t, 1 + 2t, -1 + t). √6 /12 
Determine a derivadas direcionais, para a função de duas variáveis f(x,y) = x2 y + y(1/2) , calcule a 
taxa de variação no Ponto P = (2,1) na direção do vetor u = (5, - 2) 11 / (29)(1/2) 
Seja a curva C definida por y = 2/x. Determine o raio de curvatura de C no ponto (2,1). 
O raio de curvatura é (5 sqrt(5) )/ 4 
Determine a equação cartesiana para x = t2 - 4 ; y = 1 - t ; y = - √x – 3 
Dada a função f(x,y) = 1/(xy) que representa uma superfície S no R 3. Determine os pontos dessa 
superfície S mais próximos de (0,0,0). 
Os pontos são: (1,-1,-1), (1,1,1), (-1,1,-1) e (-1,-1,1) 
Determine a curvatura da função y = x2 na origem 2 
Seja a função de várias variáveis f(x,y) = 1 + x2 + y2, analise a função e encontre seu ponto crítico. 
O ponto crítico será (0,0). 
Seja a função de várias variáveis f(x,y) = 2 x3 + y3 - 3x2 - 3y, analise a função e encontre o ponto 
crítico da função. 
 Temos como pontos críticos: (0,-1) (0,1), (1,1) e (1,-1) 
Determine a curvatura da elipse (x/2)2 +(y/3)2= 1 no ponto (0,3). 3/4 
Com relação a função f(x,y) = 3xy^2+x^3-3x, podemos afirmar que: 
O ponto (1,0) e ponto de Mínimo local. 
Qual das equações a seguir representa um plano que passa pelos pontos ( 5, 0, 0 ), ( 0, 3, 0 ) e ( 0, 
0, 2 ) ? 
 6x + 10y + 15z - 30 = 0 
Qual das equações a seguir representa um plano que contém o ponto ( 3, 1, 2 ) e tem N = < 1, 2, -3 
> como vetor normal? x + 2y - 3z + 1 = 0 
Resolva a equação diferencial abaixo por separação de variáveis. 
 
 
Usamos o Método dos Multiplicadores de Lagrange para resolvermos o seguinte problema: 
Minimizar x2 + y2 + z2 
Sujeito a: 2x + y + 3z = 6 
Determine a função Lagrangeana do problema dado. 
 L(x,y,λ) = x
2 + y2 + z2 - λ (2x + y + 3z - 6) 
Usamos o Método dos Multiplicadores de Lagrange para resolvermos o seguinte problema: 
Maximizar xy 
Sujeito a: x + 2y = 20 
Determine a função Lagrangeana do problema dado. L(x,y,λ) = xy - λ (x + 2y - 20) 
Determine a curvatura de um círculo de raio a, com centro na origem definida por (t) = (a cos t, a 
sen t), t pertencendo ao intervalo fechado de [0, 2] 1/a 
Uma casa retangular deve ser construída num terreno com a forma de triângulo. Aplicando o 
Método dos Multiplicadores de Lagrange chegamos ao seguinte sistema: 
y- λ = 0 
x - 2λ = 0 
-x - 2y + 20 = 0 
A partir deste sistema determine a área máxima possível para a casa. 50 m2 
Analisando as afirmações abaixo, classifique-as como verdadeira ou falsa. 
Podemos afirmar que: 
I : - ( x2/ a2) + ( y2/ b2) - ( z2/ c2) = 1 representa uma hipérbole de uma folha. 
II: - ( x2/ a2) + ( y2/ b2) - ( z2/ c2) = 1 representa uma hipérbole de duas folha. 
III: - ( x2/ a2) + ( y2/ b2) - ( z2/ c2) = 1 representa um cone elíptico. 
II é verdadeira. I e II são falsa. 
A função f(x,y) é dividida em duas partes: (-x3 +y3) ÷ (x3+y3) se (x,y)≠ (0,0) e 0 se (x,y) = (0,0). 
Determine se a função é contínua o (0,0) e o porque da afirmação. 
No ponto (0,0) a função não esta definida, portanto calculamos o limite quando (x,y) tende a (0,0) ao 
longo de cada caminho estipulado e concluímos que o limite não existia. Portanto não é contínua no 
ponto (0,0). 
Calcule o comprimento da hélice circular (cos t, sen t , t) , t no intervalo [0,2pi] 2pi (2) 1/2