Introdução à Lógica: Princípios e Proposições

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– A lógica trata da correção do pensamento; 
– Ensina-nos a usar corretamente as leis do 
pensamento: 
 É a arte de pensar corretamente; 
 A forma mais complexa do pensamento é o 
raciocínio; 
 Ordem da razão (nossa razão pode funcionar 
desordenadamente) ou ordem no pensamento. 
O que é Lógica? 
 Exemplo: 
 1) 
– Todo mamífero é animal. 
– Todo cavalo é mamífero. 
– Portanto, todo cavalo é animal. 
 
2) 
– Brasil é país do planeta Terra. 
– Todos os Brasileiros são do Brasil. 
– Portanto, todos os Brasileiros são terráqueos. 
 
 
Noções de lógica 
 Partindo-se do contexto histórico, a lógica enquanto 
ciência do raciocínio pode ser subdividida em duas 
grandes correntes: Lógica Clássica e Lógica Formal. 
 
 Lógica Clássica está fundamentada em processos não 
matemáticos, processos não analíticos, sendo que suas 
verdades advêm de entidades filosóficas. Pode-se dizer 
que a Lógica Clássica tem um caráter intuitivo. 
 
 Lógica Formal, a qual encerra dentre outras tendências 
a Lógica Matemática, está baseada em métodos e 
técnicas matemáticas. 
 A Lógica matemática, ou a Lógica Simbólica ou Lógica 
Algorítmica é caracterizada pela axiomatização, pelo 
simbolismo e pelo formalismo. Tem seu desenvolvimento 
na instância dos símbolos e passam a analisar o raciocínio 
segundo operações e ralações de cálculo específico. 
LÓGICA PROPOSICIONAL OU SENTENCIAL 
PROPOSIÇÃO 
 É toda frase declarativa, expressa em palavras ou 
símbolos, que exprima um juízo ao qual se possa atribuir, 
dentro de certo contexto, somente um de dois valores 
lógicos possíveis: verdadeiro (V) ou falso(F). 
 
 Representação: 
• letras minúsculas p,q,r,s,t,... 
• letras maiúsculas A,B,C,D,... 
Exemplos de proposições (sentenças declarativas): 
p: A capital do Brasil é Brasília. 
q: 23 > 10 
A: Existe um número ímpar menor que dois. 
B: João foi ao cinema ou ao teatro. 
 
Não são proposições: 
1) frases interrogativas: “Qual é o seu nome?” 
2) frases exclamativas: “Que linda é essa mulher!” 
3) frases imperativas: “Estude mais.” 
4) frases optativas: “Deus te acompanhe.” 
5) frases sem verbo: “O caderno de Maria.” 
6) sentenças abertas (o valor lógico da sentença depende 
do valor (do nome) atribuído a variável): 
“x é maior que 2”; “x+y = 10”; “Z é a capital do Brasil”. 
PRINCÍPIOS OU AXIOMAS DA LÓGICA: 
 
A) PRINCÍPIO DA IDENTIDADE 
Se qualquer proposição é verdadeira, então ela é 
verdadeira. 
 
B) PRINCÍPIO DA NÃO-CONTRADIÇÃO 
Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo 
tempo. 
 
C) PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO 
Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-
se sempre um destes casos e nunca um terceiro caso. 
VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES 
 Os valores lógicos verdade e falsidade de uma proposição 
designam-se abreviadamente pelas letras V e F 
respectivamente. Assim, o que os princípios (axiomas) 
afirmam é que: 
“Toda proposição tem um, e um só, dos valores V e F.” 
 
 O valor lógico de uma proposição p é a verdade (V) se p é 
verdadeira, escrevendo: 
v(p) = V e lê-se: “o valor lógico de p é V” 
 
Exemplos: 
p: O mercúrio é mais pesado que a água. v(p) = V 
A:5> 8. v(A) = F 
r: A capital do Brasil é Brasília. v(r) = V 
NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO 
 
 Dada uma proposição p, a negação de p será indicada 
por p ou p (lê-se “não p”) 
 
Ex.: 
a) p: 8≠ 5(V)  p: 8 = 5 (F) 
b) q = 5<3(F)  q: 5≥ 3 (V) 
p p 
V F 
F V 
Tabela verdade da negação 
PROPOSIÇÕES SIMPLES OU COMPOSTAS 
 
 Serão proposições simples aquelas que vêm sozinhas, 
desacompanhadas de outras proposições. Exemplos: 
• Todo homem é mortal. 
• Pedro é estudante. 
 
 Se duas (ou mais) proposições vêm conectadas entre si, 
formando uma só sentença, estaremos diante de uma 
proposição composta. Exemplos: 
• João é médico e Pedro é dentista. 
• Maria vai ao cinema ou Paulo vai ao circo. 
• Ou Luís é baiano, ou é paulista. 
• Se chover amanhã de manhã, então não irei à praia. 
• Comprarei uma mansão se e somente se eu ganhar na loteria. 
CONECTIVOS LÓGICOS 
 São expressões que servem para unir duas ou mais 
proposições. 
Seja p: A lua é quadrada. q: A neve é branca. 
 
a)A lua é quadrada ou a neve é branca. 
Tradução simbólica: p v q (disjunção) 
 
b)A lua é quadrada e a neve é branca. 
Tradução simbólica: p  q (conjunção) 
 
c)Se a lua é quadrada então a neve é branca. 
Tradução simbólica: p → q (condicional) 
 
d)A lua é quadrada se e somente se a neve é branca. 
Tradução simbólica: p ↔ q (bicondicional) 
e )A lua não é quadrada. 
Tradução simbólica:  p (negação) 
 Símbolos auxiliares: ( ), parênteses que servem para 
denotar o “alcance” dos conectivos. 
 
f)Se a lua é quadrada e a neve é branca então a lua não é 
quadrada. 
Tradução simbólica: (p  q)   p 
 
g) A lua não é quadrada se e somente se a neve é branca. 
Tradução simbólica: ( p) ↔ q 
 
CONECTIVOS LÓGICOS 
Conectivo Palavras Símbolo 
Negação Não  ou  
Conjunção E  
Disjunção Ou  
Condicional Se ... Então ...  
Bicondicional ... Se , e somente se ...  
Exercícios: 
1) Represente as seguintes frases em linguagem natural, 
utilizando lógica formal. Para cada resposta, devem-se 
especificar as proposições simples extraídas: 
a)Pedro nasceu em 18 de abril e Rita nasceu em 25 de 
junho. 
b) Fortaleza é capital do Maranhão desde que Rio de 
Janeiro tenha mais de 250 mil habitantes. 
c) Ontem o dólar não fechou a R$2,18 ou o índice Bovespa 
fechou estável. 
d) Só irei ao clube se amanhã fizer sol. 
2) Sejam as seguintes proposições simples: 
p: “Tiradentes morreu afogado” e q: “Jaime é gaúcho”. 
Traduzir para linguagem natural, as seguintes 
proposições compostas: 
a) p q 
b) p  q 
c) ~p  q 
d) q  p 
 
3) Determinar o valor lógico ( V ou F ) de cada uma das 
seguintes proposições. 
a) p: O número 23 é primo. 
b) q : Goiânia é a capital de Tocantins. 
c) r: O número 25 é quadrado perfeito. 
d) s: Todo número divisível por 5 termina com 5. 
e) t: p= 3 
f) u: 3 > 2 
 
 
 
4) Sejam as proposições: 
p: O empregado foi demitido. 
q: O patrão indenizou o empregado. 
Escreva em notação simbólica, cada uma das proposições 
abaixo: 
a) O empregado não foi demitido. 
b) O patrão não indenizou o empregado. 
c) O empregado foi demitido e o patrão indenizou o 
empregado. 
d) É falso que o empregado foi demitido ou o patrão 
indenizou o empregado. 
e) O empregado foi demitido ou o patrão não indenizou o 
empregado. 
f) não é verdade que o empregado não foi demitido. 
5) Sejam as proposições: 
p: Rosas são vermelhas. 
q: Violetas são azuis. 
r: Cravos são amarelos. 
Escreva em notação simbólica, cada uma das proposições 
compostas abaixo: 
a) Rosas são vermelhas e violetas são azuis. 
b) Rosas são vermelhas, ou violetas são azuis ou os cravos 
são amarelos. 
c) Se violetas são azuis, então as rosas são vermelhas e os 
cravos são amarelos. 
d) Rosas são vermelhas se e somente se, as violetas não 
forem azuis e os cravos não são 
amarelos. 
 FLORES. Maria Lucia Pozzatti. Lógica de Predicados. Canoas: ULBRA. 2003. 
Reeditado 2005. 
 
GERSTING, J.L. Fundamentos Matemáticos para Ciência da Computação. 5ª edição. Rio 
de Janeiro: LTC. 2003. 
 
PARREIRA JÚNIOR. Walteno Martins. Lógica Matemática e Computacional