Módulo 3 3 - Unidade 8 - Funções do segundo grau

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MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
145145145145145
UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE 8 8 8 8 8
FFFFFUNÇÕESUNÇÕESUNÇÕESUNÇÕESUNÇÕES DODODODODO SEGUNDOSEGUNDOSEGUNDOSEGUNDOSEGUNDO GRAUGRAUGRAUGRAUGRAU
Objetivos de aprendizagemObjetivos de aprendizagemObjetivos de aprendizagemObjetivos de aprendizagemObjetivos de aprendizagem
Ao final desta unidade você estará apto a:
 identificar funções do segundo grau em diferentes situações práticas;
 modelar problemas com funções do segundo grau;
 identificar propriedades e características das funções do segundo grau.
PPPPPLANOLANOLANOLANOLANO DEDEDEDEDE ESTUDOESTUDOESTUDOESTUDOESTUDO DADADADADA UNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADEUNIDADE
Para uma visão geral da unidade acompanhe a seguir um sumário
das seções. A sugestão para a realização de um estudo mais rápido e
seguro, é você resolver as atividades propostas, procurando sanar todas as
dúvidas, antes de seguir em frente.
 Seção 1 – Introdução
 Seção 2 – Equações do segundo grau
 Seção 3 – Gráfico de uma função do segundo grau
 Seção 4 – Propriedades e características
 Seção 5 – Observe outros exemplos
CCCCCONCENTREONCENTREONCENTREONCENTREONCENTRE-----SESESESESE NONONONONO PONTOPONTOPONTOPONTOPONTO PRETOPRETOPRETOPRETOPRETO NONONONONO CENTROCENTROCENTROCENTROCENTRO DADADADADA FIGURAFIGURAFIGURAFIGURAFIGURA.....
BBBBBALANCEALANCEALANCEALANCEALANCE AAAAA CABEÇACABEÇACABEÇACABEÇACABEÇA PARAPARAPARAPARAPARA FRENTEFRENTEFRENTEFRENTEFRENTE EEEEE PARAPARAPARAPARAPARA TRÁSTRÁSTRÁSTRÁSTRÁS. O . O . O . O . O QUEQUEQUEQUEQUE ACONTECEUACONTECEUACONTECEUACONTECEUACONTECEU?????
146146146146146
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDE EXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
Nesta unidade você irá analisar a função do segundo grau. É
possível constatar que essas funções são aplicáveis em diferentes
situações práticas.
O O O O O PROBLEMAPROBLEMAPROBLEMAPROBLEMAPROBLEMA MOTIVADORMOTIVADORMOTIVADORMOTIVADORMOTIVADOR
Um fornecedor que vende gêneros alimentícios possui um lucro
representado pela função 300402 −+−= xxL , sendo x o número
de mercadorias vendidas diariamente. Qual o número mínimo de
mercadorias vendidas para que haja lucro? O lucro máximo
acontecerá em que valor de x?
SSSSSEÇÃOEÇÃOEÇÃOEÇÃOEÇÃO 11111 – – – – – IIIIINTRODUÇÃONTRODUÇÃONTRODUÇÃONTRODUÇÃONTRODUÇÃO
As funções do segundo grau possuem aplicações em diversas áreas
do conhecimento, como na Física, na Química e na Economia.
O custo total e o lucro na fabricação ou na venda de qualquer
produto podem ser expressos a partir das funções do segundo grau.
São funções com características interessantes e que nos auxiliam
quando analisamos as variáveis envolvidas em determinado fenômeno.
Mas para uma análise correta, é importante que suas propriedades sejam
conhecidas.
A função do segundo grau é uma função polinomial definida
formalmente como
cbxaxy ++= 2 ou cbxaxxf ++= 2)(
com ∈cba ,, ú e 0≠a .
Veja alguns exemplos:
132 2 ++= xxy
5
2
2 +−= xxp
12 −+−= xxy
23 xy −=
2xy =
MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
147147147147147UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE 8 8 8 8 8
 EEEEEMMMMM TEMPOTEMPOTEMPOTEMPOTEMPO:::::
Perceba que, em algumas funções, os valores de b e c
são iguais a zero. O que não pode acontecer é a = 0,
pois não caracterizaria uma função do segundo grau.
Você irá estudar detalhadamente nas próximas seções a
representação gráfica das funções do segundo grau, bem como suas
principais características e propriedades. No entanto, é importante revisar
a resolução de equações do segundo grau antes de seguir adiante.
SSSSSEÇÃOEÇÃOEÇÃOEÇÃOEÇÃO 2 2 2 2 2 – – – – – EEEEEQUAÇÕESQUAÇÕESQUAÇÕESQUAÇÕESQUAÇÕES DODODODODO SEGUNDOSEGUNDOSEGUNDOSEGUNDOSEGUNDO GRAUGRAUGRAUGRAUGRAU
Para resolver uma equação do segundo grau é preciso utilizar
algumas regras gerais que foram criadas para lhe auxiliar nestes cálculos.
Encontre o preço de equilíbrio e a respectiva
quantidade para as funções de demanda e oferta
092
015
2
2
=−+
=+−+
yx
yxx
sendo x a quantidade e y o preço.
SSSSSOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃO
Para determinar o preço de equilíbrio e a quantidade resolva o sistema
de equações dado:



