MATEMÁTICA CADERNO DO 3° CICLO

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PROGRAMA DE CONSOLIDAÇÃO DAS APRENDIZAGENS 
CADERNO PEDAGÓGICO COMPLEMENTAR 
MATEMÁTICA 
 ENSINO FUNDAMENTAL REGULAR 
7º ANO 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escola:__________________________________ 
Aluno(a): ________________________________ 
Turma: __________________________________ 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prefeito de Niterói 
Rodrigo Neves 
Vice-prefeito 
Axel Grael 
Secretário Municipal de Educação, Ciência e Tecnologia 
Waldeck Carneiro 
Presidente da Fundação Municipal de Educação de Niterói 
José Henrique Antunes 
Subsecretária Municipal de Educação 
Flávia Monteiro de Barros Araújo 
Diretora do Ensino Fundamental 
Viviane Merlim Moraes 
Coordenação de 3º e 4º ciclos 
Maria Cristina Rezende de Campos 
Coordenação de Matemática 
Nice Castro de Oliveira 
Professor(a) Produtor(a) do Caderno Pedagógico 
Complementar 
Christiane de Campos Costa 
Equipe de Revisão Linguística 
Aline Javarini 
Cristina Ferreira Gonçalves Padilha 
Marizeth Faria dos Santos 
Ilustração 
Bruna Lemos Motta 
 
 
 
 
 
2013 
 
 
 
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SUMÁRIO 
 
Unidade 1 – Números Inteiros – Conjunto ΖΖΖΖ .................................................................................. 4 
� Significado e representação 
� Esboço de reta numérica 
� Ordenação e comparação de números inteiros 
� Realização das quatro operações elementares 
� Resolução de problemas a partir dos conteúdos trabalhados 
� Conjunto dos Números Racionais 
 
Unidade 2 – Equação do 1º Grau................................................................................................... 42 
� Resolução de equações do 1º grau 
� Identificação da raiz de uma equação do 1º grau 
� Inequação do 1º grau 
 
Unidade 3 – Razões e Proporções.................................................................................................. 54 
� Análise de razões e proporções 
� Identificação de grandezas diretamente proporcionais 
� Identificação de grandezas inversamente proporcionais 
 
Unidade 4 – Porcentagem............................................................................................................. 60 
� Reconhecimento de porcentagem como representação de uma fração decimal 
� Resolução de problemas a partir dos conteúdos trabalhados 
 
Unidade 5 – Área e Perímetro....................................................................................................... 69 
� Cálculo de área e perímetro dos seguintes polígonos: quadrado, retângulo e losango 
 
Avaliação...................................................................................................................................... 80 
 
Gabaritos...................................................................................................................................... 84 
� Gabarito das atividades 
� Gabarito da avaliação 
 
Bibliografia.................................................................................................................................. 106 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caro(a) aluno(a), nesta Unidade vamos estudar o conjunto dos números inteiros, 
especificamente as operações matemáticas, a fim de reconhecer a necessidade de ampliação do 
conjunto dos números naturais, a partir de problemas do cotidiano. 
Vamos aprender a ordenar os números inteiros na reta numérica e também lidar com 
atividades bancárias, dentre outras, que envolvem as operações de adição, subtração, multiplicação 
e divisão desses números. Além disso, veremos problemas que envolvem a média aritmética de um 
conjunto de números, em diversas situações comuns da vida prática, inclusive apresentadas 
graficamente. 
 Ao término deste estudo, esperamos que você seja capaz de efetuar cálculos com números 
inteiros, envolvendo as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, bem como 
identificar a localização de números inteiros na reta numérica. 
 
 
 
 
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Unidade 1 – NÚMEROS INTEIROS – CONJUNTO ΖΖΖΖ 
� Significado e Representação 
 
 
 
CURIOSIDADE: Você sabe por que esse conjunto começa com a letra Ζ? É porque a 
palavra número, em alemão, é Zahlen e também começa com Z! 
 Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_inteiro>. Acesso em: 30/07/2013. 
 
 
Ζ é formado por infinitos números negativos, pelo zero e por infinitos números positivos. 
Ζ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...} 
 
Observe que o conjunto Z* não possui o zero. 
Z* = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5,...} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 SE LIGA NESSA! 
 Os números negativos podem ser usados em: 
• Saldos bancários; 
• Temperaturas; 
• Saldos de gols nas tabelas esportivas; 
• Profundidade do nível do mar etc. 
 
 
CURIOSIDADE: O Meridiano de Greenwich é o meridiano que passa sobre a 
localidade de Greenwich, um território a sudeste de Londres que, por convenção, 
divide o globo terrestre em ocidente e oriente, permitindo medir a longitude. Por 
definição, a longitude do Meridiano de Greenwich é 00 (zero grau). 
 
 
Exemplo 1: Na figura abaixo temos um planisfério. Observe que estão marcados os fusos horários. A 
origem escolhida é o meridiano de Greenwich, no centro da figura, onde está localizado o zero. Os 
locais situados a Leste (direita da figura) têm valores positivos e os locais situados a Oeste (esquerda 
da figura) têm valores negativos. 
Oi, Amanda! Você 
conhece os números 
negativos? 
 
Claro! Eles fazem 
parte do Conjunto dos 
Números Inteiros e é 
denotado por Ζ. 
 
Mas onde encontramos 
os números negativos? 
 
 
 
6 
 
Quer saber mais? Visite o site: 
http://pt.wikipedia.org 
 
FONTE: Caderno de Revisão de Matemática 2011 – Prefeitura do Rio de Janeiro. 
 
 
 
Exemplo 2: Quando tratamos de temperaturas representadas por números positivos, identificamos 
que são temperaturas acima de 00 e quando representadas por números negativos, identificamos 
que são temperaturas abaixo de 00. 
 
 
 
 
 
 
GLOSSÁRIO 
Meridiano: é uma linha norte-sul entre o Polo Norte e o Polo Sul. 
Longitude: descreve a localização de um lugar na Terra medido em graus, de zero a 180 para leste ou 
para oeste, a partir do Meridiano de Greenwich. 
Grau (símbolo: °): é uma medida dos ângulos planos que corresponde a 1/360 de uma circunferência. 
Cada grau pode ser dividido em minutos, que equivalem a 1/60 do grau e segundos, equivalentes a 
1/60 do minuto. 
Planisfério: é a representação do globo terrestre no papel, porém, em forma plana, embora sua cópia 
mais fiel seja no próprio globo, pelo fato do planeta ser esférico. Também é conhecido como mapa-
múndi. 
Fuso horário: cada uma das vinte e quatro áreas em que se divide a Terra, seguindo a mesma 
definição de tempo. 
 
(Disponível em: <http://pt.wikipedia.org>. Acesso em: 11/07/2013) 
370 C acima de zero, 
significa + 370 C. 
Que calor! 
 
40 C abaixo de zero, 
significa – 40 C. 
Imagina o frio! 
 
 
 
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Exemplo 3: Em extratos bancários, os créditos são representados por números positivos e os débitos, 
por números negativos. 
 
 
 
 
 
 
 EXERCÍCIOS 
 
 
1) Represente com números inteiros, as situações abaixo: 
 
Exemplo: 50 C acima de zero. (+ 50 C) / 70 C abaixo de zero. (– 70 C) 
 
a) 90 C abaixo de zero. ................ 
b) 30 C acima de zero. ................. 
c) 150 C acima de zero. ................ 
d) 100 C abaixo de zero. .............. 
 
2) Represente com números inteiros, as situações abaixo: 
 
a) Crédito de R$ 300,00. .................... 
b) Débito de R$ 45,00. .................... 
c) Prejuízo de R$ 90,00. .................... 
d) Depósito de R$ 70,00. .................... 
e) Retirada de R$ 150,00. .................... 
f) Nem ganho nem perda. .................... 
g) Ganho de R$ 120,00. .................... 
h) Perda de R$ 55,00. .................... 
i) Lucro de R$ 48,00. .................... 
 
3) Marque ao lado do termômetroas temperaturas registradas nas cidades, de acordo com a 
tabela. A cidade do Rio de Janeiro já está marcada, faça o mesmo com as outras: 
 
 
Rio de Janeiro 320 C 
São Paulo 220 C 
Curitiba 40 C 
Nova York – 60 C 
Paris – 40 C 
 
 
Responda: 
 
a) Em quais cidades as temperaturas estão abaixo de zero? 
___________________________________________________________________________. 
 Crédito de 36 
reais: significa que 
recebi 36 reais em 
minha conta. 
+ R$ 36,00 
Débito de 60 reais: 
significa que 60 reais 
foram descontados de 
minha conta. 
– R$ 60,00 
Crédito, depósito, ganho e 
lucro representamos com 
números positivos; mas 
débito, prejuízo, perda e 
retirada, representamos 
com números negativos. 
 
 
8 
 
b) Que cidade apresentou a temperatura mais alta? 
___________________________________________________________________________. 
 
c) Que cidade apresentou a temperatura mais baixa? 
___________________________________________________________________________. 
 
 
GLOSSÁRIO 
Débito: quantia que se deve. 
Crédito: quantia que se tem a receber. 
 
 
� Esboço de Reta Numérica 
Podemos representar o conjunto Ζ construindo uma reta numerada, considerando o número 
zero como origem e o número 1 à direita do zero, tomando a unidade de medida entre os 
números, como a distância entre 0 e 1. 
 
 
 
 
 EXERCÍCIOS 
 
4) Complete a reta numerada, com os números que estão faltando: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
5) Na reta numerada, alguns pontos estão representados por letras. Escreva abaixo o valor de cada 
letra. 
 
 
A = ........... B = ........... C = ........... D = ........... 
A ordem a que os números 
inteiros obedecem é crescente, 
da esquerda para a direita. 
 
 
9 
 
� Ordenação e Comparação de Números Inteiros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente a sua direita na reta, 
em Z, e o antecessor de um número inteiro é o que está imediatamente a sua esquerda na 
reta, em Z. 
 
• + 5 é sucessor de +4, pois +5 está à direita de +4. (+5 > +4) 
• +1 é sucessor de 0, pois +1 está à direita de 0. (+1 > 0) 
• – 3 é sucessor de – 4, pois está à direita de – 4. (– 3 > – 4) 
• +3 é antecessor de +4, pois +3 está à esquerda de +4. (+3 < +4) 
• 0 é antecessor de +1, pois 0 está à esquerda de +1. (0 < +1) 
• – 5 é antecessor de – 4, pois está à esquerda de – 4. (– 5 < – 4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 SE LIGA NESSA! 
 
Os números positivos podem ser apresentados com ou sem 
o sinal (+) e representam créditos ou valores ganhos. 
 Os números negativos devem ser apresentados com o sinal 
(–) e representam dívidas, débitos ou descontos. 
Oi, eu sou Thaís! Você sabia 
que cada número inteiro, 
tem apenas um antecessor 
e um sucessor? 
 < significa menor que. 
(3 < 4, três é menor que 4) 
> significa maior que. 
(8 > 3, oito é maior que 3) 
 O vértice do sinal < fica virado 
para o número menor e sua 
abertura fica virada para o número 
maior. 
 
 
10 
 
Podemos dizer que +3 = 3. Significa que temos 3 camisetas, por exemplo. Quando se trata de 
números negativos, somos obrigados a representar esses números precedidos do sinal (–), para 
indicar que esse valor se trata de uma dívida. Exemplo: É melhor dever 5 do que dever 8, então 
podemos dizer que – 5 > – 8 (– 5 é maior que – 8). 
 
 EXERCÍCIOS 
 
6) Observe a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
O número – 4 tem como antecessor o número – 5 e como sucessor, o número – 3. Agora responda: 
a) Qual é o sucessor de + 5? ............... 
b) Qual é o sucessor de – 7? ............... 
c) Qual é o sucessor de 0? ............... 
d) Qual é o antecessor de + 5? ............. 
e) Qual é o antecessor de – 7? ............. 
c) Qual é o antecessor de 0? .............. 
 
 
7) Qual é o maior número? 
a) – 15 ou + 15? ............... 
b) + 50 ou – 50? ............... 
c) + 14 ou – 20? ............... 
d) 0 ou – 10? ............... 
e) – 6 ou – 12? ............... 
 
 
 
 
8) Responda qual situação é a melhor: 
 
a) Ter 10 (+ 10) ou dever 5 (– 5)? 
........................................................................... 
b) Dever 6 (– 6) ou dever 20 (–20)? 
........................................................................... 
c) Ter 8 (+ 8) ou não ter nada (0)? 
........................................................................... 
 
 
 
 
d) Dever 7 (– 7) ou não ter nada (0)? 
........................................................................... 
 
Quando tivermos dois 
números, um positivo e 
outro negativo, o maior é 
sempre o número positivo. 
Zero é maior que qualquer 
número negativo. 
 
 
11 
 
Observe a reta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
• – 3 é o oposto de + 3. (A distância de – 3 a 0 é 3). 
• + 2 é o simétrico de – 2. (A distância de + 2 a 0 é 2). 
• – 5 é o simétrico de + 5. (A distância de – 5 a 0 é 5). 
• O oposto de zero é o próprio zero. 
 
 
 
 
 
 EXERCÍCIOS 
 
9) Responda: 
a) O oposto de + 10 é .................. 
b) O oposto de – 25 é .................. 
c) O oposto de + 150 é .................... 
d) O oposto de – 1.300 é ................. 
 
10) Complete: 
a) O oposto ou ..................................... de ( – 9 ) é o ( + 9 ). 
b) O simétrico ou............................. .... de (+ 15) é o ..................... 
c) O zero é o ............................... do próprio zero. 
d) O simétrico do zero é ................................................................. 
Oi, Lucas! Você sabia que todo 
número inteiro, exceto o zero, 
tem um elemento chamado 
oposto? 
 Sim. São aqueles que na reta 
numerada possuem a mesma 
distância em relação ao zero. 
Também podemos chamá-los de 
simétricos. 
 Ah! Então dizer que um número é o oposto do 
outro, é o mesmo que dizer que esse número 
é simétrico ao outro. Entendi. 
 
 
12 
 
11) Escreva o oposto de cada situação abaixo: 
a) Crédito de R$ 35,00. 
................................................................. 
b) Prejuízo de R$ 50,00. 
................................................................. 
c) 50 C abaixo de zero. 
................................................................. 
d) 30 metros acima do nível do mar. 
.................................................................... 
e) Lucro de R$ 20,00. 
.................................................................... 
f) Débito de R$ 45,00. 
.................................................................... 
 
 
� Realização das quatro operações elementares 
Adição de Números Inteiros 
 
 
 
 
• Ganhei 2 canetas: (+2) 
• Ganhei mais 4 canetas: (+4) 
• Ganhei no total 6 canetas: (+2) + (+4) = + 6 
• Perdi 2 canetas: (– 2) 
• Perdi mais 1 caneta (– 1) 
• Perdi no total 3 canetas: (– 3) 
 
 EXERCÍCIOS 
 
12) Imagine que cada parcela positiva é um valor em dinheiro que você está recebendo. 
Exemplo: (+5) + (+8) = + 13. (Significa que eu tinha 5 e recebi mais 8, então fiquei com 13) 
Responda: 
a) (+3) + (+7) = ...................... 
b) (+4) + (+9) = ...................... 
c) (+6) + (+12) + (+2) = ............................ 
d) (+1) + (+2) + (+3) + (+5) = ................... 
 
13) Faça as operações bancárias e dê os resultados: 
Exemplo: Crédito de R$ 15,00 mais crédito de R$ 20,00 –> Resultado: R$ 35,00. 
 Débito de R$ 10,00 mais débito de R$ 30,00 –> Resultado: – R$ 40,00. 
a) Crédito de R$ 25,00 mais crédito de R$ 10,00 –> Resultado: ............................................. 
Lembre-se de que a soma de 
dois números positivos é um 
número positivo. 
+ 10 significa que tenho 10. 
E a soma de dois 
números negativos é 
sempre um número 
negativo. 
– 6 significa que 
devo 6. 
 
 
 
13 
 
b) Débito de R$ 20,00 mais débito de R$ 50,00 –> Resultado: ............................................. 
c) Crédito de R$ 35,00 mais crédito de R$ 50,00 –> Resultado: ............................................d) Débito de R$ 8,00 mais débito de R$ 33,00 –> Resultado: ............................................... 
e) Crédito de R$ 5,00 mais crédito de R$ 22,00 –> Resultado: ............................................. 
 f) Débito de R$ 17,00 mais débito de R$ 55,00 –> Resultado: ............................................. 
 
 
 
 
 
 
 
O valor absoluto de um número inteiro é a distância desse número até o zero, na reta dos inteiros. 
Podemos chamar de valor absoluto ou módulo do número. 
• O valor absoluto ou módulo de +7 é 7 e podemos indicar assim |+ 7| = 7. 
• O valor absoluto ou módulo de – 12 é 12 e podemos indicar assim |– 12| = 12. 
• O valor absoluto ou módulo de 0 é 0 e podemos indicar assim |0| = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Foto: Caderno de Revisão – 2011. Prefeitura da Cidade do Rio de Janeiro. Adaptado. 
 
 
 
Entendi. Então o avião está a 
300m acima do nível do mar e os 
peixes estão a 7m abaixo do 
nível do mar! 
E o que é valor 
absoluto? 
Eu esqueci! 
Agora vamos somar dois 
números com sinais 
diferentes. Neste caso, 
subtraímos seus valores 
absolutos e damos o sinal 
do número que tiver o 
maior valor absoluto. 
O menino que está 
acenando para o avião, 
está no nível do mar. 
Sim. Ele está no ponto 
zero! 
7 e 300 são os valores 
absolutos dos números, 
os chamados módulos 
dos números. 
 
 
14 
 
14) Imagine que cada parcela positiva é um valor em dinheiro que você está recebendo e cada 
parcela negativa é um valor que você gastou. 
Exemplo: (+5) + (– 8) = – 3. (Significa que eu tinha 5 e gastei 8, então, fiquei devendo 3) 
Responda: 
a) (+ 3) + (– 2) = ............................ 
b) (– 4) + (+10) = ........................... 
c) (+ 5) + (– 6) + (+ 3) = ................................. 
d) (– 2) + (+ 4) + (– 6) + (+ 4) = ...................... 
 
15) O módulo de (+ 12) é ............... O módulo de (– 12) é ............... Por isso, dizemos que eles têm 
o mesmo valor absoluto. 
 
16) Faça as operações bancárias e dê os resultados: 
Exemplo: Crédito de R$ 15,00 mais débito de R$ 20,00 –> Resultado: – R$ 5,00. 
a) Crédito de R$ 25,00 mais débito de R$ 15,00 –> Resultado: .......................... 
b) Crédito de R$ 7,00 mais débito de R$ 25,00 –> Resultado: ........................... 
c) Crédito de R$ 12,00 mais débito de R$ 30,00 –> Resultado: ......................... 
d) Débito de R$ 25,00 mais crédito de R$ 28,00 –> Resultado: ......................... 
e) Débito de R$ 35,00 mais crédito de R$ 40,00 –> Resultado: ......................... 
f) Débito de R$ 20,00 mais crédito de R$ 45,00 –> Resultado: .......................... 
 
� Resolução de problemas a partir dos conteúdos trabalhados 
 
17) João tinha R$ 1.650,00 em um banco e fez uma 
compra no débito de R$ 800,00. Qual o valor de seu 
saldo? O saldo é positivo ou negativo? 
 
 
18) Um termômetro está marcando 320 C em Niterói – RJ. 
Se a temperatura cair 80 C, quantos graus marcará o termômetro? Com essa 
queda de temperatura, fará mais frio ou mais calor? 
 
 
19) Complete a tabela de gols marcados e sofridos por cada time. 
 
EQUIPES GOLS MARCADOS GOLS SOFRIDOS SALDO DE GOLS 
BOTAFOGO + 20 – 15 
FLAMENGO + 25 – 18 
FLUMINENSE + 19 – 19 
VASCO + 15 – 18 
TOTAL 
 
Vamos resolver 
algumas 
situações do 
nosso dia-a-dia? 
 
 
15 
 
20) D. Ângela tem R$ 500,00 em sua conta bancária e observou que foram feitas as seguintes 
operações em sua conta: 
� Depósito de R$ 120,00; 
� Saque de R$ 45,00; 
� Saque de R$ 82,00; 
� Saque de R$ 288,00. 
Qual o valor do saldo final de sua conta? ............................................................. 
O saldo é positivo ou negativo?............................................................................. 
 
21) Em uma cidade do sudeste do Brasil, foram registradas as temperaturas nas datas indicadas 
abaixo. Observe a tabela e responda: 
 
Data Temperatura Máxima 
15/07/2013 260 C 
16/07/2013 210 C 
17/07/2013 220 C 
18/07/2013 260 C 
19/07/2013 180 C 
20/07/2013 200 C 
21/07/2013 240 C 
22/07/2013 270 C 
23/07/2013 290 C 
 
a) Em que dia foi registrada a menor temperatura? ................................................................................ 
b) Em que dia foi registrada a maior temperatura? ................................................................................. 
c) Qual seria a sequência das temperaturas em ordem crescente?.......................................................... 
d) Em que data fez mais calor? ................................................................................................................. 
e) Em que data fez mais frio? ................................................................................................................... 
 
22) Mateus e Jeferson estavam jogando e obtiveram os seguintes resultados: 
 
Mateus Jeferson 
1ª partida 
Ganhou 200 pontos Perdeu 110 pontos 
2ª partida 
Perdeu 345 pontos Ganhou 325 pontos 
3ª partida 
Perdeu 205 pontos Ganhou 180 pontos 
4ª partida 
Ganhou 535 pontos Perdeu 465 pontos 
 
 
 
 Quando somamos 
números negativos, a 
ordem das parcelas 
não altera a soma. 
 Veja que os pontos ganhos 
ou perdidos estão em cada 
uma das colunas. 
 
 
16 
 
A partir dos dados da tabela, responda: 
a) Qual é o número total de pontos de Jeferson, após as quatro partidas?............................................. 
b) Qual é o número total de pontos de Mateus, após as quatro partidas?............................................... 
c) De quem foi a vantagem final? Por quantos pontos de diferença?...................................................... 
 
23) Observe no gráfico, a quantidade de pontos obtidos por cada jogador. 
 
 
Escreva os pontos obtidos por cada jogador na ordem crescente de pontos. 
 
24) Escolha dois números da tabela abaixo: 
– 10 201 – 54 17 – 33 
+ 42 –75 + 40 – 65 + 10 
a) cuja soma seja + 7. 
b) cuja soma seja – 33. 
c) cuja soma seja 0. 
d) cuja soma seja + 147. 
e) cuja soma seja – 58. 
 
 
 
 
 
 
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
Amanda Lucas Gabriel Thaís
Resultado do Jogo
 Lembre-se de que 
a ordem crescente é 
do menor número 
para o maior. 
Escolha dois números e 
vá somando até 
encontrar os resultados 
pedidos nas alternativas. 
 
