APOSTILA+ENEM

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Matemática ENEM 
MÓDULO 1 
 
Números Naturais
 
As descobertas e o desenvolvimento delas 
sempre aparecem junto com uma dificuldade ou 
desafio. Um bebê, por exemplo, mesmo sem 
conhecer os números, com o tempo começa a 
perceber a diferença de quantidades. Percebe 
quando tem pouca ou muita gente em 
determinado local. 
 Historicamente, o homem também não 
conhecia os números como conhecemos hoje, e 
também ao sentir a necessidade de distinguir 
quantidade, foi criando e desenvolvendo os 
sistemas de numeração. O sistema de numeração 
que usamos é o chamado: sistema de 
numeração decimal indo-arábico. 
 Mas a dificuldade era contar objetos, 
animais ou pessoas, assim o homem começou 
relacionar quantidades com símbolos. Depois de 
muitos e muitos séculos de dificuldades, chegou
se a um conjunto numérico, onde cada símbolo 
deste conjunto corresponde a uma determinada 
quantidade. Estes símbolos são os que chamamos 
hoje de números naturais, que foram colocados 
em um conjunto. 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} 
 
OBS 1: Perceba que o conjunto dos números
naturais é infinito. 
 
OBS 2: A notação N* indica o conjunto dos 
números naturais não-nulos. Assim, podemos 
denotar: N* = {1, 2, 3, 4, ...} ou N* = {a
0} 
 
Descreveremos agora os elementos que 
compõem as seis operações fundament
 
Adição: 
 
 
 
Subtração: 
 
 
 
parcela + parcela + .... + parcela = soma
minuendo – subtraendo = diferença
 
 
 
Números Naturais 
As descobertas e o desenvolvimento delas 
sempre aparecem junto com uma dificuldade ou 
desafio. Um bebê, por exemplo, mesmo sem 
conhecer os números, com o tempo começa a 
perceber a diferença de quantidades. Percebe 
ca ou muita gente em 
Historicamente, o homem também não 
conhecia os números como conhecemos hoje, e 
também ao sentir a necessidade de distinguir 
quantidade, foi criando e desenvolvendo os 
sistemas de numeração. O sistema de numeração 
sistema de 
Mas a dificuldade era contar objetos, 
animais ou pessoas, assim o homem começou 
relacionar quantidades com símbolos. Depois de 
muitos e muitos séculos de dificuldades, chegou-
to numérico, onde cada símbolo 
deste conjunto corresponde a uma determinada 
quantidade. Estes símbolos são os que chamamos 
, que foram colocados 
Perceba que o conjunto dos números 
indica o conjunto dos 
. Assim, podemos 
denotar: N* = {1, 2, 3, 4, ...} ou N* = {aN / a ≠ 
Descreveremos agora os elementos que 
compõem as seis operações fundamentais. 
 
Multiplicação
 
 
 
 
Divisão
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Números Inteiros
 
Com o surgimento do comércio surgiram 
também algumas dificuldades matemáticas. Uma 
delas foi como representar uma dívida com 
símbolos. Percebeu-se que existe o 
cinco objetos, que é dever cinco objetos. A 
quantia é a mesma, mas ter e dever são situações 
opostas. 
 Definiu-se então que toda vez que a 
quantia representasse uma dívida,
menos deveria vir antes do número. Com o 
tempo, a palavra menos foi substituída pelo sinal 
usado para indicar a operação de subtração ( 
Todo número que aparece 
sinal é chamado de número negativo
 Juntaram-se aos números 
números que representavam quantidades 
negativas (- 1, -5, -23, etc.). Este novo conjunto é 
o conjunto dos números inteiros
 
Z = {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
 
OBS 1: O conjunto dos números inteiros é 
infinito. 
 
OBS 2: A notação Z* indic
números inteiros não-nulos
denotar: 
Z* = {... , -2, -1, 1, 2, ...} ou Z* = {a
parcela + parcela + .... + parcela = soma 
subtraendo = diferença 
fator . fator . ... . fator = produto
Quociente
ATENÇÃO!!!
Na divisão, sempre temos 
que o divisor é diferente 
de zero e o resto é menor 
que o divis
DivisorDividendo 
Resto 
 Página 1 
Multiplicação: 
 
 
 
 
Divisão: 
 
 
Números Inteiros 
Com o surgimento do comércio surgiram 
também algumas dificuldades matemáticas. Uma 
i como representar uma dívida com 
se que existe o oposto de ter 
cinco objetos, que é dever cinco objetos. A 
quantia é a mesma, mas ter e dever são situações 
se então que toda vez que a 
quantia representasse uma dívida, a palavra 
deveria vir antes do número. Com o 
foi substituída pelo sinal 
usado para indicar a operação de subtração ( - ). 
Todo número que aparece acompanhado deste 
número negativo. 
se aos números naturais, os 
números que representavam quantidades 
23, etc.). Este novo conjunto é 
números inteiros. 
1, 0, 1, 2, 3, ...} 
O conjunto dos números inteiros é 
indica o conjunto dos 
nulos. Assim, podemos 
1, 1, 2, ...} ou Z* = {aZ / a ≠ 0}. 
fator . fator . ... . fator = produto 
Quociente 
ATENÇÃO!!! 
Na divisão, sempre temos 
que o divisor é diferente 
de zero e o resto é menor 
que o divisor. 
Divisor 
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Matemática ENEM 
Números Racionais
 
O conjunto dos números inteiros não satisfaz a 
necessidade de representar uma parte de algum
coisa inteira. Por exemplo, quando repartimos 
uma pizza em oito pedaços e comemos apenas 
três, estamos comendo uma parte da pizza, ou 
ainda, uma fração da pizza. Mas, essa 
pizza não conseguimos representar com números 
inteiros. 
 Para representar qualquer que seja a parte, 
ou, as partes de alguma coisa, usamos números 
da forma 
b
a
 (que chamamos de fração
que a seja qualquer número inteiro e 
qualquer número inteiro diferente de zero
conjunto de todos os números que podem ser 
escritos desta forma é chamado de conjunto dos 
números racionais (Q). Podemos representar:
 Q = { 
b
a
 | aZ e bZ* } 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, uma fração é sempre escrita 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
a) 
3
2
 do retângulo: 
 
b)
5
7
de R$ 1250,00: R$ 1750,00 
 
 
 
 
 
 
 
- b representa o denominador, que 
indica em quantas partes o inteiro deve 
ser dividido. 
 - a representa o numerador, que indica 
quantas partes serão consideradas. 
 
adordeno
numerador
min
 
Cada figura 
R$ 1250,00
Dividindo cada figura em 5 partes iguais temos 
que cada parte vale R$ 250,00
{
 
 
Números Racionais 
O conjunto dos números inteiros não satisfaz a 
necessidade de representar uma parte de alguma 
coisa inteira. Por exemplo, quando repartimos 
uma pizza em oito pedaços e comemos apenas 
três, estamos comendo uma parte da pizza, ou 
da pizza. Mas, essa fração da 
pizza não conseguimos representar com números 
r qualquer que seja a parte, 
ou, as partes de alguma coisa, usamos números 
fração), de modo 
seja qualquer número inteiro e b seja 
diferente de zero. O 
os que podem ser 
escritos desta forma é chamado de conjunto dos 
. Podemos representar: 
 
da forma: 
do retângulo: 
 
 
Dízimas periódicas
 Números com infinitas casas decimais, mas 
que apresentam um período
determinado “ponto”. 
 
 Exemplo: 
a) 3,2222... ou 2,3 é uma 
simples, pois o período aparece logo após a 
vírgula. 
b) 0,3456565656... ou 34,0
periódica composta, pois o período 
logo após a vírgula. 
 
 
OBS: Toda dízima periódica é um número 
RACIONAL, pois pode ser escrito na forma 
para quaisquer p e q, com q
 
 FRAÇÃO GERATRIZ
 É a fração que gera a dízima periódica. Veja 
como encontrar uma fração geratriz a partir de 
uma dízima periódica. 
 Exemplos: 
 a) Considere a dízima 0,333...
Igualando esta fração a x, temos:
x = 0,333... (1)
Multiplicando ambos os membros da equação (1) 
por 10, temos: 
10x = 3,333... (2)
Subtraindo a equação (2) pela equação (1), 
simplificaremos as infinitas casas decimais iguais 
a 3. Logo, teremos: 
9x = 3 , e portanto, 
Assim sendo, 
3
1
 é a fração geratriz da dízima 
0,333... 
 
 b) Para encontrar a fração geratriz de 2,3434... 
utilizaremos processo análogo:
3434,2x
Multiplicando os dois membros por 100, temos:
3434,234100 x
Subtraindo a 2ª equação pela 1ª: 
Logo, 
99
232
 é a fração geratriz de 2,3434...
, que 
indica em quantas partes o inteiro deve 
que indicaCada figura 
vale 
R$ 1250,00 
Dividindo cada figura em 5 partes iguais temos 
R$ 250,00 
{ 
 Página 2 
Dízimas periódicas 
Números com infinitas casas decimais, mas 
período a partir de um 
é uma dízima periódica 
, pois o período aparece logo após a 
5634 é uma dízima 
, pois o período NÃO aparece 
Toda dízima periódica é um número 
RACIONAL, pois pode ser escrito na forma 
q
p
 
0 . 
FRAÇÃO GERATRIZ 
dízima periódica. Veja 
como encontrar uma fração geratriz a partir de 
a) Considere a dízima 0,333... 
, temos: 
x = 0,333... (1) 
Multiplicando ambos os membros da equação (1) 
0x = 3,333... (2) 
Subtraindo a equação (2) pela equação (1), 
simplificaremos as infinitas casas decimais iguais 
9x = 3 , e portanto, 
3
1
9
3
x 
é a fração geratriz da dízima 
b) Para encontrar a fração geratriz de 2,3434... 
utilizaremos processo análogo: 
...3434 
Multiplicando os dois membros por 100, temos: 
...3434 
Subtraindo a 2ª equação pela 1ª: 23299 x 
é a fração geratriz de 2,3434... 
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Matemática ENEM 
Números Irracionais
 Raízes não exatas e dízimas não periódicas em 
geral. 
 Exemplos: 
 a) 3,12325609... b)  c) 5 
Números Reais
 O conjunto dos números reais é a UNIÃO entre 
o conjunto dos números Racionais e o conjunto 
dos números Irracionais. 
 
 IR 
 Q Ir 
 
 Z IN 
 
 
 
 
IR → Conjunto dos números reais. 
Q → Conjunto dos números racionais.
Ir → Conjunto dos números irracionais.
Z → Conjunto dos números inteiros.
IN → Conjunto dos números naturais.
 
