Matemática Discreta

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18/05/2020 UNIP - Universidade Paulista : DisciplinaOnline - Sistemas de conteúdo online para Alunos.
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Matemática Discreta
Módulo 1
Análise Combinatória: Contagem
 Princípio da multiplicação
 Princípio da adição
 
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Exercício 1:
Existem 4 estradas ligando as cidades A e B, 5 estradas ligando as cidades B e C e 3
estradas ligando as cidades C e D. De quantas formas diferentes uma pessoa pode fazer a
viagem da cidade A até D, passando pelas cidades B e C.
A)
48
B)
12
C)
60
D)
120
E)
24
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
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Comentários:
A) 
B) 
C) 
Exercício 2:
Um vagão de trem possui 6 portas. De quantas maneiras uma pessoa poderá entrar e sair
desse vagão de forma que a porta de entrada seja diferente da porta de saída?
A)
36
B)
11
C)
25
D)
30
E)
22
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
C) 
D) 
Exercício 3:
Um prova teste consiste de 8 questões, cada uma com 5 alternativas possíveis. Um aluno
pretende “chutar” todas as questões. De quantas maneiras distintas isso pode ser feito?
A)
40
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B)
58
C)
85
D)
40320
E)
120
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) 
B) 
C) 
Exercício 4:
Quatro moedas são lançadas. Quantas sequências distintas de caras e coroas existem?
A)
24
B)
8
C)
16
D)
720
E)
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120
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
D) 
A) 
B) 
C) 
Exercício 5:
Uma pedra de dominó consiste em um retângulo divido ao meio, onde em cada metade é
escrito um número que pode ser 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Uma pedra pode receber dois números
iguais, e além disso, por serem simétricas, a pedra com os números 2 e 5, por exemplo, e a
pedra com os números 5 e 2 são a mesma pedra. Quantas pedras distintas existem?
A)
14
B)
21
C)
36
D)
28
E)
42
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) 
A) 
B) 
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C) 
D) 
Exercício 6:
Quantas soluções em N (números naturais) têm a equação x + y + z = 3?
A)
14
B)
12
C)
4
D)
6
E)
10
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) 
E) 
Exercício 7:
Quantos divisores (entre os números naturais) possui o número 720?
 
A)
8
B)
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30
C)
6
D)
45
E)
360
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
D) 
A) 
B) 
Exercício 8:
Cinco dados (cada um com seis faces numeradas de 1 até 6) são lançados. Quantas 
seqüências de resultados distintos existem?
A)
6!
B)
56
C)
65
D)
6x5
E)
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11
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) 
B) 
C) 
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Matemática Discreta
Módulo 2
Análise Combinatória: Fatorial de um número.
 Permutações e Arranjos.
 
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Exercício 1:
A placa de um carro é formada por 3 letras seguidas de 4 algarismos. Quantas placas
existem utilizando as letras P, Q e R e apenas algarismos ímpares?
A)
3750
B)
12
C)
348
D)
78
E)
36241
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O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) 
Exercício 2:
A placa de um carro é formada por 3 letras seguidas de 4 algarismos. Quantas placas
existem utilizando as letras P, Q e R e apenas algarismos ímpares, mas de forma que os
algarismos sejam distintos ?
A)
3750
B)
16875
C)
345
D)
84264
E)
120
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
B) 
A) 
D) 
C) 
E) 
Exercício 3:
A placa de um carro é formada por 3 letras seguidas de 4 algarismos. Quantas placas
existem utilizando as letras P, Q e R e apenas algarismos ímpares, mas de forma que todos
os caracteres sejam distintos?
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A)
720
B)
16875
C)
48
D)
3240
E)
3750
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) 
Exercício 4:
Um número de telefone possui 8 dígitos. Quantos números de telefone que tenham prefixo
2578 existem de forma que os algarismos restantes sejam todos distintos entre si e também
distintos dos números do prefixo e o algarismos Zero não aparece em nenhuma posição?
A)
248
B)
4096
C)
128
D)
120
E)
355
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O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) 
B) 
C) 
D) 
Exercício 5:
Uma senha deve ser constituída por 2 letras escolhidas entre a, b, c, d, seguidas por 3
algarismos escolhidos entre os números 1, 2, 3, 4 ou 5. O número de senhas possíveis nos
casos em que são permitidas repetições de símbolos e no caso de não serem permitidas
repetições de símbolos, são dadas, respectivamente, por:
A)
1728 e 1258
B)
23 e 19
C)
1256 e 864
D)
32000 e 1286
E)
2000 e 720
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
Exercício 6:
Um teste consta de 5 questões, e cada uma possui apenas duas alternativas: verdadeiro ou
falso. De quantas formas diferentes é possível responder a esse teste?
A)
25
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B)
16
C)
50
 
D)
64
E)
32
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
C) 
D) 
E) 
Exercício 7:
Chama-se anagrama de uma palavra é qualquer reordenação das letras da palavra
original, tenha essa reordenação sentido ou não (a palavra original também é considerada
um anagrama de si própria).
De acordo com texto quantos anagramas possui a palavra “amor”
A)
24
B)
16
C)
25
D)
32
E)
120
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O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
B) 
C) 
D) 
E) 
A) 
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Módulo 3
Análise Combinatória: Combinações.Clique no ícone para baixar o módulo 3 completo em pdf
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Exercício 1:
Quantos números podemos obter se fizermos o produto de três números escolhidos entre os
números 2, 3, 5 e 7?
A)
18
B)
35
C)
12
D)
8
E)
4
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) 
B) 
C) 
E) 
Exercício 2:
Quantos triângulos podemos formar com 20 pontos coplanares, mas não colineares?
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A)
60
B)
120
C)
512
D)
1024
E)
1140
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
B) 
C) 
D) 
E) 
Exercício 3:
Quantos triângulos podemos formar com 20 pontos coplanares, sendo 8 pontos colineares?
A)
60
B)
120
C)
512
D)
1084
E)
1140
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
E) 
D) 
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Exercício 4:
A partir de um grupo com 10 pessoas, entre elas Igor, queremos formar uma comissão com 4
pessoas. Quantas comissões distintas existem se Igor não deve fazer parte de nenhuma
comissão?
A)
126
B)
327
C)
39
D)
120
E)
210
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
C) 
D) 
E) 
B) 
A) 
Exercício 5:
A partir de um grupo com 10 pessoas, entre elas Pedro e Paulo, queremos formar uma
comissão com 4 pessoas. Quantas comissões distintas existem se Pedro e Paulo (ambos)
devem fazer parte de todas as comissões?
A)
20
B)
210
C)
28
D)
126
E)
45
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O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) 
B) 
C) 
Exercício 6:
A partir de um grupo com 10 pessoas, entre elas Ubiraci e Ubirajara, queremos formar uma
comissão com 4 pessoas. Quantas comissões distintas existem se Ubiraci deve fazer parte
de todas as comissões e Ubirajara não deve fazer parte de nenhuma comissão?
A)
56
B)
120
C) 
D)
70
E)
210
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
B) 
D) 
E) 
A) 
Exercício 7:
A partir de um grupo com 10 pessoas, entre elas Yago e Caio, queremos formar uma
comissão com 4 pessoas. Quantas comissões distintas existem se Yago e Caio (ambos) não
devem fazer parte de nenhuma comissão?
 
A)
320
B)
210
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C)
126
D)
70
E)
84
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
B) 
C) 
D) 
Exercício 8:
Quantos números podemos obter se fizermos o produto de dois números distintos escolhidos
entre os números 2; 3; 5; 7 e 9?
A)
20
B)
18
C)
15
D)
12
E)
10
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
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B) 
D) 
C) 
E) 
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Matemática Discreta
Módulo 4
Análise Combinatória: Combinações com elementos repetidos
 Permutações circulares.
 
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Exercício 1:
Com 4 cores diferentes, de quantas maneiras distintas podemos pintar 5 vasos idênticos,
pintando cada vaso de uma única cor?
A)
12
B)
24
C)
28
D)
36
E)
48
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
B) 
C) 
D) 
E) 
Exercício 2:
Um menino está em um parque de diversões e resolve comprar dois bilhetes. No parque há 4
tipos de brinquedos: chapéu mexicano, trem fantasma, montanha russa e roda gigante.
O menino pode comprar quatro bilhetes do mesmo tipo, se ele quiser ir quatro vezes no
mesmo brinquedo. Nessas condições, qual é o número total de possibilidades de compra dos
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bilhetes?
A)
10
B)
20
C)
24
D)
35
E)
120
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) 
C) 
D) 
Exercício 3:
A diretoria de uma empresa é formada por 6 pessoas. Para as reuniões ele sentam em 9
cadeiras em volta de uma mesa redonda. Sempre variam de posição de uma reunião para
outra. De quantas maneiras eles podem alternar estas posições?
A)
720
B)
360
C)
240
D)
160
E)
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120
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) 
Exercício 4:
A diretoria de uma empresa é formada por 6 pessoas. Para as reuniões ele sentam em 9
cadeiras em volta de uma mesa redonda. Sempre variam de posição de uma reunião para
outra. De quantas maneiras eles podem alternas estas posições de maneira que o presidente
e o vice fiquem um do lado outro?
A)
720
B)
360
C)
240
D)
160
E)
120
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
B) 
C) 
Exercício 5:
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A diretoria de uma empresa é formada por 6 pessoas. Para as reuniões ele sentam em 9
cadeiras em volta de uma mesa redonda. Sempre variam de posição de uma reunião para
outra. De quantas maneiras eles podem alternas estas posições de maneira que o
presidente fiquem sempre a esquerda do vice?
A)
720
B)
360
C)
240
D)
160
E)
120
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
C) 
B) 
D) 
E) 
Exercício 6:
Uma pedra de dominó consiste em um retângulo divido ao meio, onde em cada metade é
escrito um número que pode ser 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Uma pedra pode receber dois números
iguais, e além disso, por serem simétricas, a pedra com os números 2 e 5, por exemplo, e a
pedra com os números 5 e 2 são a mesma pedra. Quantas pedras distintas existem?
A)
C7;2 
B)
C8;2
C)
A7;2
D)
A8;2
E)
A9;3
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O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
C) 
D) 
B) 
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Matemática Discreta
Módulo 5
Análise Combinatória: Princípio de inclusão e exclusão
 Princípio da casa dos pombos.
 
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Exercício 1:
Consultadas 500 pessoas sobre as emissoras de TV que habitualmente assistem, obteve-se
o resultado seguinte: 280 pessoas assistem o canal A, 250 assistem o canal B e 70 assistem
outros canais distintos de A e B. O número de pessoas que assistem A e não assistem B é:
A)
30
B)
150
C)
180
D)
210
E)
580
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) 
B) 
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C) 
Exercício 2:
Suponhamos que numa equipe de 10 estudantes 6 usam óculos e 8 usam relógio. O número
de estudantes que usa, ao mesmo tempo, óculos e relógio é:
A)
exatamente 6
B)
exatamente 2
C)
no máximo 6
D)
no máximo 5
E)
no máximo 4
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
C) 
D) 
E) 
Exercício 3:
Dos 180 funcionários que trabalham no escritório de uma empresa, precisamente:
108 falam inglês; 68 falam espanhol; 32 não falam inglês nem espanhol. Quantos
funcionários desse escritório falam as duas línguas, inglês e espanhol?
A)
176
B)
140
C)
100
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D)
36
E)
28
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
C) 
D) 
B) 
E) 
Exercício 4:
Um grupo tem que conter quantas pessoas para se garantir que duas pessoas no grupo
nasceram no mesmo dia da semana?
A)
4
B)
5
C)
6
D)
7
E)
8
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
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Comentários:
D) 
E) 
Exercício 5:
Um grupo tem que conter quantas pessoas para se garantir que três pessoas no grupo faz
aniversário no mesmo mês?
A)
13
B)
14
C)
15
D)
24
E)
25
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
B) 
A) 
C) 
E) 
Exercício 6:
Do conjunto {1; 2; 3; 4; 5}, quantos pares devemos escolher para garantir com certeza que
pelo menos um par tem que soma igual 7?
A)
2
B)
3
C)
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4
D)
8
E)
9
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
B) 
C) 
D) 
E) 
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Matemática Discreta
Módulo 6
Recursão: Funções Recursivas
 Sequências recursivas
 
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Exercício 1:
Definimos recursivamente a seguinte função
F(1) = 1
F(n) = F(n-1) + n2, se n é maior ou igual à 2.
Então o valor de F(4) é
A)
15
B)
30
C)
48
D)
127
E)
144
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) 
B) 
Exercício 2:
Uma função é definida recursivamente por:
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F(1) = 1
F(n) = n.F(n-1) + 2 , se n é maior que um.
Qual número não pertence a imagem desta função ?
A)
14
B)
292
C)
12280
D)
63
E)
4
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
C) 
D) 
Exercício 3:
Uma função é definida recursivamente por:
F(1) = 1
F(2) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2) , se n é maior que dois
Qual número não pertence a imagem desta função ?
A)
8
B)
55
C)
89
D)
377
E)
625
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
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Comentários:
C) 
D) 
E) 
Exercício 4:
Uma função é definida recursivamente por:
f(1) = 1
f(2) = 1
f(n) = f(n - 1) + f(n - 2) , se n é maior que dois
Qual é o valor de f(8) + f(13)?
A)
4867
B)
512
C)
87
D)
254
E)
325
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) 
B) 
C) 
D) 
Exercício 5:
Uma função é definida recursivamente por:
f(1) = 1
f(2) = 1
f(n) = f(n - 1) + f(n - 2) , se n é maior que dois
Qual é o valor de f(5 + 8) – ( f(5) + f(8))?
A)
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207
B)
754
C)
87
D)
225
E)
zero
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) 
Exercício 6:
Uma função é definida recursivamente por:
f(0) = 0
f(n) = 2n + f(n-1) , se n é maior que zero
Qual é o valor de f(3) + f(5)?
A)
8
B)
12
C)
16
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D)
20
E)
34
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
B) 
C) 
D) 
E) 
Exercício 7:
Definimos recursivamente a seguinte função f:
f(1) = 2
f(n) = 2.f(n - 1), se n é maior ou igual à 2
A forma fechada (ou seja, não recursiva) de f é:
A)
f(n) = n2
B)
f(n) = 2.n
C)
f(n) = 2n + 1
D)
f(n) = 2n
E)
f(n) = 2.n2
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
D) 
Exercício 8:
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Um investidor aplicou em certo ano t = 0, R$ 600,00 em uma aplicação que rende 10%
de juros sobre o valor existente no momento da remuneração.
Uma definição recursiva para a função Q(n) = quantia de dinheiro no n-ésimo ano é dada por:
A)
Q(0) = 0 e Q(n+1) = 2.Q(n)
B)
Q(0) = 600 e Q(n+1) = 0,1.Q(n)
C)
Q(0) = 600 e Q(n+1) = Q(n) +10.Q(n)
D)
Q(0) = 600 e Q(n+1) = Q(n) + 0,1.Q(n)
E)
Q(0) = 0 e Q(n+1) = 10.Q(n)
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
E) 
D) 
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Matemática Discreta
Módulo 7
Recursão: Partes de um conjunto
 Partições de um conjunto
 Conjuntos recursivos
 
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Exercício 1:
É partição de um conjunto quando são atendidas as seguintes condições: nenhum dos
elementos da partição é o conjunto vazio, a interseção de quaisquer dois elementos da
partição é o conjunto vazio e a união de todos os elementos de partição é o conjunto.
Assinale a opção que é uma partição do conjunto A = {1; 2; 3; 4; 5}.
A)
{{1; 2}; {4; 6}; {3; 4}; {5}}
B)
{Æ; {1; 2}; {4; 6}; {3; 4}}
C)
{{1}; {2}; {3}; {5}}
D)
{{1}; {2}; {3}; {4}; {5}; {1;5}}
E)
{{1; 2}; {4; 6}; {3; 5}}
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) 
B) 
C) 
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D) 
E) 
Exercício 2:
O conjunto {{1}; {2; 3};{4}} é uma partição do conjunto B. É correto afirmar que:
A)
O conjunto B possui 3 elementos.
B)
O conjunto B = {1; {2; 3}; 4}
C)
O conjunto {{1}; {2; 3};{4}} não pode ser partição de B pois está faltando o conjunto vazio.
D)
O conjunto {{1}; {2; 3};{4}} não pode ser partição de B pois não consta todas as combinações
com o seus elementos.
E)
O conjunto B possui 16 subconjuntos ou 16 partes.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
E) 
Exercício 3:
A quantidade de subconjuntos (ou partes) de um conjunto de n elementos é dado por:
A)
B)
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C)
D)
E)
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
C) 
E) 
D) 
A)Exercício 4:
Definimos recursivamente um conjunto numérico S de números naturais da seguinte forma:
 
Zero pertence S
Se x pertence S, então 2x pertence à S
 
Podemos afirmar que: 
A)
S = N (onde N é o conjunto dos números naturais)
B)
S é um conjunto unitário (possui apenas 1 elemento).
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C)
S é o conjunto vazio.
D)
zero e 2 pertencem à S
E)
todos os múltiplos de 2 pertencem à S
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) 
B) 
Exercício 5:
Definimos recursivamente um conjunto numérico S de números naturais da seguinte forma:
 
1 pertence S
Se x pertence S, então 2x pertence à S
 
Podemos afirmar que: 
A)
S = N (onde N é o conjunto dos números naturais)
B)
S é um conjunto unitário (possui apenas 1 elemento).
C)
S é o conjunto vazio.
D)
Todos os valores 2n-1 com n Î {1; 2; 3; 4; 5; . . .} pertencem à S.
E)
todos os múltiplos de 2 pertencem à S
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) 
B) 
C) 
D) 
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Exercício 6:
Definimos recursivamente um conjunto numérico S de números naturais da seguinte forma:
 
Zero pertence S
Se x pertence S, então x + 1 pertence à S
 
Podemos afirmar que:
A)
S = N (onde N é o conjunto dos números naturais)
B)
S é um conjunto unitário (possui apenas 1 elemento).
C)
S é conjunto dos positivos pares
D) 
E)
S é conjunto dos positivos ímpares.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) 
Exercício 7:
Definimos recursivamente um conjunto numérico S de números naturais da seguinte forma:
 
2 pertence S
Se x pertence S, então x + 2 pertence à S
 
Podemos afirmar que:
A)
S = N* (onde N* é o conjunto dos números naturais sem o zero)
B)
S é um conjunto unitário (possui apenas 1 elemento).
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C)
S é o conjunto vazio.
D)
S é conjunto dos positivos pares.
E)
S é conjunto dos positivos ímpares.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) 
B) 
C) 
D) 
Exercício 8:
Um conjunto S é definido recursivamente por:
1 pertence a S;
se x pertence a S, então x + 6 pertence a S;
se x pertence a S, então x + 9 pertence a S.
Não pertence ao conjunto S o elemento de valor igual:
A)
7
B)
8
C)
10
D)
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13
E)
16
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B) 
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Matemática Discreta
Módulo 8
Indução Matemática: Princípio da boa ordem.
 Primeiro princípio de Indução Matemática.
 Segundo princípio de Indução Matemática
 
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Exercício 1:
Pelo Princípio da Indução Finita (PIF), desejamos provar: para todo número natural n maior
ou igual à 1, a soma 4 + 10 + 16 + 22 +............+ (6n - 2). A expressão que verifica o passo
inicial do 1º princípio da indução, ou seja, P(1) é igual a:
A)
n(3n+1) 
B)
n2 + 2
C)
3n – 1
D) 
E)
(n + 2)/2
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) 
Exercício 2:
Usando o Princípio da Indução Finita (PIF), podemos provar que para todo número natural n
maior ou igual à 1, vale a igualdade 1 + 2 + 3 + 4 +..........+ n = n.(n+1) / 2. Se tomarmos
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como Hipótese da Indução a expressão 1 + 2 + 3 + 4 +......+ k = k.(k+1) / 2, o próximo passo
será provar a seguinte tese : 
A)
1 + 2 + 3 + 4 + . . . . + k + (2k+1) = (2k+1).(2k+2) / 2 
B)
1 + 2 + 3 + 4 + . . . . + k + (k+1) = (k+1).(k+2) / 2 
C)
1 + 2 + 3 + 4 + . . . . + k + 2(k+1) = (k+1).(k+2) / 2 
D)
1 + 2 + 3 + 4 + . . . . + k + (k+1) = [k.(k+1) / 2] + 1 
E)
1 + 2 + 3 + 4 + . . . . + k + 2(k+1) = [k.(k+1) + 1] / 2 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) 
B) 
Exercício 3:
Usando o Princípio da Indução Finita (PIF), podemos provar que para todo n maior ou igual à
1, vale a igualdade 2 + 4 + 6 + 8 +............+ 2n = n(n+1). Se tomarmos como Hipótese da
Indução a expressão 2 + 4 + 6 + 8 +..........+ 2k = k(k+1), o próximo passo será provar a
seguinte tese: 
A)
2 + 4 + 6 + 8 + . . . . + 2k + 1 = k(k+1) 
B)
2 + 4 + 6 + 8 + . . . . + 2k + 2(k+1) = k(k+1) +1
C)
2 + 4 + 6 + 8 + . . . . + 2k + 2(k+1) = 2k(2k+1)
D)
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2 + 4 + 6 + 8 + . . . . + 2k + (k+1) = (k+1)(k+2)
E)
2 + 4 + 6 + 8 + . . . . + 2k + 2(k+1) = (k+1)(k+2)
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
B) 
C) 
D) 
E) 
Exercício 4:
Pelo Princípio da Indução Finita (PIF), podemos provar que para todo n maior ou igual à 1, a
soma 12 + 22 + 32 + . . . . + n2. A expressão que verifica o passo inicial do 1º princípio da
indução, ou seja, P(1) é a expressão:
A)
n3 / (n + 1)2
B)
n.(n+1).(2n+1) / 6
C)
2n2 + 3n
D)
n(n + 2) / 2
E)
(n + 1).(n + 2)
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B) 
Exercício 5:
Pelo Princípio da Indução Finita (PIF), podemos provar a desigualdade n2 > n + 1 para n Î
N. O menor valor de n que podemos utilizar como base da indução é:
A)
n = 0
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B)
n = 1
C)
n = 2
D)
n = 3
E)
n = 4
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) 
B) 
C) 
Exercício 6:
Usando o Princípio da Indução Finita (PIF), podemos provar que para todo número natural n
maior ou igual a 1, vale a desigualdade n < 2n
Se tomarmos como Hipótese da Indução a expressão k < 2k, o próximo passo será provar a
seguinte tese: 
A)
k < 2k-1 
B)
1 < 2k 
C)
(k + 1) < 2k+1
D)
k < 2k +1 
E)
k+1 < 2k + 1
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O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) 
B) 
C) 
Exercício 7:
Se queremos provar que certa proposição P(n) vale para todo número natural n, devemos
inicialmente provar:
A)
que se P(k) é válida, então P(2k + 1) é válida.
B)
que se P(k+1) é válida, então P(k) é válida.
C)
a Hipótese da indução P(k), para um número k arbitrário.
D)
que existe um número m para o qual não vale P(m).
E)
a base da indução, ou seja, P(0).
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
B) 
C) 
D) 
E) 
Exercício 8:
Suponha que P(n) seja certa propriedade dos números naturais.
Se mostrarmos que:
 1) A propriedade é válida para o número zero
 2) Supondo que a propriedade é válida para um número arbitrário k, então a propriedade é
válida para o número k+1.
Pelo Princípio da Indução Finita (PIF), podemos concluir então que:
A)
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Existe um subconjunto próprio deN que satisfaz a propriedade
B)
A propriedade é válida para todos os números pares
C)
A propriedade é válida para todos os números naturais.
D)
Todo subconjunto dos números naturais possui máximo
E)
Não há informações suficientes para se utilizar o PIF.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
C) 
Exercício 9:
Considere as seguintes afirmativas:
 
Afirmativa 1: qualquer número inteiro maior ou igual a 64 poder decomposto em soma de
números 5 e(ou) 17
 
Afirmativa 2: qualquer número inteiro maior ou igual a 8 poder decomposto em soma de
números 3 e(ou) 5
 
Afirmativa 3: qualquer número inteiro maior ou igual a 2 poder decomposto em soma de
números 2 e(ou) 5
 
As afirmativas corretas e podem ser provadas pelo 2º princípio da indução matemática: 
A)
são as afirmativas 1, 2 e 3.
B)
apenas a afirmativa 1.
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C)
apenas a afirmativa 2.
D)
apenas a afirmativa 3.
E)
são as afirmativas 1, e 2.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
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 Para resolver os exercícios deste módulo complementar você deverá estudar
primeiro os módulos: Matemática Discreta: módulo 1 e Matemática Discreta:
módulo 2.
Exercício 1:
Atualmente, um fator muito importante que vem sendo considerado nos projetos
de sistemas atuais é a Escalabilidade. Os projetistas, engenheiros,
desenvolvedores e demais profissionais envolvidos na elaboração de um Sistema
sempre procuram garantir a escalabilidade objetivando, entre outros motivos, a
futura expansão e demanda pelos serviços do mesmo. Com esta visão e
considerando o crescente aumento da utilização de telefonia (fixa e móvel),
deseja-se saber qual o número máximo de linhas telefônicas (números de
telefones) que pode ser definido hoje sendo que:
ü os números de telefone não começam com 0 nem com 1.
ü os números de telefone podem ser formados com 7 algarismos.
A)
É possível definir 8 000 000 números de telefone.
B)
É possível definir 7 000 000 números de telefone.
C)
É possível definir 7 500 000 números de telefone.
D)
É possível definir 7 200 000 números de telefone.
E)
É possível definir 8 800 000 números de telefone.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) 
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Exercício 2:
Nos últimos anos, vem ocorrendo um aumento expressivo do uso de telefonia
celular e seus serviços. Um deles é o envio de torpedos que são mensagens de
texto enviadas de um celular para outro ou via internet para um celular. Para o
envio de torpedos via internet, o usuário deverá acessar o site a operadora de
telefonia móvel e digitar a mensagem no campo indicado. Para garantir a
segurança e concluir com sucesso o envio da mensagem, o usuário deve digitar
uma sequência de 4 caracteres alfanuméricos como ilustrado na Figura 1.
Figura 1: Exemplo de solicitação de uma sequência de 4 caracteres
alfanuméricos em um site de telefonia móvel para conclusão do envio de um
torpedo.
Usando 26 letras do nosso alfabeto e 10 algarismos (0,1,2,..10), quantas
sequencias diferentes para o envio de uma mensagem podem ser feitas de modo
que, em cada uma, existam duas letras distintas seguidas de dois algarismos
distintos ou não?
A)
65000
B)
87500
C)
45632
D)
56390
E)
80000
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O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) 
Exercício 3:
Uma Indústria Química realiza 4 processos críticos P (i) (i = 1,2,3 e 4) que só
podem ser interrompidas por um máximo de tempo T(i), como indicado na Tabela
1. Caso os tempos descritos na Tabela 1 sejam ultrapassados, sabe-se que os
materiais utilizados nos processos (ácidos, reagentes, etc.) serão perdidos e a
Indústria sofrerá um prejuízo considerável.
 Tabela 1 – Descrição dos 4 Processos Críticos
Processo (i) T (i): tempo máximo em que o processo i pode ser
interrompido sem que haja perda dos materiais utilizados
no mesmo
1 41 minutos
2 73 minutos
3 90 minutos
4 54 minutos
Por esta razão, ela contratou uma empresa de Segurança da Informação para
elaborar uma solução para reativar a produção quando qualquer um dos quatro
processos for interrompido. A solução da empresa de segurança recebeu o nome
de “Plano B” e o primeiro passo da mesma consiste em transferir um conjunto de
dados para cada um dos 5000 servidores idênticos que a referida Indústria
Química possui. Considerando que, a cada 10 minutos, qualquer um dos
servidores é capaz de transferir o referido conjunto de dados para três outros que
não o possui, em quanto tempo levará para que todos 5000 servidores tenham o
conjunto de dados? Com base apenas nesta informação, pode-se emitir o
seguinte parecer sobre o “Plano B”:
 
A)
O “Plano B” não dever ser adotado porque precisa-se de 60 minutos para que
todos servidores tenham a cópia do conjunto de dados e assim ultrapassa o
tempo dos processos 2 e 3.
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B)
O “Plano B” não dever ser adotado porque precisa-se de 78 minutos para que
todos servidores tenham a cópia do conjunto de dados e assim ultrapassa o
tempo dos processos 1, 2 e 4.
C)
O “Plano B” deve ser adotado porque precisa-se de 40 minutos para que todos
servidores tenham a cópia do conjunto de dados e assim nenhum dos processos
ultrapassaria seu limite de tempo.
D)
O “Plano B” não dever ser adotado porque precisa-se de 80 minutos para que
todos servidores tenham a cópia do conjunto de dados e assim ultrapassa o
tempo do processos 1, 2 e 4.
E)
O “Plano B” deve ser adotado porque precisa-se de 38 minutos para que todos
servidores tenham a cópia do conjunto de dados e assim nenhum dos processos
ultrapassaria seu limite de tempo.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) 
B) 
C) 
E) 
D) 
Exercício 4:
Em um ambiente corporativo há n aplicações. Cada uma delas não se comunica
com nenhuma outra porque utiliza diferentes padrões de software e/ou hardware.
Para contornar este problema, sempre que uma aplicação A necessitar se
comunicar com outra B deverá ser utilizado um middleware específico para
implementar a comunicação. Cada middleware utilizado tem um custo médio de $
25,00 por dia. Uma solução de integração que está sendo proposta promete
acabar definitivamente com este problema fazendo com que todas as n aplicações
passem a se comunicar entre si. A referida solução tem custo de $ 53.200,00 por
dia. Sabe-se que na maior parte do tempo, apenas 45 das aplicações estão ativas
e cada uma delas precisando se comunicar com todas as outras. Com base
unicamente nesta informação pode concluir que:
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A)
É vantajoso adotar a solução de integração pois poderá se obter uma economia
média diária de $ 3.700,00 em comparação com a utilização dos middlewares.
B)
Não é vantajoso adotar a solução de integração porque a mesma implicará em um
custo médio adicional diário de $ 3.700,00 em relação ao custo de se utilizar os 
middlewares.
C)
É vantajoso adotar a solução de integração pois poderá se obter uma economia
média diária de $ 3.200,00 em comparação com a utilização dos middlewares.
D)
Não é vantajoso adotar a solução de integração porque a mesma implicará em um
custo médio adicional diário de $ 3.300,00 em relaçãoao custo de se utilizar os 
middlewares.
E)
Não é vantajoso adotar a solução de integração porque a mesma implicará em um
custo médio adicional diário de $ 3.100,00 em relação ao custo de se utilizar os 
middlewares.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) 
B) 
Exercício 5:
Uma rede de lojas esta implantando um novo software para investir no
relacionamento com seus clientes. Este software deverá fornecer uma
identificação para cada cliente a qual é formada por 3 letras (dentre as 26 de
nosso alfabeto) distintas seguidas por 4 números (algarismos) distintos. Uma
determinada loja da rede solicitou que a identificação de seus clientes tivesse M
como a terceira letra, o último algarismo o número 7 e o penúltimo o número 3.
Considerando que a referida loja possui em torno de 20000 clientes, é possível
dizer que nestas condições o número possível de identificações distintas geradas
pelo software é capaz de atender todos eles?
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A)
Sim, pois nestas condições é possível gerar 33600 identificações distintas.
B)
Não, pois nestas condições é possível gerar apenas 18436 identificações.
C)
Não, pois nestas condições é possível gerar apenas 15324 identificações.
D)
Sim, pois nestas condições é possível gerar 30200 identificações.
E)
Sim, pois nestas condições é possível gerar exatamente 20000 identificações.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) 
Exercício 6:
Um grupo de cientistas deseja obter um modelo matemático para a massa de um
composto radioativo. Sabe-se que a massa deste composto diminui pela metade a
cada 5 anos. Considerando o período de amostragem for T = 5 anos e m(k) a
massa do composto radioativo no instante (de amostragem) k, são feitas as
seguintes afirmações:
I) a solução é dada por m(k) = 1/2 m(k - 1), com m(0) dado.
II) a solução é dada por m(k) = 5/2 m(k - 1), com m(0) dado.
III) se m(0) = 150, m(3) = 18,75 
IV) se m(0) = 150, m(3) = 93,75
V) se m(0) = 150, m(3) = 37, 5 
É coerrto afirmar que:
A)
somente as afirmações I e III estão corretas.
B)
somente as afirmações II e III estão corretas.
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C)
somente as afirmações II e IV estão corretas.
D)
somente as afirmações II e V estão corretas.
E)
somente as afirmações I e V estão corretas.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
B) 
A) 
Exercício 7:
Uma alteração crítica X precisa ser replicada em 490 servidores da rede de uma
companhia. Supondo que a cada 8 minutos a alteração seja replicada de 1 para 5
servidores e que estes, por sua vez, a repliquem para mais 5, em quanto tempo a
alteração estará totalmente replicada na rede? Além disto, a Política de Segurança
implantada nesta companhia estabelece que qualquer operação crítica que
necessite de ser replicada na rede só pode ser realizada no período matutino se
seu tempo total de duração em minutos não ultrapassar a 10% do número de
servidores. Com esta informação, é correto afirmar que:
 
A)
A informação estará totalmente replicada na rede em 32 minutos e poderá ser
realizada no período matutino.
B)
A informação estará totalmente replicada na rede em 49 minutos e poderá ser
realizada no período matutino.
C)
A informação estará totalmente replicada na rede em 32 minutos mas não poderá
ser realizada no período matutino.
D)
A informação estará totalmente replicada na rede em 36 minutos e poderá ser
realizada no período matutino.
E)
A informação estará totalmente replicada na rede em 52 minutos mas não poderá
ser realizada no período matutino.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
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Comentários:
B) 
E) 
D) 
C) 
A) 
Exercício 8:
Um determinado portal de e-commerce utiliza uma senha de acesso composta por
cinco caracteres, sendo os dois primeiros alfabéticos (26 letras) e os três últimos
numéricos (10 algarismos). Objetivando tornar o acesso ainda mais seguro e
prevendo a expansão dos negócios, o gestor do portal pretende instituir uma nova
senha composta por 6 caracteres, sendo os três primeiros alfabéticos e os três
últimos numéricos. Além disto, o gestor solicitou um estudo para os
departamentos de marketing e financeiro que demonstrou o seguinte resultado:
para cada senha adicional distinta criada, acredita-se que o portal poderá ter, em
média, um lucro diário conforme descrito na tabela 1 abaixo:
 Tabela 1: lucro diário médio previsto com cada nova senha adicional a ser criada
 Dia normal (menos
sábado).
Feriado Sábado
LUCRO em
centavos
$ 0,05 $ 0,07 $ 0,02
 Com base nestas informações, considerar as afirmações abaixo:
I) Supondo a utilização de todas as senhas adicionais distintas criadas, em
dois sábados é previsto um lucro médio de $ 676.000,00.
II) O número de senhas adicionais que podem ser criadas é 17576000.
III) O número atual de senhas possíveis atualmente é de 676000.
IV) Supondo a utilização de todas as senhas adicionais distintas criadas, em
um sábado mais um dia de feriado é previsto um lucro médio de $ 682.560,00.
É correto afirmar que:
A)
Apenas as afirmações I e III são corretas.
B)
Apenas as afirmações I é correta e IV são correta.
C)
Apenas a afirmação II é correta.
D)
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Apenas as afirmação II e III são corretas.
E)
Todas as afirmações estão corretas.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) 
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 Para resolver os exercícios deste módulo complementar você deverá estudar
primeiro os módulos: Matemática Discreta: módulo de 1 a 4.
Exercício 1:
Juliana abriu uma lanchonete e deseja fazer a divulgação da mesma ressaltando a
variedade de sanduíches que venderá. Para montar um sanduíche, os clientes
poderão escolher:
- Um entre os tipos de pão: batata, integral e queijo;
- Um entre os tamanhos: pequeno e grande;
- De um até cinco entre os tipos de recheio: sardinha, atum, queijo, presunto e
salame; sem possibilidade de repetição de recheio num mesmo sanduíche. Ela
deseja saber:
I) quantos sanduíches distintos podem ser montados.
II) o número de sanduíches distintos que um cliente pode montar se ele não
gostar de pão de batata, só come sanduíches pequenos e desejar dois recheios
em cada sanduíche.
Assinale a alternativa Correta:
 
 
A)
A resposta para I) é 186 e para II) é 20.
B)
A resposta para I) é 186 e para II) é 30.
C)
A resposta para I) é 124 e para II) é 20.
D)
A resposta para I) é 124 e para II) é 36.
E)
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A resposta para I) é 92 e para II) é 20.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) 
Exercício 2:
Uma rede de televisão utiliza um software para controle de sua programação
comercial do programa X. Em cada intervalo comercial do programa X deve-se
inserir 7 propagandas (comerciais) dos patrocinadores do referido programa. Os
patrocinadores e/ou propagandas foram divididos em 4 grandes categorias e cada
categoria é representada por uma de quatro cores distintas no referido aplicativo
que faz o controle da programação comercial. Sabe-se que: i) todo
patrocinador/propaganda pertence a exatamente uma categoriarepresentada por
uma cor e ii) que jamais se deve colocar duas propagandas consecutivas em um
mesmo intervalo comercial de uma mesma categoria. O software exibe retângulos
coloridos (cada um colorido de uma das quatro cores correspondentes as 4
categorias de propaganda /patrocinador) como esquematizado abaixo na Figura
1: 
 
 
Figura 1 – Retângulos de um intervalo comercial com cada um a ser colorido de
uma cor associada a uma categoria de propaganda/patrocinador.
Com base nestas informações, qual o número de formas de se colorir uma
seqüência de retângulos desta correspondente as propagandas de um intervalo
comercial do programa X?
A)
1328
B)
2916
C)
2128
D)
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1738
E)
1532
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) 
B) 
Exercício 3:
Considerar as seguintes afirmações:
I) Na análise combinatória estuda-se formação, contagem e propriedades dos
agrupamentos que podem constituir-se, segundo determinados critérios, com os
objetos de uma coleção. Esses agrupamentos distinguem-se, fundamentalmente,
em três espécies: arranjos, permutações e combinações, e podem ser formados
de objetos distintos ou repetidos.
 II) Quando num problema figura uma coleção de elementos, é possível que a
solução desse problema vá depender da maneira pela qual se escolhe alguns
desses elementos e também da ordem em que os mesmos se dispõem.
 III) Se considerarmos uma coleção ou um conjunto de elementos quaisquer
e, tomarmos um, dois, três,... desses elementos, temos um agrupamento. Um
agrupamento é simples quando o mesmo elemento não figura nele mais de uma
vez; caso contrário, o agrupamento é denominado com repetição.
IV) Ao agrupamento em que o número de objetos de cada grupo é menor que
o total, e um elemento figura uma só vez em cada grupo, e dois agrupamentos
diferem pela natureza ou pela ordem dos elementos que neles figuram, chamamos
arranjo simples e quando o agrupamento formado difere apenas pela natureza de pelo
menos um elemento temos uma combinação simples. Já ao agrupamento formado
por todos os elementos do conjunto, diferindo dois agrupamentos apenas pela
ordem dos elementos, chamamos permutação.
É correto afirmar que:
A)
somente as afirmações I e III estão corretas.
B)
somente as afirmações II, III e IV estão corretas.
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C)
todas as afirmações estão corretas.
D)
somente as afirmações I, II e III estão corretas.
E)
somente as afirmações I e IV estão corretas.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) 
B) 
C) 
Exercício 4:
Na empresa X foi implantado um plano de segurança para o ambiente computacional da mesma. Uma
das medidas do plano consiste em que cada usuário do sistema tenha de digitar uma senha formada com
os dígitos 0,1,2,...,9 para transpor um nível de acesso e poder utilizar as funcionalidades do sistema
disponibilizadas para aquele nível. Há 3 níveis sucessivos de acesso, sendo que o último nível dá acesso
a informações confidenciais. A senha em cada nível é formada com 3 dígitos distintos. Se um invasor
tentasse acessar as informações confidenciais e se o sistema falhasse em bloqueá-lo após certo número
de tentativas erradas de acesso, qual o número máximo de tentativas que ele poderia fazer para acessar
as informações?
A)
 O número máximo de tentativas seria 720 vezes e este valor é obtido por se utilizar o Princípio
Fundamental da Contagem.
B)
O número máximo de tentativas seria 720 vezes e este valor é obtido por se utilizar a fórmula de
Arranjos ou o Princípio Fundamental da Contagem.
C)
O número máximo de tentativas seria 2720 vezes e este valor é obtido por se utilizar o Princípio
Fundamental da Contagem.
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D)
 O número máximo de tentativas seria 1720 vezes e este valor é obtido por se utilizar a fórmula de
Arranjos.
E)
O número máximo de tentativas seria 2160 vezes e este valor é obtido por se utilizar o Princípio
Fundamental da Contagem ou a fórmula de Arranjos.
 
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
Exercício 5:
Em uma maratona participarão 4 americanos, 4 italianos, 4 ingleses e 4 quenianos que concorrem ao
pódio com medalhas de ouro, prata e bronze. As amigas Márcia e Emanuelle resolveram fazer uma
aposta sobre quem serão os ganhadores: como o pódio será composto considerando que todos os atletas
participantes terminarão a prova. Emanuelle não acredita que nenhum dos atletas italianos conseguirá
qualquer posição no pódio e, portanto, não incluirá nenhum de seus nomes na sua aposta. Supondo que
Emanuelle esteja certa, qual a probabilidade que ela tem de acertar a composição do pódio e vencer a
aposta feita com Márcia?
A)
A chance que Emanuelle terá de acertar a composição do pódio e ganhar a aposta
feita com Márcia será de 1/ 1320.
B)
A chance que Emanuelle terá de acertar a composição do pódio e ganhar a aposta
feita com Márcia será de 1/ 720.
C)
A chance que Emanuelle terá de acertar a composição do pódio e ganhar a aposta
feita com Márcia será de 1/ 256
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D)
A chance que Emanuelle terá de acertar a composição do pódio e ganhar a aposta
feita com Márcia será de 1/ 942.
E)
A chance que Emanuelle terá de acertar a composição do pódio e ganhar a aposta
feita com Márcia será de 1/ 1532.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) 
Exercício 6:
Um veterinário deverá vacinar 8 tipos de animais de uma fazenda: vacas, cavalos,
ovelhas, gatos, cachorros, coelhos, papagaios e cabritos. A vacinação ocorrerá em
dois dias, com quatro tipos de animais sendo vacinados em cada um dos dias. O
veterinário decidiu vacinar os animais maiores no primeiro dia e os menores no
segundo. Assim a vacinação ocorrerá da seguinte forma:
- no primeiro dia serão vacinados: vacas, cavalos, ovelhas e cabritos.
- no segundo dia serão vacinados: gatos, cachorros, coelhos e papagaios.
Caso o veterinário decidisse mudar seu critério de escolha dos animais a serem
vacinados nos dois dias, de quantos modos diferentes ele poderia realizar a
vacinação (considerando que ele continuaria a vacinar 4 tipos de animais em cada
um dos dias)?
A)
Há 1680 maneiras distintas de se realizar a vacinação dos animais e este é um
típico problema de Análise Combinatória.
B)
Há 70 formas de se realizar a vacinação dos animais e este é um típico problema
de Análise Combinatória.
C)
Há 256 formas de se realizar a vacinação dos animais e este é um problema de
Probabilidade e Estatística.
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D)
Há 128 formas de se realizar a vacinação dos animais e este é um problema de
Probabilidade e Estatística.
E)
Há 120 formas de se realizar a vacinação dos animais e este é um problema de
Probabilidade e Estatística.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) 
B) 
Exercício 7:
Uma indústria possui nove instalações, representadas pelos pontos A, B, C,...,I da
Figura 1, que trocam materiais entre si para fabricação de diferentes produtos. 
Uma rota de troca de material é definida como sendo o trajeto que dever ser
percorrido de uma instalação para outra, por exemplo, de A para E, de C para H
etc. A diretoria da empresa deseja fazer modificações na produção de modo a
otimizá-la e conseguir baixar o custo de produção. Em uma reuniãopara tratar
sobre isto, alguém disse que uma das mudanças necessárias seria diminuir o
número de rotas de troca de material. Um dos diretores achou a sugestão
interessante e perguntou qual o número total de rotas de troca de material sendo
que cada instalação troca material com todas as demais. Calcule este número.
Figura 1: Representação das nove instalações da indústria, cada uma delas
assinalada por uma letra: A, B,...,I.
 
A)
Há 18 rotas de troca de material.
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B)
Há 27 rotas de troca de material.
C)
 
Há 72 rotas de troca de material.
 
D)
Há 36 rotas de troca de material.
E)
Há 48 rotas de troca de material.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) 
C) 
B) 
D) 
Exercício 8:
Em uma repartição pública os documentos recebidos são protocolados com
números de 6 algarismos usando os de 0 a 9, sendo que o primeiro algarismo se
refere ao número do arquivo onde o documento foi arquivado. Um funcionário da
seção de protocolos encaminhou um comunicado ao chefe desta seção dizendo
que precisa remanejar os documentos dos arquivos 3 e 7 para outro lugar já que
o número máximo de documentos que eles poderiam armazenar é 100.000.
Assinale a alternativa correta:
A)
O funcionário está errado porque estes arquivos podem armazenar 200.000
documentos.
B)
O funcionário está errado porque estes arquivos podem armazenar 180.000
documentos.
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C)
O funcionário está errado porque estes arquivos podem armazenar 150.000
documentos.
D)
O funcionário está certo: estes arquivos podem armazenar 100.000 documentos.
E)
O funcionário quase acertou: estes arquivos podem armazenar 99.999
documentos.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) 
B) 
C) 
D) 
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 Para resolver os exercícios deste módulo complementar você deverá estudar primeiro os
módulos: Matemática Discreta: módulo de 1 a 4.
Exercício 1:
Um repórter perguntou a um cientista chefe de um laboratório quantos
pesquisadores participariam de uma pesquisa para desenvolver determinada
vacina. O chefe do laboratório respondeu que Thomas e mais quatro
pesquisadores trabalhariam em tempo integral nesta pesquisa. Supondo que o
chefe do laboratório disponha de uma equipe de 11 pesquisadores (incluindo
Thomas) e que qualquer deles tem conhecimento e condições para participar da
referida pesquisa, quantas equipes diferentes de pesquisadores podem ser
formadas de maneira que a resposta do chefe do laboratório seja verdadeira?
A)
O número total de equipes de pesquisadores é 210.
B)
O número total de equipes de pesquisadores é 218.
C)
O número total de equipes de pesquisadores é 420.
D)
O número total de equipes de pesquisadores é 270.
E)
O número total de equipes de pesquisadores é 315.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) 
Exercício 2:
Uma artesã fabrica peças de crochet com diferentes cores formando desenhos de
flor, gato e cachorro. Ela deseja fazer peças com linhas de cores cinza, azul, verde
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e amarela, mantendo o mesmo modelo, mas variando as cores dos desenhos
(florà casa, gatoà palmeira e cachorroà fundo). O cachorro pode ser
representado nas cores azul ou cinza; a flor, nas cores azul, verde ou amarela; e
o gato nas cores cinza ou verde. Qual será o número total de variações que
podem ser obtidas para as peças confeccionadas?
A)
71 
B)
12
C)
9
D)
81
E)
7
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) 
B) 
Exercício 3:
Uma artesã fabrica peças de crochet com diferentes cores formando desenhos de
flor, gato e cachorro. Ela deseja fazer peças com linhas de cores cinza, azul, verde
e amarela, mantendo o mesmo modelo, mas variando as cores dos desenhos
(florà casa, gatoà palmeira e cachorroà fundo). O cachorro pode ser
representado nas cores azul ou cinza; a flor, nas cores azul, verde ou amarela; e
o gato nas cores cinza ou verde. Se o cachorro não pode ter a mesma cor nem da
flor e nem do gato, por uma questão de estética, então qual será o número total
de variações que podem ser obtidas para as peças confeccionadas?
A)
71 
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B)
12
C)
9
D)
81
E)
7
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
Exercício 4:
O Sr Alberto deseja fazer uma doação de alimentos para famílias carentes. Para
tanto, ele quer contratar uma empresa que fornecerá os alimentos e os embalará
em caixas de papelão. A pedido do Sr Alberto, cada caixa deverá conter quatro
alimentos distintos. Esses alimentos deverão ser escolhidos entre oito tipos de
alimentos perecíveis (frutas, verduras, legumes, peixes, frango, carne bovina,
manteiga, iogurte) e cinco tipos de alimentos não perecíveis (feijão, arroz,
macarrão, óleo, farinha de trigo). Cada caixa a ser doada deverá conter pelo
menos um alimento não perecível e um alimento perecível. Nestas condições,
quantos tipos diferentes caixas podem ser montadas? 
Assinalar a alternativa CORRETA:
A)
Pode-se montar 680 diferentes tipos de caixa.
B)
Pode-se montar 640 diferentes tipos de caixa.
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C)
Pode-se montar 652 diferentes tipos de caixa.
D)
Pode-se montar 720 diferentes tipos de caixa.
E)
Pode-se montar 244 diferentes tipos de caixa
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) 
B) 
Exercício 5:
O Código de barras, ilustrado na figura abaixo é muito utilizado em produtos
industrializados, consiste numa representação gráfica de dados numéricos ou
alfanuméricos. A leitura dos dados é realizada por um tipo de scanner que emite
um raio vermelho que percorre todas as barras. Onde ele encontra uma barra
escura, a luz é absorvida; se a barra lida for clara (espaço branco), a luz é
refletida. Os dados capturados nessa leitura óptica são sequencias binárias (zeros
e uns) enviadas para um computador que, por sua vez, converte-as em letras ou
números que são intelegíveis para humanos.
 Figura : uma ilustração do código de barras.
No sistema de código de barras, alguns códigos podem ter leitura da esquerda
para direita igual à da direita para a esquerda, como por exemplo, o código
0000000011110000000. Em um sistema de códigos que utilize apenas 15 barras,
qual é a quantidade de códigos com leitura da esquerda para a direita igual à da
direita pra esquerda, se não forem consideradas as sequências formadas por
todas as barras claras ou por todas as barras escuras?
 
 
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A)
A quantidade é de 254.
B)
A quantidade é de 5544.
C)
A quantidade é de 3686.
D)
A quantidade é de 464.
E)
A quantidade é de 3543.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) 
Exercício 6:
O diretor de uma indústria contratou Jonas para pintar as diferentes salas da
mesma. Um esboço representativo da planta da indústria é ilustrado na Figura 1
que mostra as salas da empresa em 3 “linhas”, sendo que cada linha esboça a
localização de 3 salas formando uma matriz 3×3. O diretor da indústria deseja
que 3 salas sejam pintadas de branco, 3 de amarelo e 3 de azul. Nesta indústria,as salas que foram representadas na linha do meio serão utilizadas para
armazenarem um único tipo de produto e, portanto, o diretor deseja que elas
sejam pintadas da mesma cor. Qual o número de formas diferentes que Jonas
poderá fazer a pintura das salas obedecendo estas condições dadas?
 
 
 
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Figura: esquema representativo da planta da indústria em que cada quadrado representa uma sala
da mesma a ser pintada por Jonas.
A)
O número de formas diferentes que Jonas poderá pintar as salas obedecendo as
condições estipuladas é 160.
B)
O número de formas diferentes que Jonas poderá pintar as salas obedecendo as
condições estipuladas é 60.
C)
O número de formas diferentes que Jonas poderá pintar as salas obedecendo as
condições estipuladas é 246.
D)
O número de formas diferentes que Jonas poderá pintar as salas obedecendo as
condições estipuladas é 126.
E)
O número de formas diferentes que Jonas poderá pintar as salas obedecendo as
condições estipuladas é 80.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
A) 
B) 
Exercício 7:
O Problema 79 do Papiro Egípcio de Rhind (cerca de 1650 a.C.) diz:
“Há sete casas, cada uma com sete gatos, cada gato mata sete ratos, cada rato teria comido sete safras
de trigo, cada qual teria produzido sete hekat de grãos; quantos itens têm ao todo?”
(Hekat é uma unidade de medida de grãos utilizada no Egito Antigo que equivale a 4,8 litros).
Considerar as seguintes afirmações sobre este problema:
 I) Este problema pode ser resolvido por se utilizar dois princípios de
contagem que são fundamentais na análise combinatória: (i) o princípio da adição
e (ii) o princípio da multiplicação; sendo que o primeiro diz que se queremos
 
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contar um conjunto de objetos, podemos dividir isso em duas partes, contar as
partes separadamente, e somar os resultados. No segundo princípio temos que se
uma decisão pode ser tomada de x maneiras e a partir dessa, outra decisão pode
ser tomada de y maneiras, então o número de maneiras possíveis será a
multiplicação entre x e y, ou seja, x.y.
 II) O problema dado não envolve conceitos da análise combinatória visto que
pode ser resolvido apenas por soma simples. 
 III) A solução S para o problema dado é obtida por se calcular:
S = 7! * 4,8 (onde 7! indica fatorial de 7).
IV) O número total de gatos é 49 e o de safras de trigo 2401. 
 É correto afirmar que:
A)
somente as afirmações I e III estão corretas.
B)
somente as afirmações II e III estão corretas.
C)
somente as afirmações II e IV estão corretas.
D)
somente as afirmações III e IV estão corretas.
E)
somente as afirmações I e IV estão corretas.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) 
B) 
C) 
D) 
D) 
E) 
Exercício 8:
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O Problema 79 do Papiro Egípcio de Rhind (cerca de 1650 a.C.) diz:
“Há sete casas, cada uma com sete gatos, cada gato mata sete ratos, cada rato teria comido sete safras
de trigo, cada qual teria produzido sete hekat de grãos; quantos itens têm ao todo?”
(Hekat é uma unidade de medida de grãos utilizada no Egito Antigo que equivale a 4,8 litros).
A quantidade trigo é um total de:
A)
343 litros
B)
2401 litros
C)
16807 litros
D)
57624 litros
E)
80673,6 litros
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
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Para resolver os exercícios deste módulo complementar você deverá
estudar primeiro os módulos: Matemática Discreta: módulo de 1 a 4.
Exercício 1:
O seguinte problema foi proposto pela primeira vez na revista Schachzeitung em 1848: como colocar
8 Rainhas em um tabuleiro de xadrez de tal forma que nenhuma rainha fique em casa (posição do
tabuleiro) guardada por outra. Por volta de 1850 o matemático Johann Karl Friedrich Gauss (1775 -
1855) e o astrônomo Heinrich Schumacher (1780 - 1850) descobriram 12 soluções fundamentais que
por rotação e reflexão dão origem a um total de 92 soluções distintas. O número de maneiras distintas
de dispor as 8 rainhas no tabuleiro é:
A)
4426165368
B)
16777216
C)
40320
D)
4320
E)
432
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) 
Exercício 2:
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O seguinte problema foi proposto pela primeira vez na revista Schachzeitung em 1848: como colocar
8 Rainhas em um tabuleiro de xadrez de tal forma que nenhuma rainha fique em casa (posição do
tabuleiro) guardada por outra. Por volta de 1850 o matemático Johann Karl Friedrich Gauss (1775 -
1855) e o astrônomo Heinrich Schumacher (1780 - 1850) descobriram 12 soluções fundamentais que
por rotação e reflexão dão origem a um total de 92 soluções distintas. O número de maneiras distintas
de dispor as 8 rainhas no tabuleiro sendo que cada coluna deve conter uma, e apenas uma rainha é:
A)
4426165368
B)
16777216
C)
40320
D)
4320
E)
432
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B) 
Exercício 3:
O seguinte problema foi proposto pela primeira vez na revista Schachzeitung em 1848: como colocar
8 Rainhas em um tabuleiro de xadrez de tal forma que nenhuma rainha fique em casa (posição do
tabuleiro) guardada por outra. Por volta de 1850 o matemático Johann Karl Friedrich Gauss (1775 -
1855) e o astrônomo Heinrich Schumacher (1780 - 1850) descobriram 12 soluções fundamentais que
por rotação e reflexão dão origem a um total de 92 soluções distintas. O número de maneiras distintas
de dispor as 8 rainhas no tabuleiro. Adicionalmente, calcular também o número de soluções caso sendo
que cada coluna e cada fileira deve conter uma e apenas uma rainha.
A)
4426165368
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B)
16777216
C)
40320
D)
4320
E)
432
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
C) 
Exercício 4:
A adoção de animais domésticos vem sendo cada vez mais incentivada não somente porque representa
uma oportunidade de vida melhor para os animais mas também pela companhia, amizade e benefícios
sócio-emocionais que os mesmos podem trazer a seus donos. Juliana visitou um abrigo para animais
abandonados e resolveu adotar 10 animais que residirão em sua chácara. Ela deve escolher os animais
para adoção a partir de um lote composto por 4 cachorros, 5 gatos e 6 coelhos.
De quantas maneiras é possível escolher 10 animais desse lote, sendo 2 cachorros, 4 gatos e 4 coelhos.
A)
3003
B)
2003
C)
980
D)
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450
E)
420
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
D) 
Exercício 5:
A adoção de animais domésticos vem sendo cada vez mais incentivada não somente porque representa
uma oportunidade de vida melhor para os animais, mas também pela companhia, amizade e benefícios
sócio-emocionais que os mesmos podem trazer a seus donos. Juliana visitou um abrigo para animais
abandonados e resolveu adotar 10 animais que residirão em sua chácara. Ela deve escolher os animais
para adoção a partir de um lote composto por 4 cachorros, 5 gatos e 6 coelhos.
De quantas maneiras é possível escolher 10 animais desse lote?
A)3003
B)
2003
C)
980
D)
450
E)
420
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
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E) 
C) 
B) 
A) 
Exercício 6:
Em um laboratório de pesquisa um biólogo deverá acomodar ratos em um
compartimento grande com divisórias que, ao total, possui 8 portas que dão
acesso para fora do compartimento ou de uma divisora para outra dentro do
mesmo. Os ratos são acomodados nas divisórias de acordo com a espécie, idade e
experimento científico em que estão participando. De acordo com estas
categorias, poderá haver conjuntos de ratos que poderão se misturar com outros,
através da abertura de uma ou mais porta, ou conjuntos de animais que deverão
permanecer confinados no seu compartimento. Assim sendo, o biólogo deseja
saber, no que diz respeito a abertura e fechamento de portas, de quantos modos
distintos o compartimento poderá funcionar.
(Considera-se que o compartimento está funcionando se pelo menos uma porta
for abertura)
A)
Este problema pode ser resolvido pelo Princípio Fundamenta da Contagem e o
número total de maneiras distintas que o compartimento poderá funcionar será
256.
B)
Este problema pode ser resolvido pelo Princípio de Divisões Sucessivas e o
número total de maneiras distintas que o compartimento poderá funcionar será
128.
C)
Este problema pode ser resolvido pelo Princípio Fundamenta da Contagem e o
número total de maneiras distintas que o compartimento poderá funcionar será
255.
D)
Este problema pode ser resolvido pelo Princípio de Divisões Sucessivas e o
número total de maneiras distintas que o compartimento poderá funcionar será
64.
E)
Este problema pode ser resolvido pelo Princípio Fundamenta da Contagem e o
número total de maneiras distintas que o compartimento poderá funcionar será
132.
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O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) 
B) 
C) 
Exercício 7:
Em uma exposição de animais de raça há 7 repartições que devem ser ocupadas
apenas com passarinhos gatos e cachorros. Os visitantes são convidados a
visitar as repartições e incentivados a adquirir um animal. Sabe-se que estes
animais não combinam entre si: gatos costumam caçar passarinhos e brigar com
cachorros. Portanto, em cada repartição poderá se colocar apenas um tipo de
animal e, após um estudo de marketing, foi concluído que repartições adjacentes
podem conter o mesmo tipo de animal. Para promover uma inovação e tentar
aumentar as vendas, a pessoa que conduziu o referido estudo sugeriu que em
cada dia da exposição as 7 repartições fossem ocupadas de um modo diferente de
todos os outros dias anteriores. Um exemplo de ocupação é ilustrado na Figura.
Obedecendo a todos estes requisitos citados, será possível organizar de um modo
diferente os animais nas repartições durante os 180 dias de exposição.
G C P G C P G
Figura: Esquema ilustrando uma possível ocupação das repartições da exposição. As
letras representam os animais:
C – cachorros; G – gatos e P – Passarinhos.
De quantas maneiras diferentes podem-se organizar os animais?
A)
210
B)
192
C)
186
D)
182
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E)
180
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) 
Exercício 8:
Em uma exposição de animais de raça há 7 repartições que devem ser ocupadas
apenas com passarinhos gatos e cachorros. Os visitantes são convidados a
visitar as repartições e incentivados a adquirir um animal. Sabe-se que estes
animais não combinam entre si: gatos costumam caçar passarinhos e brigar com
cachorros. Portanto, em cada repartição poderá se colocar apenas um tipo de
animal e, após um estudo de marketing, foi concluído que repartições adjacentes
não deveriam conter o mesmo tipo de animal. Para promover uma inovação e
tentar aumentar as vendas, a pessoa que conduziu o referido estudo sugeriu que
em cada dia da exposição as 7 repartições fossem ocupadas de um modo
diferente de todos os outros dias anteriores. Um exemplo de ocupação é ilustrado
na Figura. Obedecendo a todos estes requisitos citados, será possível organizar de
um modo diferente os animais nas repartições durante os 180 dias de exposição?
G C P G C P G
Figura: Esquema ilustrando uma possível ocupação das repartições da exposição. As letras
representam os animais:
C – cachorros; G – gatos e P – Passarinhos.
A)
Sim, pois há 192 maneiras distintas de se organizar os animais nas 7 repartições
obedecendo as condições estipuladas e a exposição irá durar apenas 180 dias.
B)
Sim, pois há 186 maneiras distintas de se organizar os animais nas 7 repartições
obedecendo as condições estipuladas e a exposição irá durar apenas 180 dias.
C)
Não, pois há apenas 162 maneiras distintas de se organizar os animais nas 7
repartições obedecendo as condições estipuladas e a exposição irá durar 180 dias.
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D)
Não, pois há apenas 172 maneiras distintas de se organizar os animais nas 7
repartições obedecendo as condições estipuladas e a exposição irá durar 180 dias.
E)
Não, pois há apenas 108 maneiras distintas de se organizar os animais nas 7
repartições obedecendo as condições estipuladas e a exposição irá durar 180 dias.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) 
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MATEMÁTICA DISCRETA – módulo complementar V
Para resolver os exercícios deste módulo complementar você deverá estudar
primeiro os módulos: Matemática Discreta: módulo de 1 a 5.
Exercício 1:
Considerar duas retas paralelas ou concorrentes r e s sendo que os pontos sob análise não
estejam em ambas. A primeira r contem m pontos distintos marcados por r1, r2, r3, ..., rm e a
segunda s contem n outros pontos distintos marcados por s1, s2, s3, ..., sn. De quantas
maneiras podemos traçar segmentos de retas com uma extremidade numa reta e a outra
extremidade na outra reta?
Considerar as afirmações abaixo: 
I) Como cada seguimento possui duas extremidades, conclui-se que haverá
um número par de seguimentos de reta.
II) Haverá m.n seguimentos de reta possíveis. 
III) Haverá k seguimentos de reta possíveis, sendo k o número de combinações
de m elementos (pontos) tomados n a n.
É correto afirmar que:
A)
somente as afirmações I e III estão corretas.
B)
somente as afirmações II e III estão corretas.
C)
todas as afirmações estão corretas.
D)
somente a afirmação II é correta.
E)
somente a afirmação I.
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O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) 
B) 
C) 
D) 
Exercício 2:
Mariana deseja mudar seus hábitos alimentares e decidiu que fará seu almoço composto
sempre por 1 verdura (escolhida entre 10 tipos), 1 cereal (escolhido entre 10 tipos), 1 fruta
(escolhida entre 10 tipos) e 1 legume (escolhido entre 10 tipos). Supondo que ela gaste 12
segundos, em média, para decidir cada combinação possível em um almoço, qual o tempo
total que ela gastará para fazer todas as combinações possíveis para ter um almoço diferente
a cada dia?
A)
Mariana precisará de 12 horas no total para decidir todos seus almoços.
B)
Mariana precisará de 18 horas no total para decidir todos seus almoços.
C)
Mariana precisará de 24 horas no total para decidir todos seus almoços.
D)
Mariana precisará de 19 horas