=−+
=+−+
092
015
2
2
yx
yxx
.
Isola-se y na segunda equação. Tem-se:
229 xy −=
e se substitui na primeira equação:
( )
0853
01295
01295
2
22
22
=−+
=++−+
=+−−+
xx
xxx
xxx
148148148148148
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDE EXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
1FRAGOSO, Wagner da Cunha. Uma abordagem da equação do 2º grau. Revista do Professor de
Matemática. São Paulo, n. 43, p. 20-25, 2º. quadrimestre de 2000.
A solução de uma equação do segundo grau é dada por dois valores
de x. Estes valores podem ser calculados com a fórmula de Báskara:
a
cabbx
⋅
⋅⋅−±−=
2
42
Aplicando os valores referentes à equação a ser solucionada, tem-se:
6
1215
6
96255
32
83455 2 ±−=+±−=
⋅
−⋅⋅−±−=x
1
6
6
6
115
1 ==
+−=x
6
16
6
115
2
−=−−=x .
Como x representa a quantidade do produto, não faz sentido ser
representado por um número negativo. Assim, apenas interessa o
valor de 11 =x .
Substituindo 1=x na segunda equação se tem:
7
29
129
29
2
2
=
−=
⋅−=
−=
y
y
y
xy
Portanto, os valores 7=y e 1=x representam o preço de equilíbrio
e a quantidade para as funções de demanda e oferta apresentadas.
 VVVVVOCÊOCÊOCÊOCÊOCÊ SABIASABIASABIASABIASABIA?????
Os primeiros registros da equação do 2º. grau foram
encontrados na Mesopotâmia? “O primeiro registro conhecido
da resolução de problemas envolvendo o que hoje chamamos
de equação do 2º. grau data de 1700 a.C. aproximadamente,
feito numa tábula de argila através de palavras. A solução era
apresentada como uma “receita matemática” e fornecia somente
uma raiz positiva. Os mesopotâmicos enunciavam a equação e sua
resolução em palavras, mais ou menos do seguinte modo: Qual é o
lado de um quadrado em que a área menos o lado dá 870? (o que
hoje se escreve: )8702 =− xx . E a “receita” era: tome a metade de 1
(coeficiente de x) e multiplique por ela mesma, (0,5 x 0,5 = 0,25).
Some o resultado a 870 (termo independente). Obtém-se um
quadrado (870,25=29,52) cujo lado somado à metade de 1 vai dar
(30) o lado do quadrado procurado”.1
MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
149149149149149UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE 8 8 8 8 8
Resolva outras equações do segundo grau:
(a) 0352 2 =−+ xx
4
75
4
495
4
24255
22
32455 2 ±−=±−=+±−=
⋅
−⋅⋅−±−=x
2
1
4
2
4
75
1 ==
+−=x
3
4
12
4
75
2 −=
−=−−=x .
(b) 016 2 =− x
2
8
2
640
12
161400 2
−
±=
−
±=
−⋅
⋅−⋅−±−=x
4
2
8
1 −=−
=x
4
2
8
2 =−
−=x .
 EEEEEMMMMM TEMPOTEMPOTEMPOTEMPOTEMPO:::::
Pode-se escrever uma equação do segundo grau
usando sua forma fatorada. Se 1x e 2x são as
soluções, então se tem: a ( )( ) 021 =−− xxxx .
No exemplo (a) tem-se 2 ( ) 03
2
1 =+