 
17 
 
Subtração de Números Inteiros 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
• (+ 10) – (+ 4) = (+ 10) + (– 4) = + 6 
• (+ 5) – (– 3) = (+ 5) + (+ 3) = + 8 
• (+ 2) – (+ 7) = (+ 2) + (– 7) = – 5 
 
 
 
 
 
 
 
 EXERCÍCIOS 
25) Complete: 
a) O oposto de + 7 é ..........., isto é, – (+ 7) = .................. 
b) O simétrico de + 15 é .........., isto é, – (+ 15) = ........... 
 
c) O oposto de – 6 é ............., isto é, – (– 6) = ................... 
d) O simétrico de – 3 é .............., isto é, – (– 3) = .............. 
e) A diferença de dois números inteiros é igual à soma do 
primeiro com o .............................................. do segundo. 
 
26) Elimine os parênteses: 
a) – (+ 2) = ............... (Significa menos um ganho de 2) 
b) – (+ 24) = ............. (Significa menos um ganho de 24) 
c) – (– 16) = ............. (Significa menos um prejuízo de 16) 
Para subtrairmos 
dois números, 
adicionamos ao 
primeiro o 
oposto do 
segundo. 
Veja que a 
subtração é 
a operação 
inversa da 
adição. 
Veja: 
O oposto de – 4 é + 4. 
E o oposto de + 4 é – 4. 
Quando aparecer o sinal negativo antes dos 
parênteses, podemos eliminar os parênteses e 
trocar o sinal do número. 
 Por exemplo: – (+ 2) = – 2 e – (– 3) = + 3. 
O oposto de 
ganhar 7 é 
perder 7. 
O oposto de 
perder 6 é 
ganhar 6. 
 
 
18 
 
d) – (+ 23) = ............. (Significa menos um ganho de 23) 
e) – (– 37) = ............. (Significa menos um prejuízo de 37) 
f) – (– 45) = .............. (Significa menos um prejuízo de 45) 
 
27) Complete: 
a) (– 4) + (+ 5) = – 4 + 5 = 1 
Devo ............. e tenho 5, então tenho .............. 
b) (+13) + (– 13) = 13 – 13 = 0 
Tenho .............. e devo ..............., então ................ 0 ou ................ 
c) (– 7) – (+ 3) = – 7 – 3 = – 10 
Devo ................ e devo................, então devo............... 
d) (–14) – (– 18 ) = – 14 + 18 = 4 
Devo................ e tenho ..............., então tenho ............. 
e) – 30 – (– 10) = – 30 + 10 = – 20 
Devo ................. e tenho ..............., então devo ............. 
f) (– 2) + (– 3) = – 2 – 3 = – 5 
Devo ................. e ................ 3, então devo .................... 
 
 
28) Calcule as subtrações de acordo com o exemplo. 
 
Exemplo: 8 – (– 7) = 8 + 7 = 15 (Significa que tenho 8 menos um prejuízo de 7, então tenho 15) 
a) 5 – (– 3) = 
b) 6 – (+ 2) = 
c) 11 – (+ 11) = 
d) – 2 – (– 5) = 
e) –1 – (+ 3) = 
f) (+ 20) – (– 30) = 
g) (– 10) – (+ 13) = 
h) 45 – (+ 15) = 
i) 25 – (– 5) = 
j) 50 – (+ 16) – (– 6) = 
k) – 30 – (– 14) – (– 4) = 
Você vai precisar lembrar-se de 
duas coisas: 
1) Aplicar as regrinhas que vimos 
sobre os números opostos; 
2) Considerar os números 
negativos como dívidas ou 
prejuízos. 
Fique atento 
ao significado. 
 
 
19 
 
29) Calcule as subtrações de acordo com o exemplo. 
Exemplo: (– 10) – (– 4) + (– 2) – (– 3) = 
(Significa que devo 10, menos uma dívida de 4, gastei 2, menos uma dívida de 3) 
= – 10 + 4 – 2 + 3 = (Significa que devo 10, tenho 4, devo 2 e tenho 3) 
= – 10 – 2 + 4 + 3 = 
= – 12 + 7 = 
= – 5 (Significa que devo 5) 
 
a) (+ 6) + (– 1) + (– 5) + (– 3) = 
 
 
b) (– 10) – (– 2) – (+ 4) – (– 1) = 
 
 
c) (– 4) – (+ 2) – (– 1) + (– 5) = 
 
 
d) (+ 3) – (– 2) + (– 9) + (– 5) = 
 
 
e) (– 10) – (– 2) + (+ 4) – (+ 8) + (+ 1) = 
 
 
f) 20 + (– 7) + (+ 2) – (+ 4) – (– 1) + (– 5) = 
 
 
g) 15 – (– 2) + (– 3) – (– 3) – (– 8) + (– 5) + (– 2) = 
 
 
h) 50 + (+ 10) – (– 15) + (– 15) – (– 10) – (– 15) – (– 10) = 
 
 
Vamos juntar as 
dívidas e também 
o que tenho, para 
saber como fica a 
minha situação? 
Agora é a sua vez! 
Imagine que está 
fazendo operações 
financeiras. 
Quando iniciamos 
uma expressão 
com um número 
positivo, podemos 
não escrever o 
sinal (+) desse 
número. 
 
 
20 
 
 
 SE LIGA NESSA! 
 
a) 10 + (+ 3) = 10 + 3 = 13 
b) 10 + (– 3) = 10 – 3 = 7 
c) 10 – (+ 3) = 10 – 3 = 7 
d) 10 – (– 3) = 10 + 3 = 13 
 
 Sinais de operações 
 
 Sinais de números 
 
 
 
� Resolução de problemas a partir dos conteúdos trabalhados 
Exemplos: 
• Um vendedor ganhou R$ 20,00 e teve uma dívida de R$ 6,00 perdoada. Quantos reais esse 
vendedor ganhou? 
Resposta: 20 – (– 6) = 20 + 6 = 26. O vendedor ganhou R$ 26,00. 
 
• Em Niterói, na quarta-feira, a temperatura era de 320 C e na quinta-feira, 250 C. Qual a queda 
ocorrida? 
 Resposta: Esse problema se resolve calculando a temperatura final, menos a temperatura 
inicial, então 25 – 32 = – 7. Conclusão: A queda foi de 70 C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 EXERCÍCIOS 
 
30) Um vendedor ganhou R$ 30,00 e teve uma dívida de R$ 14,00 perdoada. Quantos reais esse 
vendedor ganhou? 
 
31) Em Itaboraí, na sexta-feira, a temperatura era de 280 C e no sábado, 210 C. Qual a queda 
ocorrida? 
 
32) D. Ester verificou que antes de faltar energia elétrica, a temperatura de seu freezer era de – 100 
C. Depois de 6 horas sem energia, a temperatura subiu para 80 C. A que temperatura se 
encontrava o freezer, depois dessas 6 horas sem energia? 
+ ( +) = + 
+ ( – ) = – 
– ( + ) = – 
– ( – ) = + 
Vamos resolver 
algumas situações 
como essas? 
 
 
21 
 
33) Nesta pilha de números, cada número é a soma dos dois números abaixo dele. Qual é o 
número que está no lugar do símbolo @, no alto da pilha? 
 
 
 
 
 
34) No futebol, o saldo de gols é muito utilizado em campeonatos, como critério de desempate 
entre dois times que apresentam o mesmo número de pontos. Ele é obtido pela diferença entre 
gols marcados e gols sofridos. 
TIME GOLS 
MARCADOS 
GOLS 
SOFRIDOS 
SALDO DE 
GOLS 
Flamengo 25 ........ 10 
Vasco 12 17 ........ 
Fluminense ........ 7 – 1 
Botafogo 11 ........ 0 
 
De acordo com a tabela, responda: 
a) A diferença entre os gols marcados e gols sofridos é chamado ......................................................... 
b) A expressão que determina o saldo de gols do Flamengo é 25 – .......................... = .......................... 
c) Quantos gols o Flamengo sofreu?......................................................................................................... 
d) Qual é o saldo de gols do Vasco? ......................................................................................................... 
e) Quantos gols o Fluminense marcou?.................................................................................................... 
f) Quantos gols o Botafogo sofreu?........................................................................................................... 
 
35) Leia o problema e escolha a alternativa que o demonstra. 
 
Felipe fez três vendas. Na primeira teve prejuízo de R$ 5,00, na segunda teve prejuízo de R$ 7,00, na 
terceira teve lucro de R$15,00 e na última teve lucro de R$ 8,00. 
Escolha a alternativa com a qual se pode calcular o saldo resultante desses quatro negócios: 
a) 5 –7 + 15 + 8 = = + 21 
b) – 5 – 7 – 15 + 8= – 19 
c) – 5 + (– 7)+ 15 + 8 = + 11 
d) – 5 – (– 7) + 15 + 8 = 25 
Some – 5 com 3 e 
obtenha o número 
de cima, e assim 
descubra os outros. 
Apenas uma 
alternativa 
demonstra essa 
situação! 
 
 
22 
 
36) Em uma cidade dos Estados Unidos, a temperatura mais fria no inverno foi de – 70 C e a mais 
quente no verão foi de 320 C. Qual é a diferença entre a temperatura mais quente e a temperatura 
mais fria? 
 
37) Quantos anos viveu uma pessoa que nasceu no ano 35 a.C. e morreu no ano 47 d.C.? 
 
38) Escolha a alternativa que resolve o seguinte problema: 
O professor de Ciências fez uma experiência em que a temperatura foi medida três vezes. A segunda 
leitura foi de 8 graus a menos que a primeira, e a terceira foi de 10 graus a menos que a segunda. Se 
a primeira leitura indicou 7 graus, qual foi a última temperatura indicada? 
a) 7 graus b) 8 graus c) – 11 graus d) – 1 graus 
 
• Eliminando os Parênteses 
Sinal (+) antes dos parênteses 
Exemplos: 
a) + (– 4 + 6) = – 4 + 6 = 2 
b) + (8 + 2 – 3) = 8 + 2 – 3 = 7 
 
Sinal (–) antes dos parênteses 
Exemplos: 
a) – (12 – 4 + 2) = – 12 + 4 – 2 = – 10 
b) – (– 11 + 1 – 5) = + 11 – 1 + 5 = 15 
c) – (– 4 – 5) = 4 + 5 = 9 [Significa: o oposto de (– 4 – 5) é + 9] 
d) – (+ 7 + 3) = – 7 – 3 = – 10 [Significa: o oposto de (+ 7 + 3) é – 10] 
 
 EXERCÍCIOS 
 
39) Elimine os parênteses e dê o resultado: 
 
a) + (3 – 2) = 
b) + (– 5 + 8) = 
c) – (3 – 5 + 7) = 
Conserve os 
sinais dos 
números que 
estão dentro dos 
parênteses. 
Troque os sinais 
dos números que 
estão dentro dos 
parênteses. 
 
 
23 
 
d) + (9 + 6 – 10) = 
e) 8 + (– 3 – 3) = 
f) 25 – (– 4 – 5) = 
g) – 20 – (– 2 + 3) = 
h) 100 – (25 – 10 + 5) = 
i) 200 + (– 30 + 70 + 40 – 20) = 
j) 40 – (– 30 + 10) – (– 5 + 10 + 15) = 
k) 25 + (15 – 50) + (– 20 – 10) = 
 
• Expressões numéricas 
 
 
 SE LIGA NESSA! 
Devemos respeitar a seguinte ordem, para 
resolvermos as expressões numéricas: 
1º Parênteses ( ); 
2º Colchetes [ ]; 
3º Chaves { }. 
 
