Equação de Bernoulli e Coeficientes de Energia Cinética

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Problema T4-P1: 
Critério: a pontuação do T4-P1 será de acordo com a solução apresentada (resposta integralmente correta) 
e função de N, conforme a seguir (N = número de alunos que apresentarem soluções integralmente corretas): 
𝑇4(𝑃1) = {
3,0 → se N<6 
1,5 → se 6≤N≤10
0,0 → se N>10 
 
Prêmio: a nota da A1 a ser lançada no sistema da UVA será calculada de acordo com a nota obtida na primeira 
prova do período (P1) e do total de pontos obtidos a partir dos exercícios [Ti(P1)], conforme a seguir: 
𝐴1 = 10(
𝑃1 +∑𝑇𝑖(𝑃1)
10 + ∑𝑇𝑖(𝑃1)
) , onde i = 0, 1, 2, … (quantos exercícios foram propostos até a prova) 
Prazo: 19/03/2019. 
Enunciado: sabemos que a Equação de Bernoulli original foi desenvolvida para o escoamento uniforme ao 
longo de uma linha de corrente (direção “”). Na sua forma diferencial equivale a, 
𝑑(𝑒) = 𝑑(𝑒𝑓) + 𝑑(𝑒𝑘) + 𝑑(𝑒𝑝) = 𝑑(𝐹ξ) + 𝑑 (
𝑚v2
2
) + 𝑑(𝑚𝑔𝑧) = 0 
 
Onde “F” é a força atuando no fluido (na direção “”). Sendo “V” o volume de fluido deslocado pela força “F” 
e “A” a área de atuação desta força (transversal à direção “”), 
𝑑(𝐹ξ) = 𝑑 (𝐹
V
𝐴
) = 𝑑 (V
F
𝐴
) = 𝑑(V 𝑝) 
As parcelas de energia mecânica ef, ek e ep correspondem à energia de fluxo (ou de pressão), cinética e 
potencial respectivamente. Repare que a premissa é velocidade “v” atuando em toda área “A”, i.e., 
escoamento uniforme. 
Assim, 
𝑑(𝑒) = 𝑑(V 𝑝) + 𝑑 (
𝑚v2
2
) + 𝑑(𝑚𝑔𝑧) = 0 
𝑑(𝑒) = 𝑑 (𝑚
𝑝
𝜌
) + 𝑑 (𝑚
v2
2
) + 𝑑(𝑚𝑔𝑧) = 0 
𝑑(𝑒) = 𝑑𝑚{(
𝑝
𝜌
) + (
v2
2
) + (𝑔𝑧)}+𝑚 {(
𝑑𝑝
𝜌
) + v 𝑑(v) + 𝑑(𝑔𝑧)} = 0 
Dividindo por (dt) e considerando a premissa de Bernoulli de regime permanente (dp/dt)=(dv/dt)=(dz/dt)=0, 
𝑑
𝑑𝑡
(𝑒) =
𝑑𝑚
𝑑𝑡
{(
𝑝
𝜌
) + (
v2
2
) + (𝑔𝑧)}+𝑚 {(
1
𝜌
)
𝑑𝑝
𝑑𝑡
+ v 
𝑑v
𝑑𝑡
+ 𝑔 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
} =
𝑑
𝑑𝑡
(𝜌v𝐴) {(
𝑝
𝜌
) + (
v2
2
) + (𝑔𝑧)} = 0 
𝑑
𝑑𝑡
(𝑒) = {𝜌𝐴
𝑑v
𝑑𝑡
+ 𝜌v
𝑑A
𝑑𝑡
}{(
𝑝
𝜌
) + (
v2
2
) + (𝑔𝑧)} = 0 
Novamente, em regime permanente (dv/dt)=0. Portanto, 
𝑑
𝑑𝑡
(𝑒) = 𝜌v (
𝑑A
𝑑𝑡
) {(
𝑝
𝜌
) + (
v2
2
) + (𝑔𝑧)} = 0 
Então, o fluxo de energia cinética através de uma dada seção será: 
𝑑
𝑑𝑡
(𝑒𝑘) = ℱ𝑘 = 𝜌v(
v2
2
) (
𝑑A
𝑑𝑡
) 
Integrando no tempo para obter de volta a energia cinética total, agora considerando escoamento não-
uniforme, 
(1) 𝐸𝑘 = ∫ℱ𝑘𝑑𝑡 = ∫𝜌v(
v2
2
)𝑑A 
Repare que para um escoamento uniforme, a velocidade é constante em toda a área (podendo ser extraída 
da integral). Realizando a manipulação algébrica abaixo (dividindo pelo peso inclusive), chegamos ao 
resultado esperado: 
𝐸𝑘 = ∫𝜌v(
v2
2
)𝑑A = 𝜌(
v3
2
)𝐴 ou (
v2
2
)∫𝑑𝑚 = (
v2
2
)𝑚 
dividindo pelo peso
⇒ 
𝐸𝑘
𝑚𝑔
= (
v2
2
)
𝑚
𝑚𝑔
=
v2
2𝑔
 
