Componentes básicos da bioestatística em saúde pública PAG 7

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CAPÍTULO 7: Teste de hipóteses 
PÁGINAS 129-131, 135-139,157-163 
 
Se a hipótese nula for rejeitada, um nível de significância exato é computado para descrever a 
probabilidade de observar os dados da amostra, presumindo que a hipótese nula seja verdadeira. 
O nível exato de significância é chamado de valor p e será menor que o nível de significância 
escolhido. Pacotes de computação estatística fornecem valores p exatos como parte da sua 
produção padrão para testes de hipótese. Aproximamos valores p usando a Tabela 1C para 
testes envolvendo estatísticas z e a Tabela 2 para testes envolvendo estatísticas t. 
 
Agora usamos o procedimento de cinco etapas para testar a hipótese de pesquisa de que o peso 
médio dos homens em 2006 é superior a 86,5 quilos. Presumimos os dados da amostra 
observados conforme segue: n = 100, Χ� = 197,1, s = 25,6. 
 
Etapa 1: Definir a hipótese e determinar o nível de significância. 
H0: µ = 191, 
H1: µ> 191, 
α = 0,05. 
 
A hipótese de pesquisa é que os pesos aumentaram, portanto, um teste de cauda superior é 
usado. 
 
Etapa 2: Selecionar a estatística de teste adequada. 
Devido ao fato de a amostra ser grande (n> 30), a estatística de teste adequada é 
 
𝑧𝑧 = Χ� − 𝜇𝜇0
𝑠𝑠/√𝑛𝑛 
 
(Na Seção 7.2, apresentamos estatísticas de teste alternativas adequadas para amostras 
pequenas). 
 
Etapa 3: Definir a regra de decisão. 
Neste exemplo, estamos fazendo um teste de cauda superior (H1: µ> 191), com uma estatística 
de teste z e selecionamos α = 0,05. A regra de decisão é mostrada na Figura 7–2, 
 
Rejeitar H0 se z ≥ 1,645. 
 
Etapa 4: Calcular a estatística de teste. 
Substituímos os dados da amostra da fórmula pela estatística de teste identificada na Etapa 2, 
 
𝑧𝑧 = Χ�− 𝜇𝜇0
𝑠𝑠/√𝑛𝑛 = 197,4−19125,6/√100 = 2,38 
Etapa 5: Conclusão. 
Rejeitamos H0 porque 2,38 > 1,645. Temos evidências estatisticamente significativas em α = 0,05 
para mostrar que o peso médio dos homens em 2006 é superior a 86,5 quilos. Por termos 
rejeitado a hipótese nula, nos aproximamos agora do valor p, que é a probabilidade de observar 
dados como mais extremos sob o modelo estatístico presumido. Uma definição alternativa do 
valor p é o menor nível de significância em que ainda rejeitamos H0. 
 
Neste exemplo, observamos z = 2,38, e para α = 0,05 o valor crítico é 1,645. Por 2,38 exceder 
1,645, rejeitamos H0. Na nossa conclusão, relatamos um aumento estatisticamente significativo 
no peso médio em um nível de significância de 5%. Os dados, de fato, fornecem evidências mais 
sólidas. A Tabela 7–2 é uma cópia da Tabela 1C do Apêndice que contém valores críticos para 
testes de cauda superior. 
 
 
 
Qual é o menor nível de significância que poderíamos escolher e ainda rejeitar H0? Se 
selecionarmos α = 0,025, o valor crítico é 1,96, e ainda rejeitamos H0 porque 2,38> 1,960. Se 
selecionarmos α = 0,010, o valor crítico é 2,326, e ainda rejeitamos H0 porque 2,38> 2,326. 
Entretanto, se selecionarmos α = 0,005, o valor crítico é 2,576, e não podemos rejeitar H0, porque 
2,38> 2,576. Portanto, o menor α em que ainda rejeitamos H0 é 0,010. Esse é o valor p. Um 
pacote de computação estatística produz um valor p mais preciso, que seria entre 0,005 e 0,010. 
Aqui, estamos aproximando o valor p usando a Tabela 1C do Apêndice, e relatamos p< 0,010. 
 
Valores p refletem a significância exata dos testes de hipóteses. Neste exemplo, descobrimos 
p< 0,010, indicando que há menos de 1% de chance de estarmos rejeitando incorretamente a 
hipótese nula se a hipótese nula for verdadeira. Suponha, neste exemplo, que a estatística de 
teste seja z = 1,70. Ainda rejeitamos H0 em α = 0,05, porque 1,70> 1,645. Entretanto, com z = 
1,70, o valor p seria relatado como p< 0,05. O valor p é mostrado graficamente na Figura 7–5. 
 
TAPELA 7-2 Valores críticos para testes Z de 
cauda superior 
α do teste de 
cauda superior Valor crítico de z 
0,10 
0,05 
0,025 
0,010 
0,005 
0,001 
0,0001 
1,282 
1,645 
1,960 
2,326 
2,576 
3,090 
3,719 
 
 
Valores p menores são um indicativo de mais incompatibilidade dos dados com o modelo 
estatístico presumido. Na literatura, com frequência, os pesquisadores relatam valores p para 
resumir a significância de testes de hipóteses. A regra a seguir pode ser usada para interpretar 
valores p: 
 
Rejeitar H0 se p ≤ α, 
 
Por exemplo, suponha que queremos testar H0: µ = 100 contra H1: µ> 100 em α = 0,05. Os dados 
são coletados e analisados com um pacote de computação estatística que relata p = 0,0176. 
Como p = 0,0176, α = 0,05, rejeitamos H0. Entretanto, se tivéssemos selecionado α = 0,01, não 
rejeitaríamos H0. Nos exemplos a seguir, aproximamos valores p usando a Tabela 1C do 
Apêndice para testes envolvendo estatísticas z e a Tabela 2 do Apêndice para testes envolvendo 
estatísticas t. Também discutimos a interpretação adequada. 
 
Em todos os testes de hipóteses (para resultados contínuos, dicotômicos, categóricos e ordinais, 
com uma, duas ou mais de duas amostras), há dois erros que podem ser cometidos. O primeiro 
é chamado de erro do Tipo I e se refere à situação em que rejeitamos incorretamente H0 quando, 
na verdade, ela é verdadeira. Isso também é chamado de resultado falso positivo (já que 
concluímos incorretamente que a hipótese de pesquisa é verdadeira quando não é). Quando 
fazemos um teste de hipóteses e decidimos rejeitar H0 (p. ex., porque a estatística do teste é 
maior que o valor crítico ou igual a ele em um teste de cauda superior), tomamos uma decisão 
correta, porque a hipótese de pesquisa é verdadeira, ou cometemos um erro do Tipo I. As 
FIGURA 7-5 Valor p, nível de significância exato 
Valor p 
1,70 
diferentes conclusões são resumidas na Tabela 7–3. Observe que nunca sabemos se a hipótese 
nula é realmente verdadeira ou falsa (isto é, nunca sabemos qual linha da Tabela 7–3 reflete a 
realidade). 
 
 
 
Na primeira etapa de um teste de hipóteses, selecionamos um nível de significância, α, e α = P 
(erro do Tipo I). Por selecionarmos propositadamente um valor pequeno para α, controlamos a 
probabilidade de cometer um erro do Tipo I. Por exemplo, selecionamos α = 0,05 e nosso teste 
nos diz para rejeitar H0, há uma probabilidade de 5% de cometermos um erro do Tipo I. A maioria 
dos pesquisadores tem bastante tranquilidade com isso e fica confiante quando rejeita H0 no 
sentido em que a hipótese de pesquisa é verdadeira, já que é o cenário mais provável quando 
rejeitamos H0. 
 
Quando fazemos um teste de hipóteses e decidimos rejeitar H0 (p. ex., porque a estatística do 
teste está abaixo do valor crítico em um teste de cauda superior), ou tomamos uma decisão 
correta, porque a hipótese nula é verdadeira, ou cometemos um erro do Tipo II. β representa a 
probabilidade de um erro do Tipo II e é definido como 
 
β = P (erro do Tipo II) = P (não rejeitar H0 | H0 é falso). 
 
Infelizmente, não podemos escolher um β pequeno (p. ex., 0,05) para controlar a probabilidade 
de cometer um erro do Tipo II, porque β depende de diversos fatores, incluindo o tamanho da 
amostra, o nível de significância (α), e a hipótese de pesquisa. Esses problemas serão discutidos 
mais detalhadamente no Capítulo 8. Por enquanto, devemos reconhecer que, quando não 
rejeitamos H0, pode ser muito provável que estejamos cometendo um erro do Tipo II (ou seja, 
não conseguindo rejeitar H0 quando ela é falsa). Portanto, quando os testes são executados e a 
hipótese nula não é rejeitada, com frequência fazemos uma declaração de conclusão fraca, 
permitindo a possibilidade de que estejamos cometendo um erro do Tipo II. Se não rejeitamos 
H0, concluímos que não temos evidências significativas para mostrar que H1 é verdadeira. Não 
concluímos que H0 é verdadeira. O motivo mais comum para um erro do Tipo II é uma amostra 
de tamanho pequeno. 
 
7.4 TESTES COM UMA AMOSTRA, RESULTADOSCATEGÓRICOS E 
ORDINAIS 
 
Um teste de hipóteses com uma variável de resultado categórica ou ordinal em uma única 
população é realizado novamente de acordo com o procedimento de cinco etapas. Semelhante 
aos testes para médias e proporções descritos nas Seções 7.2 e 7.3, um componente chave é 
TABELA 7-3 Erros em testes de hipóteses 
Conclusão em teste de hipóteses 
Não rejeitar H0 Rejeitar H0 
H0 é verdadeiro 
H0 é falso 
Decisão correta 
Erro do tipo II 
Erro do tipo II 
Decisão correta 
definir as hipóteses nula e de pesquisa. As variáveis categóricas e ordinais são variáveis que 
assumem mais de duas respostas ou categorias distintas. Além disso, respostas podem ser 
ordenadas ou não ordenadas (ou seja, ordinais ou categóricas). O procedimento que 
descrevemos aqui pode ser usado para resultados ordinais ou categóricos. O objetivo é comparar 
a distribuição de respostas — ou a proporção de participantes em cada categoria de resposta — 
para uma distribuição conhecida. A distribuição conhecida é derivada de outro estudo ou relatório 
e é, novamente, importante para definir as hipóteses de que a distribuição comparadora 
especificada na hipótese nula é uma comparação justa. 
 
Em testes de uma amostra para um resultado categórico ou ordinal, nós definimos nossas 
hipóteses contra um comparador adequado. Selecionamos uma amostra e computamos as 
estatísticas descritivas dos dados da amostra usando as técnicas descritas no Capítulo 4. 
Especificamente, calculamos o tamanho da amostra (n) e as proporções de participantes em 
cada categoria de resposta (�̂�𝑝1, �̂�𝑝2, … �̂�𝑝𝑘𝑘) onde k representa o número de categorias de resposta. 
Em seguida, determinamos a estatística de teste adequada (Etapa 2) para o teste de hipóteses. 
A fórmula para a estatística de teste se encontra na Tabela 7–6. 
 
Com a estatística χ2, comparamos as frequências observadas em cada categoria de resposta 
(O) às frequências que poderíamos esperar (E) se a hipótese nula for verdadeira. Essas 
frequências esperadas são determinadas alocando a amostra às categorias de resposta de 
acordo com a distribuição especificada em H0. Isso é feito multiplicando o tamanho da amostra 
observado (n) pelas proporções especificadas na hipótese nula (p10, p20, …, pk0). Para garantir 
que o tamanho da amostra seja apropriado para o uso da estatística do teste na Tabela 7–6, 
precisamos garantir que a frequência esperada em cada categoria de resposta seja de pelo 
menos 5, ou 
 
mín.(np10, np20,…, npk0) ≥ 5. 
 
O teste de hipóteses com um resultado categórico ou ordinal medido em uma única amostra, 
onde o objetivo é avaliar se a distribuição de respostas segue uma distribuição conhecida, é 
chamado de χ2 teste de aderência. Como o nome indica, a ideia é avaliar se a distribuição de 
respostas na amostra se "ajusta" a uma distribuição específica da população. No próximo 
exemplo, ilustramos o teste usando a abordagem de cinco etapas. Conforme trabalhamos com 
o exemplo, forneceremos detalhes adicionais relacionados ao uso dessa nova estatística do 
teste. 
 Exemplo 7.6. Uma universidade conduziu uma pesquisa de seus recém-formados para 
coletar informações demográficas e de saúde para fins de planejamento futuro e para avaliar a 
satisfação dos estudantes com suas experiências universitárias. A pesquisa revelou que uma 
grande parte dos estudantes não estava praticando exercícios regulares, muitos achavam que 
TABELA 7-6 Estatística de teste para Teste H0: p1 = 
p10, p2 = p20, …, pk = pk0 
(Encontre o valor 
crítico na Tabela 3, 
gl = k - 1) 
não se alimentavam bem e uma grande parte era fumante. Em resposta a uma pergunta sobre 
a prática de exercícios, 60% dos recém-formados relataram que não faziam exercícios regulares, 
25% relataram que faziam exercícios esporadicamente e 15% relataram que faziam exercícios 
regulares como universitários. No ano seguinte, a universidade lançou uma campanha de 
promoção da saúde no campus, em uma tentativa de incentivar comportamentos saudáveis entre 
universitários. O programa incluía módulos sobre exercícios, nutrição e auxílio para deixar de 
fumar. Para avaliar o impacto do programa, a universidade realizou outra pesquisa com recém-
formados, fazendo as mesmas perguntas. A pesquisa teve a participação de 470 formandos e 
os dados exibidos na Tabela 7–7 foram coletados a partir da pergunta sobre prática de 
exercícios. Com base nos dados, existe evidência de uma mudança na distribuição das respostas 
à pergunta sobre prática de exercícios depois da implementação da campanha de promoção da 
saúde no campus? Realize o teste em um nível de significância de 5%. 
 
 
 
Neste exemplo, temos uma amostra e uma variável de resultado ordinal (com três opções de 
resposta). Queremos comparar, especificamente, a distribuição de respostas na amostra à 
distribuição relatada no ano anterior (ou seja, 60%, 25% e 15% relatando nenhum exercício, 
exercício esporádico e exercício regular, respectivamente). Agora realizamos o teste usando a 
abordagem de cinco etapas. 
Etapa 1: Definir a hipótese e determinar o nível de significância. 
 
A hipótese nula, novamente, representa a situação de "nenhuma mudança" ou "nenhuma 
diferença". Se a campanha de promoção da saúde não tiver nenhum impacto, podemos esperar 
que a distribuição de respostas à pergunta sobre prática de exercícios seja a mesma da que foi 
medida antes da implementação do programa. 
 
H0: p1 = 0,60, p2 = 0,25, p3 = 0,15 ou, de forma equivalente, 
H0: A distribuição de respostas é 0,60, 0,25, 0,15, 
H1: H0 é falso, 
α = 0,05. 
 
Observe que a hipótese de pesquisa está escrita em palavras em vez de com símbolos. A 
hipótese de pesquisa, conforme afirmado, capta qualquer diferença na distribuição de respostas 
das especificadas na hipótese nula. Nós não especificamos uma distribuição alternativa 
específica; em vez disso, estamos testando se os dados da amostra se "ajustam" à distribuição 
em H0 ou não. Com o teste de aderência χ2, não há versões unilaterais superiores ou inferiores 
do teste. 
TABELA 7-7 Resultados da pesquisa sobre prática de 
exercícios 
Nenhum 
exercício 
Número de 
estudantes 
Exercício 
esporádic
 
Exercício 
regular Total 
Etapa 2: Selecionar a estatística de teste adequada. 
 
A fórmula para a estatística de teste se encontra na Tabela 7–6 e é 
 
𝜒𝜒2 = Σ (Ο − 𝐸𝐸)2
𝐸𝐸
 
 
Devemos, primeiro, avaliar se o tamanho da amostra é adequado. Especificamente, precisamos 
verificar o mín.(np10,…,npk0) ≥ 5. O tamanho da amostra aqui é n = 470 e as proporções 
especificadas na hipótese nula são 0,60, 0,25, e 0,15. Assim, 
 
 mín.[470(0,60), 470(0,25), 470(0,15)] = mín.(282, 117,5, 70,5) = 70,5. 
 
O tamanho da amostra é mais do que adequado, então a estatística do teste pode ser usada. 
Etapa 3: Definir a regra de decisão. 
 
A regra de decisão para o teste χ2 é definida de uma maneira semelhante às regras de decisão 
que estabelecemos para os testes z e t. A regra de decisão depende do nível de significância e 
dos graus de liberdade, definidos por gl = k - 1, onde k é o número de categorias de resposta. 
Novamente, com os testes χ2, não há versões unilaterais superiores ou inferiores do teste. Se a 
hipótese nula for verdadeira, as frequências observadas e esperadas são próximas em valor e a 
estatística χ2 é próxima de 0. Se a hipótese nula for falsa, a estatística χ2 é grande. A região de 
rejeição para o teste χ2 está sempre na curva superior (direita), como exibido na Figura 7–6. 
 
 
 
Figura 7-6 Região de rejeição para o teste χ2 com α = 0,05 e gl = 2 
1 
0,9 
0,8 
0,7 
0,6 
0,5 
0,4 
0,3 
0,2 
0,1 
0 
 
∝ = 0,05 
A Tabela 3 do Apêndice contém os valores críticos para o teste χ2, indexados por graus de 
liberdade e pelo nível de significância desejado. Aqui temos gl =k-1 = 3-1 = 2 e um nível de 
significância de 5%. O valor crítico adequado da Tabela 3 é 5,99 e a regra de decisão é 
 
Rejeitar H0 se χ2 ≥ 5,99. 
Etapa 4: Calcular a estatística de teste. 
 
Agora nós calculamos as frequências esperadas usando o tamanho da amostra e as proporções 
especificadas na hipótese nula. Em seguida, substituímos os dados da amostra (frequências 
observadas) e as frequências esperadas pela fórmula para a estatística de teste identificada na 
Etapa 2. Os cálculos podem ser organizados como mostrado na Tabela 7–8. Observe que as 
frequências esperadas são levadas a uma casa decimal e que a soma das frequências 
observadas é igual à soma das frequências esperadas. A estatística do teste é calculada como 
 
𝜒𝜒2 = (255 − 282)2282 + (125 − 177,5)2117,5 + (90 − 70,5)270,5 
 
𝜒𝜒2 = 2,59 + 0,48 + 5,39 = 8,46 
 
Etapa 5: Conclusão. 
 
Rejeitamos H0 porque 8,46 > 5,99. Temos evidências estatisticamente significativas em α = 0,05 
para provar que H0 é falso, ou que a distribuição de respostas não é 0,60, 0,25 e 0,15. Usando a 
Tabela 3 do Apêndice, podemos aproximar o valor p. Temos que olhar para valores críticos para 
menores níveis de significância com gl = 2. Usando a Tabela 3 do Apêndice, o valor p é p < 
0,025. 
 
No teste de aderência χ2, concluímos que ou a distribuição especificada em H0 é falsa (quando 
rejeitamos H0) ou não temos evidências suficientes para provar que a distribuição especificada 
em H0 é falsa (quando não rejeitamos H0). No Exemplo 7.6, rejeitamos H0 e concluímos que a 
distribuição de respostas à pergunta sobre prática de exercícios, depois da implementação da 
campanha de promoção da saúde, não é a mesma que a distribuição anterior. O teste em si não 
fornece detalhes de como a distribuição mudou. Uma comparação das frequências observadas 
e esperadas fornece algumas informações sobre a mudança (quando a hipótese nula é 
rejeitada). No Exemplo 7.6, observamos os dados apresentados na primeira linha da Tabela 7–
8. Se a hipótese nula fosse verdadeira, poderíamos esperar que mais estudantes entrassem na 
categoria Nenhum exercício e menos deles entrassem na categoria Exercício regular. Na 
amostra, 255 / 470 = 54% relatam "nenhum exercício" e 90 / 470 = 19% relatam "exercício 
regular". Portanto, há uma mudança em direção a uma maior prática de exercícios regulares 
Tabela 7-8 Cálculo das frequências esperadas 
Nenhum exercício 
Frequências observadas (O) 
Exercício esporádico Exercício regular Total 
Frequências esperadas (E) 
255 
470 (0,60) = 282 
125 
470 (0,25) = 117,5 
90 
470 (0,15) = 70,5 
470 
470 
depois da implementação da campanha de promoção da saúde. 
 
Exemplo 7.7. O NCHS (National Center for Health Statistics, Centro Nacional de Estatística em 
Saúde dos Estados Unidos) forneceu dados sobre a distribuição de peso (em categorias) entre 
americanos em 2002. A distribuição foi baseada em valores específicos de índice de massa 
corporal (IMC) calculados como peso em quilogramas sobre altura em metros quadrados. 
"Abaixo do peso" foi definido como IMC abaixo de 18,5; "peso normal", como IMC entre 18,5 e 
24,9; "sobrepeso", como IMC entre 25 e 29,9; e "obeso", como IMC de 30 ou maior. Americanos, 
em 2002, foram distribuídos da seguinte forma: 2% abaixo do peso, 39% com peso normal, 36% 
com sobrepeso e 23% obeso. Suponha que queiramos avaliar se a distribuição de IMC é 
diferente na amostra de descendentes do estudo Framingham. Usando dados dos n = 3.536 
participantes que compareceram à sétima análise de descendentes no Framingham Heart Study, 
criamos as categorias de IMC definidas, que são os dados apresentados na Tabela 7–9. 
 
 
Etapa 1: Definir a hipótese e determinar o nível de significância. 
 
H0: p1 = 0,02, p2 = 0,39, p3 = 0,36, 
p4 = 0,23 ou, de forma equivalente, 
H0: A distribuição de respostas é 0,02, 0,39, 0,36, 0,23, 
H1: H0 é falso, 
α = 0,05. 
Etapa 2: Selecionar a estatística de teste adequada. 
 
A fórmula para a estatística de teste se encontra na Tabela 7–6 e é 
 
𝜒𝜒2 = Σ (Ο − Ε)2
Ε
 . 
 
Devemos avaliar se o tamanho da amostra é adequado. Especificamente, precisamos verificar o 
mín.(np10, …, npk0) ≥ 5. O tamanho da amostra aqui é n = 3.326 e as proporções especificadas 
na hipótese nula são 0,02, 0,39, 0,36, e 0,23. Assim, 
 
 mín.[3326(0,02), 3326(0,39), 3326(0,36), 3326(0,23)] = 
mín.(66,5, 1297,1, 1197,4, 765,0) = 66,5. 
 
O tamanho da amostra é mais do que adequado, então a estatística do teste pode ser usada. 
Tabela 7-9 Distribuição de IMC nos descendentes do estudo de Framingham 
Abaixo do peso, 
IMC < 18,5 
Número de participantes 
Peso normal, 
IMC 18,5 a 24,9 
Sobrepeso, 
IMC 25,0 a 29,9 Total 
Obeso, 
IMC 30 ou mais 
Etapa 3: Definir a regra de decisão. 
Aqui temos gl = k - 1 = 4 - 1 = 3 e um nível de significância de 5%. O valor crítico adequado da 
Tabela 3 do Apêndice é 7,81 e a regra de decisão é 
 
Rejeitar H0 se χ2 ≥ 7,81. 
 
Etapa 4: Calcular a estatística de teste. 
Agora nós calculamos as frequências esperadas usando o tamanho da amostra e as proporções 
especificadas na hipótese nula. Em seguida, substituímos os dados da amostra (frequências 
observadas) pela fórmula para a estatística de teste identificada na Etapa 2. Organizamos os 
cálculos na Tabela 7–10. 
 