 
Sistema legal de medidas
 
Tabela 1: Unidades de medidas de 
comprimento 
mm → milímetro 
cm → centímetro 
dm → decímetro 
m → metro 
dam → decâmetro 
hm → hectômetro 
km → quilômetro 
 
km hm dam m dm cm
← 
10 
← 
10 
← 
10 
← 
10 
← 
10 
← 

→ 
x10 
→ 
x10 
→ 
x10 
→ 
x10 
→ 
x10 
→ 
x10
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Números Irracionais 
Raízes não exatas e dízimas não periódicas em 
Números Reais 
UNIÃO entre 
o conjunto dos números Racionais e o conjunto 
 
meros racionais. 
→ Conjunto dos números irracionais. 
→ Conjunto dos números inteiros. 
→ Conjunto dos números naturais. 
Sistema legal de medidas 
: Unidades de medidas de 
cm mm 
← 
10 
← 
10 
→ 
x10 
→ 
x10 
Tabela 2: Unidades de medidas de área
mm² → milímetro ao quadrado
cm² → centímetro ao quadrado
dm² → decímetro ao quadrado
m² → metro ao quadrado 
dam² → decâmetro ao quadrado
hm² → hectômetro ao quadrado
km² → quilômetro ao quadrado
 
km² hm² dam² m² 
← 
100 
← 
100 
← 
100 
← 
100 
→ 
x100 
→ 
x100 
→ 
x100 
→ 
x100 
 
 
Tabela 3: Unidades de medidas de 
 Volume 
 
mm³ → milímetro ao cubo 
cm³ → centímetro ao cubo 
dm³ → decímetro ao cubo 
m³ → metro ao cubo 
dam³ → decâmetro ao cubo 
hm³ → hectômetro ao cubo 
km³ → quilômetro ao cubo 
 
km³ hm³ dam³ m³ 
← 
1000 
← 
1000 
← 
1000 
← 
1000 
→ 
X1000 
→ 
x1000 
→ 
x1000 
→ 
x1000 
 
 Observação: 1 litro = 1 dm³ 
 
 
 
Medidas de tempo
 
1 hora = 60 minutos
1 minuto = 60 segundos
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Página 3 
: Unidades de medidas de área 
→ milímetro ao quadrado 
ao quadrado 
→ decímetro ao quadrado 
ao quadrado 
ao quadrado 
ao quadrado 
dm² cm² mm² 
← 
100 
← 
100 
← 
100 
→ 
x100 
→ 
x100 
→ 
x100 
: Unidades de medidas de 
 
dm³ cm³ mm³ 
← 
1000 
← 
1000 
← 
1000 
→ 
x1000 
→ 
x1000 
→ 
x1000 
: 1 litro = 1 dm³ 
Medidas de tempo 
1 hora = 60 minutos 
1 minuto = 60 segundos 
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Matemática ENEM 
EXERCÍCIOS 
 
1 - (ENEM/2013) A cidade de Guarulhos (SP) tem o 
8º PIB municipal do Brasil, além do maior aeroporto 
da América do Sul. Em proporção, possui a economia 
que mais cresce em indústrias, conforme mostra o 
gráfico. 
Analisando os dados percentuais do gráfico, qual a
diferença entre o maior e o menor centro em 
crescimento no polo das indústrias? 
a) 75,28 d) 45,76 
b) 64,09 e) 30,07 
c) 56,95 
 
2 - (ENEM/2013) Cinco empresas de gêneros 
alimentícios encontram-se à venda. Um empresário, 
almejando ampliar os seus investimentos, deseja 
comprar uma dessas empresas. Para escolher qual 
delas irá comprar, analisa o lucro (em milhões de 
reais) de cada uma delas, em função de seus tempos 
(em anos) de existência, decidindo comprar a 
empresa que apresente o maior lucro médio anual. 
O quadro apresenta o lucro (em milhões de reais)
acumulado ao longo do tempo (em anos) de 
existência de cada empresa. 
O empresário decidiu comprar a empresa 
a) F. b) G. c) H. d) M. e) P. 
 
3 - (ENEM/2013) Para o reflorestamento de uma 
área, deve-se cercar totalmente, com tela, os lados de 
um terreno, exceto o lado margeado pelo rio, 
conforme a figura. Cada rolo de tela que será 
 
 
e de Guarulhos (SP) tem o 
do Brasil, além do maior aeroporto 
Em proporção, possui a economia 
indústrias, conforme mostra o 
 
Analisando os dados percentuais do gráfico, qual a 
e o menor centro em 
Cinco empresas de gêneros 
se à venda. Um empresário, 
ampliar os seus investimentos, deseja 
uma dessas empresas. Para escolher qual 
irá comprar, analisa o lucro (em milhões de 
de cada uma delas, em função de seus tempos 
anos) de existência, decidindo comprar a 
ente o maior lucro médio anual. 
nta o lucro (em milhões de reais) 
ao longo do tempo (em anos) de 
 
 
Para o reflorestamento de uma 
totalmente, com tela, os lados de 
lado margeado pelo rio, 
conforme a figura. Cada rolo de tela que será 
comprado para confecção da cerca contém 
de comprimento. 
A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada
para cercar esse terreno é 
a) 6. b) 7. c) 8 d) 11. e)
 
4 - (ENEM/2013) O índice de eficiê
um produtor de leite para qualificar suas vacas é dado 
pelo produto do tempo de lactação (em dias) pela 
produção média diária de leite 
intervalo entre partos (em meses).
a vaca é qualificada como eficiente
índice é, no mínimo, 281 quilogramas por
mantendo sempre as mesmas condições de manejo
(alimentação, vacinação e outros). Na 
duas ou mais vacas, a mais eficiente é a que tem 
maior índice. 
A tabela apresenta os dados coletados de cinco vacas:
Após a análise dos dados, o produtor avaliou que a 
vaca mais eficiente é a 
a) Malhada. d) Mateira.
b) Mamona. e) Mimo
c) Maravilha. 
 
5 - (ENEM/2014) Um executivo sempre viaja entre as 
cidades A e B, que estão localizadas em fusos 
horários distintos. O tempo de 
avião entre as duas cidades é de
pega um voo que sai de A às 15h e
às 18h (respectivos horários locais).
Certo dia, ao chegar à cidade B, soube que precisava 
estar de volta à cidade A, no máximo, até as 13h do
dia seguinte (horário local de A). 
Para que o executivo chegue à cidade A no horário 
correto e admitindo que não haja atrasos, ele deve 
 Página 4 
para confecção da cerca contém 48 metros 
 
A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada 
e) 12. 
O índice de eficiência utilizado por 
para qualificar suas vacas é dado 
de lactação (em dias) pela 
 (em kg), dividido pelo 
intervalo entre partos (em meses). Para esse produtor, 
a vaca é qualificada como eficiente quando esse 
índice é, no mínimo, 281 quilogramas por mês, 
mantendo sempre as mesmas condições de manejo 
outros). Na comparação de 
ou mais vacas, a mais eficiente é a que tem 
A tabela apresenta os dados coletados de cinco vacas: 
 
Após a análise dos dados, o produtor avaliou que a 
d) Mateira. 
e) Mimosa. 
executivo sempre viaja entre as 
estão localizadas em fusos 
 duração da viagem de 
avião entre as duas cidades é de 6 horas. Ele sempre 
pega um voo que sai de A às 15h e chega à cidade B 
às 18h (respectivos horários locais). 
à cidade B, soube que precisava 
estar de volta à cidade A, no máximo, até as 13h do 
dia seguinte (horário local de A). 
vo chegue à cidade A no horárioque não haja atrasos, ele deve 
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Matemática ENEM 
pegar um voo saindo da cidade B, em horário local de 
B, no máximo à(s) 
a) 16h. b) 10h. c) 7h. d) 4h. e) 1h. 
6 - (ENEM/2014) Durante uma epidemia de uma 
gripe viral, o secretário de saúde de um município 
comprou 16 galões de álcool em gel, com 4 litros de 
capacidade cada um, para distribuir igualmente em 
recipientes para 10 escolas públicas do município. O 
fornecedor dispõe à venda diversos tipos de
recipientes, com suas respectivas capacidades 
listadas: 
 - Recipiente I: 0,125 litro 
 - Recipiente II: 0,250 litro 
 - Recipiente III: 0,320 litro 
 - Recipiente IV: 0,500 litro 
 - Recipiente V: 0,800 litro 
O secretário de saúde comprará recipientes de 
mesmo tipo, de modo a instalar 20 deles em cada
escola, abastecidos com álcool em gel na sua 
capacidade máxima, de forma a utilizar todo o gel dos 
galões de uma só vez. 
Que tipo de recipiente o secretário de saúde deve 
comprar? 
a) I b) II c) III d) IV e) V 
 
7 - (ENEM/2014) Os incas desenvolveram uma 
maneira de registrar quantidades e representar 
números utilizando um sistema de numeração 
decimal posicional: um conjunto de cordas com nós 
denominado quipus. O quipus era feito de uma corda 
matriz, ou principal (mais grossa que as demais), na 
qual eram penduradas outras cordas, mais finas, de 
diferentes tamanhos e cores (cordas pendentes). De 
acordo com a sua posição, os nós significavam 
unidades, dezenas, centenas e milhares. Na Figura 1, 
o quipus representa o número decimal 2 453. Para 
representar o “zero” em qualquer posição, não se 
coloca nenhum nó. 
O número da representação do quipus da Figura 
base decimal, é 
 
 
a cidade B, em horário local de 
Durante uma epidemia de uma 
de saúde de um município 
em gel, com 4 litros de 
igualmente em 
município. O 
fornecedor dispõe à venda diversos tipos de 
om suas respectivas capacidades 
de comprará recipientes de um 
mesmo tipo, de modo a instalar 20 deles em cada 
ecidos com álcool em gel na sua 
forma a utilizar todo o gel dos 
Que tipo de recipiente o secretário de saúde deve 
olveram uma 
maneira de registrar quantidades e representar 
números utilizando um sistema de numeração 
decimal posicional: um conjunto de cordas com nós 
era feito de uma corda 
matriz, ou principal (mais grossa que as demais), na 
qual eram penduradas outras cordas, mais finas, de 
diferentes tamanhos e cores (cordas pendentes). De 
acordo com a sua posição, os nós significavam 
unidades, dezenas, centenas e milhares. Na Figura 1, 
número decimal 2 453. Para 
posição, não se 
 
da Figura 2, em 
a) 364. d) 3 640.
b) 463. e) 4 603.
c) 3 064. 
8 - (ENEM/2015) No contexto da matemática 
recreativa, utilizando diversos materiais didáticos 
para motivar seus alunos, uma professora organizou 
um jogo com um tipo de baralho modificado. No 
início do jogo, vira-se uma carta 
cada jogador recebe em mãos 
formar pares de cartas, sendo 
mesa e a segunda, uma carta na
tenha um valor equivalente àquele
da mesa. O objetivo do jogo é verificar 
consegue o maior número de pares. Iniciado
o jogo, a carta virada na mesa 
um jogador são como no esquema:
Segundo as regras do jogo, quantas cartas da mão 
desse jogador podem formar um par com a carta da 
mesa? 
a) 9 b) 7 c) 5 d) 4 e)
 
9 - (ENEM/2015) As exportações de soja do Brasil 
totalizaram 4,129 milhões de toneladas no mês de 
julho de 2012, e registraram um aumento em relação 
ao mês de julho de 2011, embora tenha havido uma 
baixa em relação ao mês de maio de 2012.
Disponível em: www.noticiasagricolas.com.br. Acesso em: 2 ago. 2012
A quantidade, em quilogramas, de soja exportada 
pelo Brasil no mês de julho de 2012 foi de
a) 4,129 x 103 d) 4,129 x 10
b) 4,129 x 106 e) 4,129 x 10
c) 4,129 x 109 
 
10 - (ENEM/2015) A expressão 
é utilizada para calcular a dose 
medicamento, dada a dose do adulto:
(em criança da idade
(em criança da idade
criança de dose 



Uma enfermeira deve administrar um medicamento
X a uma criança inconsciente, cuja dosagem de adulto 
é de 60 mg. A enfermeira não consegue descobrir 
onde está registrada a idade da cr
mas identifica que, algumas horas antes, foi 
administrada a ela uma dose de 14 mg de
medicamento Y, cuja dosagem 
Sabe-se que a dose da medicação Y
criança estava correta. 
 Página 5 
3 640. 
4 603. 
No contexto da matemática 
iversos materiais didáticos 
uma professora organizou 
baralho modificado. No 
se uma carta do baralho na mesa e 
 nove cartas. Deseja-se 
 a primeira carta a da 
mesa e a segunda, uma carta na mão do jogador, que 
tenha um valor equivalente àquele descrito na carta 
da mesa. O objetivo do jogo é verificar qual jogador 
consegue o maior número de pares. Iniciado 
 e as cartas da mão de 
jogador são como no esquema: 
 
do jogo, quantas cartas da mão 
jogador podem formar um par com a carta da 
e) 3 
s exportações de soja do Brasil 
milhões de toneladas no mês de 
e registraram um aumento em relação 
de 2011, embora tenha havido uma 
ao mês de maio de 2012. 
Disponível em: www.noticiasagricolas.com.br. Acesso em: 2 ago. 2012. 
quilogramas, de soja exportada 
rasil no mês de julho de 2012 foi de 
4,129 x 1012 
4,129 x 1015 
expressão "Fórmula de Young" 
é utilizada para calcular a dose infantil de um 
do adulto: 
adulto do dose . 
12 anos) (em
anos) (em 




Uma enfermeira deve administrar um medicamento 
sciente, cuja dosagem de adulto 
fermeira não consegue descobrir 
está registrada a idade da criança no prontuário, 
identifica que, algumas horas antes, foi 
uma dose de 14 mg de um 
medicamento Y, cuja dosagem de adulto é 42 mg. 
se que a dose da medicação Y administrada à 
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Matemática ENEM 
Então, a enfermeira deverá ministrar uma dosagem do 
medicamento X, em miligramas, igual a 
a) 15. b) 20. c) 30. d) 36. e) 40. 
11 - (ENEM/2015) A insulina é utilizada no 
tratamento de pacientes com diabetes para o controle 
glicêmico. Para facilitar sua aplicação, foi 
desenvolvida uma "caneta" na qual pode ser inserido 
um refil contendo 3 mL de insulina, como mostra 
imagem. 
 
Para controle das aplicações, definiu-se a unidade 
insulina como 0,01 mL. Antes de cada aplicação, é
necessário descartar 2 unidades de insulina, de forma 
a retirar possíveis bolhas de ar. A um paciente foram 
prescritas duas aplicações diárias: 10 unidades de 
insulina pela manhã e 10 à noite. 
Qual o número máximo de aplicações por refil que o 
paciente poderá utilizar com a dosagem prescrita?
a) 25 b) 15 c) 13 d) 12 e) 8 
 
12 - (ENEM/2015) Alguns exames médicos requerem 
uma ingestão de água maior do que a habitual. Por 
recomendação médica, antes do horário do exame, 
uma paciente deveria ingerir 1 copo de água de 150 
mililitros a cada meia hora, durante as 10 horas que 
antecederiam um exame. A paciente foi
supermercado comprar água e verificou que havia 
garrafas dos seguintes tipos: 
 - Garrafa I: 0,15 litro 
 - Garrafa II: 0,30 litro 
 - Garrafa III: 0,75 litro 
 - Garrafa IV: 1,50 litro 
 - Garrafa V: 3,00 litros 
A paciente decidiu comprar duas garrafas do mesmo 
tipo, procurando atender à recomendação médica 
ainda, de modo a consumir todo o líquido das duas
garrafas antes do exame. 
Qual o tipo de garrafa escolhida pela paciente?
a) I b) II c) III d) IV e) V 
 
13 - (ENEM/2015) Um concurso é composto por 
cinco etapas. Cada etapa vale 100 pontos. A 
pontuação final de cada candidato é a média de suas 
notas nas cinco etapas. 
A classificação obedece à ordem decrescente das 
pontuações finais. O critério de desempate baseia
na maior pontuação na quinta etapa. 
 
 
ministrar uma dosagem do 
 
A insulina é utilizada no 
com diabetes para o controle 
aplicação, foi 
esenvolvida uma "caneta" na qual pode ser inserido 
um refilcontendo 3 mL de insulina, como mostra a 
se a unidade de 
insulina como 0,01 mL. Antes de cada aplicação, é 
na, de forma 
A um paciente foram 
diárias: 10 unidades de 
Qual o número máximo de aplicações por refil que o 
paciente poderá utilizar com a dosagem prescrita? 
Alguns exames médicos requerem 
água maior do que a habitual. Por 
antes do horário do exame, 
1 copo de água de 150 
as 10 horas que 
antecederiam um exame. A paciente foi a um 
supermercado comprar água e verificou que havia 
comprar duas garrafas do mesmo 
o atender à recomendação médica e, 
ainda, de modo a consumir todo o líquido das duas 
la paciente? 
Um concurso é composto por 
Cada etapa vale 100 pontos. A 
candidato é a média de suas 
ordem decrescente das 
pontuações finais. O critério de desempate baseia-se 
A ordem de classificação final desse concurso é
a) A, B, C, E, D. 
b) B, A, C, E, D. 
c) C, B, E, A, D. 
 
14 - (ENEM/2015) Devido ao aumento do fluxo de 
passageiros, uma empresa de transporte coletivo 
urbano está fazendo estudos para a implantação de 
um novo ponto de parada em uma determinada rota. 
A figura mostra o percurso, 
realizado por um ônibus nessa rota
dois de seus atuais pontos de parada,
por P e Q. 
Os estudos indicam que o novo ponto 
instalado, nesse percurso, entre as paradas
existentes P e Q, de modo que as distâncias
percorridas pelo ônibus entre os pontos 
os pontos T e Q sejam iguais. 
dados, as coordenadas do novo ponto 
a) (290 ; 20). d) (440 ; 0)
b) (410 ; 0). e) (440 ; 20).
c) (410 ; 20). 
. 
15 - (ENEM/2015) Deseja-se comprar
óculos. As lentes devem ter espessuras mais próximas 
possíveis da medida 3 mm. No estoque de uma loja, 
há lentes de espessuras: 
3,10 mm; 3,021 mm; 2,96 mm; 2,099 mm e 3,07 mm.
Se as lentes forem adquiridas nessa l
escolhida será, em milímetros, de
a) 2,099. b) 2,96. c) 3,021.
 
16 - (ENEM/2015) Para economizar em suas contas 
mensais de água, uma família de 10 pessoas deseja 
 Página 6 
 
A ordem de classificação final desse concurso é 
 d) C, B, E, D, A. 
 e) E, C, D, B, A. 
Devido ao aumento do fluxo de 
empresa de transporte coletivo 
estudos para a implantação de 
em uma determinada rota. 
A figura mostra o percurso, indicado pelas setas, 
por um ônibus nessa rota e a localização de 
dois de seus atuais pontos de parada, representados 
 
Os estudos indicam que o novo ponto T deverá ser 
instalado, nesse percurso, entre as paradas já 
, de modo que as distâncias 
idas pelo ônibus entre os pontos P e T e entre 
sejam iguais. De acordo com os 
s, as coordenadas do novo ponto de parada são 
(440 ; 0) 
(440 ; 20). 
se comprar lentes para 
devem ter espessuras mais próximas 
3 mm. No estoque de uma loja, 
3,10 mm; 3,021 mm; 2,96 mm; 2,099 mm e 3,07 mm. 
Se as lentes forem adquiridas nessa loja, a espessura 
rá, em milímetros, de 
3,021. d) 3,07. e) 3,10. 
Para economizar em suas contas 
água, uma família de 10 pessoas deseja 
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Matemática ENEM 
construir um reservatório para armazenar a água 
captada das chuvas, que tenha capacidade suficiente 
para abastecer a família por 20 dias. Cada pessoa da 
família consome, diariamente, 0,08 m³ de água.
Para que os objetivos da família sejam atingidos, a 
capacidade mínima, em litros, do reservatório a ser 
construído deve ser 
a) 16. b) 800. c) 1 600. d)) 8 000. e)
17 - (ENEM/2015) A figura representa a vista 
superior de uma bola de futebol americano, cuja 
forma é um elipsoide obtido pela rotação d
elipse em torno do eixo das abscissas. Os valores 
b são, respectivamente, a metade do seu comprimento 
horizontal e a metade do seu comprimento vertical. 
Para essa bola, a diferença entre os comprimentos 
horizontal e vertical é igual à metade do comprimento 
vertical. 
Considere que o volume aproximado dessa bola é
dado por V = 4ab². 
O volume dessa bola, em função apenas de 
por 
a) 8b³ b) 6b³ c) 5b³ d) 4b³ e) 2b³ 
 
18 - (ENEM/2015) Alguns medicamentos para 
felinos são administrados com base na superfície 
corporal do animal. Foi receitado a um felino pesando 
3,0 kg um medicamento na dosagem diária de 250 mg 
por metro quadrado de superfície corporal. 
O quadro apresenta a relação entre a massa do felino, 
em quilogramas, e a área de sua superfície corporal, 
em metros quadrados. 
 A dose diária, em miligramas, que esse felino deverá
receber é de 
 
 
um reservatório para armazenar a água 
tenha capacidade suficiente 
a família por 20 dias. Cada pessoa da 
de água. 
s da família sejam atingidos, a 
reservatório a ser 
e) 16 000. 
A figura representa a vista 
americano, cuja 
forma é um elipsoide obtido pela rotação de uma 
elipse em torno do eixo das abscissas. Os valores a e 
te, a metade do seu comprimento 
de do seu comprimento vertical. 
diferença entre os comprimentos 
vertical é igual à metade do comprimento 
 
volume aproximado dessa bola é 
O volume dessa bola, em função apenas de b, é dado 
Alguns medicamentos para 
administrados com base na superfície 
elino pesando 
medicamento na dosagem diária de 250 mg 
uadrado de superfície corporal. 
elação entre a massa do felino, 
rea de sua superfície corporal, 
miligramas, que esse felino deverá 
a) 0,624. b) 52,0. c) 156,0. d)
 
19 - (ENEM/2014) Boliche é um jogo em que se 
arremessa uma bola sobre uma pista para atingir dez 
pinos, dispostos em uma formação de base triangular
buscando derrubar o maior número de pinos. A razão 
entre o total de vezes em que o jogador derruba todos 
os pinos e o número de jogadas
desempenho. 
Em uma disputa entre cinco jogadores, foram
obtidos os seguintes resultados:
 Jogador I – Derrubou todos os pinos 50 vezes 
em 85 jogadas. 
 Jogador II – Derrubou todos os pinos 40 
vezes em 65 jogadas. 
 Jogador III – Derrubou todos os pinos 20 
vezes em 65 jogadas. 
 Jogador IV – Derrubou todos os pinos 30 
vezes em 40 jogadas. 
 Jogador V – Derrubou t
vezes em 90 jogadas. 
Qual desses jogadores apresentou maior 
desempenho? 
a) I b) II c) III d) IV 
 
20 - (ENEM/2015) A maior piscina do mundo, 
registrada no livro Guiness, está localizada no Chile, 
em San Alfonso del Mar, cobrindo 
hectares de área. 
Sabe-se que 1 hectare corresponde a 1 hectômetro 
quadrado. 
Qual é o valor, em metros quadrados, da área coberta
pelo terreno da piscina? 
a) 8 b) 80 c) 800 d) 8 000
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito 
 
1 – C 11 – A 
2 – B 12 – D 
3 – C 13 – B 
4 – D 14 – E 
5 – D 15 – C 
6 – C 16 – E 
7 – C 17 - B 
8 – E 18 - B 
9 – C 19 - D 
10 – B 20 - E 
 
 
 
 Página 7 
d) 750,0. e) 1 201,9. 
Boliche é um jogo em que se 
sobre uma pista para atingir dez 
formação de base triangular, 
número de pinos. A razão 
o jogador derruba todos 
os pinos e o número de jogadas determina seu 
Em uma disputa entre cinco jogadores, foram 
obtidos os seguintes resultados: 
rrubou todos os pinos 50 vezes 
Derrubou todos os pinos 40 
Derrubou todos os pinos 20 
Derrubou todos os pinos 30 
Derrubou todos os pinos 48 
Qual desses jogadores apresentou maior 
 e) V 
A maior piscina do mundo, 
está localizada no Chile, 
Mar, cobrindo um terreno de 8 
tare corresponde a 1 hectômetro 
Qual é o valor, em metros quadrados, da área coberta 
8 000 e) 80 000 
 
 
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Matemática ENEM 
MÓDULO 2 
Porcentagem 
 
 Vamos supor que uma prova tenha 60 
questões e um aluno acertou 45 destas questões. 
Podemos dizer então que o aluno acertou 
questões da prova. 
 Lembrando do que foi estudado sobre 
frações equivalentes, podemos verificar que:
 
 
 
 
 Ou seja, acertar 45 em 60 é equivalente a 
acertar 75 em 100. Diariamente fazemos esta 
equivalência, porém utilizamos a representação 
75% (setenta e cinco por cento). Logo,
 
 
 
 
 * Curiosidade: Este símbolo % (
significa centésimo. Acredita-se que foi derivado 
da forma abreviada “per %”, para a expressãopor cento, utilizada no século XVII. 
 
 Definição: Dados dois números 
com b ≠ 0, a taxa porcentual ou porcentagem de 
a sobre b é a razão 
100
x
 tal que 
x

100
 Podemos indicar 
100
x
 por x% 
 
Razão 
 
 Constantemente comparamos quantidades 
em nossas vidas. Por exemplo: 
 Você tem R$36,00 e seu irmão R$12,00. 
É possível comparar essas quantidades através de 
uma divisão: 36 : 12 = 3. Ou na forma de fração:
3
1
3
12
36
 
 Podemos então dizer que para cada 3 
reais que você tem, seu irmão tem 1 real; ou, 
então, que a razão entre o que você tem e o que 
seu irmão tem é uma razão de 3 para 1
 
100
75
60
45
 
%75
100
75
 
 
 
 
Vamos supor que uma prova tenha 60 
questões e um aluno acertou 45 destas questões. 
Podemos dizer então que o aluno acertou 
60
45
 das 
Lembrando do que foi estudado sobre 
tes, podemos verificar que: 
Ou seja, acertar 45 em 60 é equivalente a 
acertar 75 em 100. Diariamente fazemos esta 
equivalência, porém utilizamos a representação 
75% (setenta e cinco por cento). Logo, 
Este símbolo % (por cento) 
se que foi derivado 
da forma abreviada “per %”, para a expressão 
Dados dois números a e b, 
, a taxa porcentual ou porcentagem de 
b
a
. 
 
Constantemente comparamos quantidades 
$36,00 e seu irmão R$12,00. 
É possível comparar essas quantidades através de 
uma divisão: 36 : 12 = 3. Ou na forma de fração: 
Podemos então dizer que para cada 3 
reais que você tem, seu irmão tem 1 real; ou, 
o que você tem e o que 
razão de 3 para 1. 
 OBS: A palavra razão vem de ratio, que em 
latim, significa divisão. 
 
 Razões são representadas
forma de fração, mas podem também aparecer na 
forma decimal. Por exemplo, uma r
para cinco pode ser representada por 
0,4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Proporção
 
 Proporção é uma igualdade entre razões. 
Dados quatro números a, 
diferentes de zero, dizemos que 
proporcionais a c e d se, e 
Lemos esta proporção do seguinte modo: 
para b assim como c está para d”
 
 Exemplo 1: Os números 10, 14, 15 e 21 
formam, nesta ordem, uma proporção, pois: 
21
15
14
10
 
 De fato: 
7
5
14
10
 e 
21
15
 
 Exemplo 2: Os números 6, 8, 9 e 15 
NÃO formam, nesta ordem, uma proporção, 
pois: 
15
9
8
6
 
 De fato: 
4
3
8
6
 e 
15
9

 
 Exemplo 3: Prepara
combustível, utilizando metanol 
quantidades proporcionais a 4 e 9. Com 2700 
litros de gasolina, quantos litros de metanol 
devem ser misturados? 
Definição: Chamamos de razão de um 
número a por um número 
quociente de a por b. 
Indicamos 
b
a
 e podemos ler: “
 Página 8 
OBS: A palavra razão vem de ratio, que em 
são representadas normalmente na 
mas podem também aparecer na 
forma decimal. Por exemplo, uma razão de dois 
para cinco pode ser representada por 
5
2
ou por 
Proporção 
Proporção é uma igualdade entre razões. 
, b, c e d, todos 
diferentes de zero, dizemos que a e b são 
se, e somente se 
d
c
b
a
 . 
Lemos esta proporção do seguinte modo: “a está 
para b assim como c está para d”. 
Os números 10, 14, 15 e 21 
formam, nesta ordem, uma proporção, pois: 
7
5
21
15
 
Os números 6, 8, 9 e 15 
formam, nesta ordem, uma proporção, 
5
3
 
Prepara-se determinado 
combustível, utilizando metanol e gasolina em 
quantidades proporcionais a 4 e 9. Com 2700 
litros de gasolina, quantos litros de metanol 
Chamamos de razão de um 
por um número b, com b ≠ 0, o 
e podemos ler: “a está para b” 
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Matemática ENEM 
 Resolução: Chame de y a quantidade de 
metanol. Devemos ter as quantidades de metanol 
e gasolina proporcionais a 4 e 9, portanto:
9
10800
2700.49
9
4
2700
 yy
y
 Portanto, temos que misturar 1200 litros de 
metanol. 
 
Grandezas diretamente 
proporcionais 
 
 Segundo o dicionário da língua 
portuguesa: Grandeza: “tudo o que é 
susceptível de aumento ou diminuição”. 
 A velocidade e a distância perc
um carro são grandezas. Perceba que num 
mesmo espaço de tempo, quanto maior for a 
velocidade, maior será a distância percorrida, e 
quanto menor for a velocidade, menor será a 
distância percorrida. 
 Por exemplo, se viajarmos durante 1 hora 
e meia a uma velocidade média de 80
percorreremos a distância de 120 km. Porém, na 
mesma 1 hora e meia, se viajarmos a uma 
velocidade média de 120 hkm , percorreremos 
180 km. 
 Note que a velocidade varia na razão 
e a distância percorrida na razão 
180
120
. 
Perceba que essas duas razões são iguais 
a 
3
2
. Se verificarmos outros valores, chegaremos 
a conclusão de que a velocidade média e a 
distância percorrida em um mesmo espaço de 
tempo, variam sempre na mesma razão. Por isso 
dizemos que essas duas grandezas são 
diretamente proporcionais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em alguns casos duas grandezas variam 
sempre na mesma razão. Nesses casos, 
dizemos que as grandezas são diretamente 
proporcionais. 
 
 
a quantidade de 
metanol. Devemos ter as quantidades de metanol 
e gasolina proporcionais a 4 e 9, portanto: 
1200
9
10800
 
Portanto, temos que misturar 1200 litros de 
Grandezas diretamente 
 
Segundo o dicionário da língua 
“tudo o que é 
susceptível de aumento ou diminuição”. 
A velocidade e a distância percorrida por 
um carro são grandezas. Perceba que num 
mesmo espaço de tempo, quanto maior for a 
velocidade, maior será a distância percorrida, e 
quanto menor for a velocidade, menor será a 
Por exemplo, se viajarmos durante 1 hora 
a uma velocidade média de 80 hkm , 
percorreremos a distância de 120 km. Porém, na 
mesma 1 hora e meia, se viajarmos a uma 
, percorreremos 
Note que a velocidade varia na razão 
120
80
 
. 
Perceba que essas duas razões são iguais 
. Se verificarmos outros valores, chegaremos 
a conclusão de que a velocidade média e a 
o espaço de 
tempo, variam sempre na mesma razão. Por isso 
dizemos que essas duas grandezas são 
Grandezas inversamente 
proporcionais
 
 
 Suponha que vamos fazer uma viagem de 
180 km. Perceba que quanto maior for a 
velocidade média, menor será o tempo gasto na 
viagem; e quanto menor for a velocidade média, 
maior será o tempo gasto na viagem. Se, por 
exemplo, fizermos essa viagem a uma velocidade 
média de 120 hkm , levaremos 1 hora e meia 
para chegar. Porém, se fizermos a viagem a uma 
velocidade média de 90 km
horas. 
 Note que a velocidade varia na razão 
e o tempo na razão 
2
5,1
. Perceba: 
4
3
2
5,1
 , ou seja, em uma mesma distância 
percorrida, a velocidade média e o tempo gasto 
variam uma na razão inversa da outra. Dizemos 
então que essas duas grandezas são 
inversamente proporcionais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Regra de três simples
 
 Podemos utilizar uma regra de tr
simples quando relacionamos duas grandezas que 
variam de maneira proporcional. Mas sabemos 
que duas grandezas podem ser 
inversamente proporcionais
levado em consideração antes mesmo de iniciar 
qualquer tipo de cálculo. 
 Veja o método prático de resolução de 
regra de três simples, tanto com grandezas 
diretamente proporcionais, quanto com 
grandezas inversamente proporcionais.
 
Em alguns casos duas grandezas variam 
mesma razão. Nesses casos, 
diretamente 
Em alguns casos duas grandezas variam 
sempre uma na razão inversa da outra. 
Nesses casos, dizemos que as grandezas são 
inversamente proporcionais
 Página 9 
Grandezas inversamente 
proporcionais 
Suponha que vamos fazer uma viagem de 
180 km. Perceba que quanto maior for a 
idade média, menor será o tempo gasto na 
viagem; e quanto menor for a velocidade média, 
maior será o tempo gasto na viagem. Se, por 
exemplo, fizermos essa viagem a uma velocidade 
, levaremos 1 hora e meia 
m, se fizermos a viagem a uma 
hkm , levaremos 2 
Note que a velocidade varia na razão 
90
120
 
. Perceba: 
3
4
90
120
 e 
, ou seja, em uma mesma distância 
percorrida, a velocidade média e o tempo gasto 
variam uma na razão inversa da outra. Dizemos 
então que essas duas grandezas são 
inversamente proporcionais. 
Regra de trêssimples 
Podemos utilizar uma regra de três 
simples quando relacionamos duas grandezas que 
variam de maneira proporcional. Mas sabemos 
que duas grandezas podem ser diretamente ou 
inversamente proporcionais, e isso deve ser 
levado em consideração antes mesmo de iniciar 
eja o método prático de resolução de 
regra de três simples, tanto com grandezas 
diretamente proporcionais, quanto com 
grandezas inversamente proporcionais. 
Em alguns casos duas grandezas variam 
sempre uma na razão inversa da outra. 
Nesses casos, dizemos que as grandezas são 
inversamente proporcionais. 
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Matemática ENEM 
 Exemplo 1: Uma máquina copiadora faz 
120 cópias em 5 minutos. Quantas cópias ela fará 
em 8 minutos? 
 
 Resolução: Primeiramente devemos colocar os 
dados em uma tabela e definir se as grandezas 
envolvidas são diretamente ou inversamente 
proporcionais. Perceba que, como a máquina é a 
mesma, quanto mais cópia tiver que fazer, 
tempo irá gastar, ou seja, as grandezas são 
diretamente proporcionais. 
 
 
 
 
 Como temos grandezas diretamente 
proporcionais, podemos igualar as razões diretas.
8
5120

x
 
 Multiplicando em cruz: 
192
5
960
9605
8.1205




x
x
x
x
 
 
 Resposta: Fará 192 cópias em 8 minutos. 
 
 Exemplo 2: Doze operários fazem certa 
obra em 6 dias. Se três destes operários ficarem 
doentes, em quantos dias a obra ficará pronta?
 
 Resolução: Neste caso, podemos perceber que 
quanto menos operários trabalhando, mais
obra levará para ficar pronta. Assim, 
grandezas inversamente proporcionais.
 Como três operários ficaram doentes, passamos 
a ter 9 operários. Ou seja, 
 
 
 
 
 
 
 Sendo as grandezas inversamente 
proporcionais, devemos igualar as razões 
invertendo uma delas, ou seja: 
Cópias ↑ Tempo (min) 
120 
x 
5 
8 
Operários ↓ Dias ↑ 
12 
9 
6 
x 
 
 
Uma máquina copiadora faz 
120 cópias em 5 minutos. Quantas cópias ela fará 
Primeiramente devemos colocar os 
dados em uma tabela e definir se as grandezas 
diretamente ou inversamente 
. Perceba que, como a máquina é a 
cópia tiver que fazer, mais 
ja, as grandezas são 
Como temos grandezas diretamente 
proporcionais, podemos igualar as razões diretas. 
Fará 192 cópias em 8 minutos. 
oze operários fazem certa 
obra em 6 dias. Se três destes operários ficarem 
doentes, em quantos dias a obra ficará pronta? 
Neste caso, podemos perceber que 
mais dias a 
obra levará para ficar pronta. Assim, temos 
inversamente proporcionais. 
Como três operários ficaram doentes, passamos 
Sendo as grandezas inversamente 
proporcionais, devemos igualar as razões 
8
9
72
729
6.129
69
12





x
x
x
x
x
 
 Resposta: Ficará pronta em 8 dias
 
 
 
 
 
 
 
Regra de três composta
 
 Quando o problema apres
duas grandezas envolvidas, devemos utilizar a 
regra de três composta. 
 O método prático de resolução é muito 
parecido com o da regra de três simples. Veja nos 
exemplos: 
 
 Exemplo 1: (FCC) Em 3 dias, 72000 
bombons são embalados, usando
embaladoras funcionando 8 horas por dia. Se a 
fábrica usar 3 máquinas iguais às primeiras, 
funcionando 6 horas por dia, em quantos dias 
serão embalados 108000 bombons?
 
 Resolução: Na regra de três composta temos 
mais grandezas envolvidas e assim, 
“fixar uma flecha” na grandeza em que estiver a 
variável e verificar se esta grandeza é 
diretamente ou inversamente proporcional a 
cada uma das outras grandezas. Veja,
 
 
 
 
 Assim, podemos fazer: 
.
108000
720003

x
 
 Fazendo as simplificações, temos
3
12
3
4
33


xx
x
x
 Resposta: Em 4 dias. 
 
Tempo (min) ↑ 
Dias↑ Bombons ↑ Máq. 
3 
x 
72000 
108000 
 Página 10 
6
 
Ficará pronta em 8 dias 
Regra de três composta 
Quando o problema apresenta mais de 
duas grandezas envolvidas, devemos utilizar a 
O método prático de resolução é muito 
parecido com o da regra de três simples. Veja nos 
(FCC) Em 3 dias, 72000 
bombons são embalados, usando-se 2 máquinas 
embaladoras funcionando 8 horas por dia. Se a 
fábrica usar 3 máquinas iguais às primeiras, 
funcionando 6 horas por dia, em quantos dias 
serão embalados 108000 bombons? 
Na regra de três composta temos 
mais grandezas envolvidas e assim, devemos 
“fixar uma flecha” na grandeza em que estiver a 
variável e verificar se esta grandeza é 
diretamente ou inversamente proporcional a 
cada uma das outras grandezas. Veja, 
8
6
.
2
3
 
Fazendo as simplificações, temos 
4
12


 
Máq. ↓ h/dia ↓ 
2 
3 
8 
6 
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Matemática ENEM 
 Exemplo 2: (FCC) Uma impressora 
trabalhando continuamente emite todos os 
boletos de pagamento de uma empresa em 3 
horas. Havendo um aumento de 50% no total de 
boletos a serem emitidos, três impressoras, iguais 
à primeira, trabalhando juntas poderão realizar o 
trabalho em quanto tempo? 
 
 Resolução: Da mesma forma, temos que “fixar 
uma flecha” na grandeza em que estiver a 
variável e verificar se esta grandeza é 
diretamente ou inversamente proporcional a cada 
uma das outras grandezas. 
 Perceba que tivemos um aumento de 50% nos 
boletos. Trabalhando com porcentagem, 
podemos montar da seguinte forma: 
 
 Assim sendo, 
5,1
2
3
32
1
23
1
3
.
150
1003



xx
x
x
x
 
 Resposta: Realizarão o trabalho em 1,5 horas, 
ou seja, 1h30min. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1 - (ENEM/2013) Muitos processos fisioló
bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa 
de respiração, apresentam escalas construídas a partir 
da relação entre superfície e massa (ou volume) do 
animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera 
que “o cubo da área S da superfície de um mamífero é 
proporcional ao quadrado de sua massa M”.
HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blücher, 1999 (adaptado).
Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 
0, a área S pode ser escrita em função de M por 
da expressão: 
a) MkS . c) 3
1
3
1
.MkS  e) S
b) 3
1
.MkS  d) 3
2
3
1
.MkS  
 
Impressoras↓ Boletos (%)↑ 
1 
3 
100 
150 
 
 
(FCC) Uma impressora 
trabalhando continuamente emite todos os 
boletos de pagamento de uma empresa em 3 
de 50% no total de 
boletos a serem emitidos, três impressoras, iguais 
à primeira, trabalhando juntas poderão realizar o 
temos que “fixar 
uma flecha” na grandeza em que estiver a 
se esta grandeza é 
diretamente ou inversamente proporcional a cada 
Perceba que tivemos um aumento de 50% nos 
boletos. Trabalhando com porcentagem, 
Realizarão o trabalho em 1,5 horas, 
Muitos processos fisiológicos e 
batimentos cardíacos e taxa 
as construídas a partir 
massa (ou volume) do 
animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera 
área S da superfície de um mamífero é 
massa M”. 
. São Paulo: Edgard Blücher, 1999 (adaptado). 
a dizer que, para uma constante k > 
em função de M por meio 
².3
1
MkS  
2 - (ENEM/2013) Em um certo teatro, as poltronas 
são divididas em setores. A figura apresenta a vista 
do setor 3 desse teatro, no qual as cadeiras escuras 
estão reservadas e as claras não fo
 A razão que representa a quantidade de cadeiras
reservadas do setor 3 em relação ao total de cadeiras
desse mesmo setor é 
a) 
70
17
 b) 
53
17
 c) 
70
53
 d) 
 
3 - (ENEM/2013) Uma indústria tem um 
de água com capacidade para 900 m
necessidade de limpeza do reservatório, toda a água 
precisa ser escoada. O escoamento da água é feito por 
seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está 
cheio. 
Esta indústria construirá um n
capacidade de 500 m³, cujo escoamento da água 
deverá ser realizado em 4 horas, quando o 
reservatório estiver cheio. Os ralos utilizados no novo 
reservatório deverão ser idênticos aos do já existente.
A quantidade de ralos do novo rese
igual a 
a) 2. b) 4. c) 5. d) 8.
 
4 - (ENEM/2013) O contribuinte que vende mais de 
R$ 20 mil de ações em Bolsa de Valores em um mêsdeverá pagar Imposto de Renda. O pagamento para a 
Receita Federal consistirá em 15% do lucro obtido 
com a venda das ações. 
Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado).
Um contribuinte que vende por R$ 34 mil um lote de 
ações que custou R$ 26 mil terá de pagar de Imposto 
de Renda à Receita Federal o valor de
a) R$ 900,00. 
b) R$ 1 200,00. 
c) R$ 2 100,00. 
d) R$ 3 900,00. 
e) R$ 5 100,00. 
 
 
Horas↑ 
3 
X 
 Página 11 
m um certo teatro, as poltronas 
res. A figura apresenta a vista 
no qual as cadeiras escuras 
não foram vendidas. 
A razão que representa a quantidade de cadeiras 
reservadas do setor 3 em relação ao total de cadeiras 
d) 
17
53
 e) 
17
70
 
(ENEM/2013) Uma indústria tem um reservatório 
capacidade para 900 m³. Quando há 
de limpeza do reservatório, toda a água 
escoada. O escoamento da água é feito por 
horas quando o reservatório está 
Esta indústria construirá um novo reservatório, com 
³, cujo escoamento da água 
realizado em 4 horas, quando o 
io. Os ralos utilizados no novo 
ser idênticos aos do já existente. 
A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser 
8. e) 9. 
contribuinte que vende mais de 
em Bolsa de Valores em um mês 
de Renda. O pagamento para a 
em 15% do lucro obtido 
Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado). 
vende por R$ 34 mil um lote de 
26 mil terá de pagar de Imposto 
à Receita Federal o valor de 
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Matemática ENEM 
5 - (ENEM/2013) Para se construir um contrapiso, é 
comum, na constituição do concreto, se utilizar 
cimento, areia e brita, na seguinte proporção: 1 parte 
de cimento, 4 partes de areia e 2 partes de brita. Para 
construir o contrapiso de uma garagem, uma 
construtora encomendou um caminhão betoneira com 
14 m³ de concreto. 
Qual é o volume de cimento, em m³, na carga de 
concreto trazido pela betoneira? 
a) 1,75 b) 2,00 c) 2,33 d) 4,00 e) 8,00
 
6 - (ENEM/2013) Para aumentar as vendas no início 
do ano, uma loja de departamentos remarcou os 
preços de seus produtos 20% abaixo do preço 
original. Quando chegam ao caixa, os clientes que 
possuem o cartão fidelidade da loja têm 
desconto adicional de 10% sobre o valor total
compras. 
Um cliente deseja comprar um produto que custava
R$ 50,00 antes da remarcação de preços. Ele não 
possui o cartão fidelidade da loja. 
Caso esse cliente possuísse o cartão fidelidade da 
loja, a economia adicional que obteria ao efetuar a 
compra, em reais, seria de 
a) 15,00. b) 14,00. c) 10,00. d) 5,00.
 
7 - (ENEM/2013) Um dos grandes probl
enfrentados nas rodovias brasileiras é o excesso de 
carga transportada pelos caminhões. Dimensionado 
para o tráfego dentro dos limites legais de carga, o 
piso das estradas se deteriora com o peso excessivo 
dos caminhões. Além disso, o excesso de carga
interfere na capacidade de frenagem
funcionamento da suspensão do veículo, causas
frequentes de acidentes. 
Ciente dessa responsabilidade e com base na
experiência adquirida com pesagens, um 
caminhoneiro sabe que seu caminhão pode carregar, 
no máximo, 1 500 telhas ou 1 200 tijolos. 
Considerando esse caminhão carregado com 900
telhas, quantos tijolos, no máximo, podem ser
acrescentados à carga de modo a não ultrapassar a
carga máxima do caminhão? 
a) 300 tijolos d) 480 tijolos 
b) 360 tijolos e) 600 tijolos 
c) 400 tijolos 
 
8 - (ENEM/2013) Nos Estados Unidos a unidade de 
medida de volume mais utilizada em latas de 
refrigerante é a onça fluida (fl oz), que equivale a 
aproximadamente 2,95 centilitros (cL). 
 
 
a se construir um contrapiso, é 
onstituição do concreto, se utilizar 
na seguinte proporção: 1 parte 
areia e 2 partes de brita. Para 
de uma garagem, uma 
caminhão betoneira com 
na carga de 
8,00 
ra aumentar as vendas no início 
de departamentos remarcou os 
20% abaixo do preço 
os clientes que 
 direito a um 
desconto adicional de 10% sobre o valor total de suas 
Um cliente deseja comprar um produto que custava 
a remarcação de preços. Ele não 
possuísse o cartão fidelidade da 
obteria ao efetuar a 
5,00. e) 4,00. 
Um dos grandes problemas 
brasileiras é o excesso de 
caminhões. Dimensionado 
limites legais de carga, o 
com o peso excessivo 
excesso de carga 
interfere na capacidade de frenagem e no 
funcionamento da suspensão do veículo, causas 
Ciente dessa responsabilidade e com base na 
ncia adquirida com pesagens, um 
sabe que seu caminhão pode carregar, 
 
Considerando esse caminhão carregado com 900 
telhas, quantos tijolos, no máximo, podem ser 
acrescentados à carga de modo a não ultrapassar a 
Nos Estados Unidos a unidade de 
volume mais utilizada em latas de 
onça fluida (fl oz), que equivale a 
Sabe-se que o centilitro é a centésima parte do l
que a lata de refrigerante usualmente comercializada 
no Brasil tem capacidade de 355 mL.
Assim, a medida do volume da lata de refrigerante de 
355 mL, em onça fluida (fl oz), é mais próxima de
a) 0,83. 
b) 1,20. 
c) 12,03. 
d) 104,73. 
e) 120,34. 
 
9 - (ENEM/2013) A figura apresenta dois mapas, em 
que o estado do Rio de Janeiro é visto em diferentes 
escalas. 
Há interesse em estimar o número de vezes que
ampliada a área correspondente a esse estado no
mapa do Brasil. Esse número é 
a) menor que 10. 
b) maior que 10 e menor que 20.
c) maior que 20 e menor que 30.
d) maior que 30 e menor que 40.
e) maior que 40. 
 
10 - (ENEM/2013) Uma fábrica de parafusos possui 
duas máquinas, I e II, para a produção de certo tipo de
parafuso. 
Em setembro, a máquina I produziu 
parafusos produzidos pela fábrica. Dos parafusos
produzidos por essa máquina, 
defeituosos. Por sua vez, 
1000
produzidos no mesmo mês pela máquin
defeituosos. 
O desempenho conjunto das duas máquinas é 
classificado conforme o quadro, em que 
probabilidade de um parafuso escolhido ao acaso ser 
defeituoso. 
 Página 12 
se que o centilitro é a centésima parte do litro e 
rante usualmente comercializada 
Brasil tem capacidade de 355 mL. 
lume da lata de refrigerante de 
355 mL, em onça fluida (fl oz), é mais próxima de 
figura apresenta dois mapas, em 
Rio de Janeiro é visto em diferentes 
 
Há interesse em estimar o número de vezes que foi 
ampliada a área correspondente a esse estado no 
 
maior que 10 e menor que 20. 
maior que 20 e menor que 30. 
maior que 30 e menor que 40. 
Uma fábrica de parafusos possui 
I e II, para a produção de certo tipo de 
quina I produziu 
100
54
 do total de 
parafusos produzidos pela fábrica. Dos parafusos 
produzidos por essa máquina, 
1000
25
 eram 
1000
38
 dos parafusos 
mês pela máquina II eram 
ho conjunto das duas máquinas é 
classificado conforme o quadro, em que P indica a 
parafuso escolhido ao acaso ser 
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Matemática ENEM 
 
O desempenho conjunto dessas máquinas, em 
setembro, pode ser classificado como 
a) excelente. d) ruim. 
b) bom. e) péssimo. 
c) regular. 
 
11 - (ENEM/2013) Um comerciante visita um centro 
de vendas para fazer cotação de preços dos produtos 
que deseja comprar. Verifica que se aproveita 100% 
da quantidade adquirida de produtos do t
apenas 90% de produtos do tipo B. Esse comerciante 
deseja comprar uma quantidade de produtos, obtendo 
o menor custo/benefício em cada um deles. O quadro 
mostra o preço por quilograma, e reais, de cada 
produto comercializado. 
Os tipos de arroz, feijão, soja e milho que devem ser 
escolhidos pelo comerciante são, respectivamente,
a) A, A, A, A. d) B, A, A, B. 
b) A, B, A, B. e) B, B, B, B. 
c) A, B, B, A. 
 
12 - (ENEM/2013) A Secretaria de Saúde de um 
município avalia um programa que disponibiliz
cada aluno de uma escola municipal, uma bicicleta, 
que deve ser usada no trajeto de ida e volta, entre sua 
casa e a escola. Na fase de implantação do programa, 
o aluno que morava mais distante da escola realizou 
sempre o mesmo trajeto, representado na figura,na 
escala 1 : 25 000, por um período de cinco dias.
 
 
 
O desempenho conjunto dessas máquinas, em 
Um comerciante visita um centro 
cotação de preços dos produtos 
Verifica que se aproveita 100% 
de produtos do tipo A, mas 
tipo B. Esse comerciante 
de produtos, obtendo 
um deles. O quadro 
reais, de cada 
 
jão, soja e milho que devem ser 
escolhidos pelo comerciante são, respectivamente, 
A Secretaria de Saúde de um 
rograma que disponibiliza, para 
escola municipal, uma bicicleta, 
trajeto de ida e volta, entre sua 
de implantação do programa, 
distante da escola realizou 
na figura, na 
período de cinco dias. 
 
Quantos quilômetros esse aluno percorreu na fase de 
implantação do programa? 
a) 4 b) 8 c) 16 d) 20
 
13 - (ENEM/2014) Uma ponte precisa ser 
dimensionada de forma que possa ter três pontos de 
sustentação. Sabe-se que a carga máxima suportada 
pela ponte será de 12 t. O ponto
central receberá 60% da carga da ponte,
da carga será distribuído igualmente entre os
dois pontos de sustentação. 
máxima, as cargas recebidas pelos três 
sustentação serão, respectivamente,
a) 1,8 t; 8,4 t; 1,8 t. 
b) 3,0 t; 6,0 t; 3,0 t. 
c) 2,4 t; 7,2 t; 2,4 t. 
d) 3,6 t; 4,8 t; 3,6 t. 
e) 4,2 t; 3,6 t; 4,2 t. 
 
14 - (ENEM/2014) A taxa de fecundidade é um 
indicador que expressa a condição reprodutiva média 
das mulheres de uma região, e é importante para uma 
análise da dinâmica demográfica 
tabela apresenta os dados obtidos pelos
2000 e 2010, feitos pelo IBGE, 
fecundidade no Brasil. 
Suponha que a variação percentual relativa na taxa 
fecundidade no período de 2000 a 2010 se repita no 
período de 2010 a 2020. 
Nesse caso, em 2020 a taxa de fecundidade no Brasil
estará mais próxima de 
a) 1,14. b) 1,42. c) 1,52. d)
 
15 - (ENEM/2014) Uma empresa de alimentos 
oferece três valores diferentes de remuneração a seus 
funcionários, de acordo com o grau de instrução 
necessário para cada cargo. No ano de 2013, a 
empresa teve uma receita de 10 milhões de reais por 
mês e um gasto mensal com a folha salarial de 
R$ 400 000,00, distribuídos de 
1. No ano seguinte, a empresa 
funcionários, mantendo o mesmo
cada categoria. Os demais custos da
permanecerão constantes de 2013 para 2014.
O número de funcionários em 2013 e 2014, por grau 
de instrução está no Gráfico 2. 
 Página 13 
esse aluno percorreu na fase de 
20 e) 40 
Uma ponte precisa ser 
possa ter três pontos de 
carga máxima suportada 
pela ponte será de 12 t. O ponto de sustentação 
central receberá 60% da carga da ponte, e o restante 
da carga será distribuído igualmente entre os outros 
 No caso de carga 
as cargas recebidas pelos três pontos de 
sustentação serão, respectivamente, 
xa de fecundidade é um 
condição reprodutiva média 
e é importante para uma 
análise da dinâmica demográfica dessa região. A 
tabela apresenta os dados obtidos pelos Censos de 
2000 e 2010, feitos pelo IBGE, com relação à taxa de 
 
ção percentual relativa na taxa de 
odo de 2000 a 2010 se repita no 
Nesse caso, em 2020 a taxa de fecundidade no Brasil 
d) 1,70. e) 1,80. 
Uma empresa de alimentos 
diferentes de remuneração a seus 
acordo com o grau de instrução 
cargo. No ano de 2013, a 
de 10 milhões de reais por 
com a folha salarial de 
 acordo com o Gráfico 
1. No ano seguinte, a empresa ampliará o número de 
funcionários, mantendo o mesmo valor salarial para 
goria. Os demais custos da empresa 
permanecerão constantes de 2013 para 2014. 
O número de funcionários em 2013 e 2014, por grau 
 
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Matemática ENEM 
Qual deve ser o aumento na receita da em
que o lucro mensal em 2014 seja o mesmo de
a) R$ 114 285,00 d) R$ 210 000,00 
b) R$ 130 000,00 e) R$ 213 333,00 
c) R$ 160 000,00 
 
16 - (ENEM/2014) Uma organização não 
governamental divulgou um levantamento de dados 
realizado em algumas cidades brasileiras sobre 
saneamento básico. Os resultados indicam que 
somente 36% do esgoto gerado nessas
tratado, o que mostra que 8 bilhões de litros de
sem nenhum tratamento são lançados todos os
nas águas. 
Uma campanha para melhorar o saneamento básico 
nessas cidades tem como meta a 
quantidade de esgoto lançado nas águas diariamente, 
sem tratamento, para 4 bilhões de litros nos próximos 
meses. 
Se o volume de esgoto gerado permanecer o mesmo e
a meta dessa campanha se concretizar, o percentual 
de esgoto tratado passará a ser 
a) 72% d) 54% 
b) 68% e) 18% 
c) 64% 
 
 
 
 
Qual deve ser o aumento na receita da empresa para 
o lucro mensal em 2014 seja o mesmo de 2013? 
 