 − xx e
no exemplo (b) ( )( ) 044 =−+ xx .
SSSSSEÇÃOEÇÃOEÇÃOEÇÃOEÇÃO 3 3 3 3 3 – – – – – GGGGGRÁFICORÁFICORÁFICORÁFICORÁFICO DEDEDEDEDE UMAUMAUMAUMAUMA FUNÇÃOFUNÇÃOFUNÇÃOFUNÇÃOFUNÇÃO DODODODODO SEGUNDOSEGUNDOSEGUNDOSEGUNDOSEGUNDO GRAUGRAUGRAUGRAUGRAU
Nesta seção você irá estudar a representação gráfica da função do
segundo grau. Você poderá observar que para traçar o seu gráfico não
bastam apenas dois pontos como no caso da função do primeiro grau, e
sua representação é sempre a de uma parábola.
150150150150150
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDE EXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
Usando a representação gráfica da função 22 −+= xxy ,
determine o máximo valor que a variável y pode assumir
SSSSSOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃO
O gráfico da função do segundo grau sempre é uma parábola que possui um
eixo de simetria e suaconcavidade pode ser voltada para cima ou para baixo.
Para você traçar o gráfico da função 22 −+= xxy pode construir uma
tabela atribuindo valores para x e determinando os valores
correspondentes de y:
FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA 8.1 - G8.1 - G8.1 - G8.1 - G8.1 - GRÁFICOSRÁFICOSRÁFICOSRÁFICOSRÁFICOS DEDEDEDEDE PARÁBOLAPARÁBOLAPARÁBOLAPARÁBOLAPARÁBOLA
MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
151151151151151UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE 8 8 8 8 8
Cada par ordenado ( )yx, corresponde um ponto no plano cartesiano
de forma que se tem o gráfico apresentado na Figura 8.2.
FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA 8.2 - G8.2 - G8.2 - G8.2 - G8.2 - GRÁFICORÁFICORÁFICORÁFICORÁFICO DEDEDEDEDE YYYYY = = = = = XXXXX22222 + + + + + XXXXX - 2 - 2 - 2 - 2 - 2
 VVVVVOCÊOCÊOCÊOCÊOCÊ SABIASABIASABIASABIASABIA?????
As parábolas aparecem no design de automóveis? A linha 307
da Peugeot vem se desmembrando em modelos cheios de
personalidade própria. O hatchback médio, lançado em 2001,
deu origem a um modelo station wagon, batizado de 307 SW.
Apresentado como conceito no último Salão de Paris, em
setembro do ano passado, e pegando carona no sucesso do
compacto 206 CC, o 307 CC debutou como versão de série no
Salão de Genebra.O modelo tem estilo de sobra para ser admirado
tanto como conversível quanto como cupê esportivo. Isso é
ajudado, e muito, pelo teto rígido retrátil acionado eletricamente. O
sistema é o mesmo utilizado no 206 CC, mas não é nem um
pouquinho novo. Em 1934, ele já havia sido incorporado ao Peugeot
401 Éclipse. Com a capota acionada, o 307 CC ganha ares de
esportividade graças ao formato de parábola do teto. Extraído de
http://www.clubpeugeotbrasil.com.br/curiosidades_8.htm. Acesso
em 08 abr. 2004.
152152152152152
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDE EXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
Trace agora o gráfico da função ( )( )22 +−= xxy . A função do
segundo grau está representada em sua forma fatorada, no entanto, o
gráfico também é de uma parábola.
A representação gráfica será dada na Figura 8.3.
SSSSSEÇÃOEÇÃOEÇÃOEÇÃOEÇÃO 4 – 4 – 4 – 4 – 4 – PPPPPROPRIEDADESROPRIEDADESROPRIEDADESROPRIEDADESROPRIEDADES EEEEE CARACTERÍSTICASCARACTERÍSTICASCARACTERÍSTICASCARACTERÍSTICASCARACTERÍSTICAS
Nesta seção você irá estudar as características e propriedades da função
do segundo grau. Poderá observar que a representação gráfica auxilia de
forma eficiente na determinação de características desse tipo de função.
Uma indústria produz quantidades x e y de dois produtos
diferentes que utilizam o mesmo processo de fabricação.
A curva do produto transformado é dada por:
 
5
20
2xy −= .
Qual o maior valor que y pode assumir?
FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA 8.3 - G8.3 - G8.3 - G8.3 - G8.3 - GRÁFICORÁFICORÁFICORÁFICORÁFICO DEDEDEDEDE YYYYY = (2 - = (2 - = (2 - = (2 - = (2 - XXXXX) () () () () (XXXXX + 2) + 2) + 2) + 2) + 2)
MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
153153153153153UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE 8 8 8 8 8
SSSSSOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃO
Antes de responder à pergunta proposta, trace o gráfico da função
do segundo grau. Como foi dito, existem características da função
do segundo grau que podem ser levadas em consideração quando do
traçado do gráfico.
 O sinal do coeficiente a na função do segundo grau
cbxaxy ++= 2 é que determina a concavidade da parábola. Tem-
se:
Neste exemplo 
5
1−=a e, portanto se tem concavidade para baixo.
 O ponto 



 ∆−−
aa
bV
4
,
2
, sendo acb 42 −=∆ é o vértice da
parábola. Este ponto vai ser um ponto de máximo ou de mínimo
da função, conforme a concavidade esteja voltada para baixo ou
para cima, respectivamente.
Nesta função se tem 
5
1−=a , 0=b e 20=c . Portanto,












−⋅




 ⋅−⋅−−
−⋅
−=


 −−−
5
14
20
5
140
,
5
12
0
4
)4(,
2
2
2
V
a
acb
a
bV
( )20,0
4
80,0
4
516,0
5
4
16,0
5
14
5
80
,0 VVVVV =




−
−=




−
⋅−=












−
−=












−⋅
−
Como a concavidade da parábola é para baixo, o ponto do vértice
encontrado ( )20,0V é o ponto de máximo da função analisada.
 Os zeros ou raízes de uma função ( )xfy = são os valores reais
x tais que ( ) 0=xf . No caso da função do segundo grau se tem:
( )
0
0
2 =++
=
cbxax
xf
154154154154154
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDE EXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
Graficamente, se diz que os zeros da função do segundo grau são as
abscissas dos pontos nos quais a parábola corta o eixo dos x.
Assim, para se determinar os zeros ou raízes de funções do segundo
grau, será necessário encontrar as soluções de uma equação do
segundo grau.
Na função do exemplo, 
5
20
2xy −= , se tem:
0
5
20
2
=− x
2
20
2
54
2
516
5
2
5
80
5
12
20
5
1400 2
−
±=
−
⋅±=
−
⋅±=
−
±
=
−⋅