Exemplos: 
a) 8 + (+ 6 – 1) – (– 4 + 2 – 5) = 
 = 8 + 6 – 1 + 4 – 2 + 5 = 
 = 23 – 3 = 
 = 20 
 
b) 35 + [– 4 + 1 – (– 3 + 6) ]= 
 = 35 + [– 4 + 1 + 3 – 6 ]= 
 = 35 – 4 + 1 + 3 – 6= 
 = 39 – 10= 
 = 29 
 
c) –15 + {+ 3 – [ 2 – (– 7 + 10)]} = 
 = –15 + {+ 3 – [2 + 7 – 10]} = 
 = –15 + {+ 3 – 2 – 7 + 10} = 
 = –15 + 3 – 2 – 7 + 10 = 
 = – 24 + 13 = – 11 
 
Veja que existe um 
sinal (+) positivo e 
outro negativo (–) 
antes dos parênteses! 
Ah, quando o sinal é positivo 
(+), não trocamosos sinais 
dos números que estão nos 
parênteses, mas quando o 
sinal é negativo (–), 
trocamos todos os sinais dos 
números que estão nos 
parênteses! 
Lucas, essa regra 
vale para os 
parênteses, 
colchetes e chaves. 
 
 
24 
 
 EXERCÍCIOS 
 
40) Observe a figura: 
A cidade de Gramado está localizada no Rio Grande do 
Sul, região sul do Brasil. Considerando a tabela ao lado, 
que mostra a temperatura em julho de 2013, responda às 
questões que seguem. 
a) A diferença entre a temperatura máxima e a mínima 
de cada dia é: 
Quarta-feira = ................ Quinta-feira = .................. 
Sexta-feira =................... Sábado = ......................... 
Domingo = ....................... 
 
b) Qual o dia em que fez mais frio? 
............................................................................................ 
c) Qual dia apresentou maior diferença de temperatura? 
............................................................................................ 
d) Qual dia apresentou menor diferença de temperatura? 
........................................................................................... 
 
(Disponível em: <http://www.climatempo.com.br/previsao-do-tempo/cidade/780/gramado-rs>. Acesso em: 19/07/2013) 
 
 
41) Resolva as seguintes expressões numéricas: 
 
a) 15 – (8 – 7) + (9 – 4) = 
 
 
 
 
 
 
b) 12 – { – 3 + [1 + (+ 2 – 9) – 8] + 5} = 
 
 
 
 
 
 
 
 
42) Calcule a soma das diferenças entre a temperatura máxima e a temperatura mínima de cada 
dia na cidade de Petrópolis, no Rio de Janeiro, em 2013, nos dias mostrados na figura a seguir: 
 
 
25 
 
 
(Disponível em: <http://www.climatempo.com.br/previsao-do-tempo/cidade/317/petropolis-rj>. Acesso em: 19/07/2013) 
 
Multiplicação de Números Inteiros 
a) (+ 4) . (+ 8) = 4.(+ 8) = (+ 8) + (+ 8) + (+ 8) + (+ 8) = + 32 
b) (+ 4) . (– 8) = 4.(– 8) = (– 8) + (– 8) + (– 8) + (– 8) = – 32 
c) (– 4) . (+ 8) = – (+ 4) . (+ 8) = – (+ 32) = – 32 
d) (– 4) . (– 8) = – (+ 4) . (– 8) = – (– 32) = + 32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 SE LIGA NESSA! 
 Regras de sinais para a multiplicação: 
 
 
 
(Número positivo) . (Número positivo) = Número positivo 
(Número negativo) . (Número negativo) = Número positivo 
(Número positivo) . (Número negativo) = Número negativo 
(Número negativo) . (Número positivo) = Número negativo 
A multiplicação 
é uma soma de 
parcelas iguais. 
Imagine que sua mãe fez uma compra e vai pagar 6 prestações de R$ 20,00. 
Quanto ela pagará no total? 
Lembre-se de que é uma dívida de 20 reais, durante 6 meses. 
(+ 6) . (– 20) = 6.(– 20) =(– 20) + (– 20) + (– 20) + (– 20) + (– 20) + (– 20)= – 120 
Ela pagará R$120,00. 
Para resolver esta questão, siga 
este esquema: (temperatura 
máxima – temperatura mínima 
de quarta) + (temperatura 
máxima – temperatura mínima 
de quinta) + ... Vai somando até 
domingo. 
 
 
26 
 
 EXERCÍCIOS 
43) Determine o sinal do produto: 
a) ( + ) . ( + ) = 
b) ( + ) . ( – ) = 
c) ( – ) . ( – ) = 
d) ( – ) . ( + ) = 
e) ( + ) . ( + ) . ( + ) = 
f) ( + ) . ( – ) . ( – ) = 
g) ( – ) . ( + ) . ( + ) = 
h) ( – ) . ( – ) . ( – ) = 
i) ( – ) . ( + ) . ( – ) . ( + ) = 
j) ( – ) . ( – ) . ( – ) . ( – ) = 
k) ( – ) . ( – ) . ( – ) . ( + ) . ( + ) = 
l) ( – ) . ( – ) . ( – ) . ( – ) . ( – ) = 
m) ( – ) . ( + ) . ( + ) . ( + ) . ( – ) = 
n) ( – ) . ( + ) . ( – ) . ( + ) . ( – ) = 
 
 
44) Faça as multiplicações: 
 
a) (+ 7) . (+ 8) = g) (– 6) . (– 4) = 
b) (– 7) . (– 8) = h) (– 5) . (+ 9) = 
c) (+ 7) . (– 8) = i) (+ 4) . (– 8) = 
d) (– 7) . (+ 8) = j) (– 9) . (+ 9) = 
e) 5 . (– 1) = k) 7 . (– 6) = 
f) 2 . (+ 8) = l) (+ 2) . 0 = 
 
45) Complete a tabela, realizando a multiplicação entre os números: 
( . ) – 10 – 8 – 6 – 4 – 2 0 + 1 + 3 + 5 + 7 + 9 
0 0 
+ 4 – 32 – 16 0 + 12 + 36 
+ 5 + 35 
+ 6 0 
 + 7 
+ 8 0 + 40 
+ 9 – 18 
+ 10 – 60 0 + 10 
 
 
27 
 
46) Calcule o valor das expressões, conforme o exemplo. 
 Exemplo: 60 – (+ 4) . (– 8) = 
 = 60 – (– 32) = 
 = 60 + 32 = 
 = 92 
 
a) 5 . 3 – 30 = 
b) 14 – 6 . 3 = 
c) 15 . 4 – 80 = 
d) – 50 + 11 . 5 = 
e) – 48 – 6 . 7 = 
f) 35 + (– 9) . (– 4) = 
g) 18 – (– 6) . (– 2) = 
h) (+ 8) . (– 8) + 64 = 
i) 54 + (– 6) . (+ 9) = 
 
• Podemos eliminar o sinal indicativo da operação de multiplicação (.), escrevendo os números 
dentro dos parênteses, um ao lado do outro, por exemplo: (– 9)(– 6) = 54. 
• Na multiplicação, se um dos fatores é representado por uma letra, podemos eliminar o sinal 
indicativo da operação. Exemplos: 7.x pode ser escrito assim: 7x / 8.a.b pode ser escrito 
assim: 8ab. 
 
47) Calcule o valor da expressão, se x = 3, y= – 4 e z= – 5: 
a) x + y = d) x . y = g) xyz = 
b) x – z = e) 5x + y = h) xy + xz = 
c) y . z = f) 8y – z = i) – 3z + 4x – 2z = 
 
48) Calcule o valor das expressões: 
a) (9 – 3) . (9 – 3) = d) (3 – 9) . (3 – 9) = 
b) (9 – 3) . (3 – 9) = e) (– 3 – 9) . (3 – 9) = 
c) (3 – 9) . (9 – 3) = f) (– 9 – 3) . (9 – 3) = 
 
Efetue primeiro 
as 
multiplicações, 
depois as 
adições e 
subtrações. 
 
 
28 
 
49) Complete as questões abaixo: 
a) O dobro de – 10 é: ................................................................................................................................ 
b) O triplo de – 18 é: ................................................................................................................................. 
c) A soma do dobro de – 20, com o triplo de – 42 é: ................................................................................ 
d) O próximo número da sequência – 3, – 6,– 12, – 24, ... é: ................................................................... 
e) O quádruplo de – 32 é: ......................................................................................................................... 
f) Somando o dobro de – 16, com o triplo de 13, obtemos: ..................................................................... 
 
50) Escreva uma sequência de cinco termos, sabendo que o primeiro termo é – 5 e cada termo é o 
triplo do anterior: .................................................................................................................................... 
 
51) Lucas tem um saldo bancário de R$ 350,00. Ele emitiu três cheques, cada um de R$ 150,00. 
Qual é o novo saldo bancário do Lucas? 
.................................................................................................................................................................. 
 
52) Quais são os dois números, cuja soma é – 5 e cujo produto é – 50? 
.................................................................................................................................................................. 
 
53) Encontre o valor do número desconhecido ☺☺☺☺, nas seguintes multiplicações: 
a) ☺ . 7 = 21 
b) 6 . ☺ = 48 
c) 9 . ☺ = 27 
d) ☺ . (– 4) = – 24 
e) – 8 . ☺ = – 72 
f) – 6 . 9 = ☺ 
g) (+ 5) . (– 2) . ☺ = – 40 
h) (– 2) . ☺ . (+ 8) = – 64 
i) (– 5) . (– 6) . ☺ . (– 2) = 300 
j) (+ 1) . (+ 1) . (– 1) . ☺ = + 1 
k) ☺ . ( – 1) . (– 2) = – 18 
l) 3 . (– 15) . ☺ = + 90 
 
54) Complete na tabela, a coluna da soma e a coluna do produto: 
 
 
 
 
 
 
 
Descubra qual o número 
que, se colocado no lugar de 
☺, obteremos o resultado 
de cada questão. 
Calcule a soma dos três números de cada linha, para 
completar a coluna da soma e calcule o produto dos 
números de cada linha, para completar a coluna do 
produto. 
 
 
29 
 
1º número 2º número 3º número Soma Produto 
– 7 – 3 – 5 
– 6 – 2 – 4 
– 5 + 3 + 2 0 – 30 
– 4 – 5 – 3 
– 3 + 4 – 5 
– 2 – 1 + 5 
– 1 – 2 + 5 
0 – 1 – 2 
+ 1 + 5 + 4 
+ 2 + 3 + 5 + 10 + 30 
+ 3 + 4 – 4 
+ 4 + 3 – 4 
+ 5 – 1 + 3+ 6 + 2 – 2 
+ 7 – 5 + 2 
 
Divisão de Números Inteiros 
Vamos dividir! 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
• ( + 30 ) : ( + 5 ) = ( + 6 ), porque ( + 5 ) . ( + 6 ) = + 30 
• ( – 30 ) : ( – 5 ) = ( + 6 ), porque ( + 5 ) . ( – 6 ) = – 30 
• ( + 30 ) : ( – 5 ) = ( – 6 ), porque ( – 5 ) . ( – 6 ) = + 30 
• ( – 30 ) : ( + 5 ) = ( – 6 ), porque ( – 5 ) . ( + 6 ) = – 30 
Regras: Exemplos: 
Número positivo: Número positivo = Número positivo (+ 35) : (+ 7 ) = + 5 
Número negativo: Número negativo = Número positivo (– 48) : (– 8) = + 6 
Número positivo: Número negativo = Número negativo (+ 63) : (– 9) = – 7 
Número negativo: Número positivo = Número negativo (– 52) : (+13) = – 4 
 
EXEMPLOS: 
a) (+ 36) : ( + 4) = + 9 
b) (– 36) : ( – 4) = + 9 
c) (+ 36) : ( – 4) = – 9 
d) (– 36) : ( + 4) = – 9 
Vocês sabiam 
que a divisão é a 
operação inversa 
da multiplicação? 
Sim. Para a 
divisão valem as 
mesmas regras 
de sinais da 
multiplicação 
em Ζ! 
Tenho R$ 30,00 
para dividir entre 
5 pessoas. Com 
quantos reais, 
cada pessoa 
ficará? 
Com R$ 6,00! 
 Vamos dividir dois 
números e usar a 
regra de sinais para 
ver como fica! 
 