 
Uma organização não 
levantamento de dados 
brasileiras sobre 
indicam que 
somente 36% do esgoto gerado nessas cidades é 
tratado, o que mostra que 8 bilhões de litros de esgoto 
sem nenhum tratamento são lançados todos os dias 
ra melhorar o saneamento básico 
ades tem como meta a redução da 
de esgoto lançado nas águas diariamente, 
tratamento, para 4 bilhões de litros nos próximos 
Se o volume de esgoto gerado permanecer o mesmo e 
se concretizar, o percentual 
17 - (ENEM/2014) A Companhia de Engenharia de 
Tráfego (CET) de São Paulo testou em 2013 novos 
radares que permitem o cálculo da velocidade média 
desenvolvida por um veículo em um trecho da via.
As medições de velocidade deixariam de ocorrer de
maneira instantânea, ao se passar pelo radar, e seriam 
feitas a partir da velocidade média no trecho, 
considerando o tempo gasto no percurso entre um 
radar e outro. Sabe-se que a
calculada como sendo a razã
percorrida e o tempo gasto para percorrê
O teste realizado mostrou que o tempo que permite 
uma condução segura de deslocamento no percurso 
entre os dois radares deveria ser de, no mínimo, 1 
minuto e 24 segundos. Com isso, a CET prec
instalar uma placa antes do primeiro
informando a velocidade média máxima permitida 
nesse trecho da via. O valor a ser exibido na placa 
deve ser o maior possível, entre os que atendem às 
condições de condução segura observadas.
Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 11 jan. 2014 (adaptado).
A placa de sinalização que informa a velocidade que 
atende a essas condições é 
 
 
 Página 14 
A Companhia de Engenharia de 
São Paulo testou em 2013 novos 
cálculo da velocidade média 
em um trecho da via. 
 
cidade deixariam de ocorrer de 
se passar pelo radar, e seriam 
da velocidade média no trecho, 
gasto no percurso entre um 
se que a velocidade média é 
calculada como sendo a razão entre a distância 
percorrida e o tempo gasto para percorrê-la. 
mostrou que o tempo que permite 
ura de deslocamento no percurso 
es deveria ser de, no mínimo, 1 
om isso, a CET precisa 
instalar uma placa antes do primeiro radar 
locidade média máxima permitida 
O valor a ser exibido na placa 
ssível, entre os que atendem às 
condução segura observadas. 
1.folha.uol.com.br. Acesso em: 11 jan. 2014 (adaptado). 
ão que informa a velocidade que 
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Matemática ENEM 
18 - (ENEM/2014) Em uma cidade, o valor total da 
conta de energia elétrica é obtido pelo produto entre o 
consumo (em kWh) e o valor da tarifa do kWh (com 
tributos), adicionado à Cosip (contribuição para 
custeio da iluminação pública), conforme a 
expressão: 
O valor da Cosip é fixo em cada faixa de consumo.
O quadro mostra o valor cobrado para algumas faixas.
Suponha que, em uma residência, todo mês o 
consumo seja de 150 kWh, e o valor do kWh (com 
tributos) seja de R$ 0,50. O morador dessa residência 
pretende diminuir seu consumo mensal de energia 
elétrica com o objetivo de reduzir o custo total da 
conta em pelo menos 10%. 
Qual deve ser o consumo máximo, em kWh, dessa 
residência para produzir a redução pretendida pelo 
morador? 
a) 134,1 b) 135,0 c) 137,1 d) 138,6 
 
19 - (ENEM/2014) O Brasil é um país com uma 
vantagem econômica clara no terreno dos recur
naturais, dispondo de umadas maiores áreas com 
vocação agrícola do mundo. Especialistas calculamque, dos 853 milhões de hectares do país, as cidades, 
as reservas indígenas e as áreas de preservação, 
incluindo florestas e mananciais, cubram 
470 milhões de hectares. Aproximadamente
milhões se destinam à agropecuária, 200 milhões
pastagens e 80 milhões para a agricultura,
lavouras anuais e as perenes, como o café
fruticultura. 
FORTES, G. Recuperação de pastagens é alternativa para ampliar cultivos.
Folha de S. Paulo
De acordo com os dados apresentados, o percentual 
correspondente à área utilizada para agricultura em 
relação à área do território brasileiro é mais próximo 
de 
a) 32,8% b) 28,6% c) 10,7% d) 9,4%
 
20 - (ENEM/2014) Para analisar o desempenho de 
um método diagnóstico, realizam-se estudos em 
populações contendo pacientes sadios e doentes. 
Quatro situações distintas podem acontecer nesse 
contexto de teste: 
 1) Paciente TEM a doença e o resultado do 
teste é POSITIVO. 
 
 
Em uma cidade, o valor total da 
elétrica é obtido pelo produto entre o 
e o valor da tarifa do kWh (com 
Cosip (contribuição para 
conforme a 
 
fixo em cada faixa de consumo. 
O quadro mostra o valor cobrado para algumas faixas. 
 
, em uma residência, todo mês o 
seja de 150 kWh, e o valor do kWh (com 
R$ 0,50. O morador dessa residência 
seu consumo mensal de energia 
reduzir o custo total da 
áximo, em kWh, dessa 
para produzir a redução pretendida pelo 
 e) 143,1 
O Brasil é um país com uma 
clara no terreno dos recursos 
das maiores áreas com 
Especialistas calculam 
do país, as cidades, 
preservação, 
incluindo florestas e mananciais, cubram por volta de 
470 milhões de hectares. Aproximadamente 280 
milhões se destinam à agropecuária, 200 milhões para 
pastagens e 80 milhões para a agricultura, somadas as 
lavouras anuais e as perenes, como o café e a 
ernativa para ampliar cultivos. 
Folha de S. Paulo, 30 out. 2011. 
ados apresentados, o percentual 
a utilizada para agricultura em 
tório brasileiro é mais próximo 
9,4% e) 8,0% 
Para analisar o desempenho de 
se estudos em 
ios e doentes. 
distintas podem acontecer nesse 
ça e o resultado do 
 2) Paciente TEM a doença e o resultado do 
teste é NEGATIVO. 
 3) Paciente NÃO TEM a doença e o resultado 
do teste é POSITIVO. 
 4) Paciente NÃO TEM a doença e o resultado 
do teste é NEGATIVO. 
Um índice de desempenho para avaliação de um
diagnóstico é a sensibilidade, definida como a 
probabilidade de o resultado do teste ser POSITIVO 
se o paciente estiver com a doença.
O quadro refere-se a um teste diagnóstico para
doença A, aplicado em uma amostra composta por 
duzentos indivíduos. 
Conforme o quadro do teste proposto, a sensibilidade
dele é de 
a) 47,5%. d) 94,4%. 
b) 85,0%. e) 95,0%. 
c) 86,3%. 
 
21 - (ENEM/2014) De acordo com a ONU, da água 
utilizada diariamente, 
 - 25% são para tomar banho, lavar as mã
escovar os dentes. 
 - 33% são utilizados em descarga de 
banheiro. 
 - 27% são para cozinhar e beber.
 - 15% são para demais atividades.
No Brasil, o consumo de água por pessoa chega, em 
média, a 200 litros por dia. 
O quadro mostra sugestões de consum
água por pessoa, por dia, em algumas atividades.
Se cada brasileiro adotar o consumo de água indicado 
no quadro, mantendo o mesmo consumo nas demais 
atividades, então economizará diariamente, em 
média, em litros de água, 
a) 30,0. 
b) 69,6. 
c) 100,4. 
d) 130,4. 
e) 170,0. 
 Página 15 
2) Paciente TEM a doença e o resultado do 
O TEM a doença e o resultado 
4) Paciente NÃO TEM a doença e o resultado 
a avaliação de um teste 
diagnóstico é a sensibilidade, definida como a 
tado do teste ser POSITIVO 
paciente estiver com a doença. 
se a um teste diagnóstico para a 
ado em uma amostra composta por 
 
Conforme o quadro do teste proposto, a sensibilidade 
De acordo com a ONU, da água 
25% são para tomar banho, lavar as mãos e 
33% são utilizados em descarga de 
27% são para cozinhar e beber. 
15% são para demais atividades. 
mo de água por pessoa chega, em 
O quadro mostra sugestões de consumo moderado de 
água por pessoa, por dia, em algumas atividades. 
 
otar o consumo de água indicado 
endo o mesmo consumo nas demais 
tão economizará diariamente, em 
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Matemática ENEM 
22 - (ENEM/2014) Uma pessoa compra 
semanalmente, numa mesma loja, sempre a mesma 
quantidade de um produto que custa R$ 10,00 a 
unidade. Como já sabe quanto deve 
sempre R$ 6,00 a mais do que a quantia
para comprar tal quantidade, para o caso de eventuais 
despesas extras. Entretanto, um dia, ao chegar à loja, 
foi informada de que o preço daquele produto havia 
aumentado 20%. Devido a esse reajuste, concluiu que 
o dinheiro levado era a quantia exata para
duas unidades a menos em relação à quantidade
habitualmente comprada. 
A quantia que essa pessoa levava semanalmente para
fazer a compra era 
a) R$ 166,00. d) R$ 46,00. 
b) R$ 156,00. e) R$ 24,00. 
c) R$ 84,00. 
 
23 - (ENEM/2014) Os vidros para veículo
produzidos por certo fabricante têm transparências 
entre 70% e 90%, dependendo do lote fabricado. Isso 
significa que, quando um feixe luminoso 
vidro, uma parte entre 70% e 90% da luz
atravessá-lo. Os veículos equipados com vidros
fabricante terão instaladas, nos vidros das portas, 
películas protetoras cuja transparência, dependendo 
do lote fabricado, estará entre 50% e 70%. Considere 
que uma porcentagem P da intensidade da luz, 
proveniente de uma fonte externa, atravessa o vidro e
a película. 
De acordo com as informações, o intervalo das 
porcentagens que representam a variação total 
possível de P é 
a) [35 ; 63]. d) [50 ; 90]. 
b) [40 ; 63]. e) [70 ; 90]. 
c) [50 ; 70]. 
 