 ⋅−⋅−±−
=x
10
2
20
1 −=−
=x
10
2
20
2 =−
−=x
 Uma função do segundo grau possui intervalos de crescimento
e decrescimento. De acordo com a concavidade da parábola, se
tem dois casos:
sendo Vx a abscissa do ponto do vértice da parábola.
Neste exemplo, a concavidade é para baixo e 0=Vx . Então a função
é crescente quando 0<x e decrescente quando 0>x .
MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTAR I I I I I
155155155155155UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE 8 8 8 8 8
Resumindo as características analisadas se tem:
 5
1−=a e, portanto concavidade para baixo;
 o ponto do vértice encontrado ( )20,0V é o ponto de máximo da
função analisada;
 os zeros ou raízes da função são 101 −=x e 102 =x . A função é
crescente quando 0<x e decrescente quando 0>x .
A representação gráfica desta função é dada na Figura 8.4.
Observe que as características encontradas auxiliam no traçado da
parábola que representa a função.
Agora fica mais fácil responder a pergunta proposta no problema
que é a identificação do maior valor que y podem assumir. Basta olhar
para o gráfico para dizer que o maior valor que a variável y assume é igual
a 20, que coincide com o ponto de máximo da função.
FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA 8.4 - G8.4 - G8.4 - G8.4 - G8.4 - GRÁFICORÁFICORÁFICORÁFICORÁFICO DEDEDEDEDE YYYYY = 20 - = 20 - = 20 - = 20 - = 20 - XXXXX22222
 5 5 5 5 5
156156156156156
CCCCCURSOURSOURSOURSOURSO DEDEDEDEDE EXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃOEXTENSÃO
SSSSSEÇÃOEÇÃOEÇÃOEÇÃOEÇÃO 5 5 5 5 5 – – – – – OOOOOBSERVEBSERVEBSERVEBSERVEBSERVE OUTROSOUTROSOUTROSOUTROSOUTROS EXEMPLOSEXEMPLOSEXEMPLOSEXEMPLOSEXEMPLOS
A seguir observe os detalhes para esclarecer todos os conceitos e
propriedades das funções do segundo grau.
Inicialmente, realize o resgate do problema inicial desta unidade.
O O O O O PROBLEMAPROBLEMAPROBLEMAPROBLEMAPROBLEMA MOTIVADORMOTIVADORMOTIVADORMOTIVADORMOTIVADOR
Um fornecedor que vende gêneros alimentícios possui um
lucro representado pela função 300402 −+−= xxL , sendo x o
número de mercadorias vendidas diariamente. Qual o número
mínimo de mercadorias vendidas para que haja lucro? O lucro
máximo acontecerá em que valor de x?
SSSSSOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃO
Para responder às perguntas vamos visualizar a representação gráfica
da função (ver Figura 8.5).
Para que haja lucro o valor de x deve ser maior do que 10, que é um
dos zeros da função. O lucro máximo acontece quando o número de
mercadorias vendidas é igual a 20. Neste ponto o lucro é igual a
100, que corresponde ao seu valor máximo.
Acompanhe outro exemplo.
FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA 8.5 - G8.5 - G8.5 - G8.5 - G8.5 - GRÁFICORÁFICORÁFICORÁFICORÁFICO DEDEDEDEDE YYYYY = = = = = LLLLL = - = - = - = - = - XXXXX22222 + 40 + 40 + 40 + 40 + 40XXXXX - 300 - 300 - 300 - 300 - 300
MMMMMATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICAATEMÁTICA ELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARELEMENTARI I I I I
157157157157157UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE 8 8 8 8 8
Exemplo 1Exemplo 1Exemplo 1Exemplo 1Exemplo 1
Se o preço de um produto for expresso por xP −= 4 a receita
total será igual a ( ) xxRT ⋅−= 4 .
SSSSSOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃOOLUÇÃO
Pode-se definir receita total como sendo o produto do preço pela
quantidade demandada. Assim se tem:
xPRT ⋅=
sendo P o preço do produto e x a quantidade demandada quando o
preço é P.
A receita total é uma função do segundo grau que pode ser
representada graficamente na Figura 8.6
Da análise do gráfico se pode dizer que a receita total é máxima
quando 2=x . Cresce até quando 2=x e decresce quando esta
quantidade demandada é maior que 2.
FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA FIGURA 8.6 - G8.6 - G8.6 - G8.6 - G8.6 - GRÁFICORÁFICORÁFICORÁFICORÁFICO DEDEDEDEDE RRRRR
TTTTT
 = (4 - = (4 - = (4 - = (4 - = (4 - XXXXX) . ) . ) . ) . ) . XXXXX