 
 
A estatística do teste é calculada como 
 
𝜒𝜒2 = (20 − 66,5)266,5 + (932 − 1297,1)21297,1 + (1374 − 1197,4)21197,4 + (1000 − 765,0)2765,0 
𝜒𝜒2 = 32,52 + 102,77 + 26,05 + 72,19 = 233,53 
Etapa 5: Conclusão. 
 
Rejeitamos H0 porque 233,53 > 7,81. Temos evidências estatisticamente significativas em α = 
0,05 para provar que H0 é falso, ou que a distribuição de IMC nos descendentes do estudo 
Framingham é diferente dos dados nacionais relatados em 2002. Usando a Tabela 3 do 
Apêndice, podemos aproximar o valor p. Temos que olhar para valores críticos para menores 
níveis de significância para gl = 3. Usando a Tabela 3, o valor p é p < 0,005. 
 
Novamente, o teste de aderência χ2 nos permite avaliar se a distribuição de respostas se "ajusta" 
a uma distribuição específica. No Exemplo 7.7, mostramos que a distribuição de IMC no estudo 
dos descendentes de Framingham é diferente da distribuição nacional. Para entender a natureza 
da diferença, comparamos frequências observadas e esperadas ou proporções observadas e 
esperadas (ou porcentagens). No exemplo 7.7, as frequências são grandes por causa do 
tamanho grande da amostra — as porcentagens observadas de pacientes na amostra 
Framingham são: 0,6% abaixo do peso, 28% com peso normal, 41% com sobrepeso e 30% 
obeso. Na amostra de descendentes Framingham, há maiores porcentagens de pessoas com 
sobrepeso e obesas (41% e 30% em Framingham, em comparação aos 36% e 23% nacionais) 
Tabela 7-10 Frequências observadas e esperadas 
 
Frequências observadas (O) 
Frequências esperadas (E) 
20 
66,5 
932 
1297,1 
1374 
1197,4 
3326 
3326 
Abaixo do peso, 
IMC < 18,5 
Peso normal, 
IMC 18,5 a 24,9 
Sobrepeso, 
IMC 25,0 a 29,9 Total 
Obeso, 
IMC 30 ou mais 
1000 
765,0 
e menores porcentagens de pessoas abaixo do peso e com peso normal (0,6% e 28% em 
Framingham, em comparação aos 2% e 39% nacionais). 
 
7.9 TESTES PARA DUAS OU MAIS AMOSTRAS INDEPENDENTES, 
RESULTADOS CATEGÓRICOS E ORDINAIS 
Na Seção 7.4, apresentamos o teste de aderência χ2, que foi usado para testar se a distribuição 
de respostas para uma variável categórica ou ordinal medida em uma única amostra seguia uma 
distribuição conhecida. Aqui, nós ampliamos essa aplicação para os dois ou mais casos de 
amostras independentes. Especificamente, o resultado de interesse tem duas ou mais respostas 
e elas estão ordenadas ou não ordenadas (ou seja, ordinal ou categórica). Agora nós 
consideramosa situação onde há dois ou mais grupos de comparação e o objetivo da análise é 
comparar a distribuição de respostas à variável de resultado categórica ou ordinal entre vários 
grupos de comparação independentes. 
 
O teste é chamado de teste de independência χ2 e a hipótese nula é a de que não há diferença 
na distribuição de respostas para o resultado entre grupos de comparação. Isso é 
frequentemente determinado como: A variável de resultado e a variável de agrupamento (por 
exemplo, os tratamentos de comparação ou grupos de comparação) são independentes (por isso 
o nome do teste). A independência, neste caso, implica homogeneidade na distribuição do 
resultado entre grupos de comparação. A hipótese nula no teste de independência χ2 é, muitas 
vezes, determinada em palavras como 
 
H0: A distribuição do resultado é independente dos grupos. 
 
A hipótese de pesquisa é de que existe uma diferença na distribuição da variável do resultado 
entre grupos de comparação (ou seja, que a distribuição de respostas "depende" do grupo). Para 
testar a hipótese, medimos a variável de resultado categórica ou ordinal em cada participante de 
cada grupo de comparação. Os dados de interesse são as frequências observadas (ou número 
de participantes em cada categoria de resposta em cada grupo). A fórmula para a estatística do 
teste para o teste de independência χ2 é fornecida na Tabela 7–42. 
 
 
 
Os dados para o teste de independência χ2 são organizados em uma tabela cruzada. As variáveis 
de resultado e de agrupamento são apresentadas nas linhas e colunas da tabela. A tabela 7–43 
ilustra o layout dos dados da amostra. As entradas da tabela (vazia) são os números de 
participantes em cada grupo respondendo a cada categoria de resposta da variável de resultado. 
Tabela 7-42 Estatística de teste para teste H0: A 
distribuição do resultado é independente dos grupos 
 
 
(Encontre o valor crítico na 
tabela 3, gl = (r - 1)(c - 1)) 
 
Na Tabela 7–43, a variável de agrupamento é apresentada nas linhas da tabela; r denota o 
número de grupos independentes. A variável de resultado é apresentada nas colunas da tabela; 
c denota o número de opções de resposta na variável de resultado. Cada combinação de uma 
linha (grupo) e uma coluna (resposta) é chamada de célula da tabela. A tabela tem r × c células 
e, às vezes, é chamada de tabela r × c ("r por c"). Por exemplo, se existirem quatro grupos e 
cinco categorias na variável de resultado, os dados serão organizados em uma tabela 4 x 5. Os 
totais da linha e da coluna são apresentados ao longo da margem direita e da parte de baixo da 
tabela, respectivamente. O tamanho total da amostra, N, é calculado somando os totais da linha 
ou os totais da coluna. Semelhante a uma ANOVA, N, neste caso, não se refere a um tamanho 
de população, mas ao tamanho total da amostra na análise. Os dados da amostra estão 
organizados em uma tabela como a exibida na Tabela 7–43. Os números de participantes em 
cada grupo que selecionam cada opção de resposta são exibidos nas células da tabela e estas 
são as frequências observadas usadas na estatística do teste. 
 
A estatística do teste para o teste de independência χ2 envolve comparar frequências observadas 
(dados da amostra) e esperadas em cada célula da tabela. As frequências esperadas são 
calculadas presumindo que a hipótese nula é verdadeira. A hipótese nula afirma que as duas 
variáveis (a variável de agrupamento e o resultado) são independentes. No capítulo 5, 
introduzimos o conceito de independência. A definição de independência é 
 
Dois eventos, A e B, são independentes se P(A|B) = P(A) ou se P(B|A) = P(B) ou, 
de forma equivalente, 
 Dois eventos, A e B, são independentes se P(A e B) = P(A) P(B). 
 
A última afirmação indica que se dois eventos, A e B, são independentes, a probabilidade de sua 
interseção pode ser calculada multiplicando a probabilidade de cada evento individual. Para 
conduzir o teste de independência χ2, devemos calcular frequências esperadas em cada célula 
da tabela. As frequências esperadas são calculadas supondo que a variável de agrupamento e 
resultado sejam independentes (ou seja, sob a hipótese nula). Deste modo, se a hipótese nula 
for verdadeira, usando a definição de independência: 
 
 P(Grupo 1 e Opção de resposta 1) = P (Grupo 1) 
 P(Opção de resposta 1). 
 
A anterior afirma que a probabilidade de um indivíduo estar no Grupo 1 e o resultado dele ser a 
Opção de resposta 1 é calculada multiplicando a probabilidade daquela pessoa estar no Grupo 
1 pela probabilidade de uma pessoa dar a Opção de resposta 1. Isso é verdadeiro se Grupo e 
Resposta forem independentes. Para conduzir o teste de independência χ2, precisamos de 
Tabela 7-10 Frequências observadas e esperadas 
 
Grupo 1 
Grupo 2 
Variável de agrupamento 
Opção de resposta 1 Opção de resposta 2 Totais da linha … Opção de resposta c 
… 
Grupo r 
Totais da coluna N 
frequências esperadas e não de probabilidades esperadas. Para converter a probabilidade em 
uma frequência, multiplicamos por N (o tamanho total da amostra). Considere o exemplo a seguir. 
 
 
 
Os dados apresentados na Tabela 7–44 são medidos em um tamanho de amostra N = 150. As 
frequências nas células da tabela são as frequências observadas. Se Grupo e Resposta forem 
independentes, podemos calcular a probabilidade de uma pessoa da amostra ser do Grupo 1 e 
Opção de resposta 1 usando 
 
P(Grupo 1 e Resposta 1) = P(Grupo 1) P(Resposta 1), 
P(Grupo 1 e Resposta 1) = (25 / 150)(62 / 150) = 0,069. 
 
Deste modo, se Grupo e Resposta forem independentes, podemos esperar que 6,9% da amostra 
esteja na célula superior esquerda da tabela (Grupo 1 e Resposta 1). A frequência esperada é 
150(0,069) = 10,4. Podemos fazer o mesmo para o Grupo 2 e Resposta 1: 
 
 P(Grupo 2 e Resposta 1) = P(Grupo 2) P(Resposta 1), 
 P(Grupo 2 e Resposta 1) = (50 / 150) (62 / 150) = 0,138. 
 
A frequência esperada no Grupo 2 e Resposta 1 é 150(0,138) = 20,7. 
 
A fórmula para determinar as frequências de célula esperadas no teste de independência χ2 é 
 Frequência de célula esperada = Total da linha x total da coluna
Ν
 
 
A equação anterior produz a frequência esperada em uma etapa em vez de calcular a 
probabilidade esperada primeiro para então converter para uma frequência. 
 
Exemplo 7.17. No Exemplo 7.6, examinamos os dados de uma pesquisa de graduados de uma 
universidade que avaliou (entre outras coisas) a frequência com que eles se exercitavam. A 
pesquisa teve a participação de 470 graduados. Usamos o teste de aderência χ2 para avaliar se 
houve uma mudança na distribuição de respostas à pergunta sobre prática de exercícios depois 
da implementação de uma campanha de promoção da saúde no campus. Consideramos 
especificamente uma amostra (todos os estudantes) e comparamos a distribuição observada de 
respostas à pergunta sobre prática de exercícios à distribuição de respostas do ano anterior (um 
controle de histórico). Suponha que desejemos avaliar se há uma relação entre a prática de 
exercícios em campus e a situação de moradia dos estudantes. Como parte da mesma pesquisa, 
Tabela 7-44 Respostas observadas por grupo 
 
Grupo 1 
Grupo 2 
Grupo 3 
Total 
Reposta 1 Reposta 2 Reposta 3 Total 
perguntaram aos graduados onde eles moravam no último ano da faculdade. As opções de 
resposta eram: dormitório, apartamento no campus, apartamento fora do campus e em casa (ou 
seja, se deslocavam para a universidade diariamente). Os dados são exibidos na Tabela 7-45. 
 
 
 
Com base nos dados, existe uma relação entre a prática de exercícios e a situação de moradia 
do estudante? Temos quatro grupos de comparação independentes (moradias) e uma variável 
de resultado ordinal com três opções de resposta. Queremos especificamente testar se a 
situação de moradia e a prática de exercícios são independentes.Realizamos o teste usando a 
abordagem de cinco etapas. 
 
Etapa 1: Definir a hipótese e determinar o nível de significância. 
 
H0: Moradia e prática de exercícios são independentes, 
H1: H0 é falso, 
α = 0,05. 
As hipóteses nula e de pesquisa estão escritas em palavras em vez de com símbolos. A hipótese 
de pesquisa é que a variável de agrupamento (moradia) e a variável de resultado (exercício) são 
dependentes ou relacionadas. 
 
Etapa 2: Selecionar a estatística de teste adequada. 
 
A fórmula para a estatística de teste se encontra na Tabela 7-42 e é dada como 
 
𝜒𝜒2 = Σ (Ο − Ε)2
Ε
 . 
 
