Exercícios de Geometria Analítica

Prévia do material em texto

Sociedade Brasileira de Matemática
Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional
MA23 - Geometria Anaĺıtica
Unidade 2 - Produto interno
Exerćıcios recomendados
1) Prove que:
(a) Os vetores |u|v e |v|u tem a mesma norma.
(b) Se |u| = |v|, então os vetores u− v e u + v são perpendiculares.
2) Usando vetores, normas e produto interno, prove que a soma dos quadrados
dos comprimentos das diagonais de um paralelogramo é o dobro da soma dos
quadrados dos comprimentos dos lados. Isto é, vale a lei do paralelogramo:
|u + v|2 + |u− v|2 = 2|u|2 + 2|v|2.
Obtenha o teorema de Pitágoras aplicando a lei do paralelogramo num qua-
drado.
3) Prove que |u± v| ≥ ||u| − |v||, para quaisquer vetores u e v do plano.
4) Para quais valores de a os pontos A = (2, 1), B = (a + 1, 2) e C = (−3,−1)
são vértices de um triângulo ?
5) Prove que se os vértices de um triângulo são pontos cujas coordenadas são
números racionais, então a área deste triângulo é um número racional.
6) Sejam u =
−→
AB e v =
−→
AC 6= 0 vetores representados por segmentos orientados
com a mesma origem. Seja B′ o pé da perpendicular baixada do ponto B
sobre a reta que contém os pontos A e C. A projeção do vetor u na direção
do vetor v é o vetor Projv(u) =
−−→
AB′. Mostre que Projv(u) =
〈u,v〉
|v|2 v.
7) Sejam u = (1, 3), v = (−1, 2) e w = (6,−2).
(a) Determine a projeção do vetor u na direção dos vetores v e w.
(b) Determine o vetor unitário que bissecta o ângulo entre v e w.
8) Dados a e b números reais positivos, mostre que 4 ≤ ( 1
a
+ 1
b
)(a + b).
1