Dividindo-se todos os outros termos de energia pelo peso, pode-se chegar a uma das formas clássicas da 
Equação de Bernoulli original: 
𝑝
𝛾
+
v2
2𝑔
+ 𝑧 = constante 
A fim de validarmos a utilização da Equação de Bernoulli para aplicações mais próximas aos problemas de 
engenharia reais, deve-se considerar o escoamento de fluido ideal e incompressível através de um conduto 
com seção circular, sabemos que a velocidade obedece a um perfil de velocidade (função do raio “r”) como 
resultado da lei de parede. Portanto, de volta à Equação (1), numa seção circular, integrando uma área 
diferencial (2rdr), com “r” variando de “0” a “R”: 
(2) 𝐸𝑘 = ∫ 𝜌v(
v2
2
) (2𝜋𝑟)𝑑𝑟
𝑟=𝑅
𝑟=0
 
Assim, dependendo do regime de escoamento, temos que: 
a) Regime laminar, v = v𝑚𝑎𝑥 [1 − (
𝑟
𝑅
)
2
] → v =
v𝑚𝑎𝑥
2
 
b) Regime turbulento, v = v𝑚𝑎𝑥 [1 −
𝑟
𝑅
]
1
7
 → v = (
49
60
)v𝑚𝑎𝑥 
Desta forma, fica claro que há uma violação à formulação original da Equação de Bernoulli que precisa ser 
corrigida. A fim de utilizarmos a velocidade média de um escoamento não-uniforme, usaremos os 
coeficientes “” nos termos de energia cinética da Equação de Bernoulli α (
𝑣
2
2𝑔
) para o escoamento de um 
líquido num tubo de seção circular. Determinar: 
a) Mostre que o coeficiente de energia cinética “α” para regime laminar vale 2; 
b) Mostre que o coeficiente de energia cinética “α” para regime laminar vale 1,06; 
c) Considere o escoamento ao longo de uma redução de diâmetro numa tubulação horizontal, quando 
o diâmetro do tubo é reduzido de D = 5 cm para d = 3 cm em regime permanente. Dados:  = 103 
kg/m3; g = 10 m/s2 e  = 1 cP. Considere também fluido ideal e incompressível. Calcular a diferença 
de pressão entre pontos imediatamente a montante e a jusante da redução, quando: 
 Q = 100 L/h e perfil de velocidades não-uniforme; 
 Q = 100 L/h e perfil de velocidades uniforme; 
 Q = 400 L/h e perfil de velocidades não-uniforme; 
 Q = 400 L/h e perfil de velocidades uniforme; 
Dicas: 
I. Use a Equação (2) como ponto de partida para os itens (a) e (b); 
II. Fatoração relevante: ( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3; 
III. Integral relevante: ∫𝑥𝑛𝑑𝑥 =
𝑥𝑛+1
𝑛+1
 
IV. Usar integração por partes na solução “b”: ∫𝑣 𝑑𝑢 = 𝑢 𝑣 − ∫𝑢 𝑑𝑣 
V. Integração relevante: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (1 + 𝑎 𝑥)𝑏 → 𝑦 =
(1+𝑎 𝑥)𝑏+1
𝑎 (𝑏+1)
 