A condição para o uso adequado da estatística de teste anterior é de que cada frequência 
esperada seja pelo menos cinco. Na Etapa 4, calculamos as frequências esperadas e garantimos 
que a condição seja cumprida. 
Tabela 7-45 Prática de exercícios por situação de 
moradia 
 
Dormitório 
Apartamento no 
campus 
Apartamento fora 
do campus 
Em casa 
Total 
Nenhum 
exercício 
Exercício 
esporádico 
Exercício 
regular Total 
Etapa 3: Definir a regra de decisão. 
 
A regra de decisão para o teste de independência χ2 é definida de uma maneira semelhante às 
regras de decisão que estabelecemos para os testes z e t. A regra de decisão depende do nível 
de significância e dos graus de liberdade, definidos como gl = (r - 1)(c - 1), onde r e c são os 
números de linhas e colunas na tabela de dados bidirecionais. A variável de linha é a situação 
de moradia e há quatro arranjos considerados; portanto, r = 4. A variável de coluna é a prática 
de exercícios e três respostas são consideradas; portanto, c = 3. Para este teste, gl = (4 - 1)(3 - 
1) = 3(2) = 6. Novamente, com testes χ2, não há versões unilaterais superiores ou inferiores do 
teste. Se a hipótese nula for verdadeira, as frequências observadas e esperadas são próximas 
em valor e a estatística χ2 é próxima de 0. Se a hipótese nula for falsa, a estatística χ2 é grande. 
A região de rejeição para o teste de independência χ2 está sempre na curva superior (direita) da 
distribuição, como exibido na Figura 7–6. 
 
A Tabela 3 do Apêndice contém os valores críticos para o teste χ2, indexados por graus de 
liberdade e o nível de significância desejado. Para gl = 6 e um nível de significância de 5%, o 
valor crítico adequado da Tabela 3 é 12,59 e a regra de decisão é 
 
Rejeitar H0 se χ2 ≥ 12,59. 
 
Etapa 4: Calcular a estatística de teste. 
 
Agora calculamos as frequências esperadas usando a fórmula, 
 Frequência de célula esperada = Total da linha x total da coluna
Ν
 
 
Os cálculos são organizados em uma tabela bidirecional. As frequências esperadas são levadas 
a uma casa decimal e as somas das frequências observadas são iguais às somas das 
frequências esperadas em cada linha e coluna da tabela (veja a Tabela 7–46). 
 
 
 
Lembre-se de que, na Etapa 2, uma condição para o uso adequado da estatística de teste era 
Tabela 7-46 Frequências esperadas 
 
Dormitório 
Apartamento no 
campus 
Apartamento fora 
do campus 
Em casa 
Total 
Nenhum 
exercício 
Exercício 
esporádico 
Exercício 
regular Total 
48,8 
97,8 
81,4 
27,1 
255 
23,9 
47,9 
39,9 
13,3 
125 
17,2 
34,5 
28,7 
9,6 
90 
90 
180 
150 
50 
470 
que cada frequência esperada fosse pelo menos cinco. É o caso desta amostra (a menor 
frequência esperada é 9,6) e, portanto, o uso da estatística de teste é adequado. A estatística do 
teste é calculada da seguinte forma: 
 
𝜒𝜒2 = (32 − 48,8)248,8 + (30 − 23,9)223,9 + (28 − 17,2)217,2 + (74 − 97,7)297,7 + (64 − 47,9)247,9+ (42 − 34,5)234,5 + (110 − 81,4)281,4 + (25 − 39,9)239,9 + (15 − 28,7)228,7+ (39 − 27,1)227,1 + (6 − 13,3)213,3 + (5 − 9,6)29,6 
 
𝜒𝜒2 = 5,78 + 1,56 + 6,78 + 5,75 + 5,41 + 1,63 + 10,05 + 5,56 + 6,54 + 5,23 + 4,01 + 2,20= 60,5 
 
Etapa 5: Conclusão. 
 
Rejeitamos H0 porque 60,5 > 12,59. Temos evidências estatisticamente significativas em α = 0,05 
para provar que H0 é falso, ou que situação de moradia e prática de exercício não são 
independentes (ou seja, são dependentes ou relacionadas). Usando a Tabela 3 do Apêndice, 
podemos aproximar o valor p. Temos que olhar para valores críticos para menores níveis de 
significância com gl = 6. Usando a Tabela 3, o valor p é p < 0,005. 
 
O teste de independência χ2 é usado para testar se a distribuição da variável de resultado é 
diferente entre os grupos de comparação. No Exemplo 7.17, rejeitamos H0 e concluímos que a 
distribuição de prática de exercício não é independente da situação de moradia, ou que há uma 
relação entre moradia e prática de exercício. O teste fornece uma avaliação geral da significância 
estatística. Quando a hipótese nula é rejeitada, é importante revisar os dados da amostra para 
entender a natureza da relação. Considere, novamente, os dados do Exemplo 7.17. 
 
Por haver números diferentes de estudantes em cada situação de moradia, a comparação de 
padrões de exercícios se torna difícil baseando-se apenas nas frequências. A Tabela 7–47 exibe 
as porcentagens de estudantes em cada categoria de exercício por situação de moradia. As 
porcentagens somam 100% em cada linha da tabela. Para fins de comparação, as porcentagens 
também são exibidas para o total da amostra ao longo da última linha da tabela. Analisando a 
Tabela 7–47, fica claro que maiores porcentagens de estudantes que moram em dormitórios e 
em apartamentos no campus fazem exercícios regulares (31% e 23%), em comparação aos 
estudantes que moram em apartamentos fora do campus e em casa (10% cada). 
 
 
 
Exemplo 7.18. No Exemplo 7.13, analisamos dados de um ensaio aleatório projetado para 
avaliar a eficácia de um analgésico novo para reduzir a dor em pacientes após a cirurgia de 
substituição de articulação. O ensaio comparou um analgésico novo ao analgésico usado 
atualmente (chamado de tratamento padrão). Suponha que haja um terceiro braço do estudo e 
pacientes designados a ele receberam uma dose maior do analgésico novo. Suponha que N = 
150 pacientes concordaram em participar do ensaio e foram designados aleatoriamente a um 
dos três tratamentos. Antes de receber o tratamento designado, os pacientes foram convidados 
a classificar a dor que sentiam em uma escala de 0 a 10, com pontuações maiores sendo 
indicadoras de uma dor maior. O tratamento designado foi administrado a cada paciente que, 
após 30 minutos, foi novamente convidado a classificar a dor que sentia usando a mesma escala. 
O resultado primário foi uma redução da dor em 3 ou mais pontos na escala (definido, por 
médicos, como uma redução clinicamente significativa). Os dados apresentados na Tabela 7–
48 são observados no ensaio. 
 
 
 
Tabela 7-47 7 Porcentagens de estudantes que 
praticam exercícios por situação de moradia 
 
Dormitório 
Apartamento no 
campus 
Apartamento fora 
do campus 
Em casa 
Total 
Nenhum 
exercício 
Exercício 
esporádico 
Exercício 
regular 
Tabela 7-48 Redução da dor por tratamento 
 
Analgésico novo 
Dose maior do 
analgésico novo 
 
Analgésico padrão 
 
Total 
Redução 
significativa 
(3 ou mais pontos) 
Sem redução 
significativa 
(< 3 pontos) Total 
Aqui temos três grupos de comparação independentes e uma variável de resultado categórica 
(dicotômica). Queremos testar se existe uma diferença nas proporções dos pacientes que 
relataram uma redução significativa da dor entre os três tratamentos. Realizamos o teste usando 
a abordagem de cinco etapas. 
 
Etapa 1: Definir a hipótese e determinar o nível de significância. 
 
 H0: Tratamento e redução da dor são independentes,H1: H0 é falso, 
α = 0,05. 
 
Etapa 2: Selecionar a estatística de teste adequada. 
 
A fórmula para a estatística de teste se encontra na Tabela 7-42 e é dada como 
 
𝜒𝜒2 = Σ (Ο − Ε)2
Ε
 . 
 
A condição para o uso adequado da estatística de teste anterior é de que cada frequência 
esperada seja pelo menos cinco. Na Etapa 4, calculamos as frequências esperadas e garantimos 
que a condição seja cumprida. 
 
Etapa 3: Definir a regra de decisão. 
 
A variável de linha é o tratamento e há três arranjos considerados (r = 3). A variável de coluna é 
o resultado e duas respostas são consideradas (c = 2). Para este teste, gl = (3 - 1)(2 - 1) = 2(1) 
= 2. Para gl = 2 e um nível de significância de 5%, o valor crítico adequado da Tabela 3 do 
Apêndice é 5,99 e a regra de decisão é 
 
 Rejeitar H0 se χ2 ≥ 5,99. 
 
Etapa 4: Calcular a estatística de teste. 
 
Agora calculamos as frequências esperadas usando a fórmula, 
 Frequência de célula esperada = Total da linha x total da coluna
Ν
 
 
As frequências esperadas são apresentadas na Tabela 7–49. 
 
 
 
A estatística do teste é calculada como 
 
𝜒𝜒2 = (23 − 23,1)221,3 + (27 − 28,7)228,7 + (30 − 21,3)221,3 + (20 − 28,7)228,7 + (11 − 21,3)221,3+ (39 − 28,7)228,7 
 
𝜒𝜒2 = 0,14 + 0,10 + 3,56 + 2,64 + 4,98 + 3,70 = 15,12. 
 
Etapa 5: Conclusão. 
 
Rejeitamos H0 porque 15,12 > 5,99. Temos evidências estatisticamente significativas em α = 0,05 
para provar que H0 é falso, ou que há uma diferença nas proporções de pacientes que relataram 
uma redução significativa da dor entre os três tratamentos. Usando a Tabela 3 do Apêndice, 
podemos aproximar o valor p. Temos que olhar para valores críticos para menores níveis de 
significância para gl = 2. Usando a Tabela 3 do Apêndice, o valor p é p < 0,005. 
 
Qual é a natureza da relação entre redução significativa da dor e os três tratamentos? 
 
Tabela 7-49 Frequências esperadas 
 
Analgésico novo 
Dose maior do 
analgésico novo 
Analgésico padrão 
Total 
Redução 
significativa 
(3 ou mais pontos) 
Sem redução 
significativa 
(< 3 pontos) Total 
21,3 
21,3 
 
21,3 
64 
28,7 
28,7 
 
28,7 
86 
50 
50 
 
50 
150 
CAPÍTULO 8: Potência e determinação do tamanho da amostra 
PÁGINAS 171-172, 179-181 
 
Nos capítulos 6 e 7, apresentamos técnicas para teste de estimativa e de hipóteses, 
respectivamente. No capítulo 6, vimos que estimativas de intervalo de confiança com base em 
amostras maiores tinham margens de erro menores. No capítulo 7, vimos que testes de hipóteses 
com base em amostras maiores tinham uma probabilidade maior de detectar pequenos 
aumentos, reduções ou diferenças no parâmetro de interesse. Amostras maiores produzem 
análises mais precisas. Entretanto, existe um ponto no qual uma amostra maior não melhora 
substancialmente a precisão da análise. 
 
Estudos devem ser projetados para incluir um número suficiente de participantes para enfocar 
adequadamente a pergunta da pesquisa. Perceber, ao final de um estudo, que a amostra era 
pequena demais para responder a pergunta da pesquisa é um desperdício em termos de tempo 
do participante e do investigador, recursos para conduzir as avaliações, esforços analíticos e 
assim por diante. Também pode ser visto como antiético, já que participantes podem ter sido 
colocados em risco como parte de um estudo que foi incapaz de responder a uma pergunta 
importante. Por outro lado, estudos não devem ser grandes demais, pois, novamente, recursos 
podem ser desperdiçados e alguns participantes podem ser colocados em risco 
desnecessariamente. 
 