 
30 
 
 
SE LIGA NESSA! 
 
• Não é possível a divisão por zero ( – 7 ) : 0 
• A divisão nem sempre é possível em Ζ 2 : 3 = ⅔ (⅔ ∉ Ζ) 
 
 
 EXERCÍCIOS 
 
55) Calcule as seguintes divisões e relacione as colunas: 
a) (– 16) : ( – 2) = ( ) – 6 
b) (+ 28) : ( – 4) = ( ) – 20 
c) ( – 40) : ( + 2) = ( ) – 7 
d) (+ 24) : ( + 4) = ( ) + 18 
e) (+ 45) : ( – 5) = ( ) + 6 
f) (– 27) : ( – 3) = ( ) – 9 
g) (– 42) : ( + 7) = ( ) + 9 
h) (– 36) : ( – 2) = ( ) + 8 
 
Exemplo: As figuras abaixo mostram a representação geométrica de algumas divisões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A oitava parte de 64 é A quarta parte de 64 é A quinta parte A oitava parte 
8, porque 64 : 8 = 8. 16 porque, pois 64 : 4 = 16. de 40 é 8, porque de 40 é 5, pois 
 40 : 5 = 8. 40 : 8 = 5. 
 
 
 
 
 
 
 Nesse exercício 
você só precisa 
dividir e aplicar a 
regra de sinais. 
 Quando queremos a 
metade de um número, 
dividimos o número por 
2. A terça parte, 
dividimos por 3. A 
quarta parte, dividimos 
por 4 e assim por diante! 
 No exemplo acima, quando 
falamos em representação 
geométrica, queremos dizer que 
vamos representar em figuras. 
 
 
31 
 
56) Responda: 
a) A metade de + 30 é ......................... 
b) A metade de – 50 é ......................... 
c) A terça parte de 60 é ...................... 
d) A quarta parte de – 80 é ................. 
e) A quinta parte de 100 é .................. 
f) A sexta parte de – 120 é ................. 
g) A sétima parte de – 63 é ................. 
h) A oitava parte de 72 é ..................... 
i) A nona parte de 81 é ....................... 
j) A décima parte de – 200 é ............... 
 
 
� Resolução de problemas a partir dos conteúdos trabalhados 
 
57) Dividiu-se 32 por um número inteiro, o resto da divisão é zero e o quociente é 4. Qual é o 
divisor? 
 
58) Dividiu-se – 42 por um número inteiro menor que 7, o resto da divisão é zero e o quociente – 7. 
Qual é o divisor? 
 
59) Complete a tabela usando a divisão: 
Algumas quadrículas estão pintadas de cinza, mostrando que não iremos fazer as contas desses 
locais. Os números que precisaríamos escrever nessas quadrículas, pertencem ao conjunto dos 
números inteiros?.......................... Por quê? ........................................................................................... 
 
– 100 + 80 – 60 + 48 0 ( : ) + 24 – 36 + 42 + 64 – 72 
 – 2 
 – 4 
 + 6 
 – 8 
 + 2 + 42 
 + 4 
 + 10 – 6 
 + 8 
 
60) Em cada alternativa, responda qual o resultado da quantia em dinheiro, que deve ser dividida 
para o número de pessoas indicado no círculo: 
a) : para ⑩ = ................................................. 
 
 
 
32 
 
b) : para ⑳ = ........................... 
c) : para ⑧ = ................................................................... 
d) : para ⑦ = ........ 
e) : para ⑬ = ...................................................................................................... 
f) : para ⑧ = ........... 
g) : para ⑤ = ................................................................................... 
 
61) Responda as perguntas e resolva a cruzadinha (horizontal): 
a) Na divisão 10: 5, o número 5 é chamado de ......................... 
b) Na divisão 12: 4 = 3, o número 3 é chamado de .................... 
c) Aos números inteiros negativos é atribuído o significado de.......... 
d) Na divisão 16: 8, o número 16 é chamado de ................................ 
e) Ζ é o símbolo do conjunto dos números ........................................ 
f) A operação inversa da divisão é a ................................................... 
g) O único número que não pode dividir nenhum outro é o ............... 
 a D 
 b I 
 c V 
 d I 
 e S 
f à 
 g O 
 
Média Aritmética Simples 
 
 
 
 
A média aritmética simples é muito utilizada 
no nosso dia-a-dia. É obtida, dividindo-
se a soma das observações pelo número 
delas. 
 
 
 
33 
 
Exemplo: Tenho três primas e suas idades são 12, 15 e 18. Quantos anos elas têm em média? 
Resposta: A média aritmética de suas idades é 
��	�	��	�	��
� = 15. Elas têm 15 anos em média. 
 
62) Durante alguns anos, tive um cachorro de estimação chamado Fox. Brincalhão, companheiro e 
particularmente lindo! Recentemente ele partiu. Fox tinha alguns cachorros amigos. Observe o 
gráfico abaixo e responda: qual é a média de idade dos cachorros? 
 
 
 
63) Observe a figura que mostra o clima na cidade de Gramado – RS e calcule: 
a) A média aritmética simples das temperaturas máximas. 
 
 
 
b) A média aritmética simples das temperaturas mínimas. 
 
 
 
c) Que dia apresentou a temperatura mais baixa? 
 
 
 
d) Que dia apresentou a temperatura mais alta? 
 
 
(Disponível em: <http://www.climatempo.com.br/previsao-do-tempo/cidade/780/gramado-rs>. Acesso em: 22/07/2013) 
 
 
64) Complete a tabela abaixo: 
 
x y z x . y x . z y . z x : y x : z (x . y) : z (x . z) : y (y . z) : x 
+ 6 – 3 + 2 + 12 (+ 12): (–3) = – 4 
– 6 + 3 + 2 + 6 (+6):(–6)= – 1 
+ 6 – 3 – 2 – 18 (–18):(–2)= + 9 
– 6 + 3 – 2 
 
8
10
12
10
5
IDADE DOS CACHORROS
 
 
34 
 
� Conjuntos dos Números Racionais – Conjunto Q 
 
 
 
 
Exemplos: 
• Os números naturais podem ser escritos em forma de fração: 7 = ��; 
• Os números inteiros podem ser escritos em forma de fração: – 3 = 		�� ; 
• Os números decimais podem ser escritos em forma de fração: 0,6 = 
�� = 
�
�. 
 
Representação Geométrica 
Os números racionais positivos são representados à direita do zero e os números racionais 
negativos, à esquerda, representados por pontos de uma reta, assim como os inteiros. 
 
 
• O oposto de – �� é + 
�
�. – 
�
� = – 2,5 e |– 2,5|= 2,5. 
• O oposto de + �� é – 
�
�. 
• O módulo de – �� é representado por: �–
	�
�� e �–
	�
��= 
	�
� . 
• – �� = – 2,5 e |– 2,5|= 2,5. 
• �� = 0,5 e |0,5| = 0,5. 
 
 
 
 
Número racional é 
todo número que 
pode ser escrito em 
forma de fração. 
Assim, todo número 
natural, inteiro, 
fracionário ou decimal 
é um número racional. 
O módulo de 
um número é a 
distância dele 
até o zero. 
Imagineque uma 
barra de chocolate 
será dividida entre 
mim, Amanda e 
Gabriel. 
Ah! É só dividir a 
barra em 3 
partes iguais! 
 
 
35 
 
 
 
 
 
 
Comparação dos Números Racionais 
• – �� < – 
�
�, porque – 
�
� está à esquerda de – 
�
� ; 
• �� > 
�
�, porque, encontrando frações equivalentes às duas frações e que tenham o mesmo 
denominador: 
�
�
��
�� = 
��
�� e 
�
�
��
�� = 
��
�� , temos que 
��
�� > 
��
��, então concluímos que 
�
� > 
�
�. 
 
 
� Realização das quatro operações elementares 
Adição de Números Racionais 
Exemplo 1: 
�� ��� + ��
�
�� = ��
��
��� + ��
�
��� = 
��
�� 
�
�
�
�
�
�	= 
��
�� e 
�
�
�
�
�
�	= 
�
�� 
 
 
 
 
 
 
GLOSSÁRIO 
M.M.C.: Mínimo Múltiplo Comum. 
 
Exemplo 2: 
�� ��� + ��
�
�� = ��
�
��� + ��
�
��� = 
	���
�� = 
�
�� 
– 
�
�
�
�
�
�	= – 
�
�� e 
�
�
�
�
�
�	= 
�
�� 
 
 
Cada um de nós receberá 
�
� da barra de 
chocolate. 
Nós dividimos 1 por 3 e ficamos com 
�
�. 
Então, 1 : 3 = 
�
�. 
 
Quando somamos 
frações, precisamos 
reduzi-las ao mesmo 
denominador, 
usando o M.M.C. ou 
encontrando as 
frações equivalentes 
às frações que 
queremos somar. 
Veja os exemplos! 
 Só podemos somar as frações se 
elas tiverem o mesmo denominador. 
Vamos recordar o M.M.C.? 
3,5 3 
1,5 5 
 1,1 3x5= 15 
15:3=5 e esse 5 multiplica o 2, 5x2=10 
15:5=3 e esse 3 multiplica o 3, 3x3=9. 
 
Só podemos somar as frações 
se elas tiverem o mesmo 
denominador. 
Vamos recordar o M.M.C.? 
4,5 2 
2,5 2 
1,5 5 
 1,1 2x2x5=20 
20:4=5 e esse 5 multiplica o 1, 
5x1=5. 
20:5=4 e esse 4 multiplica o 2, 
4x2=8. 
 
Lembre-se de que: 
Fração = 
���������
����������� 
 
 
36 
 
Exemplo 3: Minha professora levou 2 bolos para a escola e dividiu a turma em 5 grupos. Os dois 
bolos seriam divididos por 5. 
 
 
 
 
 
Resposta: Cada grupo recebe 
�
� do bolo. Cada bolo é dividido em 5 partes iguais e cada grupo recebe 
2 partes. Então, teremos 2:5 = 
�
� = 0,4 para cada grupo. 
 
 
 
 
 
 
 EXERCÍCIOS 
 
65) Faça as adições como no exemplo: 
a) �� ��� + ��
�
�� = 
b) �� �
� + ��
�
�� = 
c) �� ��� + ��
�
�� = 
 
66) Represente cada fração em número decimal: 
a) 
�
�� = b) 
�
�� = c)	
�
� = d) 
�
� = 
 
67) Represente o número decimal em forma de fração. Siga os exemplos. 
a) 0,3 = 
b) 0,4 = 
c) 0,5 = 
d) 0,42 = 
��
���
:
:
�
� = 
��
�� 
 
Vamos dividir 2 por 5. Não 
dá! Então, colocamos 0 no 
quociente e 0 no dividendo. 
Agora temos 20 para dividir 
por 5, que dá 4. E o resto é 0. 
O resultado de 2:5 = 0,4. 
Entendi. Cada bolo 
será divido em 5 
partes iguais, aí 
teremos 10 pedaços 
dos dois bolos juntos, 
então cada grupo 
ficará com 2 partes. 
Para colocar um número decimal na forma 
de fração, fazemos assim: 
Ex.: 0,2 = 
�
�� . Neste exemplo, depois da 
vírgula só existe o 2, apenas um algarismo, 
ou seja, uma casa decimal, aí escrevemos o 2 
no numerador da fração e uma potência de 
10 com um zero no denominador, teremos 
então 
�
��. 
 Não se esqueça de 
encontrar as 
frações 
equivalentes com o 
mesmo 
denominador! 
 
 
37 
 
e) 0,53 = 
f) 0,75 = 
g) 6,25 = 
��
���
:
:
��
�� = 
��
� 
h) 2,24 = 
i) 0,625 = 
 
68) Minha mãe pediu que eu fosse ao mercado comprar 
 
! quilo de salsicha. Quando o funcionário 
do mercado colocou a salsicha na balança, apareceu no visor 0,5 kg. Fiquei em dúvida. Ele atendeu 
ou não ao meu pedido? Será que 0,5 é igual ou diferente de 
 
! ? 
 
69) Minha tia é manicure. Na terça-feira ela esqueceu, na casa de uma cliente, um frasco de 
removedor de esmalte com 
 
" do produto. Na quarta-feira ela esqueceu, novamente, um frasco 
com 
!
# do produto, na casa de uma segunda cliente. E na sexta-feira ela ganhou de uma terceira 
cliente, um frasco com 
$
" do produto. No sábado, as duas clientes levaram os frascos esquecidos 
pela minha tia. Juntando tudo o que sobrou nos frascos, mais os 
$
"	que ela ganhou, qual foi a 
quantidade de removedor de esmaltes que ela ficou? 
 
 
Números decimais são numerais que indicam um número que não é inteiro. Geralmente, após o 
algarismo das unidades, usa-se uma vírgula, indicando que o algarismo a seguir pertence à ordem 
das décimas, ou casas decimais. 
(Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Casa_decimal >. Acesso em: 30/07/2013) 
 
Subtração de Números Racionais 
 
 
 
 
Exemplo 4: 
�� ��� – ��
�
�� = ��
��� – ��
�
��� = ��
��� + ��
�
��� = 
	
�� – 
	�
�� = 
			�
�� 	= 
�
�� 
�
�
�
�
�
�	= 
�� e 
�
�
�
�
�
�	= 
�
�� 
 
Encontramos a 
diferença entre dois 
números racionais, 
somando o primeiro 
com o oposto do 
segundo. 
 Lembre-se de que 
só podemos somar 
as frações, se elas 
tiverem o mesmo 
denominador. 
 
 
 
38 
 
 EXERCÍCIOS 
 
70) Faça as subtrações: 
a) �� ��� – ��
�
�� = 
b) �� ��� – ��
�
�� = 
c) �� ��� – ��
�
�� = 
 
71) Minha irmã fez um bolo, dividiu o bolo em 4 partes iguais e separou uma das partes para o 
meu tio e sua família, que chegariam mais tarde. Qual a fração que representa a parte que ficaria 
para a minha família comer? E qual a parte que ficaria para o meu tio e sua família? 
 
Multiplicação de Números Racionais 
 
 
 
 
 
Exemplo 5: 
a) �� ��� � ��
�
�� = + 
���
��� = 
��
� 
b) �� ��� � ��
�
�� = – 
���
��� = 
��
�� 
 c) �� ��� � ��
�
�� = – 
���
��� = – 
�
��
:
:
�
� = – 
�
�� 
 
 
 
 
72) Faça as seguintes multiplicações: 
a) �� ��� � ��
�
�� = 
b) �� 
�� � ��
�
�� = 
 Para multiplicarmos frações, fazemos assim: 
���������
����������� 
�
� 
���������
����������� 
Não se esqueça de 
aplicar a regra de sinais 
da multiplicação em Ζ. 
EXERCÍCIOS 
 
 
39 
 
c) �� ��� � ��
��
� � = 
d) �� ��� � ��
�
�� � ��
�
�� = 
 
Exemplo 6: 
a) 3,4 � 3,2 = 3,4 
 � 3,2 
 6 8 
 + 102 
 10,88 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
73) Faça as multiplicações: 
a) 4 � 2,3 = 
b) 2,7 � 1,5 = 
c) 6,31 � 2,34 = 
d) 5,32 � 3,214 = 
 
 
 
 
74) Complete a tabela: 
( . ) 2,3 1,32 3,421 4,1231 
1,1 
2,21 
3,32 
4,012 16,5418772 
 
Agora vamos multiplicar os números decimais. Vemos 
que 3,4 e 3,2 só têm uma casa decimal. Então 
multiplicamos os números sem as vírgulas. Para o 
resultado, contamos as duas casas decimais dos 
números 3,4 e 3,2 e colocamos a vírgula, de modo 
que o resultado tenha também duas casas decimais. 
Entendi. Você conta o 
número de casas decimais 
dos números que estão 
sendo multiplicados e o 
resultado terá o mesmo 
número de casas decimais. 
Ex.: 5,7 � 3,46 = 19,722 
 (3 casas decimais) 
Se eu quiser 
comprar 4 pacotes 
de um biscoito, que 
custa R$ 2,30 cada, 
quanto eu preciso 
ter em dinheiro? 
4 � 2,3 = ? 
Faça as contas. 
 2,30 = 2,3 
2 casas 
decimais. 
1 casa 
decimal. 
4 casas 
decimais. 
 
 
40 
 
 
 
 
 
 
 
Divisão de Números Racionais 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 7: 
a) �� ��� : ��
��
� � = 
�
� � ��
�
��� = ��
�	�	�
�	���� = �
	�
�� 
b) �� ��� : ��
�
� = ��
�
�� � ��
�� = �
�	�	
��� = �
	��
�� 
 
 
 
75) Faça as seguintes divisões: 
a) �� ��� : ��
�
�� = 
b) �� ��� : ��
�
�� = 
c) 
%
&
'
(
 = �� ��� : ��
�
�� = 
�
� �	
�
� = 
d) 
)
*
+
,
 = �� 18� : ��
3
2� = 
 
EXERCÍCIOS 
Na divisão de frações, 
não podemos ter o 
zero no denominador. 
Para dividir duas frações, 
multiplica-se a 1ª fração pelo 
inverso da 2ª. 
Observe que nos exercícios (c) e (d), 
temos duas frações sendo divididas 
como nos exemplos anteriores, 
somente a apresentação está 
diferente, em vez de dois pontos, 
usamos o traço da divisão, mas o 
cálculo se faz do mesmo jeito. 
 Em cada multiplicação, conte o número de casas decimais 
dos dois números e no resultado posicione a vírgula, de 
modo que tenha o mesmo número da sua contagem! 
 
 
41 
 
Revendo o Exemplo 3: Minha professoralevou 2 bolos para a escola e dividiu a turma em 5 grupos. 
 Os dois bolos seriam divididos por 5. 
 
 
 
 
 
 
76) Complete a tabela, fazendo as seguintes divisões: 
( : ) – 3 – 2 – 1 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 
+ 2 Não 
pode! 
 �
� = 0,4 
– 2 	�
� = – 0,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabemos que para dividir 2 
por 5, não dá. Então, 
colocamos 0 no quociente 
e 0 no dividendo. Assim, 
temos 20 para dividir por 
5, que dá 4. E o resto é 0. 
O resultado de 2:5 = 0,4. 
 
 
42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caro(a) aluno(a), nesta Unidade vamos estudar as equações do 1º grau, veremos como 
identificar esta equação e os seus termos: primeiro e segundo membros. Também vamos 
representar simbolicamente sentenças matemáticas e resolver problemas cotidianos, utilizando os 
conceitos das equações do 1º grau, além de identificar as inequações do 1º grau. 
Ao término deste estudo, esperamos que você seja capaz de identificar uma equação ou 
inequação do 1º grau. 
 
 
 
 
 
 
43 
 
Unidade 2 – EQUAÇÃO DO 1º GRAU 
 
� Resolução de equações do 1º grau 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos escolher x para representar o número desconhecido. 
Número desconhecido: x 
O dobro do número desconhecido: 2x 
O dobro do número desconhecido somado com 9: 2x + 9 
O dobro de um número desconhecido somado com 9 é igual a 37: 2x + 9 = 37 
Para encontrar o valor de x, vamos desfazer a adição pela operação inversa, que é a subtração: 
2x = 37 – 9 
2x = 28 
Agora, sabemos que o dobro do número é 28. Para encontrar x vamos desfazer a multiplicação pela 
operação inversa, que é a divisão: 
x = 
!1
! = 14 
Assim, descobrimos que o número desconhecido é 14. 
 
Verificando, temos: 
2 � 14 = 28 e 28 + 9 = 37. 
Quero ver se você acerta essa: 
O triplo de um número é 18. 
Que número é esse? 
O número é 6, 
pois 3 � 6 = 18. 
Essa foi fácil! 
Quem responde essa? 
O dobro de um número somado com 9 
é igual a 37. Qual é esse número? 
Agora você me pegou. 
Não sei resolver! 
Fique tranquilo! Agora 
nós vamos aprender tudo 
sobre problemas que 
envolvem equações do 1º 
grau. 
Preste atenção 
às explicações 
abaixo! 
 
 
44 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta é uma equação do 1º grau, pois não aparece expoente na letra, neste caso o expoente é 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: 
Número desconhecido: x 
Triplo deste número: 3x 
Triplo do número menos 7: 3x – 7 
Equação: 3x – 7 = 44 
Resolvendo a equação: 3x – 7 = 44 
 3x = 44 + 7 A operação inversa à subtração é a adição. 
 3x = 51 
 x = 
��
� A operação inversa à multiplicação é a divisão. 
 x = 17 
 
Resposta: O número procurado é 17. 
 
 
 
 
 
 
2x + 9 = 37 é uma equação, porque 
apresenta uma letra, que é chamada 
de incógnita, e representa um valor 
desconhecido. 
E tem um sinal de (=), para 
mostrar a igualdade entre os 
dois membros da equação. 
Agora é a minha vez! Veja se 
consegue resolver. O triplo de um 
número, menos 7 é igual a 44. Que 
número é esse? 
Vou resolver usando uma 
equação. Vou fazer um 
esquema abaixo. 
 
EXERCÍCIO 
 
 
45 
 
1) Complete a tabela abaixo: 
Linguagem Comum Linguagem Matemática 
O dobro de um número é igual a oito. 
O triplo de um número é igual a vinte e quatro. 
O triplo de um número mais três unidades é igual a dezoito. 3x + 3 = 18 
O triplo de um número é igual a 48. 
Cinquenta por cento de um número. #2
 22x ou 
��
��� de x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos comparar as equações com balanças 
de dois pratos, onde só há equilíbrio se os dois 
pratos estiverem com a mesma massa. 
Como você não sabe quanto pesam os 
três bloquinhos, você vai dizer que 
cada um deles pesa "x". 
Veja como vai ficar a 
resolução da equação: 
3x = 30 
 x = 
$2
$ 
 x = 10 
É isso aí! Imagine que alguém 
colocou três objetos iguais em um 
dos pratos da balança e dois pesos, 
que você sabe quanto pesam, no 
outro prato. Se os pratos ficarem 
equilibrados, quer dizer que os 
pesos de um lado têm a mesma 
massa que os três objetos do outro. 
 
 
Veja que tem três bloquinhos, 
de 10 kg cada, em um prato e 
dois blocos, de 15 kg cada, no 
outro prato. Então, cada prato 
tem 30 kg, por isso a balança 
está equilibrada. 
 
 
46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: 
Idade atual: x 
Daqui a 29 anos: x + 29 
Daqui a 29 anos ela terá 44 anos: x + 29 = 44 
Para encontrar o valor de x vamos desfazer a adição pela operação inversa, que é a subtração: 
x = 44 – 29 
x = 15 
Resposta: Thais tem 15 anos. 
 
x + 29 = 44 é uma equação, porque apresenta uma letra e tem a igualdade. 
 
 
� Identificação da raiz de uma equação do 1º grau 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos ver 
mais alguns 
exemplos! 
Você sabia que o valor encontrado para a letra, em 
cada equação, é chamado de raiz da equação? 
Quando resolvemos uma equação, o número 
encontrado é a raiz da equação. 
 
 A equação tem dois membros: 
O 1º membro, à esquerda da 
igualdade e o 2º membro, à 
direita da igualdade. 
Amanda falou que daqui a 29 
anos, você terá 44 anos. É 
isso mesmo? 
Vocês sabem qual é a minha idade? 
 
Já sei Thaís, 
para descobrir 
a sua idade é 
só subtrair 29 
de 44. 
 Vamos usar uma 
equação, para 
descobrir a idade 
da Thaís. 
 
 
47 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Um número menos 9 é igual a 25. Que número é esse? 
 
 
 
3) O dobro de um número, somado com 8 é igual a 40. Que número é esse? 
 
 
 
4) O dobro de um número, somado com 6 é igual a 42. Que número é esse? 
 
 
 
5) Calcule a idade da Gabriela, sabendo que daqui a 24 anos ela terá 42 anos. 
 
 
 
6) Calcule a idade do Higor, sabendo que daqui a 43 anos ele terá 65 anos. 
 
 
 
7) Qual é a idade do meu pai hoje, se daqui a 35 anos ele terá 63 anos? 
 
 
 
8) Qual é o número, cujo quádruplo mais 5 é igual a 53? 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
Vamos resolver 
alguns exercícios? 
O número que resolve a equação é 
chamado de raiz da equação. 
Resolver uma equação é encontrar o 
conjunto solução. 
Apresentamos a 
resposta de uma 
equação no conjunto 
solução. Para o 
exemplo 2 temos 
S = {15}. 
 
 
48 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: 
Número que você pensou: x 
Metade deste número: 
3
� 
7 somado a esta metade: 
3
� + 7 
Equação: 
3
� + 7 = 12 
Resolvendo a equação: 
3
� + 7 = 12 
 
3
� = 12 – 7 A operação inversa à adição é a subtração. 
 
3
� = 5 (Dividindo em um membro, passa a multiplicar no outro) 
 x = 5 . 2 A operação inversa à divisão é a multiplicação. 
 x = 10 Raiz da equação. 
Resposta: Você pensou no número 10 . S = {10} 
 
 
 
 
 
 
9) Coloque em prática o que você aprendeu nos exemplos 1 e 2, resolvendo as equações. 
 
a) x + 5 = 13 
b) x – 11 = 25 
c) 2x + 4 = 24 
d) 2x – 8 = 22 
e) 3x + 2 = 62 
f) 3x + 2 = 62 
g) 12 + x = 42 
 
 
 
 
 
 
 
10) Coloque em prática o que você aprendeu no exemplo 3, resolvendo as equações. 
 
a) 
4
! = 9 (Dividindo em um membro, passa a multiplicar no outro) 
 
 
b) 
5
� = 7 
 
Vamos continuar. Pensei em um 
número, somei 7 a sua metade e 
obtive 12. Em que número eu 
pensei? 
Vou tentar 
descobrir 
este número. 
10 é a raiz 
da 
equação! EXERCÍCIOS 
 
 
49 
 
c) 
5
� = 5 
 
 
d) 
�5
� = 6 
 
 
e) 
�5
� = – 9 
 
 
 
Observe as resoluções das equações: 
 
Exemplo 4: 
12x – 5 = 10x + 4 (O termo com x deve passar para o 1º membro) 
12x – 10x = 4 + 5 (10x mudou e virou – 10x) e (– 5 mudou de membro e virou + 5). 
(12 – 10)x = 9 (Reduz os termos semelhantes: 12x – 10x = 2x). 
2x = 9 
x = 
�
� (2 mudou de membro. Multiplicando em um membro, passa a dividir no outro membro). 
x = 4,5 S = {4,5} (Conjunto Solução). 
 
Exemplo 5: 
3x + x – 4 = x – 2x + 16(Os termos com x devem passar para o 1º membro) 
3x + x – x + 2x = 16 + 4 (x virou – x) e (– 2x virou + 2x) 
(3 + 1 – 1 + 2)x = 20 (Reduz os termos semelhantes: 3x + x – x + 2x = 5x) 
5x = 20 
x = 
��
� (5 mudou de membro. Multiplicando em um membro, passa a dividir no outro) 
x = 4 S = {4} (Conjunto Solução). 
 
Exemplo 6: 
30 = 2x + 2 2x + 2 = 30 (Pela Propriedade Simétrica) 
2x + 2 = 30 
2x = 30 – 2 
2x = 28 
x = 
��
� 
x = 14 S = {14} (Conjunto Solução) 
 
Exemplo 7: 
– 8x = – 32 [Multiplicamos ambos os membros por (– 1)] 
(– 8x) . (– 1) = (– 32) . (– 1) [Usamos a regra de sinais da multiplicação: (–).(–) =(+)] 
8x = 32 
x = 
��
� 
x = 4 S = {4} (Conjunto Solução) 
 
 
 Vamos ver 
mais alguns 
exemplos! 
 
 
50 
 
Exemplo 8: 
4(3x – 1) = 7 + 6x (Precisamos eliminar os parênteses, então multiplicamos o 4 pelo 3 e o 4 pelo – 1) 
12x – 4 = 7 + 6x (O termo com x deve passar para o 1º membro) 
12x – 6x = 7 + 4 
(12 – 6)x = 11 
6x = 11 
x = 
��
 S = 6
��
 7 
 
 
Exemplo 9: 
4x + 2(5x – 4) = – 3(x – 2) (Precisamos eliminar os parênteses, então multiplicamos o 2 pelo 5 e o 2 pelo – 4) 
4x + 10x – 8 = – 3x + 6 (Também multiplicamos o – 3 pelo 1 e o – 3 pelo – 2) 
4x + 10x + 3x = + 8 + 6 
(4 + 10 + 3)x = 14 (Reduz os termos semelhantes: 4x + 10x + 3x = 17x) 
17x = 14 
x = 
��
��						S = 6
��
��7 
 
 
 
 
 
 
11) Resolva as equações: 
 
a) 14x – 6 = 8x + 4 b) 4x + x – 5 = 2x – 3x + 18 
 
 
 
 
c) 40 = 3x + 4 d) – 7x = – 63 
 
 
 
 
e) 5(2x – 1) = 8 + 4x f) 7x + 2(6x – 3) = – 2(x – 1) 
 
 
 
� Resolução de problemas a partir dos conteúdos trabalhados 
 
Exemplo 1: Um número somado com o seu triplo é igual a 72. Qual é esse número? 
Número: x 
Triplo: 3x 
EXERCÍCIOS 
 
 
51 
 
Equação: x + 3x = 72 
Resolvendo a equação: 
x + 3x = 72 
4x = 72 
x = 
��
� x = 18 S = {18} 
 
 
Exemplo 2: Luísa é 5 anos mais velha que 
Diana. A soma de suas idades é igual a 23 
anos. Qual é a idade de Diana? 
Idade de Diana: x 
Idade de Luísa: x + 5 
Equação: x + (x + 5) = 23 
 
Resposta: Diana tem 9 anos. 
 
 
Resolvendo a equação: 
x + (x + 5) = 23 
x + x + 5 = 23 
2x + 5 = 23 
2x = 23 – 5 
2x = 18 
x = 
��
� 
x = 9 S = { 9 } 
 
 
Exemplo 3: Ana Luíza e Ariela são primas, juntas elas têm 25 anos. A idade da Ana Luíza é 
�
� da idade 
da Ariela. Qual é a idade de cada uma delas? 
 
Ariela: x 
Ana Luíza:	�� x 
Equação: x + 
�
� x = 25 
 
Resolvendo a equação: x + 
�
� x = 25 
�5
� + 
�5
� = 
���
� 
4x + x = 100 
5x = 100 
x = 
���
� 
x = 20 S = {20} Ariela tem 20 anos. 
Ana Luíza tem 
�
� � 20 = 
��
� = 5 anos. 
Resposta: Ariela tem 20 anos e Ana Luíza, 5 anos. 
 
 
Exemplo 4: Um tênis custa três vezes o preço de uma calça. Os dois itens juntos, custam R$ 220,00. 
Qual é o preço de cada item? 
 
Preço da calça: x 
Preço do tênis: 3x 
Equação: x + 3x = 220 
Resolvendo a equação: 
x + 3x = 220 
 
 
 
 
4x = 220 
x = 55 S = {55} 
A calça custa R$ 55,00 e o tênis custa R$ 165,00. 
 
O número que 
você está 
procurando é 
18! 
 
 
52 
 
 
 
 
 
 
12) Um número somado com o seu dobro é 210. Qual é esse número? 
 
 
 
 
13) Beatriz é 7 anos mais velha que sua irmã. A soma de suas idades é igual a 22 anos. Qual é a 
idade da irmã da Beatriz? 
 
 
 
 
14) Uma balança está em equilíbrio. Em um prato estão duas jacas mais 8 kg, no outro prato estão 
14 kg mais uma jaca. Qual é o peso de cada jaca? 
 
 
 
 
15) A soma de um número com o seu sucessor é 121. Quais são esses números? 
 
 
 
 
16) A soma de três números consecutivos é 57. Quais são esses números? 
 
 
 
 
 
17) No estacionamento onde meu pai trabalha, há vagas para carros e motos, totalizando 114. O 
número de vagas para carros é 5 vezes o número de vagas para motos. Quantas vagas para carros 
há no estacionamento? 
 
 
 
 
 
� Inequação do 1º grau 
 
Os símbolos usados em desigualdades são: 8,:,;,<,=. 
 
Inequação é toda desigualdade que contém pelo menos uma incógnita. 
 
Exemplos: a) 6x + 2 > 3 b) 4x – 1 < 5 c) x + 8 ; 10 d) �� + 3x = 11 
 
 
EXERCÍCIOS Agora é a 
sua vez! 
Se os 3 números são 
consecutivos, eles 
são: x, x + 1 e x + 2. 
 
 
53 
 
18) Identifique as sentenças com (E) para equação e (I) para inequação: 
 
a) 2x + 9 = 4 (......) e) 5x – x = 6 (......) i) 7x – 1 ; 17 (......) 
 
b) – 4x + 10 = 5 (......) f) 3x – 1 ; 7 (......) j) x + 27 = 43 (......) 
 
c) 6x > 3 + x (......) g) 4x + x < – 2x + 1 (......) k) 3x + 18 ; 100 (......) 
 
d) 
�
�x + 3 = 1(......) h) 
�
�x – 1 = 5 (......) l) 
�
� + 5x = 15 (......) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Caro(a) aluno(a), nesta Unidade vamos aprender a ler uma razão, a identificar seus termos e 
determinar a razão entre grandezas, além de estudar a noção de escala. Vamos estudar, também, as 
proporções: identificar uma proporção, os seus meios e extremos; verificar como se calcula o termo 
desconhecido de uma proporção, utilizando a propriedade fundamental; resolver problemas do 
cotidiano com o auxílio de uma proporção; resolver problemas que envolvem variações diretamente 
proporcionais ou inversamente proporcionais entre grandezas. 
 Esperamos que, ao final deste estudo, você possa resolver problemas que envolvam razão, 
noção de escala e proporção. 
 
 
 
 
 
 
55 
 
Unidade 3 – RAZÕES E PROPORÇÕES 
� Razão 
 
 
 
 
 
Razão entre dois números é o quociente do primeiro pelo segundo, sendo o segundo número 
diferente de zero. 
Exemplo: 
• A razão entre o número de meninos e o número de meninas é determinada assim: 
�ú����	��	������>
�ú����	��	������> = 
��
��
:
: 
	= 
�
�	(2 está para 3) 
 
• A razão entre o número de meninas e o número de meninos é determinada assim: 
�ú����	��	������>
�ú����	��	������> = 
��
�� 
:
: 
	= 
�
� (3 está para 2) 
 
 
 
 
1) Escreva simbolicamente as razões: 
 
Exemplo: Três para sete: 
$
? 
 
a) Seis para onze: 
b) Um para cinco: 
c) Cinco para nove: 
d) Quatro para cinco: 
e) Dezenove para seis: 
f) Três para sete: 
 
2) A prova de Matemática tinha 12 questões, Mariana acertou 9. A partir das informações dadas, 
complete: 
a) A razão do número de questões que acertou para o número total de questões: ................... 
b) A razão do número de questões que errou para o número total de questões: ...................... 
 
3) A altura de Aninha é 1,10 m e a de seu pai é 1,70 m. Qual é a razão entre a altura do pai de 
Aninha e a altura de Aninha? 
 
 
 
Na nossa turma 
têm 30 alunos, 
sendo 18 meninas 
e 12 meninos. 
Então, a razão entre o 
número de meninos e o 
de meninas é 
�
� . E a 
razão entre o número 
de meninas e o número 
de meninos é 
�
�. 
EXERCÍCIOS 
 
 
56 
 
� Escala 
Escala é a razão entre a medida utilizada e a medida real, ambas na mesma unidade. 
Escala = 
������	��	@��A�����B�	��	��>��C�
������	��	@��A�����B�	���D 
Exemplo: Um salão de festas tem 20 m de comprimento. Esse comprimento é representado em um 
desenho por 40 cm. Qual é a escala do desenho? 
Resposta: 
Medida do comprimento do desenho = 40 cm 
Medida do comprimento real = 20 m (Vamos passar de metro para centímetro - 1 m = 100 cm, então 20 m = 2 000 cm) 
Escala = 
��
���� = 
�
��� 
:
: 
�
� = 
�
�� 
A escala é de 1 : 50 (Um para cinquenta - cada 1 cm do desenho corresponde a 50 cm reais) 
 
 
 
 
 
4) Escreva na forma de razão: 
a) 1 mês para 1 ano. 
 
 ! 
b) 1 dia para 1 semana. 
c) 6 dias para 1 mês. 
d) 5 meses para 1 ano. 
e) 50 segundos para 7 minutos. 
 
5) Um terreno tem 200 m2 de área e 150 m2 de área construída. Responda: 
a) Qual é a razão da medida da área construída para a área do terreno? 
b) Qual é a razão da medida da área do terreno para a área construída?c) Qual é a razão da medida da área construída para a área livre? 
d) Qual é a razão da medida da área livre para a área construída? 
 
6) A planta da casa de Thaís foi feita na escala 1 : 40. Responda: 
 
 a) Quais são as dimensões reais do quarto?........................ 
 
 
b) Quais são as dimensões reais da sala?............................ 
 
 
c) Quais são as dimensões reais da cozinha?...................... 
 
 
d) Quais são as dimensões reais do banheiro?.................... 
 
EXERCÍCIOS 
A letra (a) já 
está feita! 
 
 
57 
 
� Proporção 
Proporção é uma igualdade entre duas razões. 
Exemplo: 
�
� = 
�
. As razões são iguais, então temos uma proporção. 
Observe as figuras abaixo: 
 
 
 5 cm 
 
 
 8 cm 10 cm 
 
 
 16 cm 
• A razão entre a largura e a altura da primeira foto é ��. 
• A razão entre a largura e a altura da segunda foto é ���
. 
• �� = 
��
�
. As razões são iguais, logo temos uma proporção entre as figuras. 
• �E = 
@
�. Lemos: a está para b assim como c está para d. 
• Os termos b e c são chamados meios da proporção. 
• Os termos a e d são chamados extremos da proporção. 
Propriedade Fundamental: Em uma proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos 
meios. 
É possível descobrir o valor desconhecido de um dos termos em uma proporção, aplicando a 
propriedade fundamental. 
Exemplo: Calcule o valor desconhecido na proporção 
3
� = 
��
�� 
48.x = 42.8 48x = 336 x = 
��
�� x = 7 
 
 
 
 
7) Calcule o valor desconhecido nas proporções: 
a) 
3
 = 
��
�� b) 
3
� = 
�
� c) 
3
� = 
��
�� d) 
3
�� = 
�
�
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
58 
 
8) Uma foto tem 3 cm de largura e 4 cm de comprimento. Se eu quiser fazer uma ampliação dela, 
de forma que a largura tenha 48 cm, para que se tenha uma proporção, quanto terá de 
comprimento? 
 
 
 
� Grandezas diretamente proporcionais 
Exemplo: Um ônibus percorre... 
• 50 km, em 1 hora. 
• 100 km, em 2 horas. 
• 150 km, em 3 horas. 
Duas grandezas são diretamente proporcionais, quando ao aumentar uma delas, a outra aumenta na 
mesma razão da primeira. 
 
 
 
� Grandezas inversamente proporcionais 
Exemplo: Um ônibus faz um percurso com velocidade de... 
• 60 km, em 1 hora. 
• 30 km, em 2 horas. 
• 15 km, em 3 horas. 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, ao aumentar uma delas, a outra diminui na 
mesma razão da primeira. 
 
 
 
 
 
 
 
9) Uma torneira despeja 40 litros de água a cada 20 minutos. Quanto tempo levará para encher 
um reservatório de 1m3? 
 
 
 
10) Um carro percorreu uma distância em 3 horas, à velocidade média de 80 km/h. Se a velocidade 
média fosse de 60 km/h, em quanto tempo o carro percorreria a mesma distância? 
 
 
EXERCÍCIOS 
Pelo exemplo, tempo e distância são 
grandezas diretamente proporcionais. 
 
Pelo exemplo, tempo e velocidade são 
grandezas inversamente proporcionais. 
 
 
59 
 
11) Com 1 lata de leite condensado, podemos fabricar 30 docinhos para festa. Quantas latas de 
leite condensado são necessárias, para fabricar 240 docinhos? 
 
 
 
12) Com 2 latas de tinta, meu pai pintou 140m2 de parede. Quantos metros quadrados poderiam 
ser pintados com 3 latas dessa mesma tinta? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caro(a) aluno(a), nesta Unidade vamos compreender o significado de uma porcentagem, 
bem como aprender a reconhecer a porcentagem enquanto representação de uma fração decimal. 
Além disso, vamos estudar sua representação geométrica, inclusive com representações gráficas. 
Ao final deste estudo, esperamos que você possa resolver problemas do cotidiano, utilizando 
as noções de porcentagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
 
Unidade 4 – PORCENTAGEM 
 
� Reconhecimento de porcentagem como representação de uma fração 
decimal 
 
As porcentagens correspondem a frações de denominador 100 ou frações equivalentes a elas. As 
porcentagens são representadas pelo símbolo %. 
 
Exemplos: 
 
• Desconto de 40% – um produto que custa R$ 100,00 está sendo vendido com desconto de R$ 
40,00, isto é, está sendo vendido por R$ 60,00 (100 – 40 = 60), 40 em 100 ou 
��
���. 
 
• 60% dos alunos do 7º ano têm 12 anos de idade – a cada 100 alunos do 7º ano, 60 têm 12 
anos de idade, 60 em 100 ou 
�
���. 
 
• A porcentagem de água do sangue humano é de aproximadamente 83% – se tivéssemos 100 
litros de sangue, 83 litros seriam de água, 83 em 100 ou 
��
���. 
 
CURIOSIDADE: Você sabia que a água é a molécula mais importante do corpo 
humano, presente em maior abundância no nosso organismo? De 55 a 75% do peso 
corporal de um adulto é composto de água: sangue 83%, músculos 73%, gordura 
25%, ossos 22%. 
(Disponível em: <http://www.cluberegatas.com.br/v2/publication.asp?publicationID=1567>. Acesso em: 23/07/2013) 
 
 
 
 
 
 
1) Complete a tabela: 
EXPRESSÃO COMO SE LÊ SIGNIFICADO 
40% são crianças. 40 por cento são crianças. 
23% não votaram. Em cada 100 eleitores, 23 não votaram. 
72% tiveram desconto. 
55% são estudantes. 
18% são professores. 
27% são médicos. 
44% cursam o 7º ano. 
61% receberam o 
pagamento. 
 
36% pagam aluguel. Em cada 100 pessoas, 36 pagam aluguel. 
 
GLOSSÁRIO 
Molécula: é uma entidade eletricamente neutra, que possui pelo menos dois átomos, todos ligados 
entre si mediante ligação covalente. 
EXERCÍCIOS 
 
 
62 
 
2) Represente as frações em forma de porcentagem e escreva como se leem essas porcentagens. 
Exemplo: 
��
��� = 20% (Vinte por cento) 
a) 
�
��� = .......................................................... 
b) 
�
��� = .......................................................... 
c) 
��
���	= .......................................................... 
d) 
��
��� = .......................................................... 
e) 
��
��� = .......................................................... 
f) 
��
��� = ........................................................... 
g) 
���
��� = .......................................................... 
 
 
3) Escreva a fração correspondente, com denominador 100. 
 
Exemplo: 8% = 
�
	��� 
a) 5% = 
b) 15% = 
c) 25% = 
d) 95% = 
e) 60% = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 SE LIGA NESSA! 
A porcentagem ou percentagem (do latim per centum, significando 
"por cento", "a cada centena") é uma medida de razão com base 100. É um 
modo de expressar uma proporção ou a relação entre dois valores (um é a 
parte e o outro é o inteiro), a partir de uma fração, cujo denominador é 100, 
ou seja, é dividir um número por 100. 
 
 Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Porcentagem>. Acesso em: 23/07/2013) 
 
 
Exemplos: Uma porcentagem pode ser representada por uma fração decimal, então também pode 
ser representada em figuras. Observe: 
 a) b) c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 30% ou 
��
��� do quadrado 25% ou 
��
��� do quadrado 85% ou 
��
��� do quadrado 
 grande está pintado. grande está pintado. grande está pintado. 
 
 
63 
 
Os numerais 30%, 25% e 85% são taxas de porcentagens, pois expressam a razão entre uma grandeza 
e 100 elementos de seu universo. 
 
4) Escreva a fração e a porcentagem referente à parte escura de cada figura: 
 a) b) c)