 
Solução: a) a integração da Equação (2) na direção radial, para o caso de escoamento laminar fornece 
𝐸𝑘 = ∫ 𝜌v(
v2
2
) (2𝜋𝑟)𝑑𝑟
𝑟=𝑅
𝑟=0
= 𝜋𝜌 ∫ 𝑟 v3𝑑𝑟
𝑟=𝑅
𝑟=0
= 𝜋𝜌 ∫ 𝑟 {(2 v) [1 − (
𝑟
𝑅
)
2
]}
3
𝑑𝑟
𝑟=𝑅
𝑟=0
 
𝐸𝑘 = (8 v
3
 𝜋 𝜌) ∫ 𝑟 {1 − (
𝑟
𝑅
)
2
}
3
𝑑𝑟
𝑟=𝑅
𝑟=0
= (8 v
3
 𝜋 𝜌) ∫ {𝑟 − 3𝑟 (
𝑟
𝑅
)
2
+ 3𝑟 (
𝑟
𝑅
)
4
− 𝑟 (
𝑟
𝑅
)
6
} 𝑑𝑟
𝑟=𝑅
𝑟=0
 
𝐸𝑘 = (8 v
3
 𝜋 𝜌){
𝑟2
2
−
3
4
(
𝑟4
𝑅2
) +
3
6
(
𝑟6
𝑅4
) −
1
8
(
𝑟8
𝑅6
)}
𝑟=0
𝑟=𝑅
= (8 v
3
 𝜋 𝜌) {
𝑅2
2
−
3
4
(
𝑅4
𝑅2
) +
3
6
(
𝑅6
𝑅4
) −
1
8
(
𝑅8
𝑅6
)} 
𝐸𝑘 = (8 v
3
 𝜋 𝜌 𝑅2) {
1
2
−
3
4
+
3
6
−
1
8
} = (8 v
3
 𝜋 𝜌 𝑅2) {
1
8
} = 𝜌 v
3
𝐴 = (2)
𝜌 v
3
𝐴
2
 
Assim, comparando-se as equações pode-se concluir que 𝛼laminar = 2. 
b) a integração da Equação (2) na direção radial, para o caso de escoamento turbulento fornece 
𝐸𝑘 = ∫ 𝜌v(
v2
2
) (2𝜋𝑟)𝑑𝑟
𝑟=𝑅
𝑟=0
= 𝜋𝜌 ∫ 𝑟 v3𝑑𝑟
𝑟=𝑅
𝑟=0
= 𝜋𝜌 ∫ 𝑟 {(
60
49
 v) [1 −
𝑟
𝑅
]
1
7
}
3
𝑑𝑟
𝑟=𝑅
𝑟=0
 
𝐸𝑘 = (1,836 v
3
 𝜋 𝜌) ∫ 𝑟 {1 −
𝑟
𝑅
}
3
7
𝑑𝑟
𝑟=𝑅
𝑟=0
 
Lembrando que: 
∫𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 𝑣 −∫𝑣 𝑑𝑢 e, se 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (1 + 𝑎 𝑥)𝑏 , temos 
𝑦 =
(1 + 𝑎 𝑥)𝑏+1
𝑎 (𝑏 + 1)
 
Fazendo, 
𝑢 = 𝑟 ; 𝑑𝑣 = (1 −
𝑟
𝑅
)
3
7⁄
 𝑑𝑟 
Temos que: 
𝑑𝑢 = 𝑑𝑟 ; 𝑣 = −(
7 𝑅
10
) (1 −
𝑟
𝑅
)
10
7⁄
 
Então, integrando por partes: 
𝐸𝑘 = (1,836 v
3
 𝜋 𝜌) [− (
7 𝑅
10
) (1 −
𝑟
𝑅
)
10
7⁄
(𝑟) + (
7 𝑅
10
)∫ (1 −
𝑟
𝑅
)
10
7⁄
 𝑑𝑟
𝑅
0
] 
𝐸𝑘 = (1,836 v
3
 𝜋 𝜌) {− (
7 𝑅
10
) (1 −
𝑟
𝑅
)
10
7⁄
(𝑟) − (
49 𝑅2
10 . 17
) [(1 −
𝑟
𝑅
)
17
7⁄
]}
0
𝑅
 
𝐸𝑘 = (1,836 v
3
 𝜋 𝜌){−(
7 𝑅
10
)(1 −
𝑅
𝑅
)
10
7⁄
(𝑅) − (
49 𝑅2
10 . 17
) [(1 −
𝑅
𝑅
)
17
7⁄
] + (0) + (
49 𝑅2
10 . 17
) [(1 −
0
𝑅
)
17
7⁄
]} 
𝐸𝑘 = (1,836 v
3
 𝜋 𝜌){(0) − (0) + (0) + (
49 𝑅2
10 . 17
) [(1 −
0
𝑅
)
17
7⁄
]} = (1,836 v
3
 𝜋 𝜌)(
49 𝑅2
10 . 17
) = (1,058)
𝜌 v
3
𝐴
2
 
Aplicando a Equação de Bernoulli através da redução de diâmetros: 
(
𝑝
𝛾
+ 𝛼
v2
2𝑔
+ 𝑧)
montante
= (
𝑝
𝛾
+ 𝛼
v2
2𝑔
+ 𝑧)
jusante
 
(
𝑝
𝛾
)
montante
− (
𝑝
𝛾
)
jusante
= 𝛼 {(
v2
2𝑔
)
jusante
− (
v2
2𝑔
)
jusante
} 
∆𝑝 = 𝑝montante − 𝑝jusante = 𝛾𝛼 {(
v2
2𝑔
)
jusante
− (
v2
2𝑔
)
jusante
} 
∆𝑝 =
𝜌𝛼
2
{(v2)jusante − (v
2)jusante} 
Para D = 5 cm; d = 3 cm;  = 103 kg/m3; g = 10 m/s2 e  = 1 cP, 
 Quando Q = 100 L/h e perfil de velocidades não-uniforme; 
Em regime permanente, 
vmontante =
4𝑄
𝜋𝐷2
= 0,014 m/s 
vjusante =
4𝑄
𝜋𝑑2
= 0,039 m/s 
Como o perfil é não-uniforme, devemos verificar qual é o regimede fluxo (laminar ou turbulento): 
Remontante =
vmontante𝐷𝜌
𝜇
= 707 
Rejusante =
vjusante𝐷𝜌
𝜇
= 1179 
Portanto, o escoamento é laminar a montante e a jusante da redução. Assim, 𝛼 = 2 e, 
∆𝑝 =
𝜌𝛼
2
{(v2)jusante − (v
2)jusante} = 1,34𝑥10
−3 kPa 
 
 Quando Q = 100 L/h e perfil de velocidades uniforme; 
Como o escoamento é uniforme, 𝛼 = 1 e, 
∆𝑝 =
𝜌𝛼
2
{(v2)jusante − (v
2)jusante} = 6,72𝑥10
−3 kPa 
 
 Quando Q = 400 L/h e perfil de velocidades não-uniforme; 
Em regime permanente, 
vmontante =
4𝑄
𝜋𝐷2
= 0,056 m/s 
vjusante =
4𝑄
𝜋𝑑2
= 0,157 m/s 
Como o perfil é não-uniforme, devemos verificar qual é o regime de fluxo (laminar ou turbulento): 
Remontante =
vmontante𝐷𝜌
𝜇
= 2830 
Rejusante =
vjusante𝐷𝜌
𝜇
= 4715 
Portanto, o escoamento é laminar a montante e a jusante da redução. Assim, 𝛼 = 1,06 e, 
∆𝑝 =
𝜌𝛼
2
{(v2)jusante − (v
2)jusante} = 1,14𝑥10
−2 kPa 
 
 Quando Q = 400 L/h e perfil de velocidades uniforme; 
Como o escoamento é uniforme, 𝛼 = 1 e, 
∆𝑝 =
𝜌𝛼
2
{(v2)jusante − (v
2)jusante} = 1,08𝑥10
−2 kPa