Um aspecto extremamente importante do delineamento de estudos é determinar o tamanho da 
amostra adequado para responder à pergunta da pesquisa. Existem fórmulas que são utilizadas 
para estimar o tamanho necessário da amostra para produzir uma estimativa de intervalo de 
confiança com uma margem de erro especificada, ou para garantir que um teste de hipótese 
tenha uma probabilidade alta de detectar uma diferença significativa no parâmetro, se ela existir. 
Em condições ideais, essas fórmulas são usadas para gerar estimativas do tamanho da amostra 
necessário para responder à pergunta do estudo antes de qualquer dado ser coletado. 
 
As fórmulas que apresentamos aqui geram os tamanhos de amostra necessários para satisfazer 
os critérios estatísticos. Em muitos estudos, o tamanho da amostra é determinado por restrições 
financeiras ou logísticas. Por exemplo, suponha que um estudo seja proposto para avaliar um 
novo teste de rastreamento para Síndrome de Down. Suponha que o teste de rastreamento seja 
baseado na análise de uma amostra de sangue retirada de mulheres no início da gravidez. Para 
avaliar as propriedades do teste de rastreamento (por exemplo, a sensibilidade e especificidade), 
cada mulher grávida terá que providenciar uma amostra de sangue e passar por uma 
amniocentese. A amniocentese é incluída como padrão áureo e o plano é comparar os resultados 
do teste de rastreamento com os resultados da amniocentese. Suponha que a coleta e o 
processamento da amostra de sangue custe US$ 250 por participante e que a amniocentese 
custe US$ 900 por participante. Somente essas restrições financeiras já podem limitar 
substancialmente o número de mulheres que podem ser inscritas. Assim como é importante 
considerar as questões estatísticas e as questões práticas ao interpretar resultados de uma 
análise estatística, também é importante pesar questões estatísticas e logísticas ao determinar 
o tamanho da amostra para uma análise. Nosso foco aqui está nas considerações estatísticas. 
Pesquisadores devem avaliar se o tamanho da amostra determinada para ser suficiente de um 
ponto de vista estatístico é realista e viável. 
 
8.2 QUESTÕES PARA A ESTIMATIVA DO TAMANHO DA AMOSTRA 
PARA TESTE DE HIPÓTESES 
 
No capítulo 7, apresentamos técnicas para teste de hipóteses para médias, proporções, 
diferenças nas médias e diferenças nas proporções. Embora cada teste envolva detalhes 
específicos ao resultado de interesse (contínuo, dicotômico, categórico ou ordinal) e ao número 
de grupos de comparação (um, dois, ou mais de dois), existem elementos comuns a cada teste. 
 
Por exemplo, em cada teste de hipótese existem dois erros que podem ser cometidos. O primeiro 
é chamado de erro do Tipo I e se refere à situação em que rejeitamos incorretamente H0 quando, 
na verdade, ela é verdadeira. Na primeira etapa de qualquer teste de hipóteses, selecionamos 
um nível de significância α e 
 
 α = P(Erro de Tipo I) = P(Rejeitar H0|H0 é verdadeira). 
 
Já que, propositadamente, selecionamos um valor pequeno para α, controlamos a probabilidade 
de cometer um erro de Tipo I. O segundo tipo de erro é chamado de erro de Tipo II e é definido 
como a probabilidade de não rejeitarmos H0 quando for falsa. A probabilidade de um erro de Tipo 
II é representada por β e 
 
 β = P(Erro de Tipo II) = P (Não rejeitar H0|H0 é falsa). 
 
No teste de hipóteses, normalmente focamos em potência, que é definida como a probabilidade 
de rejeitarmos H0 quando for falsa. 
 
 Potência = 1 − β = P (Rejeita H0|H0 é falsa). 
 
Potência é a probabilidade de um teste rejeitar corretamente uma hipótese nula falsa. Um bom 
teste tem uma probabilidade pequena de cometer um erro de Tipo I (ou seja, um α pequeno) e 
potência alta (ou seja, β pequeno, potência alta). 
 
Nas seções a seguir, apresentaremos fórmulas para determinar o tamanho da amostra 
necessário para garantir que um teste tenha potência alta. Os cálculos de tamanho da amostra 
dependem do nível de significância, α, a potência desejada para o teste (equivalente a 1 - β), a 
variabilidade do resultado e o tamanho do efeito. O tamanho do efeito é a diferença no parâmetro 
de interesse que representa uma diferença clinicamente significativa. Semelhante à margemde 
erro em aplicações de intervalo de confiança, o tamanho do efeito é determinado com base em 
critérios clínicos ou práticos e não em critérios estatísticos. O conceito de potência estatística 
pode ser difícil de compreender. Antes de apresentar as fórmulas para determinar o tamanho da 
amostra necessário para garantir potência alta em um teste, devemos discutir potência de um 
ponto de vista conceitual. 
 
Suponha que queiramos testar as seguintes hipóteses em α = 0,05: 
 
H0: μ = 90, 
H1: μ ≠ 90. 
 
Para testar as hipóteses, suponha que selecionemos um tamanho de amostra n = 100. Para este 
exemplo, presuma que o desvio padrão do resultado seja σ = 20. Calculamos a média da amostra 
e então decidimos se a ela fornece evidências para confirmar a hipótese de pesquisa ou não. 
Isso é feito calculando uma estatística do teste e a comparando a um valor crítico adequado. 
 
Se a hipótese nula realmente for verdadeira (µ = 90), estamos propensos a selecionar uma 
amostra cuja média seja próxima em valor de 90. No entanto, também é possível selecionar uma 
amostra cuja média seja muito maior ou muito menor que 90. Lembre-se do Teorema central do 
limite (consulte o capítulo 5) em que, para grandes n (aqui, n = 100 é suficientemente grande), a 
distribuição das médias da amostra é aproximadamente normal com uma média de 𝜇𝜇�̅�𝑥 − 𝜇𝜇 − 90 
e um desvio padrão de σx� = 𝜎𝜎 √𝑛𝑛� = 20 √100� = 2,0. Se a hipótese nula for verdadeira, é possível 
observar qualquer média de amostra exibida na Figura 8–1, já que todas são possíveis sob 
H0: µ = 90. 
 
 
 
Quando determinamos a regra de decisão para nosso teste de hipóteses, determinamos valores 
críticos com base em α = 0,05 e um teste bilateral. Quando fazemos testes de hipóteses, 
normalmente padronizamos os dados (por exemplo, convertendo para z ou t) e os valores críticos 
são valores adequados da distribuição de probabilidade usada no teste. Para facilitar a 
interpretação, continuamos essa discussão com X� em vez de z. Os valores críticos de X� para um 
teste bilateral com α = 0,05 são 86,08 e 93,92 (esses valores correspondem a -1,96 e 1,96, 
respectivamente, na escala z), então a regra de decisão é 
 
Rejeitar H0 se X� ≤ 86,08 ou se X� ≥ 93,92. 
 
A região de rejeição é exibida nas caudas da Figura 8–2. As áreas nas duas caudas da curva 
representam a probabilidade de um erro de Tipo I, α = 0,05. Esse conceito foi discutido com 
detalhe no capítulo 7. 
Figura 8-1 Distribuição de X� sob H0: 𝜇𝜇 = 90 
 
 
 
Agora suponha que a hipótese alternativa, H1, seja verdadeira (µ ≠ 90) e que a média verdadeira 
seja, na verdade, 94. A Figura 8–3 mostra as distribuições da média da amostra sob as hipóteses 
nula e alternativa. Os valores da média da amostra são exibidos ao longo do eixo horizontal. 
 
 
 
Figura 8-2 Região de rejeição para o teste H0: 𝜇𝜇 = 90 contra e H1: 𝜇𝜇 ≠ 90 em ∝ = 0,05 
 
Figura 8-3 Distribuição de 𝑋𝑋� sob H0: 𝜇𝜇 = 90 e sob H1: 𝜇𝜇 = 94 
 
Potência 
 
Não rejeitar H0 Rejeitar H0 
Se a média real for 94, a hipótese alternativa é verdadeira. Em nosso teste, selecionamos α = 
0,05 e rejeitamos H0 se a média da amostra observada for maior que 93,92 (focando na parte 
superior da cauda da região de rejeição, por enquanto). O valor crítico (93,92) é indicado pela 
linha vertical. A probabilidade de um erro de Tipo II é representada por β e 
 
 β = P (Não rejeitar H0 | H0 é falsa). 
 
β é exibido na Figura 8–3 como a área sob a curva mais à direita (H1), à esquerda da linha vertical 
(onde não rejeitamos H0). Potência é definida como 
 
 1 − β = P (Rejeitar H0 | H0 é falsa) 
 
e é exibida na Figura 8–3 como a área sob a curva mais à direita (H1), à direita da linha vertical 
(onde rejeitamos H0). 
 
Como observamos anteriormente, β e potência estavam relacionados com α, com a variabilidade 
do resultado e com o tamanho do efeito. Pela figura 8–3, podemos ver o que acontece com β e 
com a potência, se aumentarmos α. Por exemplo, se aumentarmos α para 0,10. O valor crítico 
superior seria 92,56, em vez de 93,92. A linha vertical mudaria para a esquerda, aumentando α, 
diminuindo β e aumentando a potência. Embora um teste melhor seja um com potência maior, 
não é aconselhável aumentar α como uma maneira de aumentar a potência. No entanto, existe 
uma relação direta entre α e potência (quando α aumenta, a potência também aumenta). 
 
β e potência também estão relacionados à variabilidade do resultado e ao tamanho do efeito. O 
tamanho do efeito é a diferença no parâmetro de interesse (por exemplo, µ) que representa uma 
diferença clinicamente significativa. A Figura 8–3 apresenta graficamente α, β, e potência quando 
a diferença na média sob a hipótese nula, comparada à hipótese alternativa, é de 4 unidades (ou 
seja, 90 em vez de 94). A Figura 8–4 apresenta os mesmos componentes para a situação onde 
a média sob a hipótese alternativa é 98. 
 
 
Figura 8-4 Distribuição de 𝑋𝑋� sob H0: 𝜇𝜇 = 90 e sob H1: 𝜇𝜇 = 98 
 
Potência 
Não rejeitar H0 Rejeitar H0 
Observe que existe uma potência muito maior quando há uma maior diferença entre a média sob 
H0 quando comparada com H1 (ou seja, 90 contra 98). Um teste estatístico tem uma probabilidade 
bem maior de rejeitar a hipótese nula a favor da alternativa se a média verdadeira for 98 do que 
se a média verdadeira for 94. Observe na Figura 8–4 que existe uma pequena sobreposição nas 
distribuições sob as hipóteses nula e alternativa. Se uma média da amostra de 97 ou maior for 
observada, é bem improvável que ela tenha vindo de uma distribuição cuja média fosse 90. Na 
Figura 8–3, se observarmos uma média da amostra de 93, não seria tão claro se ela veio de uma 
distribuição cuja média é 90 ou de uma cuja média é 94. 
 
Nas seções a seguir, forneceremos fórmulas para determinar o tamanho da amostra necessário 
para garantir que um teste tenha potência alta. Ao projetar estudos, a maioria das pessoas 
considera a potência de 80 ou 90% (assim como, em geral, utilizamos 95% como o nível de 
confiança para estimativas de intervalo de confiança). As entradas para as fórmulas de tamanho 
da amostra incluem a potência desejada, o nível de significância e o tamanho do efeito. O 
tamanho do efeito é selecionado para representar uma diferença clinicamente significativa ou 
virtualmente importante no parâmetro de interesse. Isso será ilustrado nos exemplos a seguir. 
 
As fórmulas que apresentamos produzem o tamanho mínimo da amostra para garantir que o 
teste de hipóteses tenha uma probabilidade especificada de rejeitar a hipótese nula quando ela 
for falsa (ou seja, uma potência especificada). Ao planejar estudos, os pesquisadores devem, 
novamente, explicar atritos ou perdas para dar seguimento. As fórmulas apresentadas produzem 
o número mínimo de participantes necessários com dados completos. Nos exemplos, também 
ilustramos como o atrito é abordado no planejamento de estudos. 
 
 
CAPÍTULO 9: Métodos multivariáveis 
PÁGINAS 201-211 
 
9.2 MÉTODO COCHRAN–MANTEL–HAENSZEL 
Nos exemplos 9.1 e 9.2, ilustramos os conceitos de confusão e modificação de efeito, 
respectivamente. A confusão ocorre quando uma terceira variável, o confundidor, afeta a relação 
entre o fator de risco ou exposição e o resultado. No exemplo 9.1, a idade foi o confundidor. A 
idade foi relacionada à obesidade e à DCV (doença cardiovascular) incidental. Em outras 
palavras, havia um desequilíbrio na distribuição da idade entre pessoas obesas e não obesas. A 
associação entre a obesidade e a DCV incidental era similar entre pessoas mais novas e mais 
velhas (na análise estratificada). Quando os dados foram reunidos (todas as idades juntas), o 
efeito da obesidade foi ampliado. No exemplo 9.2, descobrimos que o sexo era um modificador 
de efeito. Expressada de outra maneira, havia uma interação estatística entre sexo e tratamentona média dos níveis de HDL (o resultado primário). O efeito do tratamento era diferente em 
homens e mulheres. 
 
O método Cochran–Mantel–Haenszel é uma técnica que gera uma estimativa de uma 
associação entre um fator de risco ou exposição e um resultado explicando a confusão. O método 
é usado com uma variável de resultado dicotômica e um fator de risco dicotômico e, 
essencialmente, calcula uma média ponderada dos riscos relativos (ou razões de chances, 
qualquer uma das medidas usadas para quantificar associação) através do estrato (ou grupos) 
definido pela variável de confusão. Para implementar o método Cochran–Mantel–Haenszel, o 
confundidor deve ser categorizado para que uma série de tabelas 2 x 2 possam ser geradas 
mostrando a associação entre fator de risco e resultado em cada estrato. 
 
No exemplo 9.1, descobrimos que a associação entre obesidade e DCV incidental era muito mais 
forte na amostra agrupada (todas as idades juntas) do que em cada grupo de faixa etária. A 
estimativa baseada na amostra agrupada é, às vezes, chamada de estimativa não ajustada ou 
bruta. Geramos uma estimativa bruta do risco relativo de 1,78. A razão de possibilidades bruta 
ou não ajustada é de 1,93. Agora, queremos estimar a associação entre obesidade e DCV 
incidental que explica a confusão por idade. 
 
A Tabela 9–10 é uma tabela 2 x 2 que resume a associação entre um fator de risco dicotômico 
e um resultado dicotômico. Nos capítulos anteriores, estimamos o risco relativo e as razões de 
chances como 
 R^R = 𝑃𝑃�1
𝑃𝑃�2
 e O^𝑅𝑅 = 𝑃𝑃�1/�1 − 𝑃𝑃�1�
𝑃𝑃�2/�1 − 𝑃𝑃�2� 
 
 
 
 
 
Usando a notação da tabela 9–10, o risco relativo e a razão de possibilidades são equivalentes 
a 
 R^R = 𝑎𝑎/(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)
𝑐𝑐/(𝑐𝑐 + 𝑑𝑑) e O^𝑅𝑅 = 𝑎𝑎/𝑏𝑏𝑐𝑐/𝑑𝑑 = 𝑎𝑎𝑑𝑑𝑏𝑏𝑐𝑐 
 
Quando há uma variável de confusão, estabelecemos uma série de tabelas 2 x 2, uma para cada 
estrato (categoria) da variável de confusão. Por exemplo, no exemplo 9.1, consideramos duas 
faixas etárias e, deste modo, estabelecemos duas tabelas mostrando a associação entre 
obesidade e DCV incidental em cada um dos dois estratos de idade. 
 
Tabela 9-10 Layout de dados para estimativas 
Cochran–Mantel–Haenszel 
Resultado 
presente 
Resultado 
ausente Total 
Fator de risco 
presente 
(exposto) 
Fator de risco 
ausente (não 
exposto) 
 
Total 
As estimativas Cochran–Mantel–Haenszel do risco relativo e razão de possibilidades ajustadas 
para confusão são 
 
 R^RCMH = Σ𝑎𝑎𝑖𝑖(𝑐𝑐𝑖𝑖 + 𝑑𝑑𝑖𝑖)/𝑛𝑛𝑖𝑖Σ𝑐𝑐𝑖𝑖(𝑎𝑎𝑖𝑖 + 𝑏𝑏𝑖𝑖)𝑛𝑛𝑖𝑖 e O^RCMH = Σ𝑎𝑎𝑖𝑖𝑑𝑑𝑖𝑖/𝑛𝑛𝑖𝑖Σ𝑏𝑏𝑖𝑖𝑐𝑐𝑖𝑖/𝑛𝑛𝑖𝑖 
 
onde ai, bi, ci, e di são os números de participantes nas células da tabela 2 x 2 no estrato i da 
variável de confusão (veja a tabela 9–10). ni representa o número de participantes no estrato i. 
Ilustramos o uso do método Cochran–Mantel–Haenszel no exemplo 9.3. 
 
Exemplo 9.3. Considere, novamente, os dados do Exemplo 9.1. Usamos esses dados para 
estimar o risco relativo e razão de possibilidades descrevendo a associação entre obesidade e 
DCV incidental, ajustando para a idade. Consideramos, novamente, duas faixas etárias ou 
estratos: pessoas com menos de 50 anos de idade e pessoas com 50 anos ou mais. Os dados 
são apresentados na tabela 9-11 para cada estrato de idade. 
 
 
 
O método Cochran–Mantel–Haenszel produz uma única medida resumida de associação que 
explica o fato de haver uma associação diferente em cada estrato de idade. O risco relativo 
ajustado e a razão de possibilidades ajustada são 
 
 R^RCMH = Σ𝑎𝑎𝑖𝑖(𝑐𝑐𝑖𝑖 + 𝑑𝑑𝑖𝑖)/𝑛𝑛𝑖𝑖Σ𝑐𝑐𝑖𝑖(𝑎𝑎𝑖𝑖 + 𝑏𝑏𝑖𝑖)𝑛𝑛𝑖𝑖 = 10 (35 + 465)/600 + 36 (25 + 175)/40035 (10 + 90)/600 + 25(36 + 164)/400 = 1,44 
 
 O^RCMH = Σ𝑎𝑎𝑖𝑖𝑑𝑑𝑖𝑖/𝑛𝑛𝑖𝑖Σ𝑏𝑏𝑖𝑖𝑐𝑐𝑖𝑖/𝑛𝑛𝑖𝑖 = 10(465)/600 + 36 (175)/40090 (35)/600 + 164(25)/400 = 1,52 
Tabela 9-11 Obesidade e DCV incidental por faixa 
etária 
Idade < 50 
DCV 
incidental 
Sem 
DCV Total 
Obeso 
Não obeso 
Total 
Obeso 
Não obeso 
Total 
Idade 50+ 
DCV 
incidental 
Sem 
DCV Total 
A tabela 9–12 resume os riscos relativos e razões de chances que calculamos até agora para 
resumir a associação entre obesidade e DCV incidental. 
 
 
 
Observe que o risco relativo e a razão de possibilidades ajustados, 1,44 e 1,52, não são iguais 
ao risco relativo ou bruto e à razão de possibilidades não ajustados, 1,78 e 1,93. O ajuste para 
idade produz estimativas do risco relativo e razão de possibilidades muito mais próximas às 
estimativas específicas ao estrato (as estimativas ajustadas são médias ponderadas das 
estimativas específicas ao estrato). 
 
9.3 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 
 
A análise de regressão é uma técnica usada para avaliar a relação entre uma variável de 
resultado e um ou mais fatores de risco ou variáveis de confusão. A variável de resultado também 
é chamada de variável de resposta ou variável dependente e os fatores de risco e confundidores 
são chamados de variáveis prognosticadoras, explicativas ou independentes. Existe um 
aspecto potencialmente confuso nesta nomenclatura. O termo "prognosticador" pode ser 
interpretado como a habilidade de prever, além dos limites dos dados. O termo "explicativo" pode 
dar uma impressão de um efeito (quando inferências devem ser limitadas a associações). Os 
termos "variável independente" e "variável dependente" estão menos sujeitos a essas 
interpretações, já que eles não implicam fortemente causa e efeito. Em análise de regressão, a 
variável dependente é designada y e a variável independente é designada x. 
 
Antes de discutirmos análise de regressão, primeiro descreveremos uma técnica relacionada, 
chamada de análise de correlação. A análise de correlação é usada para quantificar a 
associação entre duas variáveis contínuas (por exemplo, entre uma variável independente e uma 
variável dependente ou entre duas variáveis independentes). Em análise de correlação, 
estimamos um coeficiente de correlação amostral, mais especificamente, o coeficiente de 
correlação produto-momento de Pearson. O coeficiente de correlação amostral, designado r, 
varia entre -1 e +1 e quantifica a direção e a força da associação linear entre duas variáveis. A 
correlação entre duas variáveis pode ser positiva (ou seja, níveis mais altos de uma variável são 
associados com níveis mais altos da outra) ou negativa (ou seja, níveis mais altos de uma 
variável são associados com níveis mais baixos da outra). O sinal do coeficiente de correlação 
indica a direção da associação. A dimensão do coeficiente de correlação indica a força da 
associação. Por exemplo, uma correlação de r = 0,9 sugere uma associação forte e positiva entre 
duas variáveis, enquanto uma correlação de r = -0,2 sugere uma associação fraca e negativa. 
Uma correlação quase nula sugere nenhuma associação linear entre duas variáveis contínuas. 
Tabela 9-12 Estimativas de associação entre 
obesidade e DCV incidental 
Risco 
relativo 
Razão de 
possibilidades 
 
Bruta, não ajustada 
Idade < 50 
Idade 50+ 
Ajustada para idade 
1,78 
1,43 
1,44 
1,44 
1,93 
1,48 
1,52 
1,52 
É importante observar que pode haver uma associação não linear entre duas variáveis contínuas. 
O coeficiente de correlação não detecta isso. Portanto, é sempre importante avaliar os dados 
com cuidado além de calcular estatísticas resumidas, como o coeficiente de correlação. 
Exibições gráficas são particularmente úteis para explorar associações entre variáveis. Por 
exemplo, a figura 9–5 mostra quatro cenários diferentes e, em cada cenário, uma variável 
contínua é representada ao longo do eixo x e a outra ao longo do eixo y. O cenário 1 sugere uma 
associação forte e positiva entre duas variáveis (por exemplo, r = 0,9); o cenário 2 sugere umaassociação fraca e positiva entre duas variáveis (por exemplo, r = 0,2); o cenário 3 não sugere 
nenhuma associação (ou nenhuma correlação) entre duas variáveis (por exemplo, r = 0); e o 
cenário 4 sugere uma associação forte e negativa entre duas variáveis (por exemplo, r = -0,9). 
 
 
 
O cenário 1 na figura 9–5 pode retratar a associação forte e positiva geralmente observada entre 
o peso e o comprimento de um bebê ao nascer, ou entre a pressão arterial sistólica e a diastólica. 
O cenário 2 pode retratar a associação mais fraca observada entre idade e índice de massa 
corporal (que tende a aumentar com a idade). O cenário 3 pode retratar a falta de associação 
entre o grau de exposição à mídia na adolescência e a idade em que adolescentes iniciam 
atividades sexuais. O cenário 4 pode retratar a associação forte e negativa geralmente observada 
entre os números de horas de exercícios aeróbicos por semana e a porcentagem de gordura 
corporal. No exemplo 9.4, ilustramos o cálculo do coeficiente de correlação amostral. 
 
Exemplo 9.4. Um pequeno estudo é conduzido envolvendo 17 bebês para investigar a 
associação entre idade gestacional no nascimento, medida em semanas, e o peso do bebê ao 
nascer, medido em gramas. Os dados são exibidos na Tabela 9-13. 
 
Figura 9-5 Correlações diferentes entre variáveis 
 
1. Forte, positiva 2. Fraca, positiva 
3. Sem correlação 4. Forte, negativa 
 
 
Desejamos estimar a associação entre idade gestacional e peso ao nascer. Neste exemplo, o 
peso ao nascer é a variável dependente e a idade gestacional é a variável independente. Deste 
modo, y = peso ao nascer e x = idade gestacional. Os dados são exibidos em um diagrama de 
dispersão na figura 9–6. Cada ponto representa um par (x, y). Neste caso, a idade gestacional, 
medida em semanas, e o peso ao nascer, medido em gramas. Diagramas de dispersão exibem 
a variável independente no eixo horizontal (ou eixo x) e a variável dependente no eixo vertical 
(ou eixo y). 
 
Tabela 9-13 Idade gestacional e peso ao nascer 
Idade gestacional 
(semanas) 
Peso as nascer 
(gramas) 
 
34,7 
36,0 
29,3 
40,1 
35,7 
42,4 
40,3 
37,3 
40,9 
38,3 
38,5 
41,4 
39,7 
39,7 
41,1 
38,0 
38,7 
1895 
2930 
1440 
2835 
3090 
3827 
3260 
2690 
3285 
2920 
3430 
3657 
3685 
3345 
3260 
2680 
2005 
Número de 
identificação do bebê 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
17 
 
 
A figura 9–6 mostra uma associação positiva ou direta entre idade gestacional e peso ao nascer. 
Bebês com idades gestacionais menores têm maior probabilidade de nascerem com pesos 
menores e bebês com idades gestacionais maiores têm maior probabilidade de nascerem com 
pesos maiores. Agora, estimamos a correlação entre idade gestacional e peso ao nascer usando 
os dados da amostra. 
 
A fórmula para o coeficiente de correlação amostral é 𝑟𝑟 = cov(𝑥𝑥,𝑦𝑦)
�𝑠𝑠𝑥𝑥
2𝑠𝑠𝑦𝑦
2
, onde cov(x, y) é a 
covariância de x e y, definida como cov (x, y) = Σ(X−X�)(Y−Y�)
𝑛𝑛−1
 , e s2x e s2y são as variâncias da 
amostra de x e y, definida como s𝑥𝑥2 = Σ(X−X�)2n−1 , s𝑦𝑦2 = Σ(Y−Y�)2n−1 (consulte o capítulo 4). As 
variâncias de x e y medem a variabilidade de pontuações x e pontuações y em volta de suas 
respectivas médias de amostra X� e Y�, consideradas separadamente. A covariância mede a 
variabilidade dos pares (x, y) em volta da média de x e da média de y, consideradas 
simultaneamente. Para calcular o coeficiente de correlação amostral, precisamos calcular a 
variância da idade gestacional, a variância do peso ao nascer e também a covariância da idade 
gestacional e do peso ao nascer. Primeiro, resumimos os dados da idade gestacional. A idade 
gestacional média é 
Figura 9-6 Diagrama de dispersão da idade gestacional e do peso ao nascer 
Pe
so
 a
o 
na
sc
er
 (g
ra
m
as
) 
 
Idade gestacional (semanas) 
 
 25,0 27,0 29,0 31,0 33,0 35,0 37,0 39,0 41,0 43,0 45,0 
 
X � = Σx
𝑛𝑛
= 652,117 = 38,4 weeks 
 
Para calcular a variância da idade gestacional, precisamos somar os desvios quadráticos (ou 
diferenças) entre cada idade gestacional observada e a idade gestacional média. Os cálculos 
estão resumidos na tabela 9–14. A variância da idade gestacional é 
 s𝑥𝑥2 = Σ(X − X�)2n − 1 = 159,4516 = 10,0. 
 
 
 
Em seguida, resumimos os dados do peso ao nascer. O peso médio ao nascer é 
 Y� = ΣY
𝑛𝑛
= 4933417 = 2902 gramas. 
 
Para calcular a variância do peso ao nascer, precisamos somar os desvios quadráticos entre 
cada peso ao nascer observado e o peso médio ao nascer. Os cálculos estão resumidos na 
tabela 9-15. A variância do peso ao nascer é 
 
𝑠𝑠𝑦𝑦
2 = Σ(Y − Y�)2
𝑛𝑛 − 1 = 776766016 = 485478,8 
 
Tabela 9-14 Variância da idade gestacional 
Idade gestacional (semanas) (𝐗𝐗 − 𝐗𝐗�) 
34,7 
36,0 
29,3 
40,1 
35,7 
42,4 
40,3 
37,3 
40,9 
38,3 
38,5 
41,4 
39,7 
39,7 
41,1 
38,0 
38,7 
ΣX = 652,1 
Número de identificação do bebê 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
17 
(𝐗𝐗 − 𝐗𝐗�)𝟐𝟐 
13,69 
5,76 
82,81 
2,89 
7,29 
16,00 
3,61 
1,21 
6,25 
0,01 
0,01 
9,00 
1,69 
1,69 
7,29 
0,16 
0,09 
Σ(X − X�)2 = 159,45 
-3,7 
-2,4 
-9,1 
1,7 
-2,7 
4,0 
1,9 
-1,1 
2,5 
-0,1 
0,1 
3,0 
1,3 
1,3 
2,7 
-0,4 
0,3 
Σ(X − X�) = 0 
 
 
Em seguida, calculamos a covariância cov (x, y) = Σ(X−X�)(Y−Y�)
𝑛𝑛−1
 . Para calcular a 
covariância da idade gestacional e do peso ao nascer, precisamos multiplicar o desvio da idade 
gestacional média pelo desvio do peso ao nascer médio (ou seja, (X − X�)(Y − Y�)) para cada 
participante. Os cálculos estão resumidos na tabela 9-16. Observe que nós simplesmente 
copiamos os desvios da idade gestacional média e do peso médio ao nascer nas duas tabelas 
anteriores, em colunas da tabela a seguir e multiplicamos valores correspondentes. A 
covariância da idade gestacional e do peso ao nascer é cov (x, y) = Σ(X−X�)(Y−Y�)
𝑛𝑛−1
= 28768,4
16
= 1798,0. 
 
Tabela 9-15 Variância do peso ao nascer 
Peso ao nascer (gramas) (𝐘𝐘 − 𝐘𝐘�) 
1895 
2030 
1440 
2835 
3090 
3827 
3260 
2690 
3285 
2920 
3430 
3657 
3685 
3345 
3260 
2680 
2005 
ΣY = 49334 
Número de identificação do bebê 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
17 
(𝐘𝐘 − 𝐘𝐘�)𝟐𝟐 
1014049 
760384 
2137444 
4489 
35344 
855625 
128164 
44944 
146689 
324 
278784 
570025 
613089 
196249 
128164 
49284 
804609 
Σ(Y − Y�)2 = 7767660 
-1007 
-872 
-1462 
-67 
188 
925 
358 
-212 
383 
18 
528 
755 
783 
443 
358 
-222 
-897 
Σ(Y − Y�) = 0 
 
 
Agora, calculamos o coeficiente de correlação amostral. 
 
𝑟𝑟 = cov(𝑥𝑥,𝑦𝑦)
�𝑠𝑠𝑥𝑥2𝑠𝑠𝑦𝑦2
= 1798,0
�10,0 × 485478,8 = 1798,02203,4 = 0,82. 
 
O coeficiente de correlação amostral é positivo, como esperado, e forte (ou seja, próximo de 1). 
Novamente, a amplitude do coeficiente de correlação amostral, r, está entre -1 e +1. Na prática, 
correlações significativas (ou seja, correlações que são clinicamente ou virtualmente 
importantes) podem ser tão pequenas quanto 0,4 (ou -0,4) para associações positivas (ou 
negativas). Existem testes estatísticos para determinar se uma correlação observada é 
estatisticamente significativa ou não (ou seja, estatística e significativamente diferente de zero). 
Procedimentos para testar se uma correlação de amostra observada sugere uma correlação 
estatisticamente significativa são descritos em detalhe em Kleinbaum, Kupper e Muller. 
 
A análise de regressão é uma técnica bem geral e amplamente aplicada. Focamos, novamente, 
na estrutura conceitual geral e, de certa forma especificamente,na aplicação da análise de 
regressão para avaliar e explicar a confusão e também para avaliar a modificação de efeito. Os 
leitores interessados devem consultar Kleinbaum, Kupper e Muller para obter mais detalhes 
sobre a análise de regressão e suas muitas aplicações.1 
 
Primeiro, apresentamos um cenário simples para estabelecer a notação e os princípios gerais e, 
em seguida, revisitamos os exemplos anteriores. Suponha que queiramos avaliar a associação 
entre colesterol total e índice de massa corporal (IMC). Nesta aplicação, o colesterol total é a 
variável dependente e o IMC é a variável independente. Podemos expandir esta análise e 
considerar outros prognosticadores potenciais ou variáveis independentes associadas com o 
Tabela 9-16 Covariância da idade gestacional e do peso ao nascer (𝐘𝐘 − 𝐘𝐘�) Número de identificação do bebê 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
17 
-1007 
-872 
-1462 
-67 
188 
925 
358 
-212 
383 
18 
528 
755 
783 
443 
358 
-222 
-897 
(𝐗𝐗 − 𝐗𝐗�) 
-3,7 
-2,4 
-9,1 
1,7 
-2,7 
4,0 
1,9 
-1,1 
2,5 
-0,1 
0,1 
3,0 
1,3 
1,3 
2,7 
-0,4 
0,3 
(𝐗𝐗 − 𝐗𝐗�)(𝐘𝐘 − 𝐘𝐘�) 
3725,9 
2092,8 
13304,2 
-113,9 
-507,6 
3700,0 
680,2 
233,2 
957,5 
-1,8 
52,8 
2265,0 
1017,9 
575,9 
966,6 
88,8 
-269,1 
Σ(X − X�)(Y − Y�) = 28768,4 
colesterol total, como idade, sexo e tabagismo. Quando existem mais variáveis independentes, 
elas são designadas x1, x2, …, xp. Considerando apenas o IMC, y = colesterol total e x = IMC. 
 
Quando existe uma única variável dependente e uma única variável independente, a análise é 
chamada de análise de regressão linear simples. Esta análise presume que existe uma 
associação linear entre as duas variáveis. (Se existir a hipótese de uma relação diferente, como 
uma relação curvilínea ou exponencial, análises de regressão alternativas são realizadas.) A 
figura 9–7 exibe dados sobre o IMC e o colesterol total medidos em uma amostra de n = 20 
participantes. O IMC médio é de 27,4 kg/m2 com um desvio padrão de 3,7 (ou seja, sx = 3,7). O 
nível médio de colesterol total é de 205,9 mg/dl com um desvio padrão de 30,8 (ou seja, sy = 
30,8). 
 
 
 
A figura 9–7 mostra uma associação positiva ou direta entre o IMC e o colesterol total. 
Participantes com IMC mais baixos têm uma probabilidade maior de terem níveis de colesterol 
total mais baixos; participantes com IMC mais altos têm uma probabilidade maior de terem níveis 
de colesterol total mais altos. A correlação entre IMC e colesterol total é r = 0,78. Em contraste, 
suponha que examinemos a associação entre IMC e colesterol HDL. A figura 9–8 é um diagrama 
de dispersão do IMC e colesterol HDL medidos em uma amostra de n = 20 participantes. A 
correlação entre IMC e colesterol HDL é r = -0,72. O nível médio de colesterol HDL é de 47,4 
mg/dl com um desvio padrão de 12,1 (ou seja, sy = 12,1). 
Figura 9-7 Diagrama de dispersão do IMC e do colesterol total 
 
Y 
= 
C
ol
es
te
ro
l t
ot
al
 
 
X = IMC 
 
 
 
A figura 9–8 mostra uma associação negativa ou inversa entre o IMC e o colesterol HDL. 
Participantes com IMC mais baixos têm uma probabilidade maior de terem níveis de colesterol 
HDL mais altos; participantes com IMC mais altos têm uma probabilidade maior de terem níveis 
de colesterol HDL mais baixos. 
 
Na análise de regressão linear simples, estimamos a equação da linha que melhor descreve a 
associação entre a variável independente e a variável dependente. A equação de regressão 
linear simples é 
 
𝑦𝑦� = 𝑏𝑏0 + 𝑏𝑏0𝑥𝑥, 
 
onde 𝑦𝑦� é o valor previsto ou esperado do resultado, x é a variável independente ou o 
prognosticador, b0 é o ponto estimado de intersecção com o eixo y e b1 é o declive estimado. O 
ponto de intersecção com o eixo y e o declive são estimados a partir dos dados da amostra e 
minimizam a soma das diferenças quadráticas entre os valores observados (y) e previstos (𝑦𝑦�) do 
resultado — ou seja, as estimativas minimizam Σ(𝑦𝑦� − 𝑦𝑦)2. Essas diferenças são chamadas de 
residuais. As estimativas do ponto de intersecção com o eixo y e o declive minimizam a soma 
dos resíduos quadráticos e são chamadas de estimativas dos mínimos quadráticos. O ponto de 
intersecção com o eixo y é o valor da variável dependente (y) quando a variável independente 
Figura 9-8 Diagrama de dispersão do IMC e do colesterol HDL 
 
Y 
= 
C
ol
es
te
ro
l H
D
L 
 
X = IMC 
 
(x) é zero. O declive é a mudança esperada na variável dependente (y) relativa a uma mudança 
de uma unidade na variável independente (x). 
 
As estimativas dos mínimos quadráticos do ponto de intersecção com o eixo y e do declive são 
calculadas da seguinte forma: 
 
𝑏𝑏1 = 𝑟𝑟 𝑠𝑠𝑦𝑦𝑠𝑠𝑥𝑥 e 𝑏𝑏0 = Y� − 𝑏𝑏1X�, 
 
onde r é o coeficiente de correlação amostral, X� e Y� são as médias; sx e sy são os desvios padrão 
da variável independente x e da variável dependente y, respectivamente. 
 
As estimativas dos mínimos quadráticos dos coeficientes de regressão, b0 e b1, descrevendo a 
relação entre o IMC e o colesterol total são b0 = 28,07 e b1 = 6,49. Isso é calculado da seguinte 
forma: 
 
𝑏𝑏1 = 𝑟𝑟 𝑠𝑠𝑦𝑦𝑠𝑠𝑥𝑥 = 0,78 30,83,7 = 6,49 e 
 
𝑏𝑏0 = Y� − 𝑏𝑏1X� = 205,9 − 6,49(27,4) = 28,07. 
 
A estimativa do ponto de intersecção com o eixo y (b0 = 28,07) representa o nível de colesterol 
total estimado quando o IMC for zero. Já que um IMC = 0 é irrelevante, o ponto de intersecção 
com o eixo y não é informativo. A estimativa do declive (b1 = 6,49) representa a mudança no 
colesterol total relativo à mudança de uma unidade no IMC. Por exemplo, se compararmos dois 
participantes cujos IMC variam em apenas uma unidade, esperaríamos que o nível de colesterol 
total deles tenha uma diferença de aproximadamente 6,49 mg/dl (em que a pessoa com o IMC 
mais alto tenha colesterol total mais alto). A equação da linha de regressão é 
 
𝑦𝑦� = 28,07 + 6,49 IMC. 
 
A equação de regressão pode ser usada para estimar o colesterol total de um participante como 
função do IMC dele. Por exemplo, suponha que um participante tenha um IMC de 25. 
Estimaríamos que seu colesterol total seja 28,07 + 6,49(25) = 190,32 mg/dL. A equação também 
pode ser usada para estimar o colesterol total para outros valores de IMC. No entanto, a equação 
só deve ser usada para estimar níveis de colesterol para pessoas que tenham o IMC na faixa 
dos dados usados para gerar a equação de regressão. Em nossa amostra, o IMC varia entre 20 
e 32; portanto, a equação só deve se usada para gerar estimativas do colesterol total para 
pessoas com IMC nesta faixa. 
 
Existem testes estatísticos que podem ser realizados para avaliar se os coeficientes de regressão 
estimados (b0 e b1) fornecem evidências de que os respectivos coeficientes na população sejam 
estatística e significativamente diferentes de zero. O teste de maior interesse normalmente é H0: 
β1 = 0 contra H1: β1 ≠ 0, onde β1 é o declive populacional. Se o declive populacional for 
significativamente diferente de zero, concluímos que existe uma associação estatisticamente 
significativa entre as variáveis independente e dependente. O teste de significância para o declive 
é equivalente ao teste de significância para a correlação. Esses testes são conduzidos na maioria 
dos pacotes de computação estatística (omitimos os detalhes aqui). A figura 9–9 mostra a linha 
de regressão sobreposta estimada no diagrama de dispersão do IMC e do colesterol total. 
 
 
 
As estimativas dos mínimos quadráticos dos coeficientes de regressão, b0 e b1, descrevendo a 
relação entre o IMC e o colesterol HDL são b0 = 111,79 e b1 = -2,35. Isso é calculado da seguinte 
forma: 
 
𝑏𝑏1 = 𝑟𝑟 𝑠𝑠𝑦𝑦𝑠𝑠𝑥𝑥 = −0,72 12,13,7 = 2,35 e 
 
𝑏𝑏0 = Y� − 𝑏𝑏1X� = 47,4 − (−2,35)(27,4)= 111,79. 
 
Novamente, o ponto de intersecção com o eixo y não é informativo porque um IMC = 0 é 
irrelevante. A estimativa do declive (b1 = 22,35) representa a mudança esperada no colesterol 
HDL relativa à mudança de uma unidade no IMC. Se compararmos dois participantes cujos IMC 
variam em apenas uma unidade, esperaríamos que o nível de colesterol HDL deles tivesse uma 
diferença de aproximadamente 2,35 mg/dl (em que a pessoa com o IMC mais alto tivesse o 
colesterol HDL mais baixo). A figura 9–10 mostra a linha de regressão sobreposta no diagrama 
de dispersão do IMC e do colesterol HDL. 
 
Figura 9-9 Regressão linear simples relacionando o colesterol total ao IMC 
 
Y 
= 
C
ol
es
te
ro
l t
ot
al
 
 
X = IMC 
 
 
 
Em análise de regressão linear, a variável dependente é contínua. Existe uma suposição de que 
a distribuição da variável dependente (y) em cada valor da variável independente (x) seja 
aproximadamente distribuído normalmente. A variável independente pode ser uma variável 
contínua (por exemplo, o IMC) ou uma variável dicotômica (também chamada de variável 
indicadora). Variáveis dicotômicas (ou indicadoras) são normalmente codificadas como 0 ou 1, 
onde o 0 é atribuído a participantes que não apresentam um fator de risco, exposição ou 
característica particular e 1 é atribuído a participantes que apresentam o fator de risco, exposição 
ou característica particular. 
 
No exemplo 9.2, consideramos os dados de um ensaio clínico projetado para avaliar a eficácia 
de um novo medicamento para aumentar o colesterol HDL. 100 pacientes se inscreveram no 
estudo e foram designados aleatoriamente para receber um medicamento novo ou um placebo. 
Estatísticas resumidas sobre o resultado primário, colesterol HDL, foram exibidas na tabela 9–7. 
Comparamos os níveis médios de HDL entre grupos de tratamento usando um teste t de duas 
amostras independentes. A análise de regressão também pode ser usada para comparar os 
níveis médios de HDL entre tratamentos. O colesterol HDL é a variável dependente contínua e o 
tratamento (novo medicamento contra placebo) é a variável independente. Uma equação de 
regressão linear simples é estimada como 
 
𝑦𝑦� = 39,21 + 0,95𝑥𝑥, 
Figura 9-10 Regressão linear simples relacionando o colesterol HDL ao IMC 
 
Y 
= 
C
ol
es
te
ro
l H
D
L 
 
X = IMC 
 
onde 𝑦𝑦� é o nível estimado de HDL e x é uma variável dicotômica (ou indicadora) refletindo o 
tratamento designado. Neste exemplo, x é codificado como 1 para participantes que receberam 
o novo medicamento, e como 0 para participantes que receberam o placebo. A estimativa do 
ponto de intersecção com o eixo y é b0 = 39,21. O ponto de intersecção com o eixo y é o valor 
esperado de y (colesterol HDL) quando x é 0. Neste exemplo, x = 0 se refere ao grupo do placebo. 
Portanto, o ponto de intersecção com o eixo y é exatamente igual ao nível médio de HDL no 
grupo do placebo. O declive é b1 = 0,95. O declive representa a mudança em y (colesterol HDL) 
relativa a uma mudança de uma unidade em x. A mudança de uma unidade em x representa 
uma diferença em atribuição de tratamento (placebo contra novo medicamento). O declive 
representa a diferença em níveis médios de HDL entre grupos de tratamento (veja a tabela 9–7; 
o HDL médio no grupo do placebo é 39,21 e a diferença nas médias entre os grupos do placebo 
e do novo medicamento é 0,95 mg/dl). 
 
Nas seções 9.4 e 9.5, ampliamos o conceito de regressão simples para incluir variáveis 
independentes adicionais. Na seção 9.4, introduzimos a análise de regressão linear múltipla, que 
se aplica a situações em que o resultado é contínuo e há mais de uma variável independente. 
As variáveis independentes podem ser contínuas ou dicotômicas (indicadoras). Na seção 9.5, 
introduzimos a análise de regressão logística múltipla, que se aplica a situações em que o 
resultado é dicotômico (por exemplo, DCV incidental). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sullivan, L. M. (2018). Essentials of biostatistics in public health. (Componentes básicos da bioestatística 
em saúde pública.) Burlington, Massachusetts: Jones & Bartlett Learning. 
	CAPÍTULO 7: Teste de hipóteses
	PÁGINAS 129-131, 135-139,157-163
	Etapa 1: Definir a hipótese e determinar o nível de significância.
	Etapa 2: Selecionar a estatística de teste adequada.
	Etapa 3: Definir a regra de decisão.
	Etapa 4: Calcular a estatística de teste.
	Etapa 5: Conclusão.
	7.4 TESTES COM UMA AMOSTRA, RESULTADOS CATEGÓRICOS E ORDINAIS
	Etapa 1: Definir a hipótese e determinar o nível de significância.
	Etapa 2: Selecionar a estatística de teste adequada.
	Etapa 3: Definir a regra de decisão.
	Etapa 4: Calcular a estatística de teste.
	Etapa 5: Conclusão.
	Etapa 1: Definir a hipótese e determinar o nível de significância.
	Etapa 2: Selecionar a estatística de teste adequada.
	Etapa 3: Definir a regra de decisão.
	Etapa 4: Calcular a estatística de teste.
	Etapa 5: Conclusão.
	7.9 TESTES PARA DUAS OU MAIS AMOSTRAS INDEPENDENTES, RESULTADOS CATEGÓRICOS E ORDINAIS
	Etapa 1: Definir a hipótese e determinar o nível de significância.
	Etapa 2: Selecionar a estatística de teste adequada.
	Etapa 3: Definir a regra de decisão.
	Etapa 4: Calcular a estatística de teste.
	Etapa 5: Conclusão.
	Etapa 1: Definir a hipótese e determinar o nível de significância.
	Etapa 2: Selecionar a estatística de teste adequada.
	Etapa 3: Definir a regra de decisão.
	Etapa 4: Calcular a estatística de teste.
	Etapa 5: Conclusão.
	CAPÍTULO 8: Potência e determinação do tamanho da amostra
	PÁGINAS 171-172, 179-181
	8.2 QUESTÕES PARA A ESTIMATIVA DO TAMANHO DA AMOSTRA PARA TESTE DE HIPÓTESES
	CAPÍTULO 9: Métodos multivariáveis
	PÁGINAS 201-211
	9.2 MÉTODO COCHRAN–MANTEL–HAENSZEL
	9.3 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO