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Introdução à Probabilidade e à Estatística – 2º Semestre 19/20 
Ficha 3 
 
Exercício 1 
Seja X uma variável aleatória que indica o nº de vezes que, durante um ano, a eletricidade de 
uma moradia é cortada por falta de pagamento e a Y variável aleatória que indica o nº de vezes 
que a água é cortada pelo mesmo motivo. Considere a função de probabilidade conjunta: 
Y\X 0 1 2 
0 0.3 0.2 0.1 
1 0.1 0.1 0 
2 0.1 0 a 
a) Mostre que a=0,1. 
b) Determine as funções de probabilidade marginais de X e Y 
c) Calcule P(X=2|Y=0) e P(XY1) 
d) Mostre que E(XY)= 0,5 e determine Cov(X,Y). Interprete este último resultado. 
e) Serão as variáveis aleatórias X e Y independentes? Justifique. 
 
 
 
 
Exercício 2 
Num determinado Centro de Saúde, 35% dos utentes recebem a vacina da gripe sazonal. 
a) Qual a probabilidade de, em 10 utentes seleccionados ao acaso, menos de 3 terem 
sido vacinados? 
b) Quantos utentes serão necessários para garantir que o número esperado de vacinados 
seja 70? 
       
nnP(X= )=C p 1 - p ; E X np ; Var X = np 1-p
xx
xx

 
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
10Cx 
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 
 
 
 
 
 
Exercício 3 (Afonso, A. e Nunes, C. ,2010) 
Numa experiência biológica, para a qual a escolha das cobaias é bastante dispendiosa, 
verifica-se, que a experiência é bem sucedida em 40% dos casos. 
a) Se tiver 10 cobaias, qual a probabilidade de ter pelo menos duas experiências 
bem sucedidas? 
b) Quantas cobaias serão necessárias para que o número esperado de sucessos seja 
24? Justifique a resposta. 
c) Quantas cobaias serão necessárias para garantir que a probabilidade de obter 
pelo menos uma experiência com sucesso não seja inferior a 0,95? 
 
 
Exercício 4 (Afonso, A. e Nunes, C. ,2010) 
O serviço de atendimento de uma instituição de saúde recebe, em média, 12 
reclamações em cada período de 8 horas. Qual a probabilidade de, num período de uma 
hora: 
a) Não receber nenhuma reclamação. 
b) Serem recebidas pelo menos duas reclamações. 
 
 
 
 
Exercício 5 (Afonso, A. e Nunes, C. ,2010) 
Seja X a v. a. Que representa o número de automóveis que entram numa autoestrada 
(AE) num período de 30 segundos. Sabe-se que X é uma v.a. de Poisson com desvio 
padrão igual a 3. 
a) Descreva a função de probabilidade da v.a. em estudo. 
b) Em média quantos automóveis entram na AE num período de 30 segundos? 
Calcule a variância. 
c) Qual a probabilidade de entrarem no mínimo 2 automóveis na AE numperíodo 
de 30 segundos? 
d) Determine a probabilidade de entrarem no máximo 3 automóveis na AE num 
minuto. 
e) Calcule a probabilidade de entrarem mais de 2 e menos de 5 automóveis na AE 
num período de 15 segundos. 
 
 
Exercício 6 (Afonso, A. e Nunes, C. ,2010) 
Seja X a v.a. que representa o tempo, em segundos, decorrido entre a entrada 
consecutiva de dois automóveis numa autoestrada (AE). Admita que esta v.a. segue uma 
distribuição exponencial com valor médio 15 segundos. 
a) Descreva as funções densidade de probabilidade e de distribuição associadas a 
esta variável aleatória. 
b) Qual o valor esperado e a variância de X? 
c) Calcule a probabilidade do tempo que medeia a entrada consecutiva de 2 
automóveis na AE ser superior a 50 segundos. 
d) Determine a probabilidade do intervalo de tempo de entrada de 2 automóveis 
consecutivas na AE ser inferior a 1 minuto. 
e) Calcule P(X > σX ). 
f) Determine a probabilidade do tempo que ocorre entre a entrada consecutiva de 
2 automóveis na AE estar entre 10 e 20 segundos. 
 
 
 
Exercício 7 (Afonso, A. e Nunes, C. ,2010) 
O tempo, em minutos, que os alunos do curso de Sociologia demoram a resolver todas 
as alíneas do exame da disciplina de Estatística pode considerar-se que segue uma 
distribuição Normal com média 110 minutos e desvio padrão 15 minutos. 
a) Sabendo que o professor determina que a duração máxima para resolver o 
exame é 2 horas (120 minutos), qual a probabilidade de um aluno não acabar 
de resolver o exame? 
b) Numa sala de exame estão 50 alunos, quantos espera que acabem de resolver 
o exame? 
c) Qual a probabilidade de um aluno demorar menos de 105 minutos a resolver o 
exame? 
d) Determine a probabilidade de um aluno demorar entre 100 e 110 minutos a 
resolver o exame. 
e) Complete «29,12% dos alunos demoraram mais de … minutos a resolver o 
exame». 
f) Complete «75% dos alunos demoraram no máximo … minutos a resolver o 
exame». 
 
 
 
 
 
Exercício 8 (Afonso, A. e Nunes, C. ,2010) 
A distribuição dos rendimentos familiares num determinado bairro com 5000 famílias segue 
uma lei normal, com µ = 180 u. m. e σ = 5 u. m. 
a) Calcule a probabilidade de uma família: 
i) Ter um rendimento superior a 190 u. m. 
ii) Não auferir mais de 163 u. m. 
iii) Auferir entre 175 e 188 u. m. 
b) Qual o rendimento máximo auferido pelo grupo das 500 famílias de 
menores rendimentos? 
c) Qual o rendimento mínimo das 500 famílias com maiores rendimentos?