Unidade 3 - Números Primos, MMC e MDC

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Números primos 
Um dos conjuntos mais interessantes dentro do conjunto dos números naturais 
é o conjunto dos números primos. Esses números estão associados a diversos 
problemas que até hoje desafiam os matemáticos. 
Um número natural maior que 1 é chamado de número primo, somente se 
apresenta apenas dois divisores naturais ou seja, 1 e ele próprio. 
Todo número natural maior que 1, que não é primo, é chamado de número 
composto. 
Exemplos: 
2 é primo, pois seus divisores naturais são apenas 1 e 2. 
3 é primo, pois seus divisores naturais são apenas 1 e 3. 
4 não é primo pois apresenta mais de dois divisores naturais, ou seja, 1, 2 e 4. 
Logo 4 é um número composto. 
O conjunto dos números primos é infinito. 
Primos = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;… } 
 
Teorema Fundamental da Aritmética 
Qualquer número natural maior do que 1, ou é primo ou pode ser escrito de 
forma única ( desconsiderando a ordem dos fatores) como um produto de 
números primos ( chamados fatores primos). 
Usualmente este processo é chamado de decomposição em fatores primos 
Exemplo: 
 4 = 2.2 = 22 
 20 = 2.2.5 = 22. 5 
 45 = 32. 5 
 56 = 23. 7 
Decomposição em fatores primos 
Decompondo 630 em fatores primos: 
 
630 = 2.3.3.5.7 = 2. 32. 5.7 
 
Número de Divisores de um número natural 
Vamos determinar o número de divisores naturais de 20. Podemos facilmente 
escrever todos os divisores naturais de 20 através de tentativas ou pelos 
critérios de divisibilidade, dessa forma, temos: 
Divisores de 20 ⇒ 𝐷(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}. 
Observamos neste caso que 20 possui 6 divisores naturais. Mas esse processo 
seria muito trabalhoso para um número muito maior, neste caso, devemos 
proceder de outra maneira. 
Para calcular o número de divisores positivos de um número natural n deve-se 
decompor esse número em fatores primos, ou, seja: 
n = 𝑎𝛼 . 𝑏𝛽. 𝑐𝛾…., onde 𝑎, 𝑏, 𝑐, … são primos. 
O número de divisores naturais é igual ao produto 
(𝛼 + 1). (𝛽 + 1). (𝛾 + 1)… 
O total de divisores inteiros (positivos e negativos) é obtido multiplicando o 
resultado acima por 2. 
Dessa forma poderíamos obter o número de divisores da seguinte maneira: 
20 = 22. 5 = 22. 51 
Número de divisores de 20 = (2 + 1). (1 + 1) = 3.2 = 6 divisores naturais. 
 
Exercício resolvido 
1 - Determine o número de divisores naturais de 300. 
Resolução 
Decompondo 300 em fatores primos 
 
Para obtermos o número de divisores naturais, em cada expoente 
acrescentamos 1e multiplicamos o resultado obtido, ou seja: 
 (2 + 1). (1 + 1). (2 + 1) = 3.2.3 = 18 
Note que o expoente do fator primo 3 que não aparece é igual a 1. 
Logo, o número 300 possui 18 divisores naturais. 
Observação: 
Dentro do conjunto dos números inteiros, para cada divisor positivo existe um 
divisor negativo, dessa forma, o número de divisores inteiros de 300 é igual a 
2 × 18 = 36 divsores. 
 
Mínimo Múltiplo Comum (MMC) 
Um número inteiro é um múltiplo comum de dois números naturais dados, se 
ele é simultaneamente múltiplo de ambos os números. 
O menor múltiplo comum entre dois ou mais números, diferentes de zero, é 
chamado de Mínimo Múltiplo Comum desses números. 
Considere os conjuntos abaixo: 
Múltiplos de 12: 
𝑀(12)∗ = {12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96,108 … } 
Múltiplos de 18: 
 𝑀(18)∗ = {18; 𝟑𝟔; 54; 𝟕𝟐; 90; 𝟏𝟎𝟖… . } 
Observe que 12 e 18 possuem múltiplos comuns (36;72;108;...) e que o menor 
deles é 36. Dizemos então que 36 é o mínimo múltiplo comum entre 12 e 18. 
Processo da Decomposição Simultânea 
Determinar o mínimo múltiplo comum de 15, 24 e 60. 
 
Dessa forma, o mínimo múltiplo comum é o produto dos fatores primos 
encontrados, ou seja: 
MMC(15, 24, 60) = 2.2.2.3.5 = 120 
 
Máximo Divisor Comum (MDC) 
Dados dois números inteiros 𝑎 e 𝑏, não simultaneamente nulos, diremos que 
𝑑 ∈ ℤ é um divisor comum de 𝑎 e 𝑏 se 𝑑 é simultaneamente divisor de 𝑎 e de 
𝑏. 
O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de Máximo 
Divisor Comum desses números. 
Considere os conjuntos abaixo: 
Divisores de 12: 
 𝐷(12) = {𝟏; 𝟐; 𝟑; 4; 𝟔; 12} 
Divisores de 18: 
 𝐷(18) = {𝟏; 𝟐; 𝟑; 𝟔; 9; 18} 
Observe que 12 e 18 possuem divisores comuns (1;2;3;6) e que o maior deles 
é 6. Neste caso dizemos que 6 é o máximo divisor comum entre 12 e 18. 
Processo da Decomposição Simultânea 
Determine o máximo divisor comum entre 160 e 240. 
 
Para determinarmos o MDC, multiplicamos apenas os fatores primos que 
dividem os dois números de cada linha. Neste caso, temos: 
MDC(160, 240)=2.2.2.2.5 = 80. 
Observação: Se o Máximo Divisor Comum entre dois números for igual a 1 , 
neste caso, dizemos que esses números são primos entre si. 
 
Propriedade 
O produto entre dois números 𝑎 e 𝑏 é igual ao produto entre o mínimo múltiplo 
comum e o máximo divisor comum entre esses números, ou seja, 
𝑀𝑀𝐶(𝑎, 𝑏). 𝑀𝐷𝐶(𝑎, 𝑏) = 𝑎. 𝑏 
Exemplo: 
●𝑀𝑀𝐶(12,18) = 36 
●𝑀𝐷𝐶(12,18) = 6 
𝑀𝑀𝐶(12,18).𝑀𝐷𝐶(12,18) = 12.18 
36.6 = 12.18 
216 = 216 
 
Problemas resolvidos 
01- As cidades de Cuiabá, Rondonópolis e Poconé realizam festas periódicas. 
Cuiabá realiza festas de 9 em 9 meses; Rondonópolis , de 12 em 12 meses e 
Poconé de 15 em 15 meses. Se em janeiro de 2008, as três cidades realizaram 
essas festas nesse mês, qual o próximo ano em que isto ocorrerá novamente, 
ou seja, quando as festas das três cidades ocorrerão novamente num mesmo 
mês? 
Observe que após a realização das festas em janeiro de 2008, as próximas 
festas em Cuiabá ocorreram em períodos múltiplos de 9, em Rondonópolis, em 
períodos múltiplos de 12 e em Poconé, em períodos múltiplos de 15, ou seja: 
Cuiabá: 9, 18, 27, 36, ... 
Rondonópolis: 12, 24, 36, 48, ... 
Poconé: 15, 30. 45,60, ... 
Note que no 36º mês ocorrem as festas da cidade de Cuiabá e Rondonópolis, 
porém não acontecerá a festa em Poconé. 
Então, estamos procurando um mês que seja múltiplo de 9, 12 e 15 
simultaneamente e deve ser o menor possível, pois queremos o próximo mês 
em que acontecerão as três festas, ou seja, estamos procurando Mínimo 
Múltiplo Comum entre 9,12 e 15. 
Dessa forma: 
9, 12, 15 2 
9, 6, 15 2 
9, 3, 15 3 
3, 1, 5 3 
1, 1, 5 5 
1, 1 1 
 𝑀𝑀𝐶(9,12,15) = 2.2.3.3.5 
𝑀𝑀𝐶(9,12,15) = 22. 32. 5 = 180 
Como 180 meses correspondem há exatos 15 anos, as festas dessas três 
cidades ocorrerão num mesmo mês novamente, em janeiro de 2023. 
02- Para levar os alunos de certa escola a um museu, pretende-se formar 
grupos que tenham quantidades iguais de alunos e de modo que, em cada 
grupo, todos sejam do mesmo sexo. Se nessa escola estudam 840 rapazes e 
980 garotas e cada grupo deverá ser acompanhado de um único professor, 
determine: 
a) O número máximo de alunos em cada grupo. 
Note que procuramos um número que divida simultaneamente 840 e 960, e 
este deve ser o maior possível, pois desejamos o máximo de alunos em cada 
grupo. Logo, estamos procurando o Máximo Divisor Comum entre 840 e 960. 
Para obtermos o 𝑀𝐷𝐶(840,960), podemos utilizar um processo mais prático e 
semelhante a decomposição em fatores primos. Neste processo devemos 
dividir os dois números apenas por fatores que dividam os dois 
simultaneamente e não é necessário que sejam fatores primos. Dessa forma, 
temos: 
840, 960 10 
 84, 96 2 
 42, 48 6 
 7, 8 
𝑀𝐷𝐶(840, 960) = 10.2.6 = 120 
Dessa forma, cada grupo deve ter 120 alunos. 
 
 
b) O número de professores que acompanharão esses grupos. 
Dividindo 840 por 120 obtemos 7 grupos de rapazes e dividindo 960 por 120, 
obtemos 8 grupos de garotas. Logo, serão necessários 7 + 8 = 15 professores 
para acompanhar esses grupos. 
Observe que a quantidade de grupos pode ser obtida na última linha do 
processo de decomposição. 
 
Observe também que essa é a menor quantidade possível de grupos. 
 
 
● Observação: Se o máximo divisor entre dois números for igual a 1, dizemos 
que essesnúmero são primos entre si. 
Exemplo: 4 e 9 são primos entre si, porque 𝑀𝐷𝐶(4,9) = 1