Equações Diferenciais Ordinárias_EDO

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P U C R S - F a c u l d a d e d e M a t e m á t i c a 
 
Cálculo Diferencial e Integral II – Profa Vera Nunes 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDO) 
 
 Uma equação diferencial é uma expressão que envolve uma função incógnita e 
uma ou mais de suas derivadas. O nosso objetivo é tentar descobrir a tal função ou suas 
propriedades. 
Exemplos: 
1. y’- cos x = 0 (1a ordem) 
 
2. y’’ + 4y = 0 (2ª ordem) 
 
3. x2y’’’y’+ 2exy’’ = 2y (3ª ordem) 
 
Usamos o adjetivo ordinário para distinguir da equação diferencial parcial (EDP) 
que envolvem derivadas parciais. Exemplo: 0
2
2
=
∂
∂+
∂
∂
y
u
x
u
 
OBS: Estudaremos apenas as equações diferenciais ordinárias. 
 
A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada que nela 
aparece, e o grau é a potência que se acha elevada a derivada de ordem mais alta. 
 
Exemplo : 2
4
3
3
2
2
25 y
dx
dy
y
dx
dy
y
dx
yd
=




−




+








 EDO de ordem 2 e grau 3 
 
Uma função y = f(x) é uma solução de uma equação diferencial em um dado 
intervalo se a equação estiver satisfeita para todo x no intervalo quando y e suas 
derivadas forem substituídas na equação, isto é, substituindo-se a solução e sua derivada 
na equação, devemos obter uma igualdade. 
 
Exemplos : 1. y’- 2x = 0 Uma solução é y = x2 
 
 2. xey
dx
dy 54=− Uma solução é y = e5x mas não é a única, y = C ex + e5x 
é também solução para todo valor real da constante C. A solução y = C ex + e5x é 
chamada solução geral da equação. 
 
Quando um problema aplicado leva a uma equação diferencial, geralmente 
existem condições que determinam valores específicos para as constantes arbitrárias. 
Para uma equação de primeira ordem, a única constante arbitrária pode ser determinada 
especificando-se o valor da função y(x) em um ponto arbitrário x0. Isto é chamado de 
condição inicial e o problema é então denominado de problema de valor inicial de 
primeira ordem. 
 
 
 
 2
Exemplo : 




=
=
6)2(
3 2
y
x
dx
dy
 
Essa equação é a única que sabemos resolver no momento, basta integrar de 
cada lado da equação e usando o Teorema fundamental do Cálculo, obtemos a solução : 
 kxy += 3 
 
 Qual a curva que apresenta a condição de passar no ponto (2, 6)? 
Essa é uma solução particular para a equação. Enquanto que kxy += 3 é uma 
solução geral . 
Observe que podemos proceder, na mesma equação, da seguinte forma (separando as 
variáveis): 
 
23x
dx
dy = ⇔ dxxdy 23= , logo ∫∫ = dxxdy
23 ⇔ kxy += 3 e com a condição 
inicial y(2) = 6 obtemos para k o valor de -2. Assim a solução desta equação é y = x3 – 
2 
 
Estudaremos apenas as equações diferenciais ordinárias de 1 a ordem , isto é, 
equações que envolvem apenas a derivada primeira e em relação à uma variável. 
 
 
EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM SEPARÁVEIS 
 
Equações de primeira ordem que podem ser expressas da forma h(y) dy = g(x) dx 
são denominadas separáveis, já que as expressões envolvendo x e y aparecem em lados 
diferentes na equação. Esta separação permite que a interação de ambos os lados 
determine a solução da equação. 
 
Exemplo : y’= yx , y(0) = 3 
 
=
dx
dy
yx ⇔ ∫∫ = dxxdyy
1
 ⇔ =)ln(y kx +
2
2
. Explicitando )(xfy = , temos 
.. 222)ln(
222 x
k
x
k
x
y ecyeeyee =⇔=⇔=
+
 Solução geral 
Solução do problema de valor inicial: 33)0( 2
0
=⇔== ccey . Logo a solução é: 2
2
3
x
ey =
 3
Para cálculo via Maple: 
 
>dsolve(diff(y(x),x)=y(x)*x); 
 
 
Exercícios: 
 
 R: y = K x 
1. 
x
y
dx
dy
= 
 
 
 
 R: 3
3x
eky = 
2. yx
dx
dy 2= 
 
 
 
 R:
 kx
y
+
−=
4
4 
3. 32´ xyy =
 
 
 
 R:
2
41 xey +−= 
4. 




=
=−
3)0(
22´
y
xxyy 
 
 
 
 
 
5. 





