AULA_6_TRANSFORMACAO_ESTRELA_TRIANGULO

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12/05/2014 
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Universidade Tecnológica Federal do Paraná - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica 
Curso de Engenharia Industrial Elétrica - Ênfase em Eletrotécnica 
CIRCUITOS ELÉTRICOS A 
TRANSFORMAÇÃO ESTRELA-TRIÂNGULO 
Professor: Paulo Cícero Fritzen 
E-mail: pcfritzen@utfpr.edu.br 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica 
Curso de Engenharia Industrial Elétrica - Ênfase em Eletrotécnica 
CIRCUITOS ELÉTRICOS A 
 
 OBJETIVOS 
Após completar esta seção, você deve ser capaz de: 
1. Reconhecer um circuito-triângulo e um circuito-estrela. 
2. Converter um circuito-triângulo resistivo em seu equivalente estrela. 
3. Converter um circuito-estrela resistivo em seu equivalente triângulo. 
Ao analisar um circuito elétrico, em geral procuramos atalhos que 
facilitem nossa tarefa. Muitos circuitos têm a forma de um triângulo 
ou uma estrela. 
Aqui será mostrado como converter um circuito triângulo de três 
resistores (R1, R2, R3) num circuito estrela (Ra,Rb,Rc) e calcular os 
novos valores. 
Assim como converter o circuito-estrela em circuito-triângulo, 
calculando os valores de R1, R2 e R3. 
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CIRCUITOS ELÉTRICOS A 
 CIRCUITO-TRIÂNGULO 
 
Triângulo ou  
R2 
R1 
R3 
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CIRCUITOS ELÉTRICOS A 
 CIRCUITO-ESTRELA 
 
Estrela ou Y 
Rc 
Rb Ra 
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CIRCUITOS ELÉTRICOS A 
 CONVERSÃO ESTRELA-TRIÂNGULO OU VICE-VERSA 
Muitos circuitos podem ser extremamente simplificados se um circuito 
tipo triângulo for transformado num circuito-estrela ou vice-versa. 
 
Transformação -Y ou Y- 
Rc 
Ra 
R2 
R1 
R3 
Rb 
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CIRCUITOS ELÉTRICOS A 
 CONVERSÃO TRIÂNGULO - ESTRELA 
 
Estrela ou Y 
Rc 
Rb Ra 
 
Triângulo ou  
R2 
R1 
R3 
321
32
RRR
RR
Ra



321
31
RRR
RR
Rb



321
21
RRR
RR
Rc



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CIRCUITOS ELÉTRICOS A 
 CONVERSÃO ESTRELA-TRIÂNGULO 
a
cacbba
R
RRRRRR
R

1
b
cacbba
R
RRRRRR
R

2
c
cacbba
R
RRRRRR
R

3
 
Estrela ou Y 
Rc 
Rb Ra 
 
Triângulo ou  
R2 
R1 
R3 
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CIRCUITOS ELÉTRICOS A 
 DEDUÇÃO DA EQUIVALÊNCIA ∆-Y OU Y- ∆ 
Será feita uma dedução (existem outras possíveis) das fórmulas que 
relacionam os valores dos resistores em cada circuito, para que valha a 
equivalência. Será usada a notação matricial, que torna mais compacta 
a apresentação. 
Equacionando o circuito Y, pelo método das malhas: 
Matricialmente: 
NOTA: os vetores tensão e corrente são relacionados pela matriz 
resistência da montagem Y (RY). 
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CIRCUITOS ELÉTRICOS A 
 DEDUÇÃO DA EQUIVALÊNCIA ∆-Y OU Y- ∆ 
NOTA: agora os vetores corrente e tensão são relacionados pela matriz 
condutância da montagem ∆ (G∆). 
 Utilizando o método de nós para o circuito ∆ : 
: 
Chega-se a: 
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 DEDUÇÃO DA EQUIVALÊNCIA ∆-Y OU Y- ∆ 
: 
A inversa desta matriz constitui a matriz resistência da montagem ∆(R∆): 
Para que o comportamento de ambas as montagens seja o mesmo, é 
necessário que as matrizes resistência de cada circuito sejam iguais: 
RY = R∆ 
Igualando cada célula dessas matrizes, chega-se finalmente às relações 
desejadas: