Matemática - Pré-Vestibular Impacto - Sequências - P A - Definição e Termo Geral I

Prévia do material em texto

EG040308
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PA (DEFINIÇÃO E TERMO GERAL)
FAÇO IMPACTO - A CERTEZA DE VENCER!!!
 
PROFº: GEORGE 
Fa
le
 c
on
os
co
 w
w
w
.p
or
ta
lim
pa
ct
o.
co
m
.b
r 
VE
ST
IB
UL
AR
 –
 2
00
9 
 
 
CONTEÚDO 
A Certeza de Vencer 
04
3 
1. DEFINIÇÃO: 
 
 É toda seqüência numérica cujo quociente entre um 
termo qualquer (a partir de segundo) e seu antecessor é 
uma constante chamada razão – indicada por q. 
Escrevemos os termos de uma P.G. com o uso de índices 
que representam sua posição (ordem) na seqüência. 
 ( )...,a,...,a,...,a,a,a,a,a nk54321 
32 n
1 2 n 1
aa a
... q
a a a −
= = = = 
Onde: 
1a• é o primeiro termo; 
ka• é o termo que ocupa a posição k; 
na• é o termo que ocupa a posição n; 
1−• na é o termo anterior a na ; 
• k é menor que n ( )k n< . 
 
Observações: 
a) A denominação Geométrica é usada porque tomados 
três termos consecutivos, o do meio é média geométrica 
dos outros dois. 
Na P.G. (1, 2, 4, 8, ... ), temos: 
 
• O termo 4 é média geométrica entre 2 e 8, veja: 
8.24 = 
 
b) Numa progressão geométrica finita o primeiro e o 
último termo são chamados de extremos e seu produto é 
igual ao produto dos termos eqüidistantes a eles. 
Na P.G. (1, 2, 4, 8, 16), temos: 
Produto dos extremos: 1 . 16=16 
Soma dos eqüidistantes: 2 . 8=16 
O termo central 4 é eqüidistante dele mesmo, portanto 
temos o produto: 4 . 4=16 
 
c) Uma progressão geométrica de três e cinco termos 
pode ser escrita como segue: 
d) 
2
2
x x x, x, x.q e , , x, x.q, x.q
q qq
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
Onde x é o termo central e q é a razão da P.G. 
 
e) Uma progressão geométrica pode ser classificada 
em: 
 P.G. CRESCENTE: 1
1
a 0 e q 1
a 0 e 0 q 1
> >⎧⎨ < < <⎩ 
 P.G. DECRESCENTE: 1
1
a 0 e 0 q 1
a 0 e q 1
> < <⎧⎨ < >⎩ 
 P.G. CONSTANTE possui razão igual a 1 (q=1). 
 P.G. OSCILANTE possui termos consecutivos de 
sinais opostos (q<0). 
 
 
2. FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P.G. 
Podemos escrever qualquer termo (termo geral) de uma 
P.G. a partir do primeiro termo e da razão, através da 
fórmula: 
 
 
Onde: 
• na é o termo que ocupa a posição desejada n; 
• 1a é o primeiro termo; 
• q é a razão. 
 
3. EXPANSÃO DA FÓRMULA DO TERMO GERAL. 
A fórmula do termo geral também pode escrever um 
termo qualquer a partir de um termo anterior e da razão, 
veja: 
 
 
Onde: 
• na é o termo que ocupa a posição desejada n; 
• ka é o termo que ocupa a posição k; 
• q é a razão. 
 
Exemplos: 
01. Determine o sexto termo da progressão 
( )5, 15, 45, ... . 
 
Resolução: 
Esta progressão é uma P.G. de razão q 3= , veja: 
Sabemos que 1 2 3a 5, a 15 e a 45= = = 
Calculamos a razão 2
1
a 15q q 3
a 5
= = ⇒ = ou ainda 
3
2
a 45q q 3
a 15
= = ⇒ = . 
Aplicamos a fórmula do termo geral: 
n 1
n 1
6 1
6 1
5
6
a a .q
a a q
a 5 3
−
−
=
= +
= + 
⇒ 6
6
a 5 729
a 734
= +
= 
 
O sexto termo é 734. 
 
02. Determine o número de elementos da P.G. finita 
( )6,12,...,192 . 
 
Resolução: 
Sabemos que 1 2 na 6, a 12 e a 192= = = . 
Calculamos a razão: 
2
1
a 12q q 2
a 6
= = ⇒ = 
Aplicamos a fórmula do termo geral: 
n 1
n 1
n 1
n 1
a a .q
192 6.2
1922
6
−
−
−
=
=
=
 ⇒ 
n 1
n 1 5
2 32
2 2
n 1 5
n 6
−
−
=
=
− =
=
 
 
Portanto a progressão possui 6 (seis) termos. 
 
1n
1n q.aa
−= 
kn
kn q.aa
−= 
 
 
 FAÇO IMPACTO – A CERTEZA DE VENCER!!!
Fa
le
 c
on
os
co
 w
w
w
.p
or
ta
lim
pa
ct
o.
co
m
.b
r 
VE
ST
IB
UL
AR
 – 
20
09
 
 
 
03. Em uma progressão geométrica o terceiro termo é 8− 
e o oitavo é igual a 256. Determine o quinto termo dessa 
progressão? 
 
Resolução: 
Sabemos que 3 8a 8 e a 256= − = . 
Aplicando a fórmula do termo geral expandida, 
calculamos a razão: 
n k
n k
8 3
8 3
5
5
a a .q
a a .q
256 8.q
8.q 256
−
−
=
=
= −
= −
 ⇒ 
( )
5
5
5
55
8.q 256
256q
8
q 32
q 2
= −
−=
= −
= − 
⇒ q 2= − 
 
Aplicando a fórmula do termo geral expandida, 
calculamos o quinto termo: 
 
n k
n k
5 3
5 3
2
5 3
a a .q
a a .q
a a .q
−
−
=
=
=
 ⇒ 
( )25
5
5
a 8. 2
a 8.4
a 32
= − −
= −
= − 
 
O quinto termo é igual a 32− . 
 
4. INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA 
Interpolar meios geométricos entre dois números é formar 
uma progressão geométrica com todos estes termos. 
Estes problemas consistem no cálculo da razão. 
 
Exemplos: 
01. Interpolar 3 meios geométricos entre 64 e 4. 
Resolução: 
Formaremos uma P.G. de 5 (cinco) termos, com 1a 64= 
e 5a 4= , veja: 
 
 
 
 
Aplicando a fórmula do termo geral, calculamos a razão: 
 
n 1
n 1
5 1
5 1
4
5 1
4
4
a a .q
a a .q
a a .q
4 64.q
44q
64 4
−
−
=
=
=
=
÷= ÷
 ⇒ 
4
4
4
4 4 4
1q
16
1 1 1q
16 16 2
1q
2
=
= = =
=
 
 
Escrevemos a P.G. multiplicando a razão ao primeiro 
termo e assim por diante: ( )64, 32, 16, 8, 4 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. EXERCÍCIOS (DESTRUIÇÃO TOTAL) 
 
01. (UEPA) A partir do interesse demonstrado por 
Argentina e Paraguai em importar os produtos de uma 
empresa, seus diretores estimaram que seria necessário 
um crescimento anual na produção de 5% relativa à 
produção do ano anterior, sucessivamente, durante 5 
anos. De acordo com as estimativas dos diretores da 
empresa, essa produção crescerá segundo uma: 
a) Progressão aritmética de razão 0,05 
b) Progressão geométrica de razão 0,5 
c) Progressão aritmética de razão 1,05 
d) Progressão geométrica de razão 1,05 
e) Progressão aritmética de razão 5 
 
02. (UFPE) Suponha que o preço de um automóvel se 
desvalorize 10% ao ano nos seus cinco primeiros anos de 
uso. Se esse automóvel novo custou R$ 10 000,00, qual 
será o seu valor em reais após os cinco anos de uso? 
a) 5 500,00 
b) 5 804,00 
c) 6 204,30 
d) 5904,90 
e) 5745,20 
03. (UFSC) Na progressão geométrica 2 210, 2, , , ...
5 25
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ , 
qual é a posição do termo 2
625
? 
 
04. (UFMG) Uma criação de coelhos foi iniciada há 
exatamente um ano e, durante esse período, o número de 
coelhos duplicou a cada quatro meses. Hoje, parte dessa 
criação deverá ser vendida para se ficar com a 
quantidade inicial de coelhos. Para que isso ocorra, a 
porcentagem da população atual dessa criação de 
coelhos a ser vendida é: 
a) 75% 
b) 80% 
c) 83,33% 
d) 87,5% 
 
05. (UFSCAR) A condição para que três números a, b e c 
estejam, simultaneamente, em progressão aritmética e 
em progressão geométrica é que: 
a) 2ac b= 
b) a c 2b+ = 
c) 2a c b+ = 
d) a b c= = 
e) ac 2b= 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
01 D 
02 D 
03 6º termo 
04 D 
05 D 
 
64 ? ? 4 ?