=
+=
2)1(
2 2´
y
y
x
y
 3
6366 3xx
y
++−= 
 
 
 
 
 
 
6. 
y
xsen
dx
dy
= R: cxy +−±= )cos(2 
 
 
 
 4
7. (y2 + 1) + (x2 + 1)
 
0=
dx
dy
 
Cxarctgy +−= )(tan( 
 
 
 
 
 
 
8. (x y + 3x) dy = - 2y dx R: y + 3 ln|y| = - 2 ln|x| + 
C 
 
 
 
 
 
 
9. ex dx – y dy = 0 ; y(0) = 1 R: 12 −= xey 
 
 
 
 
 
10. 1)0(,4 2 =−= yxy
dx
dy
 R: 
12
1
2 +
=
x
y 
 
 
 
 
 
 
 
11. 032 223 =+ dyyxdxxy R: 
3 2x
c
y = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. 0)4(62 2 =−++
dx
dy
xxxy R: 3
42
−
−
=
x
c
y 
 
 
 
 5
Nem toda equação diferencial é separável. Por exemplo, não é possível separar as 
variáveis na equação 
2
2 xxexy
dx
dy −=+ , porém, esta equação pode ser resolvida por um 
método diferente que consideraremos agora. 
 
 
EQUAÇÃO LINEAR DE PRIMEIRA ORDEM 
 
Uma equação diferencial de primeira ordem é chamada de linear se puder ser 
expressa na forma: 
 
 
 (1) 
 
onde p(x) e q(x) são contínuas (podem ser constantes). 
 
Para resolução procuramos uma função )(xu que é chamada de fator integrante, 
multiplicamos os dois lados da equação acima: 
 )()()()()( xqxuyxuxp
dx
dy
xu =+ 
 
Queremos que o primeiro membro da igualdade seja expresso por yxu
dx
d
)( , facilmente 
integrável. 
Observe que: y
dx
du
dx
dy
xuyxu
dx
d += )()( 
Logo )(xu deve ser tal que yxuxpy
dx
du
)()(= ⇔ )(
)(
xp
xu
du = 
 
 ⇔ dxxpxu ∫= )()(ln 
 ⇔ ∫=
dxxp
exu
)(
)( 
Para este )(xu a equação )()()()()( xqxuyxuxp
dx
dy
xu =+ fica 
 )()()( xqxuy
dx
du
dx
dy
xu =+ ou 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)()( xqyxp
dx
dy =+ 
∫ +=⇔= cdxxqxuyxuxqxuyxudx
d
)()()()()()(
 6
A resolução pelo chamado método do fator integrante se resume em três passos: 
 
1. Calcule ∫=
dxxp
exu
)(
)( ( fator integrante) 
2. Multiplique os dois lados da igualdade (1) por u e expresse o resultado como 
)()( xuquy
dx
d = 
3. Integre ambos os lados da equação obtida, então, resolva para y. Inclua neste passo 
uma constante de integração. 
 
Exemplos : 
1) xxy
dx
dy =− 2 
 
 
 
 
 
2) 162 =+ y
dx
dy
 ; y(0) = 1 
 
 
 
 
 
 
3) 




=
=−
2)1(y
xy
dx
dy
x
 
 
 
 
 
 
 
4) y´ + 2x y = x ; y(0) = 5/2 
 
 
 
 
 
 
 
5) y´+ y = sen(x) 
 
 
 
 
 
 7
R:1. 
2
2
1 xkey −+−= 2. y = 1/6 + 5/6 e-3x 3. Y = (ln(x) + 2)x 4. Y = 
2
1
2
2
+xe
 
5.
2
)cos(
2
)( xxsen
key x −+= −
 
 
Exercícios complementares:1. Verifique se xey 2= é solução da equação 04´´ =− yy 
2. Confirme que y = 2 3
3x
e é uma solução do problema de valor inicial y’= x2y com y(0) = 2. 
 
3. Confirme que y = ¼ x4 + 2 cos x + 1 é uma solução do problema de valor inicial y’= x3 – 2 sen x 
;y(0)=3. 
 
4. Resolva cada uma das equações diferenciais pelo método dos fatores integrantes e por 
separação de variáveis e confirme que as duas soluções são iguais. 
a) 03 =+ y
dx
dy
 b) xxy
dx
dy =− 2 c) 0=+ y
dt
dy
 d) 0)1( 2 =++ xy
dx
dy
x 
 
5.Resolva cada equação diferencial por separação de variáveis: 
a) 
x
y
dx
dy = b) y’= -xy c) (1 + x4)
y
x
dx
dy 3= d) 0cos =+ ty
dt
dy
 
 
6.Resolva cada equação diferencial pelo método dos fatores integrantes: 
 
a) xey
dx
dy 23 −=+ b) xxy
dx
dy =+ 2 c) 142 =+ y
dx
dy
 d) 0
1
1 =
+
−+
xe
y
dx
dy
 
 
7. Determine a solução da equação diferencial xy
dx
dy
x =+ que satisfaça a condição inicial: 
a) y(1) = 2 b) y(-1) = 2 
 
8.Resolva o problema de valor inicial: 
 
a) xxy
dx
dy =− ; y(0) = 3 b) 2=+ y
dx
dy
 ; y(0) = 1 c) yy exey 2' =− ; y(0)= 0 
 
d) 
22
12
−
+=
y
t
dt
dy
 ; y(0) = -1 e) tty
dt
dy =− 2 ; y(0) = 1 
 
Respostas: 
4. a) y = c e-3x b) y = c e
22x c) y = c e-t d) y = 
12 +x
c
 
5. a) y = cx b) y = c e 2
2x−
 c) y2 = ½ ln (1+x4 ) d) y = c e-sen t 
 
 8
6. a) xx ceey 32 −− += b) y=
2
2
1 xce−+ c) y = e-2x( ½ x + c) d) y = e-x (ln (1+ ex) + c) 
7. a) y = 
x
x
2
3
2
+ b) y = 
x
x
2
5
2
− 8. a) y = -1 + 4 e 2
2x
 b) y = 2 – e –x c) y = - ln ( - x2/2 – 2x + 1) 
 d) y2 – 2y = t2 + t + 3 e) y = 
2
2
3
2
1 te+− 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM - APLICAÇÕES 
 
Veremos alguns exemplos de equações diferenciais ordinárias que modelam diferentes 
problemas. Na solução dos problemas, são utilizadas técnicas de integração vistas 
anteriormente. 
 
1. Aplicações em Geometria : 
 
Exemplo: 
 
Ache uma curva no plano XY que passa por (0,3) e cuja tangente em um ponto (x,y) tem 
inclinação 
2
2
y
x . 
 
 
 Resp.: 
3 2 273 += xy 
 
 
2. Modelos de Crescimento e decrescimento : 
 
Um modelo matemático para o crescimento natural de uma substância (ou população) 
baseia-se na premissa de que, em condições ideais, uma população cresce a uma taxa 
proporcional ao tamanho da população. 
 
Variáveis nesse modelo: t = tempo (variável independente) 
 P = numero de indivíduos da população no instante t (função de t) 
Taxa de variação da população: é a derivada 
dt
dP . 
Equação Diferencial: kP
dt
dP = , onde k é a constante de proporcionalidade. 
 
Exemplo: 
 
Certa substância radioativa diminui a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se, 
inicialmente a quantidade é 50 miligramas, e se após duas horas perderam-se 10% da 
massa original, determine: 
 
a) a expressão para a massa da substância restante em um tempo arbitrário t; 
 
b) a massa restante após 4 horas; 
 9
 
c) o tempo necessário para que a massa inicial fique reduzida à metade. 
 
OBS: o tempo necessário para reduzir uma substância sujeita a decréscimo à metade da 
quantidade original é chamada MEIA-VIDA da substância. 
 
 
 Resp.: 
htcmgPbetPa t 32,13)5,40)4()50)() 053,0 === − 
3. Transferência de Calor – Lei de Resfriamento de New ton : 
 
A taxa segundo a qual decresce a temperatura de um corpo que está resfriando, é 
proporcional `a diferença entre a temperatura do corpo e a do meio ambiente. 
Variáveis nesse modelo: t = tempo (variável independente) 
 y = temperatura do corpo no instante t (função de t) 
Taxa de variação da temperatura: é a derivada 
dt
dy . 
Equação Diferencial: )( Tyk
dt
dy −= , onde k é a constante de proporcionalidade ( k<0) e T a 
temperatura ambiente. 
 
A lei de Newton também se aplica para problemas de aquecimento. Neste caso, deve-se 
ter K>0. 
 
 
Exemplo: 
 
Coloca-se uma barra de metal a temperatura de 100º F num quarto com temperatura de 0º 
F. Se após 20 minutos a temperatura da barra é de 50º F, determine: 
 
a) o tempo necessário para a temperatura da barra chegar à 25º F; 
 
b) a temperatura da barra após 10 minutos. 
 
 
 
 
 
 Resp.: 
05,70)10()min6,39) ≈= Ybta 
 
4. Juros compostos continuamente: 
 
Um modelo matemático para um investimento de capital, onde considera-se apenas a taxa 
de juros compostos continuamente, diz que a taxa de crescimento do capital é proporcional 
ao tamanho do capital investido. 
 
Variáveis nesse modelo: t = tempo (variável independente) 
 y = capital investido no instante t (função de t) 
 10
Taxa de variação de crescimento do capital: é a derivada 
dt
dy . 
Equação Diferencial: yi
dt
dy
.= , onde i é a taxa de juros 
 
Se forem feitas retiradas ou depósitos adicionais sempre no mesmo valor K, o modelo 
deve ser modificado , sendo dado pela equação diferencial: 
 
 yiK
dt
dy
.+= 
Exemplo: 
 
Uma pessoa aplica R$ 5.000,00 numa conta em favor de um recém nascido. Admitindo-se 
que não haja outros depósitos nem retiradas, de quanto a criança disporá ao atingir a 
idade de 21 anos, se o banco abona juros de 5% ao ano, compostos continuamente 
durante todo o período? 
 
 
 
 
 
 Resp.: 
26,14288)21( =Y 
 
 
5. Problemas de mistura : 
 
Este tipo de problema serve como modelo, por exemplo, para descarga e filtragem de 
poluentes em um rio, injeção e absorção de medicamentos na corrente sanguínea e 
migração de espécies para dentro e para fora de um sistema ecológico. 
 
 
Exemplo: 
 
No instante t = 0, um tanque contém 4 libras de sal dissolvido em 100 galões de água. 
Suponha que a água salgada contendo duas libras de sal por galão é acrescentada ao 
tanque a uma taxa de 5 galões por minuto, e que a solução misturada é drenada do tanque 
à mesma taxa. Ache a quantidade de sal no tanque após 10 minutos. 
 
Variáveis : t = tempo (variável independente) 
 y = quantidade de sal no instante t (função de t) 
Taxa de variação : é a derivada 
dt
dy = taxa de entrada – taxa de saída. 
No nosso exemplo: Taxa de entrada = (2lb/gal).(5gal/min)= 10 lb/min 
 
 Taxa de saída = ( min/
20
)(
min)/5).(/
100
)(
gal
ty
galgallb
ty = 
Equação Diferencial: 
20
10
y
dt
dy −= , y(0) = 4 
 11
 
 
... y(t) = 200 + C 20
t
e
−
 e com a condição inicial, que y = 4 quando t =0 temos 
 
 y(t) = 200 + 196 20
t
e
−
 Logo, no instante t = 10 a quantidade de sal no tanque é: 
 
 y(10) = 200 + 196 ≈− 5,0e 81,1 lb 
 
 
PROBLEMAS : 
 
1) A taxa de variação da quantidade vendida V em relação aos gastos com propaganda 
x, é 
x5
20
)x(V
+
=′ 
 
Sabendo que, quando x = 100, V = 80, obtenha V como função de x. 
 (Dado: ln 105 ≅ 4,65) [ Resp.: V(x) = 20 ln(5+x) -
13 ] 
 
2) De acordo com os dados dos EUA, a população mundial no começo de 1990 era de 
aproximadamente, 5,3 bilhoes, crescendo a uma taxa em torno de 2% ao ano. 
Supondo valido o modelo de crescimento populacional, responda: 
 a) Qual a estimativa para a população mundial no inicio do ano 2015? [Resp: 8,7 
bilhões] 
 b) Em quanto tempo a população será duplicada? [Resp: ≈ 35 anos ] 
 
3) Abri uma conta bancaria com um deposito inicial R$ 1.000,00 e pretendo economizar, 
depositando.R$ 1.000,00 por ano. O saldo total da conta rendera 10% ao ano de juros 
compostos continuamente. Aproximadamente, quantos anos serão necessários para que o 
meu saldo seja de R$ 100.000,00? [Resp: 23 anos ] 
 
 
4) Um copo de água a uma temperatura de 95ºC esta colocado numa sala com uma 
temperatura constante de 21ºC. Quantos minutos levará para a água atingir uma 
temperatura de 51ºC se ela resfria para 85ºC em 1 minuto ? 
[Resp: 6,22min ] 
 
 
5) Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Após 
uma hora, observam-se 1000 núcleos de bactérias na cultura, e após 4 horas, 3000 
núcleos. Determine o número aproximado de bactérias existentes no início da cultura. 
 [Resp: N(0)= 
694 ] 
 
6) Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida num quarto mantido à 
temperatura constante de 30º F. Se após 10 minutos, a temperatura do corpo é 0º F e 
 12
após 20 minutos é 15º F, determine a temperatura inicial desconhecida. 
[Resp: T0= - 30º F ] 
 
 
7) A equação diferencial V
C
Q
dt
dQ
R =+ descreve a carga Q em um condensador com 
capacidade C durante um processo de carga envolvendo uma resistência R e uma força 
eletromotriz V. Se a carga é nula quando t = o, expresse Q como função de t. 
 [Resp: Q = 
CV 








−
−
RC
t
e1 ]