Cap 3 - Calculo vetorial

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Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
CÁLCULO VETORIAL
- TÓPICOS DAS AULAS -
1. Introdução.
2. Comprimento, área e volume diferenciais.
3. Integrais de linha, de superfície e de volume.
4. Gradiente de um escalar.
5. Divergência de um vetor e o teorema da divergência.
6. Rotacional de um vetor e o teorema de Stokes.
7. Laplaciano de um escalar e de um vetor.
8. Classificação dos campos vetoriais.
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Introdução
• Este capítulo trata do cálculo vetorial, ou seja, a integração e a 
diferenciação de vetores.
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Comprimento, área e volume diferenciais
• Coordenadas cartesianas:
― O deslocamento diferencial é
dado por
― A área diferencial normal é
dada por
zyx dzâdyâdxâld ++=
→
z
y
x
dxdyâ
dxdzâ
dydzâSd
=
=
=
→
Figura 1
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• Coordenadas cartesianas:
― O volume diferencial é dado 
por
dydzdxdv =
Figura 2
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• O elemento de superfície, ou de área, diferencial dS pode, em 
geral, ser definido como
onde dS é a área do elemento de superfície e ân é o vetor unitário 
normal à superfície dS. Sua orientação é para fora do volume, 
caso dS seja parte de uma superfície que limita esse volume.
ndSâSd =
→
Figura 3
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• Coordenadas cilíndricas: ― O deslocamento diferencial é
dado por
― A área diferencial normal é
dada por
― O volume diferencial é dado 
por
zφρ dzââdâdld ++=
→
φρρ
z
φ
ρ
âdd
dzâd
dzâdSd
φρρ
ρ
φρ
=
=
=
→
dzdddV φρρ=
Figura 4
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• Coordenadas esféricas: ― O deslocamento diferencial é
dado por
― A área diferencial normal é
dada por
― O volume diferencial é dado 
por
φθr sen âdrârdârdld φθθ ++=
→
φ
θ
r
2
sen
sen
ârdrd
âdrdr
âddrSd
θ
φθ
φθθ
=
=
=
→
φθθ ddrdrdV sen2=Figura 5
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Exercício
1. Referente à figura 6, desconsidere os comprimentos diferenciais 
e imagine que o objeto é parte de uma casca esférica.
Figura 6
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Continuação
Isto pode ser descrito como
onde a superfície r=3 é delimitada por AEHD, superfície θ=60º é
AEFB e a superfície φ=45º é ABCD.
oo
oo
6045
9060
53
≤≤
≤≤
≤≤
φ
θ
r
Figura 7
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Continuação
Determine:
a) A distância DH.
b) A distância FG.
c) A área da superfície AEHD.
d) A área da superfície ABCD.
e) O volume do objeto.
Figura 8
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Integrais de linha, de superfície e de volume
• Por linha entendemos um caminho ao longo de uma superfície 
no espaço.
• Utilizaremos os termos linha, curva e contorno alternadamente.
• A integral de linha
é a integral da componente tangencial de A ao longo da curva L.
∫
→→
⋅
L
ldA
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• Dado um campo vetorial A e uma curva L, definimos a integral
como a integral de linha de A em torno de L.
∫∫
→→→
=⋅
b
a
L
dlAldA θcos
Figura 9
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• Se o caminho de integração é uma curva fechada, a integral de 
linha
é denominada de circulação de A em torno de L.
∫
→→
⋅
L
ldA
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• Dado um campo vetorial A, contínuo em uma região contendo 
uma superfície suave S, definimos integral de superfície, ou o 
fluxo de A através de S, da seguinte forma
onde, em qualquer ponto sobre S, ân é o vetor unitário e normal 
a S.
∫∫∫
→→→→
=⋅=⋅=
SSS
dSAdSâASdA θψ cosn
Figura 10
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• Para uma superfície fechada, definindo um volume, temos que
denominada de fluxo líquido de A que sai de S.
• Definimos a integral
como a integral de volume do escalar ρv sobre o volume v.
∫
→→
⋅
S
SdA
∫
v
dvvρ
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Exercício
2. Calcule a circulação de 
em torno da borda L da fatia definida por
zρ sencos âzâA φφρ +=
→
0
600
20
=
≤≤
≤≤
z
oo φ
ρ
Figura 11
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Gradiente de um escalar
• Considerando uma função escalar V(u, v, w), sua magnitude 
depende, em geral, da posição de um ponto no espaço, mas pode 
ser constante ao longo de uma linha, ou superfície.
P1
P2P3
dndl
Superfície: V1
Superfície: V1+ dV
α
an
Figura 12
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• A figura 13 ilustra duas superfícies, onde a magnitude de V é
constante e tem os valores V1 e V1 + dV, respectivamente, onde 
dV indica uma pequena variação em V.
• P1 corresponde ao ponto na superfície V1, P2 na superfície 
V1 + dV, ao longo do vetor normal dn, e P3 representa um ponto 
próximo a P2 ao longo de outro vetor dl, sendo dl diferente de 
dn.
P1
P2P3
dndl
Superfície: V1
Superfície: V1+ dV
α
an
Figura 13
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• Considerando o mesmo valor de dV, a taxa de variação espacial 
dV/dl é maior ao longo de dn porque dn é a menor distância 
entre as duas superfícies.
• A magnitude de dV/dl depende da direção de dl, desse modo 
dV/dl é uma derivada direcional.
P1
P2P3
dndl
Superfície: V1
Superfície: V1+ dV
α
an
Figura 14
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• O vetor que representa a magnitude e a direção da taxa máxima 
de variação espacial de um escalar, é conhecido como gradiente 
do escalar, ou seja,
• A derivada direcional ao longo de dl é dada por
ou seja, a taxa de variação espacial de V na direção âl é igual à
projeção, ou componente, do gradiente de V nessa direção.
dn
dV
âVV ngrad =∇=
→
llncos âVââ
dn
dV
dn
dV
dl
dn
dn
dV
dl
dV
⋅





∇=⋅===
→
α
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• Sabendo-se que dV é a variação total de V, devido a uma 
mudança na posição, podemos expressá-la como
onde dlu, dlv e dlw são as componentes do vetor deslocamento 
diferencial no sistema de coordenadas ortogonais generalizado.
• Sabendo-se que
w
w
v
v
u
u
dl
l
V
dl
l
V
dl
l
V
dV
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
( ) ( ) ( )dwhâdvhâduhâld
dlâdlâdlâld
wwvvuu
wwvvuu
++=
++=
→
→
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• Temos
• Sabendo-se que
( )
→
⋅





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
++⋅





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
ld
l
V
â
l
V
â
l
V
âdV
dlâdlâdlâ
l
V
â
l
V
â
l
V
âdV
w
w
v
v
u
u
wwvvuu
w
w
v
v
u
u
→→→
⋅





∇=⋅





∇= ldVdlâVdV l
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• Temos que
• A partir dessa expressão, obtemos
em coordenadas ortogonais generalizadas.
w
V
h
â
v
V
h
â
u
V
h
âV
l
V
â
l
V
â
l
V
âV
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
→
→
w
w
v
v
u
u
w
w
v
v
u
u
111





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
→
wh
â
vh
â
uh
â
w
w
v
v
u
u
111
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• Em coordenadas cartesianas:
• Em coordenadas cilíndricas:
• Em coordenadas esféricas:
z
V
â
y
V
â
x
V
âV
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
→
zyx
z
V
â
V
â
V
âV
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
→
zφρ
1
φρρ
φθθ ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
→ V
r
â
V
r
â
r
V
âV
sen
11
φθr
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• As seguintes relações envolvendo gradiente devem ser 
destacadas:
onde V e U representam escalares e n um número inteiro.
( )
( )
( ) VnVV
U
UVVU
U
V
UVVUVU
UVUV
nn
→
−
→
→→
→
→→→
→→→
∇=∇
∇−∇
=





∇
∇+∇=∇
∇+∇=+∇
1
2
d)
c)
b)
a)
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• É importante observar que:
– O gradiente de V, em qualquer ponto, é perpendicular à
superfície de V constante que passa através desse ponto.
– Se um determinado vetor A for igual ao gradiente de V, V é
denominado de potencial escalar de A.
VA
→→
∇=
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Exercícios
3. Determine o gradiente dos seguintes campos escalares:
a) u = x2 y + x y z.
b) v = ρ z senφ + z2 cos2φ + ρ2.
c) f = cosθ senφ ln(r) + r2 φ.
4. Dado φ = x y + y z + x z, determine o gradiente de φ no ponto 
P (1, 2, 3) e a derivada direcional de φ no mesmo ponto, 
orientada em direção ao ponto Q (3, 4, 4).
5. Calcule o ângulo entre as normais às superfícies x2 y + z = 3 e 
x log(z) – y2 = -4 no ponto de interseção R (-1, 2, 1).
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Divergência de um vetor e o teorema da divergência
• A divergência de A, em um dado ponto P, é o fluxo que sai, por 
unidade de volume, à medida que o volume se reduz a zero em 
torno de P.
• Dessa forma,
onde ∆v representa o volume encerrado pela superfície fechada 
S, na qual P está localizado.
v
SdA
AA S
v ∆
⋅
=⋅∇=
∫
→→
→∆
→→→
lim
0
div
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• Fisicamente, podemos considerar a divergência de um campo 
vetorial A, em um dado ponto, como uma medida de quanto o 
campo diverge ou converge desse ponto.
divA > 0
O vetor diverge
em P
divA < 0
O vetor converge
em P
divA = 0
Figura 15
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• Demonstração da expressão do divergente de um vetor
– Seja o cubo curvilíneo de volume ∆v=huhvhwdudvdw, ilustrado 
na figura 16, com centro no ponto P(u0, v0, w0) e o seguinte 
campo vetorial:
( ) ),,(),,(),,(,, wwvvuu wvuFâwvuFâwvuFâwvuF ++=
→
dlv
dlw
dlu
S1
S0
S2
P
âv
âu
âw
Figura 16
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– Define-se o divergente de F, no ponto P, pela relação
– Sendo âu o vetor normal à S0, o fluxo através dessa superfície 
é dado por
∫
→→
→∆
→
⋅
∆
=
Sv
SdF
v
F
1
div lim
0
( ) dvdwhhFdldlFSâFu wvuwvuuu0u ==∆⋅=Φ
→
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– Os fluxos através das superfícies, que têm em comum o vetor
unitário âu, podem ser expressados em termos de Φu(u0) a 
partir da expansão de Taylor de 1ª ordem da função
ou seja,
( ) ( ) ( )( )00
'
0 xxxfxfxf −+=
( )
( )
22
22
u
0u0u
u
0u0u
du
u
u
du
u
du
u
u
du
u
∂
Φ∂
−Φ=





−Φ
∂
Φ∂
+Φ=





+Φ
Para fora do
cubo através
de S1
Para dentro do
cubo através
de S2
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– Dessa forma, as contribuções das superfícies S1 e S2 para o 
fluxo total, considerando o exterior da região limitada pelo
cubo, pode ser obtida da seguinte forma
( )
dudvdw
u
hhF
du
u
du
u
du
u
∂
∂
=
∂
Φ∂
=





−Φ−





+Φ wvuu0u0u
22
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– As contribuições das outras superfícies são obtidas de forma 
análoga, logo temos que
– Dessa forma,
( )
( )
dudvdw
w
hhFdw
w
dw
w
dudvdw
v
hhFdv
v
dv
v
∂
∂
=





−Φ−





+Φ
∂
∂
=





−Φ−





+Φ
vuw
0w0w
wuv
0v0v
22
22
( ) ( ) ( )




∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇
→→
w
hhF
v
hhF
u
hhF
hhh
F vuwwuvwvu
wvu
1
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– Em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas, temos
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
φθθ
θ
θ
φρρ
ρ
ρ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇
→→
→→
→→
φθr
2
2
zφρ
zyx
sen
1sen
sen
11
11
F
r
F
rr
Fr
r
F
z
FFF
F
z
F
y
F
x
F
F
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• Em relação à divergência de um campo vetorial, devemos
observar as seguintes propriedades:
1. Resulta em um campo escalar.
2. A divergência de um escalar não tem sentido físico.
3. Relação 1
4. Relação 2
→→→→→→→
⋅∇+⋅∇=





+⋅∇ BABA






∇⋅+





⋅∇=





⋅∇
→→→→→→
VAAVAV
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• A partir da definição da divergência de A, temos que
• Essa expressão representa o teorema da divergência, também
conhecido como teorema de Gauss-Ostrogradsky.
• O teorema da divergência estabelece que o fluxo total de um 
campo vetorial A, que sai de uma superfície fechada S, é igual à
integral de volume da divergência de A.
• O teorema se aplica em qualquer volume v, limitado pela
superfície fechada S, desde que se considere que A e div A sejam
funções contínuas na região.
∫∫
→→→→
⋅∇=⋅
vS
dvASdA
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Exercícios
6. Determine a divergência dos seguintes campos vetoriais e 
calcule nos pontos especificados:
a) A = y z âx + 4 x y ây + y âz no ponto (1, -2, 3).
b) B = ρ z senφ âρ + 3 ρ z² cosφ âφ no ponto (5, π/2, 1).
c) C = 2 r cosθ cosφ âr + r
1/2 âφ no ponto (1, π/6, π/3).
7. Determine o fluxo de D = ρ² cos²φ âρ + z senφ âφ sobre a 
superfície fechada do cilindro 0 ≤ z ≤ 1, ρ = 4. Verifique o 
teorema da divergência para esse caso.
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Rotacional de um vetor e o teorema de Stokes
• O rotacional fornece o valor máximo da circulação de um campo 
vetorial, por unidade de área, indicando a orientação ao longo da 
qual esse valor máximo ocorre.
• Dessa forma,
onde a área ∆S é limitada pelo contorno L e ân é o vetor unitário
normal à superfície ∆S.
n
MAX
0
1
rot lim âldA
S
AA
LS








⋅
∆
=×∇= ∫
→→
→∆
→→→
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• Demonstração da expressão do rotacional de um vetor
– Seja a geometria ilustrada na figura 17 e admitindo-se o 
seguinte campo vetorial
( ) ),,(),,(),,(,, wwvvuu wvuFâwvuFâwvuFâwvuF ++=
→
Figura 17
c1
c2
c3
c4
hvdv
hwdw
∆Su
P
âu
âv âw
Iv
Iw
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– Temos que a integral de linha se reduz a
– Temos ainda que 
4321
4321
IIIIldF
ldFldFldFldFldF
L
ccccL
+++=⋅
⋅+⋅+⋅+⋅=⋅
∫
∫∫∫∫∫
→→
→→→→→→→→→→
dwhFI
dvhFI
www
vvv
=
= Integrais de linha sobre os dois 
caminhos que cruzam o centro 
do retângulo curvilíneo.
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– Dessa forma, as integrais de linha, nos quatro segmentos, 
podem ser obtidas fazendo-se as expansões de Taylor de1ª
ordem das respectivas funções, ou seja,
( )
( )
( )
( )
22
22
22
22
v
0v0v4
w
0w0w3
v
0v0v2
w
0w0w1
dw
w
I
wI
dw
wII
dv
v
I
vI
dv
vII
dw
w
I
wI
dw
wII
dv
v
I
vI
dv
vII
∂
∂
−=





−=
∂
∂
−=





−=
∂
∂
+=





+=
∂
∂
+=





+=
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– Dessa forma, considerando o sentido do contorno, temos que
( ) ( )
( ) ( )




∂
∂
−
∂
∂
=⋅
∂
∂
−
∂
∂
=⋅
∂
∂
−
∂
∂
=⋅
+−−=⋅
∫
∫
∫
∫
→→
→→
→→
→→
w
hF
v
hF
dvdwldF
dvdw
w
hF
dvdw
v
hF
ldF
dw
w
I
dv
v
I
ldF
IIIIldF
L
L
L
L
vvww
vvww
vw
4321
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– Sabendo-se que a área diferencial é dada por
a componente u do rotacional é dada por
dvdwhhS wvu =∆
( ) ( )




∂
∂
−
∂
∂
=





×∇
→→
w
hF
v
hF
hh
F vvww
wvu
1
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– De forma análoga, temos que as expressões para as outras
componentes do rotacional de F são as seguintes
( ) ( )
( ) ( )




∂
∂
−
∂
∂
=





×∇




∂
∂
−
∂
∂
=





×∇
→→
→→
v
hF
u
hF
hh
F
u
hF
w
hF
hh
F
uuvv
vuw
wwuu
wuv
1
1
Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
– Em coordenadas cartesianas
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )






∂
∂
−
∂
∂
+
+



∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
=×∇
→→
y
F
x
F
â
x
F
z
F
â
z
F
y
F
âF
xy
zxyz
z
yx
Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
– Em coordenadas cilíndricas
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )






∂
∂
−
∂
∂
+
+





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
=×∇
→→
φρ
ρ
ρ
ρφρ
ρφ
ρφ
FF
â
F
z
F
â
z
FF
âF zz
1
1
z
φρ
Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
– Em coordenadas esféricas
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )




∂
∂
−
∂
∂
+
+





∂
∂
−
∂
∂
+
+





∂
∂
−
∂
∂
=×∇
→→
θ
φθ
φθ
θ
θ
θ
φ
θφ
r
r
F
r
rF
r
â
r
rFF
r
â
FF
r
âF
1
sen
11
sen
sen
1
φ
θ
r
Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
• Em relação ao rotacional de um campo vetorial, devemos
observar as seguintes propriedades:
1. Resulta em um campo vetorial.
2. O rotacional de um campo escalar não tem sentido físico.
3. Relação 1
4. Relação 2
→→→→→→→
×∇+×∇=





+×∇ BABA






×∇+





×∇=





×∇
→→→→→→
AVAVAV
Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
5. Relação 3
A divergente do rotacional de um campo vetorial é igual 
a zero.
6. Relação 4
O rotacional do gradiente de um campo escalar é igual a 
zero.
0=





×∇⋅∇
→→→
A
0=∇×∇
→→
V
Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
• O rotacional de um campo vetorial A, em um ponto P, pode ser 
considerado como uma medida da circulação do campo, ou, em 
outras palavras, de quanto este campo gira em torno de P.
rotA ≠ 0 rotA = 0
Figura 18
Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
• O teorema de Stokes estabelece que a circulação de um campo 
vetorial A, em torno de um caminho fechado L, é igual à integral 
de superfície do rotacional de A, sobre a superfície aberta S
limitada por L.
∫∫
→→→→→
⋅





×∇=⋅
vL
SdAldA
Desde que A e o rotA sejam 
contínuos sobre S.Figura 19
Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
• Ilustração física do teorema de Stokes
Figura 20
Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
Exercícios
8. Determine o rotacional de cada um dos campos vetoriais do 
exercício 6 e calcule seu respectivo valor em cada um dos pontos 
fornecidos.
9. Para um campo escalar V, demonstre que rot( grad V ) é igual a 
zero, ou seja, que o rotacional do gradiente de qualquer campo 
escalar se anula.
Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
Laplaciano de um escalar e de um vetor
1. Laplaciano de um escalar
– O Laplaciano de um campo escalar V representa a operação 
do divergente do gradiente de V [div ( grad V )].
– Dessa forma, em coordenadas cartesianas, obtemos
2
2
2
2
2
22
z
V
y
V
x
V
V
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
→
Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
– Em coordenadas cilíndricas,
– Em coordenadas esféricas,
2
2
2
2
2
2
11
z
VVV
V
∂
∂
+
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=∇
→
φρρ
ρ
ρρ
2
2
22
2
2
2
sen
1
sen
sen
11
φθ
θ
θ
θθ
∂
∂
+






∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=∇
→
V
r
V
rr
V
r
rr
V
Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
• O Laplaciano de um campo escalar resulta em outro escalar.
• Um campo escalar V é dito harmônico, em uma dada região, 
quando o seu Laplaciano se anula nessa região.
0
2
=∇
→
V
Equação de Laplace
Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
Exercício
10. Determine o Laplaciano dos seguintes campos escalares:
a) U = x² y + x y z.
b) V = ρ z senφ + z² cos² φ + ρ².
c) W = cosθ senφ ln(r) + r² φ. 
Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
2. Laplaciano de um vetor
– O Laplaciano de um campo vetorial resulta em outro vetor.
– É dado por
em qualquer sistema de coordenadas.
→→→→→→→→
×∇×∇−





⋅∇∇=∇ AAA
2
Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
Classificação dos campos vetoriais
• Um campo vetorial é univocamente caracterizado pelo seu 
divergente e seu rotacional.
• Nem só o divergente, nem o rotacional, individualmente, são 
suficientes para descrever completamente o campo vetorial.
• Todos os campos vetoriais podem ser classificados em termos da 
anulação, ou não-anulação, de seu divergente ou de seu 
rotacional, da seguinte forma:
(a) divA=0 e rotA=0
(b)divA≠0 e rotA=0
(c) divA=0 e rotA≠0
(d)divA≠0 e rotA≠0
Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
• A figura 21 ilustra campos típicos dessas quatro categorias 
apresentadas.
Figura 21
(a) divA=0 e rotA=0
(b)divA≠0 e rotA=0
(c) divA=0 e rotA≠0
(d)divA≠0 e rotA≠0
Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
• Um campo vetorial é dito ser solenoidal, ou não divergente, 
quando divA for igual a zero.
• Esse campo não é nem fonte, nem sumidouro de fluxo, ou seja,
• Desse modo, as linhas de fluxo de A, que entram em qualquer 
superfície fechada, devem sair dela.
0=





⋅∇=⋅ ∫∫
→→→→
vS
dvASdA
Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
• Um campo vetorial é dito ser irrotacional, ou potencial, quando 
rotA for igual a zero, ou seja, o vetor não possui rotacional.
• Portanto, em um campo irrotacional A, a circulação de A em 
torno de um caminho fechado é identicamente zero.
• Isso implica que a integral de linha de A independe do caminho 
escolhido.
• Portanto, um campo irrotacional é também conhecido como 
campo conservativo.
0=⋅=⋅





×∇ ∫∫
→→→→→
LS
ldASdA
Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
Exercício
11. Demonstre que B = [ y + z cos(xz) ] âx + x ây + x cos(xz) âz é
conservativo, sem calcular nenhuma integral.