ED UNIP Cálculo e Geometria Analítica

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ED UNIP Cálculo e Geometria Analítica \u2013 2º Semestre Engenharia Básico
1- (CQA/UNIP \u2013 2011) A agricultura intensiva depende muito de fertilizantes inorgânicos que fornecem, entre outros nutrientes, particularmente o nitrogênio, essenciais para o desenvolvimento das plantas. A produção de fertilizantes nitrogenados requer um enorme gasto de energia e estima-se consumir aproximadamente metade do combustível fóssil aplicado nas atividades agrícolas atuais. Fertilizantes inorgânicos também causam problemas ambientais associados com a contaminação dos recursos hídricos.
Fonte: Biotecnologia Agrícola \u2013 15/08/2006 (p. 12).
Os fertilizantes agrícolas inorgânicos citados anteriormente são compostos fundamentalmente por nitrogênio, óxido de fósforo e óxido de potássio, cujos percentuais, apresentados na ordem citada, são indicados nos rótulos dos produtos.
Suponha que no rótulo do fertilizante \u201cAgricultura Atual\u201d esteja indicado \u201c20-10-10\u201d (isso significa que esse fertilizante apresenta 20% de nitrogênio, 10% de óxido de fósforo e 10% de óxido de potássio). Considere que no rótulo do fertilizante \u201cTerra Nossa\u201d esteja indicado \u201c10-10-20\u201d (isso significa que esse fertilizante apresenta 10% de nitrogênio, 10% de óxido de fósforo e 20% de óxido de potássio). Se adicionarmos 100 kg do fertilizante \u201cAgricultura Atual\u201d a 300 kg do fertilizante \u201cTerra Nossa\u201d, supondo perfeito estado de homogeneização, o rótulo do fertilizante resultante apresentará a seguinte indicação:
100 Kg de fertilizante Agrícola atual têm:
20 Kg de nitrogênio
10 Kg de fósforo
10 Kg de potássio
300 Kg de fertilizante Terra Nossa têm:
30 Kg de nitrogênio
30 Kg de fósforo
60 Kg de Potássio
Misturando os dois teremos:
400 Kg de fertilizante
50 Kg de nitrogênio
40 Kg de fósforo
70 Kg de potássio
Dividindo:
50/400 = 12,5 Nitrogênio
40/400 = 10 Fósforo
70/400 = 17,5 Potássio
2- (CQA/UNIP \u2013 2011) Considere uma barra uniforme, feita de um material hipotético, com 60 cm de comprimento. Imagine que, em determinado instante, em uma das extremidades da barra, a temperatura seja de 35 ºC e, na outra extremidade, a temperatura seja de 5 ºC. Suponha que a temperatura T (ºC) da barra varie linearmente com a posição de um ponto L (em cm), medido a partir da extremidade mais quente da barra, como resumido no quadro 1
Quadro 1. Conjunto de dados apresentados na análise do problema.
T (ºC) L (cm)
35 0
5 60
O gráfico apresentado na figura 1 mostra o comportamento da temperatura em relação ao comprimento da barra.
Com base no texto acima e nos dados apresentados, assinale a alternativa correta.
a = \u394t / \u394L = (35-5)/(0-60) = 30/(-60) = -0,5
T = aL + b
T = -0,5 * 60 + b
b = 35
T = -0,5L+35
3- (CQA/UNIP - 2011) Um objeto cai do alto de um edifício, obedecendo à lei h=-4,9t²+49, sendo que h representa a posição ocupada pelo objeto, em metros, e t, o tempo, em segundos. Os dados foram anotados, com o auxílio de dispositivos eletrônicos que mapeavam o movimento, por um pesquisador ateto à queda do objeto, conforme mostrado no quadro 1.
QUADRO 1. Anotação dos dados da queda do objeto do alto de um edifício
t(s) h(m)
0 49
1 44,1
2 29,4
3 4,9
A figura 1 mostra o gráfico obtido por meio do quadro 1
Com base nos dados acima, assinale a alternativa verdadeira:
O objeto gasta aproximadamente 3,2 s para atingir o solo.
h= -4,9*10²+49
h= -4,9*100+49
h= -441m
0= -4.9*t²+49
t² = 49 / 4,9
t= RAIZ(10)
t= 3,2s
h = -4,9t² + 49
h\u2019 = 2*(-4,9)t ²-¹
h\u2019 = 9,8t
4-
\u394= -24²-4*1*143
\u394= 576-572
\u394= 4
-(-24) ± RAIZ(4)/2*1
X1= 24 + 2 / 2
X1= 13
X2= 24 \u2013 2 / 2
X2= 11
Xv= -(-24)/2*1 = 24 / 2 = 12
Yv= -4 / 4*1 = -1
5- Se A= (-2,3) e B= (1,4), então AB = (3,-7)
1-(-2), -4-3 = (3,-7)
6- Alternativa B
=6 * 9 * cos150
= -46,77
=-27*RAIZ(3)
7- Alternativa B
I - u+v = (2i-i,3j+2j-k+0k)i,5j,-1
II - u*v = 2i-i+3j*2j-k0
=2;6;0;
III - Matematicamente já provado acima
8- ALTERNATIVA C
(3i+2j-k)*(4i+2j+k)
=-20+4j+k
=-20+4-1
9- ALTERNATIVA A
V(3)= 15*3²-750*3+9000
V(3)= 6885 l
10- ALTERNATIVA E
V(t) = 15t² - 750t + 9000
V(t)\u2019 = 30t \u2013 750
V(3) = 30*3 \u2013 750
V(3) = -660L/h
11- ALTERNATIVA D
V(t)' = -9t+18
= -9t+18
9t = 18
t = 18/9
t = 2s
V(2)= -4,5*2²+18*2
V(2)= 18
Exercício 11
a equação da velocidade V (em m/s) de um ponto material em função do tempo t (em s) seja dada por v(t) =-4,5t2+18t.
Usando os conhecimentos aprendidos em derivadas, determine o instante no qual a velocidade do ponto material é máxima e a velocidade
máxima.
A - t=4s e V máx =18 m/s
B - t=1s e V máx =15 m/s
C - t=2s e V máx =20 m/s
D - t=2s e V máx =18 m/s
E - t=3s e V máx =21 m/s
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
D - DERIVADA V(t)= -4,5t²+18t --> V'(t)= 2.-4,5t²-¹ + 18t¹-¹ --> V'(t)= -9t+18 --> 0 = -9t+18--> -9t=-18 --> t= -18/-9 --> t=2s. no instante 2s o
ponto material apresenta velocidade máxima. Agora substituirmos o 2 na função velocidade para identificar qual a velocidade máxima. --> V(t)
-4,5t²+18t --> V(2)= -4,5.2²+18.2 --> 18m/s. (t=2s e vmax=18m/s)
Exercício 12:
A - Todas as afirmativas estão certas.
B - Todas as afirmativas estão erradas.
C - Apenas as afirmativas I e II estão certas.
D - Apenas a afirmativa I está correta.
E - Apenas a afirmativa III está correta.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A - alternativa (I) Verdadeira --> montei o vetor u no plano cartesiano, para x=-3 , y=4 , z=0,tracei ao vetor soma,formou um triângulo, usei
teorema de Pitágoras, a²=b²+c² --> a²= -3²+4² --> a²= 9+16 --> a²=25 --> a=v25 --> 5. modulo do vetor u = 5. --------- alternativa
 (II) Verdadeira
--> montei no plano cartesiano o vetor (-0,6; 0,8; 0) e o vetor u(-3,4,0), os 2 vetores soma tem a mesma direção então são paralelos, e o vetor
(-0,6; 0,8; 0) tem modulo 1, apliquei teorema de Pitágoras --> a²=b²+c² --> a²= -0,6²+0,8² --> a²= 0,36+0,64 --> a²=1 --> a=v1 --> 1. ---------
alternativa (III) Verdadeira --> montei no plano cartesiano o vetor (9,-12,0) e o vetor u(-3,4,0), os 2 vetores soma tem sentido opostos, mas tem a
mesma direção então são paralelos, e o vetor (9,-12,0) tem módulo 15, apliquei teorema de Pitágoras --> a²=b²+c² --> a²= -12²+9² --> a²=
144+81 --> a²=225 --> a=v225 --> 15. ---------
Exercício 13:
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A - u e v = (w=av+bv) --> w=(-17,12)= a(-2,0)+b(3,-4) --> (-2a,0a)+(3b,-4b)=(-2a+3b,0-4b). --> (encontrar o valor de b primeiro --> 0-4b = 12 -->
b= 12/-4 --> b= -3) (encontrar o valor de a --> -2a+3b = -17 --> -2a+3.(-3)= -17 --> -2a-9= -17 --> -2a= -17+9 --> -2a= -8 --> a= -8/-2 a= 4)
valores de a= 4 , b= -3. a.u+b.v= 4(-2,0)+ -3(3,-4) --> (-8,0)+(-9,12) = W=(-17,12)
Exercício 14:
O vetor que representa a soma dos vetores indicados na figura é:
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A - AO + OM + MD + DE + EP = AP. OU (IH CANCELA COM PL) = AO + OD + DP = AP.
Exercício 15:
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
E - AQ ? = AE ?+ AC ?+ 2/3AB ? ( OBS: 2/3 DE AB ? = 2/3 DE GH ? ) OU TAMBÉM OU AQ ? = AE ?+EG ?+GQ ?
Exercício 16:
A - Apenas a afirmação I está correta.
B - Todas as afirmações são falsas.
C - Todas as afirmações são verdadeiras.
D - Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
E - Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
D - I. u(1,-2) v(-4,0) --> 2(1,-2) - 4(-4,0) --> (2,-4)-(-16,0) --> (18,-4) Vdd. II. |u+v| = (1,-2)+(-4,0) --> (1+-4, -2+0) --> (-3,-2) --> v((-3)²+(-2)²) =
v13 vdd. III. não são paralelos pois não possuem a mesma direção.
Exercício 17:
A - x =-12
B - x=-10
C - x=24
D - x=-12
E - x=16
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B - u ? =(x+12,3 e v ? =(6,9) , para os vetores serem paralelos suas coordenadas devem ser proporcionais. --> X1/X2= Y1/Y2 . x+12/6 = 3/9 -->
9.x+9x12=6.3 --> 9x+108 = 18 --> 9x=18-108 --> 9x=-90 --> x= -90/9 --> x= -10 . Se colocarmos os vetores u ? e v ? no plano cartesiano veremos
que eles tem o mesmo coeficiente angular resultandoem mesma direção, y2-y1/x2-x1 --> 9-3/6-(-10+12) = 6/4 --> (a)= 1,5, como parte do ponto
origem o (b) é 0 então fica como uma função de 1º grau --> y=ax+b --> y= 1,5.2 = y=3 ou y=1,5.6 = y=9. Sendo assim os 2 vetores passa na
mesma reta,sendo paralelos.
Exercício 18:
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
D - pitagoras, a²=b²+c² --> b²=(-6)²+3² --> b²=36+9 --> b²=45 b= v45 --> b = 6,70 ou 3v5.
Exercício 19:
Considerando os pontos A(-1, 3) e B(0, -4), podemos dizer que:
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B - Representei os vetores de A ? e B ? no plano cartesiano, e encontrei o vetor soma AB ? , redesenhei o vetor AB ? sem alterar o sentido,direção e
modulo , partindo da origem e as coordenadas do vetor AB ? =(1,-7). As coordenadas do vetor AB ?=(1,-7) são proporcionais ao vetor u ?=(-4,28) --
> 1/-4 = -7/28 --> -0,25 = -0,25 , sendo então paralelos.
Exercício 20:
Considerando os pontos A(-1, 0) e B(-2, 1), podemos dizer que:
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B - B-A =(-2-(-1), 1-0) = (-1 , 1) , |AB|= v(-1)²+1² = v2 , AB/|AB| = -1/v2 , 1/v2 = ( -v2/2 , v2/2 )
Exercício 21:
Uma torneira lança água em um tanque. O volume de água no tanque, no instante t, é dado por V(t)=6t3+1,5t (litros), t sendo dado em
minutos. Qual é o volume de água no tanque no instante t=2 minutos?
A - 49,5 litros
B - 73,5 litros
C - 51 litros
D - 46 litros
E - 72 litros
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
C - Substituição do (t) da função por t = 2minutos. V(t)=6.t³+1,5t ---> V(2)= 6.2³+1,5.2 = 51 litros.
Exercício 22:
Uma torneira lança água em um tanque. O volume de água no tanque, no instante t, é dado por V(t)=6t3+1,5t (litros), t sendo dado em
minutos. Qual a taxa de variação do volume de água no tanque no instante t=2 minutos?
A - 49,5 L/min
B - 73,5 L/ min
C - 51 L/ min
D - 46 L/ min
E - 72 L/ min
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B - DERIVADA DV/DT V(t)=6t³+1,5t --> V'(t)= 3.6t³-¹ + 1,5t¹-¹ --> V'(t)= 18t²+1,5 --> Agora substituímos o (t) da função pelo 2 minutos --> V'(2)=
18.2²+1,5 --> V'(2) = 73,5L/min.
Exercício 23:
Qual a derivada da função y=(x+16).senx ?
A - y\u2019=senx
B - y\u2019=senx+(x+16).cosx
C - y\u2019=senx-(x+16).cosx
D - y\u2019=cosx
E - y\u2019=(x+16).cosx
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(B)
Comentários:
B - Y=(x+16).senx --> Y'= (1+0).senx+(x+16).cosx --> y= senx+(x+16).cosx
Exercício 24:
Qual a inclinação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x3 \u2013 8 no ponto de abscissa igual a \u20132?
A - 12
B - -12
C - -16
D - 0
E - 16
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A - Para identificar a inclinação(coeficiente angular) no ponto de abscissa -2 , fiz a derivada da função f(x) = x³-8 --> f'(x)= 3x² --> substitui o (x) da
função por -2 --> f(-2)= 3.-2² --> f(-2)= 12. A inclinação no ponto de abscissa igual a -2 é 12.
Exercício 25:
Se f(x)=ex.sen(2x), então podemos dizer que:
A - f\u2019(0)=2
B - f\u2019(0)=1
C - f\u2019(0)=-2
D - f\u2019(0)=4
E - f\u2019(0)=0
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A - derivei a função usando regra do produto e regra da cadeia e depois substituir o "x" da função por 0.
Exercício 26:
A - Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
B - Apenas a afirmação III é verdadeira.
C - Todas as afirmações são verdadeiras.
D - Todas as afirmações são falsas.
E - Apenas a afirmação II é verdadeira.
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
E - (I) Falsa , pois o resultado do produto escalar resulta em apenas um unico numero, e na afirmação está dizendo que u ?.v ?=(0,12) <-- Dois
numeros como resultado) Falsa. (II) Verdadeira ,pois u ?=(2,-4) e v ?=(0,-3) --> u ?.v ?= (2.0 + (-4).(-3) = 12 , Verdadeira.
27- ALTERNATIVA C
2u= 2*(2, -4) 5u= 5*(5, -10)
2u= (4, -8) 5u= (25, -50)
uv= x1.x2 + y1.y2
uv= 4*5 + (-8)*(-10)
uv= 20 + 80
uv = 100
28- ALTERNATIVA A
29- ALTERNATIVA E
30- ALTERNATIVA B
31- ALTERNATIVA A
uv= x1*x2 + y1*y2 + z1*z2
uv= 1*2 + (-2)*1 + (-1)*0
uv= 2 + (-2) + 0
uv= 2 -2
uv = 0
32- ALTERNATIVA C
u.v = 0 |u| = 3 |v|=4 (u + v) . (u +2v) u . u + 2 . u . v + u . v + 2 . v .v substitui assim : u . u = |u|^2 e v.v = |v| ^2 e tudo que tiver: u .v =0 voltando: u . u + 2 . u . v + u . v + 2 . v .v |u|^2 + 2 . 0 + 0 + 2 . |v|^2 3^2 + 0 + 0 + 2 . |4|^2 9 + 2 . 16 9 + 32 41
33- ALTERNATIVA B
uv=0
uv= x1*x2 + y1*y2 +
z1*z2
0= 1*2 + 1*x + 8*(-4)
0= 2 + x + (-32)
0= 2 +x -32
x -32 32 = x
34- ALTERNATIVA
35- ALTERNATIVA D
I) f(x)= e^cosx
f\u2019(x)=-sem*e^cosx
CORRETA
II) f(x) = ln(x^2 + 4)
f\u2019(x) = 2x + 0
x^2 + 4 = f\u2019(x) = 2x ------------x^2 + 4
CORRETA
III) A derivada de f(x) =V 3x + 6 \ _________ f(x) =V 3x + 6 \ = f(x) = (3x + 6)^-1/2 é: f\u2019(x) = 1 ----- . (3x + 6)^-1/2 . (3.1 + 0) 2 f\u2019(x) = 1 ---- . (3x + 6)^-1/2 . 3 2 f\u2019(x) = 3 = ------------------2 (3x + 6)^-1/2 3 ------------------__________ 2V 3x + 6 \
CORRETA
36- ALTERNATIVA C
I. f(x) = sem (2x + 4)
f'(x) = (2 . 1 + 0) cons (2x+4)
f'(x) = 2 cons (2x+4)
Resposta: I esta errada
II. f(x) = cos (3x + 6)
f'(x) = -(3 . 1 + 0) . sen (3x + 6)
f\u2019(x) = -3 sen (3x +6)
Resposta: II esta certa
III. f(x) = (x^2 + 4x)^3
f'(x) = 3 (x^2 + 4x)^2 . (2x + 4 . 1)
f'(x) = 3 (x^2 + 4x)^2 . (2x + 4)
f'(x) = (x^2 + 4x)^2 . 3(2x + 4)
f'(x) = (x^2 + 4x)^2 . (6x + 12)
Resposta: III esta certa
37- ALTERNATIVA D
f(x) = x^3 + 4
f\u2019(x) = 3x^2 + 0
f\u2019(x) = 3x^2
f(x) = x^4 + 2
f\u2019(x) = 4x^3 + 0
f\u2019(x) = 4x^3
f(x) = x^5 \u2013 2
f\u2019(x) = 5x^4 + 0
f\u2019(x) = 5x^4
38- Suponha que a equação da velocidade v (em cm/s) de um ponto material em função do tempo t (em segundos) seja v(t)= 14t-6t2. Sabendo que, no instante 1 s, o ponto material encontra-se na posição 16 cm, qual a equação do espaço (em centímetros) em função do tempo?
ALTERNATIVA B
v(t)= 14t-6t2
S(t) =(14 . t^2)/2 (-6.t^3)/3 + S(0)
S(t) =7 . t^2 -2.t^3 + S(0)
Sabe-se que em t=1 s=16, com isso podemos encontrar S(0):
S(t) =7 . t^2 -2.t^3 + S(0)
16(1) =7 . 1^2 -2.1^3 + S(0)
16(1) =7 . 1 -2.1 + S(0)
16(1) =7 -2 + S(0)
16(1) =5 + S(0)
39- ALTERNATIVA A
40- ALTERNATIVA C