24 - (ENEM/2015) O HPV é uma doença 
sexualmente transmissível. Uma vacina com eficácia 
de 98% foi criada com o objetivo de prevenir a 
infecção por HPV e, dessa forma, reduzir o
de pessoas que venham a desenvolver câncer de 
de útero. Uma campanha de vacinação foi lançada
em 2014 pelo SUS, para um público-alvo de meninas
de 11 a 13 anos de idade. Considera-se que, em uma
população não vacinada, o HPV acomete 50% desse
público ao longo de suas vidas. Em certo município,
a equipe coordenadora da campanha decidiu vacinar
meninas entre 11 e 13 anos de idade em
suficiente para que a probabilidade de uma menina 
nessa faixa etária, escolhida ao acaso, vir a 
desenvolver essa doença seja, no máximo, de 5,9%. 
 
 
Uma pessoa compra 
loja, sempre a mesma 
custa R$ 10,00 a 
 gastar, leva 
sempre R$ 6,00 a mais do que a quantia necessária 
de eventuais 
chegar à loja, 
produto havia 
concluiu que 
o dinheiro levado era a quantia exata para comprar 
duas unidades a menos em relação à quantidade 
A quantia que essa pessoa levava semanalmente para 
Os vidros para veículos 
têm transparências 
fabricado. Isso 
significa que, quando um feixe luminoso incide no 
vidro, uma parte entre 70% e 90% da luz consegue 
lo. Os veículos equipados com vidros desse 
taladas, nos vidros das portas, 
cuja transparência, dependendo 
tará entre 50% e 70%. Considere 
da intensidade da luz, 
de uma fonte externa, atravessa o vidro e 
as informações, o intervalo das 
ue representam a variação total 
O HPV é uma doença 
Uma vacina com eficácia 
de prevenir a 
infecção por HPV e, dessa forma, reduzir o número 
m a desenvolver câncer de colo 
de útero. Uma campanha de vacinação foi lançada 
alvo de meninas 
se que, em uma 
população não vacinada, o HPV acomete 50% desse 
público ao longo de suas vidas. Em certo município, 
a equipe coordenadora da campanha decidiu vacinar 
meninas entre 11 e 13 anos de idade em quantidade 
suficiente para que a probabilidade de uma menina 
faixa etária, escolhida ao acaso, vir a 
doença seja, no máximo, de 5,9%. 
Houve cinco propostas de cobertura, de modo a 
atingir essa meta: 
 Proposta I: vacinação de 90% d
 Proposta II: vacinação de 55,8% do público
 Proposta III: vacinação de 88,2% do público
 Proposta IV: vacinação de 49% do público
 Proposta V: vacinação de 95,9%do público
Para diminuir os custos, a propost
ser também aquela que vacinasse a menor quantidade 
possível de pessoas. 
Disponível em: www.virushpv.com.br. Acesso em: 30 ago. 2014 (adaptado).
A proposta implementada foi a de número
a) I. b) II. c) III. d) IV. 
 
25 - (ENEM/2015) O acréscimo de tecnologias no 
sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir 
custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano 
de funcionamento, uma indústria fabricou 8 000 
unidades de um determinado
seguinte, investiu em tecnologia adquirindo
máquinas e aumentou a produção em 50%.
que esse aumento percentual se repita nos
anos, garantindo um crescimento anual de 50%.
Considere P a quantidade anual de produtos 
fabricados no ano t de funciona
Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que
determina o número de unidades produzidas 
função de t, para t ≥1? 
a) P(t) = 0,5 · t -1 + 8 000 
b) P(t) = 50 · t -1 + 8 000 
c) P(t) = 4 000 · t -1 + 8 000 
d) P(t) = 8 000 · (0,5) t -1 
e) P(t) = 8 000 · (1,5) t -1 
 
26 - (ENEM/2015) Um casal realiza um 
financiamento imobiliário de R$ 180 000,00, a ser 
pago em 360 prestações mensais,
efetiva de 1% ao mês. A primeira
um mês após a liberação dos recu
prestação mensal é de R$ 500,00 mais juro 
sobre o saldo devedor (valor devido antes do
pagamento). Observe que, a cada pagamento, o saldo 
devedor se reduz em R$ 500,00 e considere que não 
há prestação em atraso. 
Efetuando o pagamento dessa forma, o valor, em 
reais, a ser pago ao banco na décima prestação é de
a) 2 075,00. 
b) 2 093,00. 
c) 2 138,00. 
d) 2 255,00. 
e) 2 300,00. 
 
 
 
 Página 16 
de cobertura, de modo a 
Proposta I: vacinação de 90% do público-alvo. 
Proposta II: vacinação de 55,8% do público-alvo. 
Proposta III: vacinação de 88,2% do público-alvo. 
Proposta IV: vacinação de 49% do público-alvo. 
Proposta V: vacinação de 95,9% do público-alvo. 
s, a proposta escolhida deveria 
ue vacinasse a menor quantidade 
Disponível em: www.virushpv.com.br. Acesso em: 30 ago. 2014 (adaptado). 
A proposta implementada foi a de número 
 e) V. 
O acréscimo de tecnologias no 
industrial tem por objetivo reduzir 
produtividade. No primeiro ano 
indústria fabricou 8 000 
unidades de um determinado produto. No ano 
stiu em tecnologia adquirindo novas 
máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se 
que esse aumento percentual se repita nos próximos 
anos, garantindo um crescimento anual de 50%. 
a quantidade anual de produtos 
de funcionamento da indústria. 
Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que 
determina o número de unidades produzidas P em 
Um casal realiza um 
R$ 180 000,00, a ser 
pago em 360 prestações mensais, com taxa de juros 
efetiva de 1% ao mês. A primeira prestação é paga 
um mês após a liberação dos recursos e o valor da 
mensal é de R$ 500,00 mais juro de 1% 
sobre o saldo devedor (valor devido antes do 
que, a cada pagamento, o saldo 
m R$ 500,00 e considere que não 
o dessa forma, o valor, em 
ser pago ao banco na décima prestação é de 
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Matemática ENEM 
27 - (ENEM/2015) Segundo dados apurados no 
Censo 2010, para uma população de 101,8 milhões de 
brasileiros com 10 anos ou mais de idade e que teve 
algum tipo de rendimento em 2010, a renda média 
mensal apurada foi de R$ 1 202,00. A soma dos 
rendimentos mensais dos 10% mais pobres
correspondeu a apenas 1,1% do total de rendimentos 
dessa população considerada, enquanto que a soma 
dos rendimentos mensais dos 10% mais ricos 
correspondeu a 44,5% desse total. 
Disponível em: www.estadao.com.br. Acesso em: 16 nov. 2011(adaptado).
Qual foi a diferença, em reais, entre a renda média 
mensal de um brasileiro que estava na faix
mais ricos e de um brasileiro que estava na faixa dos 
10% mais pobres? 
a) 240,40 
b) 548,11 
c) 1 723,67 
d) 4 026,70 
e) 5 216,68 
 
28 - (ENEM/2015) Um pesquisador, ao explorar uma 
floresta, fotografou uma caneta de 16,8 cm de 
comprimento ao lado de uma pegada. O comprimento 
da caneta (c), a largura (L) e o comprimento (
pegada, na fotografia, estão indicados no esquema.
A largura e o comprimento reais da 
centímetros, são, respectivamente, iguais a
a) 4,9 e 7,6. 
b) 8,6 e 9,8. 
c) 14,2 e 15,4. 
d) 26,4 e 40,8. 
e) 27,5 e 42,5. 
 
29 - (ENEM/2015) O polímero de PET 
(Politereftalato de Etileno) é um dos plásticos mais 
reciclados em todo o mundo devido à sua extensa 
gama de aplicações, entre elas, fibras têxteis, tapetes, 
embalagens, filmes e cordas. Os gráficos 
destino do PET reciclado no Brasil, sendo que,
de 2010, o total de PET reciclado foi de 282 kton 
(quilotoneladas). 
 
 
Segundo dados apurados no 
população de 101,8 milhões de 
ou mais de idade e que teve 
2010, a renda média 
A soma dos 
rendimentos mensais dos 10% mais pobres 
as 1,1% do total de rendimentos 
nto que a soma 
rendimentos mensais dos 10% mais ricos 
Disponível em: www.estadao.com.br. Acesso em: 16 nov. 2011(adaptado). 
, em reais, entre a renda média 
iro que estava na faixa dos 10% 
sileiro que estava na faixa dos 
(ENEM/2015) Um pesquisador, ao explorar uma 
uma caneta de 16,8 cm de 
uma pegada. O comprimento 
) e o comprimento (C) da 
indicados no esquema. 
 
 pegada, em 
centímetros, são, respectivamente, iguais a 
O polímero de PET 
dos plásticos mais 
à sua extensa 
gama de aplicações, entre elas, fibras têxteis, tapetes, 
agens, filmes e cordas. Os gráficos mostram o 
destino do PET reciclado no Brasil, sendo que, no ano 
e PET reciclado foi de 282 kton 
De acordo com os gráficos, a quantidade de 
embalagens PET recicladas destinadas à prod
tecidos e malhas, em kton, é mais aproximada de
a) 16,0. b) 22,9. c) 32,0. d)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito
 
 
 
 
 
 
 
 
1 – D 
2 – A 
3 – C 
4 – B 
5 – B 
6 – E 
7 – D 
8 – C 
9 – D 
10 – B 
11 – D 
12 – E 
13 – C 
14 – C 
15 – B 
 
 
16 – 
17 – 
18 – 
19 – 
20 – 
21 – 
22 – 
23 – 
24 – 
25 – 
26 – 
27 – 
28 – 
29 – 
 
 Página 17 
 
De acordo com os gráficos, a quantidade de 
cladas destinadas à produção de 
malhas, em kton, é mais aproximada de 
d) 84,6. e) 106,6. 
Gabarito 
 B 
 C 
 C 
 D 
 E 
 C 
 B 
 A 
 A 
 E 
 D 
 E 
 D 
 C 
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Matemática ENEM 
MÓDULO 3 
 
Polígonos 
 
 Figuras planas fechadas, simples e formadas 
somente por segmentos de retas. A pal
“polígonos” deriva de dois termos gregos: 
= muitos ou vários e “gonos” = ângulos
 Os elementos principais de um polígono são 
vértices, lados e ângulos (internos e externos). 
Veja: 
 
Ângulo Lado
externo Ângulo interno
 
 
 Cada polígono recebe um nome de acordo com 
o número de lados. Note que o número de lad
de um polígono é igual ao número de ângulos 
internos e também igual ao número de vértices. 
 
Nº de lados Nome 
3 Triângulo 
4 Quadrilátero 
5 Pentágono 
6 Hexágono 
7 Heptágono 
8 Octógono 
9 Eneágono 
10 Decágono 
11 Undecágono 
12 Dodecágono 
15 Pentadecágono 
20 Icoságono 
 
 Número de diagonais: O número de 
diagonais de qualquer polígono é dado pela 
relação: 
 
 
 
onde: d = nº de diagonais do polígono 
 n = nº de lados do polígono 
 
 Soma das medidas dos ângulos 
internos de um polígono: Es
dada pela seguinte relação: 
 
 
 
 
2
)3.( 

nn
d
 º180).2(  nSi
 
 
 
Figuras planas fechadas, simples e formadas 
somente por segmentos de retas. A palavra 
“polígonos” deriva de dois termos gregos: “poli” 
“gonos” = ângulos. 
Os elementos principais de um polígono são 
vértices, lados e ângulos (internos e externos). 
 Vértice 
Ângulo Lado 
externo Ângulo interno